i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HCM ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI VỚI HIỆN TƯỢNG ENVELOPE-LIKE TRONG CÁC BÀI TỐN QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU KHƠNG TRƠN Mã số: CS – 2013 - 37 Chủ nhiệm: TS Nguyễn Đình tuấn Tp Hồ Chí Minh 12 – 2013 MÖC LÖC MÖC LÖC .1 Chữỡng m Ưu .3 Lỵ chån · t i .3 Mưc ti¶u v kát quÊ nghiản cựu Phữỡng phĂp nghiản cựu 4 Kát cĐu cừa à ti Chữỡng 1: Mởt số cổng cử giÊi tẵch Lipschitz àa ph÷ìng khỉng trìn v c¡c kh¡i ni»m v· cĂc têp tiáp xúc cĐp mởt v cĐp hai Ch÷ìng 2: KhĂi niằm hm l-ờn nh vổ hữợng cụng nhữ vectỡ v mởt số tẵnh chĐt cừa chúng Chữỡng 3: KhĂi niằm Ôo hm theo hữợng a tr cĐp hai v cĂc tẵnh chĐt cừa chúng 11 Chữỡng 4: CĂc iÃu kiằn tối ữu cƯn cĐp hai vợi hiằn tữủng envelope-like .15 Chữỡng 5: CĂc iÃu kiằn tối ữu ừ cĐp hai 25 Kát luên v hữợng nghiản cựu m rởng à ti .28 T i li»u tham kh£o 29 C¡c b i b¡o khoa håc li¶n quan trỹc tiáp án à ti nghiản cựu .31 Chữỡng m Ưu Lỵ chồn à ti Trong quy hoÔch toĂn hồc, v tờng quĂt hìn tèi ÷u hâa, c¡c i·u ki»n tèi ÷u cĐp hai chiám mởt v trẵ quan trồng, vẳ nõ cung cĐp thổng tin thảm quan cho cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp mởt Ăp ựng cho sỹ phƠn loÔi ựng dửng thỹc tá, cĂc bi toĂn tối ÷u ÷đc xem x²t, v â c¡c cỉng cư v k thuêt nghiản cựu, ngy cng tr nản phực tÔp hỡn Tuy nhiản cõ th nhên thĐy rơng, a số cĂc kát quÊ nghiản cựu liản quan  cõ, nởi dung chẵnh cừa cĂc kát quÊ và iÃu kiằn tối ữu cĐp hai cõ th ữủc khng nh mởt cĂch tữỡng tỹ nhữ kát quÊ cờ in l Ôo hm cĐp hai cừa cĂc hm mưc ti¶u (ho°c c¡c h m Lagrange c¡c b i to¡n cõ rng buởc) tÔi cĂc im cỹc tiu l khổng Ơm Kawasaki [17] l nh nghiản cựu Ưu tiản cho thĐy rơng cĂc Ôo hm theo hữợng cĐp hai cừa hm Lagrange cõ th Ơm tÔi cĂc im cỹc tiu, náu Ôo hm theo hữợng cừa hm kát hủp bi hm mửc tiảu v cĂc rng buởc nơm trản phƯn c biằt cừa biản cừa nõn hủp Ơm tẵch cĂc khổng gian Ênh ặng Đy gồi hiằn tữủng ny l hiằn tữủng envelope-like CĂc kát quÊ cừa Kawasaki  ữủc nhiÃu nh nghiản cựu phĂt trin [6, 8, 25, 26], luæn luæn xem x²t c¡c b i to¡n quy hoÔch vổ hữợng thuởc lợp C , giống nhữ [17] Trong quy hoÔch a muc tiảu, cĂc kát quÊ Ưu tiản thuởc kiu ny ữủc nghiản cựu [14, 15] cơng x²t cho c¡c tr÷íng hđp trìn èi vợi quy hoÔch a mửc tiảu khổng trỡn, Gutirrez-Jimnez-Novo [13]  dũng cĂc Ôo hm theo hữợng cĐp hai Dini v parabolic a tr thiát lêp cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp hai vợi hiằn tữủng envelope-like Hồ xem xt cĂc hm khÊ vi Frchet m Ôo hm cừa nõ l liản tửc hoc ờn nh tÔi im nghiản cựu Tuy nhiản, văn cỏn nhiÃu tĂc giÊ chữa nhên hiằn tữủng envelope-like nghiản cựu cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp hai iÃu ny cõ th dăn án mởt số sai lƯm khổng biát Hỡn nỳa, cĂc bi bĂo nõi trản, ổi khổng xĂc nh ữủc no thẳ hiằn tữủng envelop-like xÊy v no thẳ khổng CĂc quan sĂt trản Ơy l nguỗn cÊm hựng cho mửc ẵch nghiản cựu Ưu tiản cừa chóng tỉi · t i nghi¶n cùu n y l l m rã hi»n t÷đng envelope-like c¡c i·u ki»n tèi ÷u cĐp hai Mt khĂc, mởt cĂch tiáp cên chẵnh cho tối ữu khổng trỡn l à xuĐt v Ăp dửng cĂc Ôo hm suy rởng thẵch hủp thay thá Ôo hm GƠteaux v Frchet cờ in khổng tỗn tÔi thiát lêp cĂc iÃu kiằn tối ữu NhiÃu loÔi Ôo hm  ữủc dũng, mội loÔi Ãu cõ thuên lủi riảng mởt số tẵnh cử th khổng thuên lủi cho tĐt cÊ cĂc trữớng hủp GƯn Ơy, cĂc Ôo hm a tr cho hm vectỡ ỡn tr  ữủc sỷ dửng hiằu quÊ cung cĐp cĂc quy tưc nhƠn tỷ cĂc quy hoÔch khổng trìn, xem [5, 10, 11, 13, 19, 23] (nh÷ng [5, 10, 11, 19, 23], hi»n t÷đng envelope-like khỉng x£y ra) CĂc quan sĂt ny l nguỗn cÊm hựng tiáp theo cho mửc ẵch nghiản cựu thự hai cừa chúng tỉi · t i nghi¶n cùu n y l ¡p dưng Ôo hm theo hữợng cĐp hai Hadamard (  ữủc à xuĐt [19]) vợi tẵnh chĐt l-ờn nh (  ữủc nghiản cựu [2, 3, 4, 12]) Ôt ữủc cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp hai mợi cÊi thiằn v m rởng cĂc kát quÊ nghiản cựu gƯn Ơy Vẳ giĂ tr cừa Ôo hm theo hữợng cĐp hai Hadamard tÔi mởt im thẳ lợn hỡn giĂ tr cừa cĂc Ôo hm theo hữợng cĐp hai Dini v parabolic, cĂc iÃu kiằn cƯn cừa chúng tổi mÔnh hỡn c¡c i·u ki»n c¦n [13] Hìn núa, chóng tỉi nợi lọng cĂc giÊ thiát chẵnh t [13]: thay thá lƯn lữủt tẵnh khÊ vi liản tửc v ên ành bði t½nh kh£ vi ch°t v l-ên nh Mửc tiảu v kát quÊ nghiản cựu Chúng tổi xem xt bi toĂn quy hoÔch a mửc tiảu sau ¥y Cho c¡c h m f : Rn → Rm , g : Rn → Rp v h : Rn Rr Cho C l nõn lỗi õng Rm v K l têp lỗi Rp Bi toĂn dữợi sỹ xem xt cừa chúng tổi l (P) f (x), cho g(x) ∈ −K , h(x) = Náu K = Rn+ , thẳ rng buởc g(x) ∈ −K trð th nh r ng buëc b§t ¯ng thùc thổng thữớng Chúng tổi dũng cĂc Ôo hm theo hữợng a tr Hadamard v Dini dữợi giÊ thiát khÊ vi cht (trong cĂc iÃu kiằn tối ữu cƯn) hay l-ờn nh (trong cĂc iÃu kiằn tối ữu ừ) thiát lêp cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp hai mợi vợi tẵnh chĐt envelope-like ữủc lm ró hỡn cho bi toĂn quy hoÔch a mửc tiảu khổng trỡn (P) Cử th, · t i thüc hi»n c¡c mưc ti¶u nghi¶n cùu sau Ơy + KhĂi niằm hm l-ờn nh vổ hữợng cụng nhữ vectỡ v mởt số tẵnh chĐt cừa chúng + KhĂi niằm Ôo hm theo hữợng a tr cĐp hai v cĂc tẵnh chĐt cừa chúng + CĂc iÃu kiằn cƯn tối ữu cĐp hai vợi hiằn tữủng envelope-like cho cĂc nghiằm yáu a phữỡng cừa (P) + CĂc iÃu kiằn tối ữu ừ cĐp hai cho cĂc nghiằm chưc chưn a phữỡng cừa (P) CĂc kát quÊ cừa à ti hon thiằn cĂc kát quÊ Â cõ lắnh vỹc nghiản cựu cĂc iÃu kiằn tối ữu cĂc bi toĂn quy hoÔch a mửc tiảu khổng trỡn CĂc kát quÊ nghiản cựu ny  ữủc tĂc giÊ v GS.TSKH Phan Quốc KhĂnh, trữớng Ôi hồc Quốc tá, Ôi hồc Quốc gia Tp HCM cổng bố trản mởt tÔp chẵ khoa hồc quốc tá hằ thống ISI Phữỡng phĂp nghiản cựu à ti nghiản cựu dũng cĂc cổng cử v k thuêt giÊi tẵch khổng trỡn, giÊi tẵch a tr v giÊi tẵch hm Kát cĐu cừa à ti à ti bao gỗm chữỡng ã Chữỡng m Ưu: Lỵ thỹc hiằn à ti, mửc tiảu v kát quÊ nghiản cựu cừa à ti ã Chữỡng 1: Mởt số cổng cử giÊi tẵch Lipschitz àa ph÷ìng khỉng trìn v c¡c kh¡i ni»m v· cĂc têp tiáp xúc cĐp mởt v cĐp hai ã Chữỡng 2: KhĂi niằm hm l-ờn nh vổ hữợng cụng nhữ vectỡ v mởt số tẵnh chĐt cừa chúng ã Chữỡng 3: KhĂi niằm Ôo hm theo hữợng a tr cĐp hai v cĂc tẵnh chĐt cừa chúng ã Chữỡng 4: CĂc iÃu kiằn cƯn tối ữu cĐp hai vợi hiằn tữủng envelope-like ã Chữỡng 5: CĂc iÃu kiằn tối ÷u õ c§p hai Ch÷ìng 1: Mët sè cỉng cử giÊi tẵch Lipschitz a phữỡng khổng trỡn v cĂc khĂi niằm và cĂc têp tiáp xúc cĐp mởt v cĐp hai N v R lƯn lữủt l cĂc têp hủp cĂc số tỹ nhiản v số thỹc Vợi khỉng gian ành chu©n X , X ∗ l èi ngău topo cừa of X ; h., i l tẵch ối ngău k.k l chuân khổng gian nh chuân b§t ký v d(y, S) l kho£ng c¡ch tø iºm y án têp S Bn (x, r) = {y ∈ Rn : kx − yk < r}; Sn = {y ∈ Rn : kyk = 1}; Sn∗ = {y ∈ (Rn )∗ : kyk = 1}; L(X, Y ) l kỵ hiằu khổng gian cĂc Ănh xÔ tuyán tẵnh bà ch°n tø X v o Y , â X v Y l cĂc khổng gian nh chuân Vợi nõn C Rn , kỵ hiằu C = {c ∈ (Rn )∗ : hc∗ , ci ≥ 0, ∀c ∈ C} l nân èi cüc cõa C Vỵi A Rn , cĂc kỵ hiằu riA, intA, clA, bdA, convA, coneA v LinA lƯn lữủt l phƯn tữỡng ối, phƯn trong, bao õng, biản, bao lỗi, bao nõn cừa A v khổng gian tuyán tẵnh sinh bi A Vỵi t > v r ∈ N, o(tr ) l kỵ hiằu cừa mởt im phử thuởc vo t cho o(tr )/tr → t → 0+ Chúng ta hÂy nhợ lÔi mởt số nh nghắa sau Ơy nh xÔ f : Rn X , â X l khỉng gian gian ành chu©n, ữủc gồi l khÊ vi cht tÔi x Rn náu nõ cõ Ôo hm Frchet f (x) tÔi x v limy→x,t→0+ suph∈Sn k (f (y + th) − f (y)) − f (x)hk = t Vợi hm Lipschitz a phữỡng f : Rn Rm , Jacobian suy rởng Clarke cừa f tÔi x ữủc ành ngh¾a bði ∂f (x) = conv{limf (xk ) : xk ∈ Ω, xk → x}, â f khÊ vi , vợi l têp trũ mêt bi nh lỵ Rademacher Mởt vi tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa Jacobian suy rởng Clarke ữủc liằt kả mằnh · sau ¥y M»nh · 1.1 ([7]) Cho f : R n Rm l hm Lipschitz a phữỡng tÔi x Khi õ, (i) f (x) l têp compôc lỗi kh¡c réng L(Rn , Rm ); (ii) ∂f (x) l têp mởt im náu v ch náu f l khÊ vi cht tÔi x: f (x) = {f (x)}; (iii) ∂f (x) = {limk→∞ vk : vk ∈ ∂f (xk ), xk → x}, nâi c¡ch kh¡c (v¼ f (x) l compôc), Ănh xÔ f (.) l nỳa liản tửc trản tÔi x; (iv) ( nh lỵ giĂ tr trung bẳnh Lebourg) náu f l Lipschitz a phữỡng mởt lƠn cên lỗi U cừa x v a, b ∈ U , th¼ f (b) − f (a) ∈ conv(∂f ([a, b])(b − a)) v m = 1, tỗn tÔi mởt im c (a, b) cho f (b) − f (a) ∈ ∂f (c)(b − a) Giớ Ơy, ta nhưc lÔi cĂc khĂi niằm và cĂc nõn tiáp xúc v têp tiáp xúc cĐp hai s ữủc sỷ dửng phƯn sau nh nghắa 1.2 Cho x , u ∈ R n v M ⊂ Rn (a) Nõn contingent cừa M tÔi x0 l T (M, x0 ) = {v ∈ Rn : ∃tk → 0+ , ∃vk → v, ∀k ∈ N, x0 + tk vk ∈ M } (b) Nân ti¸p xúc cừa M tÔi x0 l IT (M, x0 ) = {v ∈ Rn : ∀tk → 0+ , ∀vk → v, ∀k õ lỵn, x0 + tk vk M } (c) Têp contingent cĐp hai cừa M tÔi (x0 , u) l T (M, x0 , u) = {w ∈ Rn : ∃tk → 0+ , ∃wk → w, ∀k ∈ N, x0 + tk u + 12 t2k wk ∈ M } (d) Nân ti¸p xúc cĐp hai tiằm cên cừa M tÔi (x0 , u) l 00 T (M, x0 , u) = {w ∈ Rn : ∃(tk , rk ) → (0+ , 0+ ) : tk /rk → 0, ∃wk → w, ∀k ∈ N, x0 + tk u + 12 tk rk wk M } (e) Têp kà cĐp hai cừa M tÔi (x0 , u) l A2 (M, x0 , u) = {w ∈ Rn : ∀tk → 0+ , ∃wk → w, ∀k ∈ N, x0 + tk u + 21 t2k wk ∈ M } (f) Tªp tiáp xúc cĐp hai cừa M tÔi (x0 , u) l IT (M, x0 , u) = {w ∈ Rn : ∀tk → 0+ , ∀wk → w, ∀k õ lỵn, x0 + tk u + 12 t2k wk ∈ M } M»nh · sau ¥y tâm tt mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa cĂc têp tiáp xúc cĐp hai trản Mằnh à 1.3 Cho M R , x n ∈ Rn v u ∈ Rn Khi â, (i) IT (M, x0 , u) ⊂ A2 (M, x0 , u) ⊂ T (M, x0 , u) ⊂ clcone[cone(M − x0 ) − u]; (ii) náu u T (M, x0 ), thẳ T (M, x0 , u) = Náu, thảm nỳa, M l lỗi, intM 6= v u T (M, x0 ), th¼ (xem [15, 24, 28]) (iii) intcone(M − x0 ) = IT (intM, x0 ); (iv) náu A2 (M, x0 , u) 6= , thẳ IT (M, x0 , u) = intA2 (M, x0 , u), clIT (M, x0 , u) = A2 (M, x0 , u); (v) n¸u u ∈ cone(M − x0 ), th¼ (a) IT (M, x0 , u) = intcone[cone(M − x0 ) − u]; (b) A2 (M, x0 , u) = clcone[cone(M − x0 ) − u] Chữỡng 2: KhĂi niằm hm l-ờn nh vổ hữợng cụng nhữ vectỡ v mởt số tẵnh chĐt cừa chúng Hm h : Rn → Rm ÷đc gåi l ên ành tÔi x Rn náu tỗn tÔi mởt lƠn cên U cõa x v ϑ > cho, vỵi måi y ∈ U , kh(y) − h(x)k ≤ ϑky xk nh nghắa 2.1 ([2, 12]) (i) Ôo hm theo hữợng dữợi (tữỡng ựng, trản) cừa hm : Rn R tÔi x theo hữợng u ữủc nh ngh¾a bði ϕl (x, u) = lim inf t→0+ (ϕ(x + tu) − ϕ(x)) t (t÷ìng ùng, ϕu (x, u) = lim supt→0+ (ϕ(x + tu) − ϕ(x))) t (ii) H m ϕ ÷đc gåi l l-ên ành (t÷ìng ựng, u-ờn nh) tÔi x náu tỗn tÔi mởt lƠn cªn U cõa x v ϑ > cho, vỵi måi y ∈ U v u ∈ Sn , (2.1) |ϕl (y, u)−ϕl (x, u)| ≤ ϑky −xk (t÷ìng ùng, |ϕu (y, u) − ϕu (x, u)| ≤ ϑky xk) (2.2) Mởt số tẵnh chĐt cừa hm l-ờn ành ϕ : R → R ÷đc tâm tt m»nh · sau n M»nh · 2.2 (i) ([2, 4]) H m l-ên ành l Lipschitz àa ph÷ìng v kh£ vi cht (ii) ([12]) l l-ờn nh tÔi x náu v ch náu l khÊ vi (Frchet) tÔi x v tỗn tÔi mởt lƠn cên U cừa x cho l Lipschitz trản U , v tỗn tÔi ϑ > cho 0 kϕ (y) − (x)k ky xk hƯu hát U (theo ngh¾a ë o Lebesgue) (iii) ([12]) C¡c kh¡i ni»m l-ên ành v u-ên ành l t÷ìng ÷ìng; hìn núa lƠn cên U v hơng số ữủc Ăp dửng gièng c¡c b§t ¯ng thùc (2.1) ho°c (2.2) Bði M»nh · 2.2 (iii), ph¦n sau ta ch¿ sỷ dửng Ôo hm theo hữợng dữợi v l-ờn nh, cỏn Ôo hm theo hữợng trản v u-ờn nh ữủc nhưc án cƯn thiát KhĂi niằm l-ờn nh ữủc m rởng cho cĂc hm vectỡ nhữ sau nh nghắa 2.3 ([3]) Ôo hm theo hữợng dữợi (tữỡng ựng, trản) cõa h m Φ : R ∗ m ∗ n → Rm tÔi x theo hữợng u ối vợi (R ) ữủc nh nghắa bi l (x, u) = lim inf t→0+ hξ ∗ , Φ(x + tu) − Φ(x)i t (t÷ìng ùng, Φuξ∗ (x, u) = lim supt→0+ hξ ∗ , Φ(x + tu) − Φ(x)i) t Tẵnh chĐt giĂ tr trung bẳnh sau Ơy cho cĂc hm vectỡ liản tửc s cƯn án Mằnh à 2.4 ([3]) Cho h m Φ : R → Rm li¶n tửc trản mởt têp m U Rn chựa oÔn [a, b] v ξ ∗ ∈ (Rm )∗ Khi õ, tỗn tÔi cĂc im , (a, b) cho n Φlξ∗ (γ1 , b − a) ≤ hξ ∗ , Φ(b) − Φ(a)i ≤ Φlξ∗ (γ2 , b − a) ành ngh¾a 2.5 Cho h m Φ : R n ∗ → Rm v Γ = C ∗ ∩ Sm (i) ([3]) Gi£ sû C Rm l nõn lỗi, õng v nhồn vợi intC 6= ữủc gồi l l-ờn nh tÔi x theo nghắa cừa Bednarẵk-Pastor náu tỗn tÔi mởt lƠn cên U cõa x v ϑ > cho, vỵi måi y ∈ U , u ∈ Sn , v ξ ∗ ∈ Γ, |Φlξ∗ (y, u) − Φlξ∗ (x, u)| ≤ ϑky − xk (ii) ([12]) Φ ÷đc gåi l l-ờn nh tÔi x theo nghắa cừa Ginchev náu, vỵi måi ξ ∗ ∈ (R ) , h m vỉ hữợng (.) := h , (.)i l l-ờn nh tÔi x m Hin nhiản, náu hm vổ hữợng hay vectỡ f cõ Ôo hm Frchet f l ên ành, th¼ f l l-ên ành Mët v i tẵnh chĐt cừa cĂc hm vectỡ l-ờn nh ữủc têp hủp dữợi Ơy (xem [3, 12]) Mằnh à 2.6 (i) ([12]) : Rn Rm l l-ờn nh tÔi x theo nghắa cừa Ginchev náu v ch náu tỗn tÔi mởt lƠn cên U cừa x v > cho, vỵi måi y ∈ U , u ∈ Sn , v ξ ∗ ∈ (Rm )∗ , |Φlξ∗ (y, u) − Φlξ∗ (x, u)| ≤ ϑkξ ∗ kky − xk (ii) ([12]) Φ : Rn → Rm l l-ờn nh tÔi x theo nghắa cừa Ginchev náu v ch náu nõ khÊ vi Frchet tÔi x v tỗn tÔi mởt lƠn cên m U cừa x v ϑ > cho Φ l Lipschitz tr¶n U , v, vợi hƯu hát y U , 0 kΦ (y) − Φ (x)k ≤ ϑky − xk (iii) ([3, 12]) N¸u h m Φ : Rn → Rm l l-ờn nh tÔi x theo nghắa cừa Bednarẵk-Pastor hoc Ginchev, thẳ l Lipschitz a phữỡng tÔi x v khÊ vi cht tÔi x Sau Ơy, ta chựng minh rơng hai nh nghắa trản và l-ờn nh cho cĂc hm vectỡ l tữỡng ữỡng Mằnh à 2.7 Náu : R Rm l l-ờn nh tÔi x theo nghắa cừa Ginchev, thẳ bĐt ng thực nh nghắa và l-ờn nh cừa Bednarẵk-Pastor thọa mÂn Náu C l nhồn v intC 6= , thẳ hai nh nghắa trản l tữỡng ữỡng n Chựng minh Tứ Mằnh · 2.6 (i), ta suy r¬ng Φ l l-ên nh tÔi x theo nghắa cừa Ginchev náu v ch náu tỗn tÔi mởt lƠn cên U cừa x v ϑ > cho, vỵi måi ∗ y ∈ U, u ∈ Sn , v ξ ∗ ∈ Sm , |Φlξ∗ (y, u) − Φlξ∗ (x, u)| ≤ ϑky xk Vẳ thá, bĐt ng thực ny thọa mÂn cho Sm nhữ yảu cƯu nh nghắa cừa Bednarẵk-Pastor Ngữủc lÔi, giÊ sỷ C l nhån, intC 6= ∅ v b§t ¯ng thùc trản thọa mÂn cho Vẳ Lin = (Rm ) , vợi mồi i {1, 2, , m}, tỗn tÔi i,1 , ,i,r Γ v αi,1 , , αi,ri ∈ R i P ri ∗ ∗ ∗ m ∗ with ri = 1, , m cho ei = j=1 αi,j ξi,j , õ ei (R ) ữủc nh nghắa bi he∗i , xi = xi , vỵi x = (x1 , x2 , , xm ) Cho M = maxi,j |αi,j | v Φi l th nh ph¦n thù i cõa Vẳ l l-ờn nh tÔi x theo nghắa cừa Bednarẵk-Pastor, ta thĐy rơng lei (x, u) = Φue∗i (x, u) = he∗i , Φ (x)ui Vỵi måi y ∈ U, u ∈ Sn , v i ∈ {1, 2, , m}, ta câ Φli (y, u) − Φli (x, u) = Φle∗i (y, u) − Φle∗i (x, u) = lim inf t→0+ he∗i , (Φ(y + tu) − Φ(y)) − Φ (x)ui t Pri ∗ , (Φ(y + tu) − Φ(y)) − Φ (x)ui = lim inf t→0+ j=1 αi,j hξi,j t Pri l l ≥ − j=1 |αi,j ||Φξi,j ∗ (y, u) − Φξ ∗ (x, u)| ≥ −ϑ1 ky − xk, i,j â ϑ1 = mM ϑ Hìn núa, bði sü t÷ìng ÷ìng cõa c¡c kh¡i ni»m l-ên ành v u-ên ành, ta câ Φli (y, u) − Φli (x, u) ≤ Φue∗i (y, u) − Φue∗i (x, u) = lim supt→0+ he∗i , (Φ(y + tu) − Φ(y)) − Φ (x)ui t Pri ∗ = lim supt→0+ j=1 αi,j hξi,j , (Φ(y + tu) − Φ(y)) − Φ (x)ui t Pi u ≤ rj=1 |αi,j ||Φuξi,j ∗ (y, u) − Φξ ∗ (x, u)| ≤ ϑ1 ky − xk i,j Hai b§t ¯ng thùc Ôt ữủc trản chựng tọ rơng i l l-ờn nh tÔi x theo nghắa cừa Ginchev vợi mồi i = 1, , m Do â, h m vectì Φ l l-ên nh tÔi x Bi mằnh à trản, tứ Ơy và sau ta ch quan tƠm án khĂi niằm l-ờn nh theo nghắa cừa Ginchev 10 Bơng lêp luên tữỡng tỹ, ta Ôt ữủc g(x0 + tk uk + 21 t2k w) − g(x0 ) − tk g (x0 )u → z0 + g (x0 )w, tk /2 h(x0 + tk uk + 21 t2k w) − h(x0 ) − tk h (x0 )u → w0 + h (x0 )w = tk /2 V¼ h(x0 ) = v h (x0 )u = 0, tứ giợi hÔn sau cũng, ta suy r¬ng h(x0 + tk uk + 12 t2k w) t2k /2 Bi giÊ thiát dữợi chẵnh quy metric, vợi k lợn, tỗn tÔi yk H cho kx0 + tk uk + 21 t2k w − yk k ≤ µkh(x0 + tk uk + 21 t2k w)k + o(t2k ), v vẳ thá (x0 + tk uk + 21 t2k w − yk )/ 12 t2k → °t wk := (yk − x0 − tk uk )/ 12 t2k , ta ÷đc wk → w v x0 +tk uk + 12 t2k wk ∈ H (4.2) Mt khĂc, bi (4.1) v tẵnh chĐt Lipschitz cõa f v g , f (x0 + tk uk + 12 t2k wk ) − f (x0 ) − tk f (x0 )u 0 → y0 + f (x0 )w ∈ −intcone[C + f (x0 )u], tk /2 (4.3) g(x0 + tk uk + 21 t2k wk ) − g(x0 ) − tk g (x0 )u 0 → z0 +g (x0 )w ∈ IT (−K, g(x0 ), g (x0 )u).(4.4) t2k /2 0 V¼ IT (−intC, f (x0 )u) = −intcone(C + f (x0 )u) (bi Mằnh à 1.3 (iii)), (4.3) dăn án, vợi k lợn, f (x0 + tk uk + 12 t2k wk ) − f (x0 ) − tk f (x0 )u f (x0 )u + tk ∈ −intC , t2k /2 v â f (x0 +tk uk + 12 t2k wk )−f (x0 ) ∈ −intC (4.5) Mët c¡ch t÷ìng tü, bði (4.4) v nh nghắa cừa IT , vợi k õ lỵn ta câ g(x0 + tk uk + 12 t2k wk ) − g(x0 ) − tk g (x0 )u g(x0 ) + tk g (x0 )u + t2k ∈ −K t2k /2 Do â, g(x0 + tk uk + 12 t2k wk ) ∈ −K (4.6) C¡c cæng thùc (4.2), (4.5) v (4.6) mƠu thuăn vợi giÊ thiát và x0 00 (iii) Vợi w T (M, x0 , u), tỗn tÔi (tk , rk ) (0+ , 0+ ) : tk /rk → 0, v xk ∈ M cho wk := (xk − x0 − tk u)/ 12 tk rk → w Bði M»nh · 3.4 (iii), ta câ f (xk ) − f (x0 ) − tk f (x0 )u → f (x0 )w tk rk /2 17 0 N¸u f (x0 )w ∈ intcone[C + f (x0 )u], thẳ, vợi k ừ lợn, f (xk ) − f (x0 ) − tk f (x0 )u ∈ −intC , f (x0 )u + rk tk rk /2 i·u n y suy r¬ng f (xk ) − f (x0 ) ∈ intC : mƠu thuăn Lữu ỵ rơng kát luên cừa nh lỵ 4.2 nõi và tĐt cÊ cĂc im thuởc têp D2 (f, g, h)(x0 , u) lợn hỡn têp d2 (f, g, h)(x0 , u) ữủc dũng nh lỵ 4.2 cừa [13], vẳ thá kát quÊ cừa chúng tổi mÔnh hỡn Hỡn nỳa, nh lỵ 4.2 m rëng c¡c M»nh · 3.5 cõa [5] v 4.1 cõa [19], m ch¿ x²t tr÷íng hđp h = v g (x0 )u K(g(x0 )) Ôt ữủc tứ nh lỵ 4.2 mởt dÔng ối ngău theo cĂc nhƠn tỷ Lagrange, ta kỵ hiằu têp hủp cĂc nhƠn tû Fritz John bði Λ(x0 ) := {(c∗ , k ∗ , h∗ ) ∈ (Rm )∗ × (Rp )∗ × (Rr )∗ : (c∗ , k ∗ , h∗ ) 6= (0, 0, 0), c∗ ◦ f (x0 )+ 0 k ∗ ◦ g (x0 ) + h∗ ◦ h (x0 ) = 0, c∗ ∈ C ∗ , k ∗ ∈ N (−K, g(x0 ))} Ta cƯn nh lỵ tĂch sau Ơy Bờ à 4.3 ([27], nh lỵ 20.2) Cho C , C Rn l cĂc têp lỗi cho C1 l a diằn Khi õ, tỗn tÔi mởt siảu phng tĂch riảng C1 v C2 v khỉng chùa C2 n¸u v ch¿ n¸u C1 riC2 = nh lỵ 4.4 Cho intC and intK khĂc rộng v cĂc giÊ thiát (vợi (i), (ii) v (iii)) cừa nh lỵ 4.2 thọa mÂn, v x0 l nghiằm yáu a phữỡng cừa (P) Khi õ, (i) tỗn tÔi (c , k , h ) ∈ Λ(x0 ) cho (c∗ , k ∗ ) 6= (0, 0); (ii) vỵi måi u ∈ Rn vợi (f, g, h) (x0 )u [C ì clK(g(x0 )) \ int(C × K(g(x0 )))] × {0}, v (y0 , z0 , w0 ) ∈ D2 (f, g, h)(x0 , u), tỗn tÔi (c , k , h∗ ) ∈ Λ(x0 ) cho hc∗ , y0 i + hk ∗ , z0 i + hh∗ , w0 i ≥ supk∈A2 (−K,g(x0 ),g0 (x0 )u) hk ∗ , ki, v náu, thảm nỳa, ã h = 0, thẳ (c , k ) 6= (0, 0); ã iÃu kiằn chẵnh quy cĐp hai (TRu ) (g, h) (x0 )Rn − T (T (−K, g(x0 )), g (x0 )u) × {0} = Rp × Rr , thọa, thẳ c 6= 0; 00 (iii) náu w T (M, x0 , u), thẳ tỗn tÔi c ∈ C ∗ \ {0} vỵi hc∗ , f (x0 )ui = cho hc∗ , f (x0 )wi 0 Chựng minh (i) Bi nh lỵ 4.2 (i), ¡p dưng Bê · 4.3 vỵi C1 = (f, g, h) (x0 )Rn v C2 = −int[C ×K(g(x0 ))]×{0}, ta câ (c∗ , k ∗ , h∗ ) (Rm ) ì(Rp ) ì(Rr ) vợi (c , k ∗ , h∗ ) 6= (0, 0, 0) v α ∈ R cho, ∀(y, z, t) ∈ (f, g, h) (x0 )Rn , ∀(c, k) ∈ −(C × K(g(x0 ))), hc∗ , yi+hk ∗ , zi+hh∗ , ti ≥ α, (4.7) hc∗ , ci + hk ∗ , ki ≤ α (4.8) v si¶u ph¯ng H := {(y, z, t) ∈ Rm × Rp × Rr ) : hc∗ , yi + hk ∗ , zi + hh∗ , ti = α} khæng chùa C2 Vẳ (f, g, h) (x0 )Rn v C ì K(g(x0 )) l c¡c nân, α = Khi â (4.7) suy 0 r¬ng c∗ ◦ f (x0 ) + k ∗ ◦ g (x0 ) + h∗ ◦ h (x0 ) = Cho k = (4.8) ta Ôt ữủc 18 c C °t c = (4.8) ta câ k ∗ ∈ K(g(x0 ))∗ = N (−K, g(x0 )) V¼ si¶u ph¯ng H khỉng chùa C2 , (c∗ , k ∗ ) 6= (0, 0) (ii) Gi£ sû A2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u) 6= ∅ (n¸u khỉng, kát quÊ l tƯm thữớng) Theo nh lỵ 4.2 (ii), ¡p dưng Bê · 4.3 vỵi C1 = (f, g, h) (x0 )Rn +(y0 , z0 , w0 ) v C2 = −intcone[C + 0 f (x0 )u] × IT (−K, g(x0 ), g (x0 )u) × {0}, ta Ôt ữủc (c , k , h ) ∈ (Rm )∗ × (Rp )∗ × (Rr )∗ vỵi (c∗ , k ∗ , h∗ ) 6= (0, 0, 0) v α ∈ R cho, vỵi måi (y, z, t) ∈ (f, g, h) (x0 )Rn , w ∈ 0 −intcone[C + f (x0 )u] v k ∈ IT (−K, g(x0 ), g (x0 )u), hc∗ , yi + hk ∗ , zi + hh∗ , ti + hc∗ , y0 i + hk ∗ , z0 i + hh∗ , w0 i ≥ α, (4.9) hc∗ , wi+hk ∗ , ki ≤ α (4.10) v siảu phng H ữủc nh nghắa nhữ trản khổng chựa C2 Vẳ (f, g, h) (x0 )Rn l khæng gian con, tø (4.9) ta câ, vỵi måi (y, z, t) ∈ (f, g, h) (x0 )Rn , hc∗ , yi + hk ∗ , zi + hh∗ , ti = 0, 0 v vẳ thá c f (x0 ) + k ◦ g (x0 ) + h∗ ◦ h (x0 ) = v hc∗ , y0 i+hk ∗ , z0 i+hh∗ , w0 i ≥ α (4.11) V¼ −intcone[C +f (x0 )u] l nân, (4.10) suy r¬ng hc∗ , wi ≤ 0, vỵi måi w ∈ −intcone[C + 0 f (x0 )u], m suy r¬ng c∗ ∈ C ∗ v hc∗ , f (x0 )ui = Cho w hëi tư ¸n gèc (4.10), ta câ hk ∗ , ki ≤ α, vỵi måi k ∈ IT (−K, g(x0 ), g (x0 )u), v nhữ thá, vợi mồi k A2 (K, g(x0 ), g (x0 )u) (xem M»nh · 1.3 (iv)) iÃu ny vợi (4.11) suy rơng hc , y0 i + hk ∗ , z0 i + hh∗ , w0 i ≥ supk∈A2 (−K,g(x0 ),g0 (x0 )u) hk , ki thĐy rơng (c , k , h ) (x0 ) nhữ yảu cƯu, ta quan s¡t tø M»nh · 3.1 [8], 0 A2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u) + T (T (−K, g(x0 )), g (x0 )u) ⊂ A2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u) 0 Do â, hk ∗ , k+k1 i ≤ α, vỵi k ∈ A2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u) v k1 ∈ T (T (−K, g(x0 )), g (x0 )u) V¼ T (T (−K, g(x0 )), g (x0 )u) l nân, tø cæng thùc (2.110) [6] suy r¬ng 0 k ∗ ∈ −[T (T (−K, g(x0 )), g (x0 )u)]∗ = {k ∗ ∈ N (−K, g(x0 )) : hk ∗ , g (x0 )ui = 0} (4.12) B¥y gií, gi£ sû h = N¸u (c∗ , k ∗ ) = (0, 0), th¼ bði (4.9) v (4.10), α = v â si¶u ph¯ng H chùa C2 : mƠu thuăn GiÊ sỷ iÃu kiằn (TRu ) thọa mÂn, tực l, vợi mồi (y, z) Rp ì Rr , tỗn tÔi x Rn v 0 k ∈ T (T (−K, g(x0 )), g (x0 )u) cho (g, h) (x0 )x − (k, 0) = (y, z) Do â, 0 h(k ∗ , h∗ ), (y, z)i = hk ∗ , g (x0 )xi + hh∗ , h (x0 )xi − hk ∗ , ki Náu c = 0, thẳ vá phÊi cừa ng thực trản bơng hk , ki, vẳ (c , k ∗ , h∗ ) ∈ Λ(x0 ) Bði (4.12) hk ∗ , ki ≤ V¼ (y, z) l tũy ỵ, (k , h ) = (0, 0): mƠu thuăn (iii) iÃu ny suy tứ nh lỵ 4.2 (iii) v nh lỵ tĂch thổng thữớng Sau Ơy l hằ quÊ trỹc tiáp cừa nh lỵ 4.4 h = H» qu£ 4.5 Cho c¡c gi£ thiát cừa nh lỵ 4.4 thọa mÂn, h = 0, v x a phữỡng cừa (P) Khi õ, (i) têp sau Ơy khĂc rộng: 19 l nghiằm yáu 0 Λ1 (x0 ) := {(c∗ , k ∗ ) ∈ (Rm )∗ × (Rp )∗ : (c∗ , k ∗ ) 6= (0, 0), c∗ ◦ f (x0 ) + k ∗ ◦ g (x0 ) = 0, c∗ ∈ C ∗ , k ∗ ∈ N (−K, g(x0 ))}; (ii) vỵi måi u ∈ Rn vỵi (f, g) (x0 )u ∈ −[C×clK(g(x0 ))\ int(C × K(g(x0 )))] v (y0 , z0 ) ∈ D2 (f, g)(x0 , u), tỗn tÔi (c , k ) (x0 ) cho hc∗ , y0 i + hk ∗ , z0 i ≥ supk∈A2 (−K,g(x0 ),g0 (x0 )u) hk , ki, v c 6= náu, thảm nỳa, iÃu kiằn chẵnh quy sau Ơy thọa (TR1u ) 0 g (x0 )Rn − T (T (−K, g(x0 )), g (x0 )u) = Rp ; 00 (iii) náu w T (M, x0 , u), thẳ tỗn tÔi c C \ {0} vợi hc , f (x0 )ui = cho ∗ hc , f (x0 )wi Lữu ỵ (i) Khng nh (iii) cĂc nh lỵ 4.2 v 4.4 (v H» qu£ 4.5) óng cho c¡c h m g v h tũy ỵ Hỡn nỳa, náu ta t thảm giÊ thiát trản (g, h) nhữ sau: (g, h) l l-ờn nh tÔi x0 v dữợi chẵnh quy metric theo hữợng tÔi (x0 , u) ối vợi K ì {0}, thẳ khng nh (iii) tr nản mÔnh hỡn v ữủc diạn tÊ theo g v h nhữ sau: náu g (x0 )w ∈ 00 0 T (−K, g(x0 ), g (x0 )u) v h (x0 )w = 0, thẳ tỗn tÔi c C \ {0} vợi hc∗ , f (x0 )ui = 0 cho hc∗ , f (x0 )wi ≥ Thªt vªy, ¡p dửng Mằnh à 4.6 dữợi Ơy vợi (g, h) thay vẳ g v K ì {0} thay vẳ K , vợi M = (g, h)1 (K ì {0}) = G ∩ H v bði ành ngh¾a cõa 00 T , ta câ 00 00 T (M, x0 , u) = {w ∈ Rn : (g, h) (x0 )w ∈ T (−K × {0}, (g, h)(x0 ), (g, h) (x0 )u)} 00 0 = {w ∈ Rn : g (x0 )w ∈ T (−K, g(x0 ), g (x0 )u), h (x0 )w = 0} (ii) M°c dò ta  biát biu thực sau Ơy xuĐt hiằn nh lỵ 4.4 l khổng dữỡng: supkA2 (K,g(x0 ),g0 (x0 )u) hk ∗ , ki ≤ 0, (4.13) ta muèn ữa lới giÊi thẵch ỡn giÊn vẳ tƯm quan trång cõa nâ Bði M»nh · 1.3 (i), ta câ 0 A2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u) ⊂ clcone[cone(−K − g(x0 )) − g (x0 )u] M°c kh¡c (xem phƯn cuối cừa php chựng minh nh lỵ 4.4 (ii) v M»nh · 2.5 (ii) [15]), 0 k ∗ ∈ −[T (T (−K, g(x0 )), g (x0 )u)]∗ = −[clcone(cone(−K − g(x0 )) − g (x0 )u)]∗ iÃu ny dăn án (4.13) Cổng thực ny phÊn Ănh hiằn tữủng envelop-like, bi vẳ nõ cõ th thọa mÂn nhữ l bĐt ng thực cht Supremum (4.13) triằt tiảu (v giống trữớng hủp cờ in) náu ∈ A2 (−K, g(x0 ), g (x0 )u) °c bi»t, i·u n y x£y n¸u ta x²t c¡c i·u kiằn cƯn cĐp hai ch cho hữợng u Rn vỵi g (x0 )u ∈ cone(−K − g(x0 )) = −K(g(x0 )) (xem M»nh · 1.3 (v) (b)), nh÷ nhi·u tĂc giÊ thỹc hiằn Tuy nhiản, nh lỵ 4.4 xt hữợng u vợi g (x0 )u clcone(K g(x0 )) = clK(g(x0 )) Nghắa l, hiằn tữủng envelop-like x£y cho c¡c iºm u lê hêng bao õng dữớng nhữ nhọ ny Chúng ta nhĐn mÔnh rơng khổng cõ hiằn tữủng envelop-like xÊy cho g (x0 )u ∈ −K(g(x0 )), c£ iºm n y nơm trản biản Hỡn nỳa, náu K l têp a diằn, thẳ K(g(x0 )) l õng, v vẳ thá cụng khỉng câ hi»n t÷đng envelop-like x£y H» qu£ 4.5 m rởng nh lỵ 4.1 cừa [19] v nh lỵ 3.1 cõa [5], x²t th¶m c¡c iºm u lờ hờng nõi trản v xÊy hiằn tữủng Hỡn núa, n¸u h = (h1 , , hr ) kh£ vi c§p hai 20 ... vi cht (trong cĂc iÃu kiằn tối ữu cƯn) hay l-ờn nh (trong cĂc iÃu kiằn tối ữu ừ) thiát lêp cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp hai mợi vợi tẵnh chĐt envelope-like ữủc lm ró hỡn cho bi toĂn quy hoÔch... Chữỡng m Ưu Lỵ chồn à ti Trong quy hoÔch toĂn hồc, v tờng quĂt hỡn tối ữu hõa, cĂc iÃu kiằn tối ữu cĐp hai chiám mởt v trẵ quan trồng, vẳ nõ cung cĐp thổng tin thảm quan cho cĂc iÃu kiằn tối ữu... hữợng a tr cĐp hai v cĂc tẵnh chĐt cừa chúng + CĂc iÃu kiằn cƯn tối ữu cĐp hai vợi hiằn tữủng envelope-like cho cĂc nghiằm yáu a phữỡng cừa (P) + CĂc iÃu kiằn tối ữu ừ cĐp hai cho cĂc nghiằm