ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN QUỐC CƯỜNG VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH KHI ĐẠO HÀM CỦA ĐA THỨC CHUNG NHAU MỘT HÀM NHỎ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN QUỐC CƯỜNG VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH KHI ĐẠO HÀM CỦA ĐA THỨC CHUNG NHAU MỘT HÀM NHỎ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TRẦN PHƯƠNG THÁI NGUYÊN - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, kết nghiên cứu trình bày luận văn trung thực, khách quan không trùng lặp với đề tài khác công bố Việt Nam Tôi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Quốc Cường i LỜI CẢM ƠN Với tình cảm chân thành lịng biết ơn sâu sắc, tơi xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Hà Trần Phương trực tiếp hướng dẫn khoa học tận tình giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm Lãnh đạo phịng đào tạo, đặc biệt thầy trực tiếp quản lý đào tạo sau đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K24 (20162018) Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khố học Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến đồng nghiệp, bạn bè tồn thể gia đình, người thân động viên thời gian nghiên cứu đề tài Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Quốc Cường ii ▼ö❝ ❧ö❝ ▼ð ✤➛✉ tự ỡ s tr ỵ tt ❜è ❣✐→ trà ✶ ✸ ✶✳✶✳ ❈→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ ỡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✷ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✶✷ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✹✾ ✺✵ ✷✳✶✳ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❜ê s✉♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✷✳✷✳ ❱➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✷✳✸✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ỵ tứ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ▼ð ✤➛✉ ❱➜♥ ✤➲ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü ①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ →♥❤ ①↕ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ↔♥❤ ♥❣÷đ❝ ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥ t❤✉ ❤ót ✤÷đ❝ sü q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ tr♦♥❣ ✈➔ ♥❣♦➔✐ ữợ P rss t ữủ ♥❤✐➲✉ ❦➳t q✉↔ q✉❛♥ trå♥❣✳ ◆➠♠ ✶✾✷✻✱ ❘✳ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥➳✉ ❤❛✐ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ f, g ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♥➠♠ ❣✐→ trà ♣❤➙♥ ❜✐➺t t❤➻ trò♥❣ ♥❤❛✉✳ ❑➳t q✉↔ ♥➔② ❝õ❛ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ t❤➜② ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ♣❤ù❝ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët ❝→❝❤ ❞✉② ♥❤➜t →♥❤ ①↕ ♥❣÷đ❝✱ ❦❤ỉ♥❣ ❦➸ ❜ë✐✱ ❝õ❛ ♥➠♠ ❣✐→ trà ♣❤➙♥ ❜✐➺t✳ ổ tr ổ ữủ ỗ ❝❤♦ ❝→❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü ①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❤❛✐ ❤➔♠ →♥❤ ①↕ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ❱➲ s❛✉✱ ✈➜♥ ✤➲ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ sü ①→❝ ✤à♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❤❛✐ →♥❤ ①↕ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ t❤ỉ♥❣ q✉❛ ↔♥❤ ♥❣÷đ❝ ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥ t❤✉ ❤ót ✤÷đ❝ sü q✉❛♥ t➙♠ ❝õ❛ ♥❤✐➲✉ t tr ữợ ởt ữủ ữ r rss õ ỗ t↕✐ ❤❛② ❦❤æ♥❣ ♠ët t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥ S ✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ E (S, f ) = E (S, g) ❦➨♦ t❤❡♦ f = g❄✳ ❚r♦♥❣ t❤ü❝ t➳ ❝➙✉ ❤ä✐ ❝õ❛ rss õ t ữủ t ữ s ỗ t↕✐ ❤❛② ❦❤ỉ♥❣ ✤❛ t❤ù❝ P s❛♦ ❝❤♦ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ ❝➠♣ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤→❝ ❤➡♥❣ f ✈➔ g t❛ ❝â f = g ♥➳✉ P (f ) ✈➔ P (g) ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ❣✐→ trà ❦➸ ❝↔ ❜ë✐❄✳ ❱➜♥ ✤➲ ♥➔② ✤➣ ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët ❝→❝❤ ❧✐➯♥ tư❝ ♠↕♥❤ ♠➩ ✈ỵ✐ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ▼✳ ▲✳ ❋❛♥❣ ✈➔ ❲✳ ▲✳ ❍♦♥❣✱ ❲✳ ❈✳ ▲✐♥ ✈➔ ❍✳ ❳✳ ❨✐✳✳✳ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❣➛♥ ✤➙② ❝â ♠ët sè t→❝ ❣✐↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♣❤ù❝ ✈➔ p−❛❞✐❝ ❦❤✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠ët ❤➔♠ ♥❤ä ✭①❡♠ ❬✷❪✱❬✸❪✱❬✶✶❪✮✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ♠ỵ✐ ❝õ❛ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ❝ỉ♥❣ ❜è tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❣➛♥ ✤➙② ✈➲ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ tr÷í♥❣ sè ♣❤ù❝ ✈➔ p−❛❞✐❝✱ ❦❤✐ ❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝ f P (f ) ✈➔ g P (g) ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠ët ❤➔♠ ♥❤ä ✤÷đ❝ ❝ỉ♥❣ ❜è ❜ð✐ ❜❛ t→❝ ❣✐↔ ❆✳ ❊s❝❛ss✉t✱ ❑✳❇♦✉ss❛❢✱ ❏✳ ❖❥❡❞❛✳ ✶ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✱ ữỡ ợ t ởt số ỡ tr ỵ tt ố tr ỗ ỵ ỡ tr ỵ tt tr tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♣❤ù❝ ✈➔ tr÷í♥❣ ❤đ♣ p−❛❞✐❝ ❝ị♥❣ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ❝❤✉➞♥ ❜à✳ ❚r♦♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✷✱ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❦❤✐ f P (f ) ✈➔ g P (g) ởt ọ rữợ tr➻♥❤ ❜➔② ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ ❚æ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ P●❙✳❚❙ ❍➔ r Pữỡ ữớ t t ữợ tổ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳ ❚ỉ✐ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ tỵ✐ t♦➔♥ t❤➸ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❣✐→♦ tr♦♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ ❞↕② ❜↔♦ tæ✐ t➟♥ t➻♥❤ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ t↕✐ ❦❤♦❛✳ ◆❤➙♥ ❞à♣ ♥➔② ❚ỉ✐ ❝ơ♥❣ ①✐♥ ✤÷đ❝ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ tỵ✐ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧✱ ✤➣ ❧✉ỉ♥ ❜➯♥ tỉ✐✱ ❝ê ✈ơ✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tèt ♥❣❤✐➺♣✳ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ♥❣➔② ✶✾ t❤→♥❣ ✵✽ ♥➠♠ ✷✵✶✼ ❚→❝ ●✐↔ ◆❣✉②➵♥ ◗✉è❝ ❈÷í♥❣ ✷ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❈→❝ tự ỡ s tr ỵ tt ố tr rữớ ủ ự ợ ộ sè t❤ü❝ x > 0✱ ❦➼ ❤✐➺✉✿ log+ x = max{log x, 0} ❑❤✐ ✤â log x = log+ x − log+ (1/x) ❇➙② ❣✐í t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤➔♠ ✤➳♠✱ ❤➔♠ ①➜♣ ①➾✱ ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤✳ ❈❤♦ f ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ DR ✈➔ ♠ët sè t❤ü❝ r > 0✱ tr♦♥❣ ✤â < R ≤ ∞, r < R✳ ❉➵ t❤➜② 2π 2π 2π log f (reiϕ ) dϕ = 2π ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ❍➔♠ 2π f (reiϕ ) dϕ − 2π log+ log+ dϕ f (reiϕ ) 2π m(r, f ) = 2π log+ f (reiϕ ) dϕ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ❤➔♠ f ✳ ❑➼ ❤✐➺✉ n(r, 1/f ) ❧➔ sè ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❦➸ ❝↔ ❜ë✐✱ n(r, 1/f ) ❧➔ sè ❦❤æ♥❣ ✤✐➸♠ ❦❤æ♥❣ ❦➸ ❜ë✐ ❝õ❛ f ✱ n(r, f ) ❧➔ sè ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❦➸ ❝↔ ❜ë✐✱ n(r, f ) ❧➔ sè ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❦❤æ♥❣ ❦➸ ❜ë✐ ❝õ❛ f tr♦♥❣ Dr ✳ ❱ỵ✐ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ❦✱ nk (r, f ) ❧➔ sè ✸ ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❜ë✐ ❝❤➦♥ ❜ð✐ k ❝õ❛ f ✭tù❝ ❧➔ ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❜ë✐ l > k ❝❤➾ ✤÷đ❝ t➼♥❤ k ❧➛♥ tr♦♥❣ tê♥❣ nk (r, f ) tr♦♥❣ Dr ✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳ ❍➔♠ r N (r, f ) = n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ✤➳♠ ❦➸ ❝↔ ❜ë✐ ❝õ❛ f ✭❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ✤➳♠ t↕✐ ❝→❝ ❝ü❝ ✤✐➸♠✮✳ ❍➔♠ r n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t N (r, f ) = ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ✤➳♠ ❦❤æ♥❣ ❦➸ ❜ë✐✳ ❍➔♠ r nk (r, f ) − nk (0, f ) + nk (0, f ) log r t Nk (r, f ) = ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ✤➳♠ ❜ë✐ ❝❤➦♥ ❜ð✐ k✱ tr♦♥❣ ✤â n(0, f ) = lim n(t, f )❀ t→0 n(0, f ) = lim n(t, f )❀ nk (0, f ) = lim nk (r, f )✳ ❙è k tr♦♥❣ nk (r, f ) ✤÷đ❝ t→0 t→0 ❣å✐ ❧➔ ❝❤➾ sè ❜ë✐ ❜à ❝❤➦♥✳ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉✿ 1 Z(r, f ) = N (r, ); Z(r, f ) = N (r, ); Zk (r, f ) = Nk (r, ) f f f ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳ ❍➔♠ T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ) ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ f ✳ ❈→❝ ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣ T (r, f ) ❤➔♠ ①➜♣ ①➾ m(r, f ) ✈➔ ❤➔♠ ✤➳♠ N (r, f ) ỡ tr ỵ t❤✉②➳t ♣❤➙♥ ❜è ❣✐→ trà✱ ♥â ❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ ỵ tt ự q ỳ tố t ỵ s tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ①➜♣ ①➾✱ ❤➔♠ ✤➳♠✱ ❤➔♠ ✤➦❝ tr÷♥❣✳ ✹ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳ ❈❤♦ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ f1, f2, , fp✱ ❦❤✐ ✤â ✿ p (1) p fν ) ≤ m(r, ν=1 p (2) ν=1 p fν ) ≤ m(r, ν=1 p (3) fν ) ≤ N (r, fν ) ≤ N (r, N (r, fν ); ν=1 p fν ) ≤ T (r, ν=1 p (6) N (r, fν ); ν=1 p ν=1 p (5) m(r, fν ); ν=1 p ν=1 p (4) m(r, fν ) + log p; T (r, fν ) + log p; ν=1 p fν ) ≤ T (r, ν=1 T (r, fν ) =1 ỵ A(C) ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ C✱ M(C) ❧➔ tr÷í♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr➯♥ C✳ ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳ ❈❤♦ f, g ∈ M(C), a ∈ C ✈➔ P (f ) ∈ C[x] ❧➔ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ❜➟❝ q ✳ ❑❤✐ ✤â T (r, f + g) ≤ T (r, f ) + T (r, g) + O(1), T (r, f g) ≤ T (r, f ) + T (r, g), T (r, f − a) = T (r, f ) + O(1), T (r, ) = T (r, f ) + O(1), f T (r, P (f )) = qT (r, f ) + O(1) ❇ê ✤➲ ✶✳✸✳ ❈❤♦ f, g ∈ M(C), ❦❤✐ ✤â Z(r, f − a) ≤ T (r, f ) + O(1), ∀a ∈ C, m(r, f g) ≤ m(r, f ) + m(r, g), N (r, f ) = N (r, f ) + N (r, f ), Z(r, f ) ≤ Z(r, f ) + N (r, f ) + Sf (r) ✺ ✭✷✳✶✺✮ s✉② r❛ (n + k + 1)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤5(T (r, f ) + T (r, g)) + (5 − k2 )(Z(r, f − a2 ) + Z(r, g − a2 )) l (4 − ki )((Z(r, f − ) + i=3 + Z(r, g − ))) + 5(N (r, f ) + N (r, g)) + k(T (r, f ) + T (r, g)) + 6T (r, α) − log r + O(1), ✭✷✳✶✻✮ ❞♦ ✤â (n + k + 1)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤10(T (r, f ) + T (r, g)) l (4 − ki )((Z(r, f − ) + Z(r, g − ))) + i=3 + (5 − k2 )((Z(r, f − a2 ) + Z(r, g − a2 )) + k(T (r, f ) + T (r, g)) + 6T (r, α) − log r + O(1)), ❞♦ ✤â n(T (r, f ) + T (r, g)) ≤9(T (r, f ) + T (r, g)) + (5 − k2 )((Z(r, f − a2 ) l + Z(r, g − a2 )) + (4 − ki )((Z(r, f − ) i=3 + Z(r, g − ))) + 6T (r, α) − log r + O(1)) ✭✷✳✶✼✮ ❑❤✐ ✤â (5 − k2)(Z(r, f − a2) + Z(r, g − a2)) ≤ max(0, − k2)(T (r, f ) + T (r, g)) + O(1) ✈➔ ➼t ♥❤➜t ✈ỵ✐ ♠é✐ i = 3, , l✱ t❛ ❝â (4 − ki )(Z(r, f − ) + Z(r, g − )) ≤ max(0, − ki )(T (r, f ) + T (r, g)) + O(1) ❇➙② ❣✐í ❣✐↔ sû s5 > 0✳ ✣✐➲✉ ✤â ❝â ♥❣❤➽❛ r➡♥❣ ki 5✱ ∀i = 3, , u5 ✈ỵ✐ l 5✳ ❈❤ó♥❣ t❛ t❤➜② r➡♥❣ ❝❤➾ sè i ❧ỵ♥ ❤ì♥ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ s❛♦ ❝❤♦ ki u5 ữỡ tỹ ợ ộ m > 5✱ ❝❤➾ sè ❝❛♦ ❤ì♥ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ s❛♦ ❝❤♦ ki m ❧➔ um − 1✳ ✸✼ ●✐↔ sỷ E = Cp ỵ õ t❛ ❝â u5 Z(r, f − ) (u5 − 3)T (r, f ) − log r + 0(1) i=3 ✈➔ ✈ỵ✐ ♠é✐ m 6✱ um Z(r, g − ) (um − 2)T (r, g) − log r + O(1), i=3 ❤♦➦❝ ❤♦➦❝ u5 Z(r, f − ) s5 T (r, f ) − log r + O(1), Z(r, g − ) sm T (r, g) − log r + O(1), i=3 um i=3 tr ỵ ✷✳✾✱ ✷✳✶✵✱ ✷✳✶✶✳ ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ✭✷✳✶✼✮ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â n(T (r, f ) + T (r, g)) ≤9(T (r, f ) + T (r, g)) + max(0, − k2 )(Z(r, f − a2 ) l + Z(r, g − a2 )) + max(0, − ki )(Z(r, f − ) i=3 ∞ + Z(r, g − )) − sm (T (r, f ) + T (r, g)) m=5 ✭✷✳✶✽✮ + 6T (r, α) − log r + O(1), ✈➻ ✈➟② ∞ l n ≤ + max(5 − k2 ) + max(0, − ki ) − i=3 sm , m=5 ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❣✐↔ tt ỵ tr ỵ r ỵ t õ T (r, α) ≤ log r + O(1) ✈➔ tr♦♥❣ ỵ T (r, ) = õ t❤❡♦ ✸✽ ✭✷✳✽✮ ♥❣❤➽❛ ❧➔ n(T (r, f ) + T (r, g)) ≤9(T (r, f ) + T (r, g)) + max(0, − k2 )(Z(r, f − a2 ) l + Z(r, g − a2 )) + max(0, − ki )(Z(r, f − ) i=3 ∞ + Z(r, g − )) − sm (T (r, f ) + T (r, g)) m=5 − log r + O(1), ✈➻ ✈➟② ∞ l n < + max(0, − k2 ) + max(0, − ki ) − sm , m=5 i=3 ♥❤÷♥❣ ✤✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t ∞ l n + max(5 − k2 ) + max(0, − ki ) − min(2l, sm ) m=5 i=3 ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ①➨t tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♣❤ù❝✿ E = C✳ ❈è ✤à♥❤ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ð tr➯♥ ❝❤➾ t❤❛② t❤➳ ♠é✐ ❜✐➸✉ t❤ù❝ −q log r ❜ð✐ Sf,(r) + Sg (r)✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔② ❦❤ỉ♥❣ →♣ ❞ư♥❣ ỵ ú t ỵ ✷✳✶✳ ❱➻ ✈➟② u5 ((Z(r, f − ) + Z(r, g − ) (u5 − 4)(T (r, f ) + T (r, g)) i=3 = t5 (T (r, f ) + T (r, g)), um ((Z(r, f − ) + Z(r, g − ) (um − 3)(T (r, f ) + T (r, g)) i=3 = tm (T (r, f ) + T (r, g)) ❱➻ ✈➟② t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ∞ l n ≤ + max(5 − k2 ) + max(0, − ki ) i=3 t ỵ tm m=5 ố ũ t trữớ ủ tr ỵ N (r, f ) = N (r, g) = 0✱ t❤❡♦ ✭✷✳✶✻✮ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ (n + k + 1)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤5(T (r, f ) + T (r, g)) + (5 − k2 )(Z(r, f − a2 ) l + Z(r, g − a2 )) + (4 − ki )((Z(r, f − ) i=3 + Z(r, g − ))) + k(T (r, f ) + T (r, g)) + 6T (r, α) + Sf (r) + Sg (r) ▼➦t ❦❤→❝ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ỵ f g ❣✐í ❧➔ ❤➔♠ ♥❣✉②➯♥✱ t❛ ❝â u5 Z(r, f − ) (u5 − 3)T (r, f ) = s5 T (r, f ), Z(r, g − ) (u5 − 3)T (r, g) = s5 T (r, g), i=3 u5 i=3 um ((Z(r, f − ) (um − 2)T (r, f ) = sm T (r, f ), i=3 um Z(r, g − ) ❉♦ ✤â✱ (um − 2)T (r, g) = sm T (r, g) i=3 ∞ l n + k + ≤ + k + max(0, − k2 ) + max(0, − ki ) − m=1 i=3 ✈➻ ✈➟② ∞ l n ≤ + max(0, − k2 ) + sm , max(0, − ki ) − sm , m=1 i=3 ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝õ❛ ✣à♥❤ ỵ ữ tr tt ỵ ự r F,G ỗ t ổ ứ õ ú t õ t❤➸ ❣✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ ΨF,G = tr♦♥❣ ♠é✐ ✣à♥❤ ỵ ữ ỵ r ú t õ t t F,G = φ φ ✈ỵ✐ φ = ( (F F− 1)2 )( (G G− 1) ✹✵ ) ❱➻ ΨF,G = tỗ t A, B E s A = + B, G−1 F −1 ✈➔ A = ú ỵ r Z(r, f ) T (r, f ), N (r, f ) ≤ T (r, f )Z(r, f − ) ≤ T (r, f − ) ≤ T (r, f ) + 0(1), i = 2, , l, ✈➔ Z(r, f ) ≤ T (r, f ) ≤ 2T (r, f ) + 0(1) ❚÷ì♥❣ tü ❝❤♦ g ✈➔ g ✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ E = Cp t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✹ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â T (r, F ) (n + k)T (r, f ), ✭✷✳✷✵✮ ♥➳✉ E = C✱ t❛ ❝â T (r, F ) (n + k)T (r, f ) − m(r, ✭✷✳✷✶✮ ) + Sf (r) f ❈❤ó♥❣ t❛ s➩ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ F = G tr♦♥❣ ♠é✐ ✣à♥❤ ỵ t ú t t r t tt tt tr ỵ t õ n + k 2l + tr ỵ ✷✳✶✸✱ t❛ ❝â n + k 2l + ✭✷✳✷✸✮ ❚❛ ①➨t ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣✿ B = ✈➔ B = 0✳ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ❇❂ ✵ ●✐↔ sû A = 1✳ ❙❛✉ ✤â t❤❡♦ ✭✷✳✶✾✮✱ t❛ ❝â F = AG + (1 − A)✳ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ E = Cp ✳ ỵ F t õ T (r, F ) ≤Z(r, F ) + Z(r, F − (1 − A)) + N (r, F ) − log r + O(1) l ≤Z(r, f ) + l Z(r, f − ) + Z(r, f ) + Z(r, g) + i=2 Z(r, g − ) i=2 + Z(r, g ) + N (r, f ) − log r + O(1) ✹✶ ✭✷✳✷✹✮ ❚❤❡♦ ✭✷✳✷✵✮ ✈➔ ✭✷✳✷✹✮✱ t❛ ❝â (n + k)T (r, f ) ≤Z(r, F ) + Z(r, F − (1 − A)) + N (r, F ) − log r + O(1) l Z(r, f − ) + Z(r, f ) + Z(r, g) ≤Z(r, f ) + i=2 l Z(r, g − ) + Z(r, g ) + N (r, f ) − log r + O(1) + i=2 ✭✷✳✷✺✮ ❚❤❡♦ ✭✷✳✷✺✮✱ t❛ ❝â (n + k)T (r, f ) ≤Z(r, F ) + Z(r, F − (1 − A)) + N (r, F ) − log r + O(1) l ≤Z(r, f ) + Z(r, f − ) + Z(r, f ) + Z(r, g) i=2 l Z(r, g − ) + Z(r, g ) + N (r, f ) − log r + O(1), + i=2 ✈➻ ✈➟② l (n + k)T (r, f ) ≤Z(r, f ) + l Z(r, f − ) + Z(r, g) + i=2 Z(r, g − ) i=2 + N (r, f ) + Z(r, g ) + Z(r, f ) − log r + O(1) ✭✷✳✷✻✮ ❑❤✐ ✤â✱ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✹✱ t❛ rót r❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤➙② tø ✭✷✳✷✻✮ (n + k)T (r, f ) ≤ (l + 3)T (r, f ) + (l + 2)T (r, g) − log r + O(1) ✭✷✳✷✼✮ ❱➻ f ✈➔ g ❝ị♥❣ ♠ët ❣✐↔ t❤✐➳t✱ t❛ ❝ơ♥❣ ❝â (n + k)T (r, g) ≤ (l + 3)T (r, g) + (l + 2)T (r, f ) − log r + O(1) ✭✷✳✷✽✮ ❉♦ ✤â✱ ❦➳t ❤ñ♣ ✭✷✳✷✼✮ ✈➔ ✭✷✳✷✽✮✱ t❛ ❝â (n + k)[T (r, f ) + T (r, g)] ≤ (2l + 5)[T (r, f ) + T (r, g)] − log r + O(1), ✈➻ ✈➟② n + k < 2l + ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ✭✷✳✷✸✮ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ A B = tr ỵ ✹✷ = ✭✷✳✷✾✮ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ①↔② r❛ ❦❤✐ ❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ①➨t tr÷í♥❣ ❤đ♣ E = C✳ ❚❤❡♦ ✭✷✳✷✶✮✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â (n + k)T (r, f ) ≤Z(r, F ) + Z(r, F − (1 − A)) + N (r, F ) + m(r, l ≤Z(r, f ) + ) + SF (r) f )Z(r, g) f Z(r, f − ) + Z(r, f ) + m(r, i=2 l Z(r, g − ) + Z(r, g ) + N (r, f ) + Sf (r) + Sg (r) + i=2 Ð ✤➙② ❝❤ó♥❣ t❛ ♥❤➟♥ t❤➜② Z(r, f ) + m(r, 1 ) ≤ T (r, ) = T (r, f ) + O(1), f f ❞♦ ✤â l (n + k)T (r, f ) ≤Z(r, f ) + l Z(r, f − ) + Z(r, g) + i=2 Z(r, g − ) i=2 + N (r, f ) + Z(r, g ) + T (r, f ) + Sf (r) + Sg (r) ✭✷✳✸✵✮ ❑❤✐ ✤â ①➨t ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ✭✷✳✸✵✮✱ t÷ì♥❣ tü t❛ s✉② r❛ (n + k)T (r, f ) ≤ (l + 3)T (r, f ) + (l + 2)T (r, g) + Sf (r) + Sg (r) ✭✷✳✸✶✮ ❱➻ f ✈➔ g t❤ä❛ ♠➣♥ ❝ò♥❣ ♠ët ❣✐↔ t❤✐➳t✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â (n + k)T (r, g) ≤ (l + 3)T (r, g) + (l + 2)T (r, f ) + Sf (r) + Sg (r) ✭✷✳✸✷✮ ❉♦ ✤â ❦➳t ❤ñ♣ ✭✷✳✸✶✮ ✈➔ ✭✷✳✸✷✮✱ t❛ ❝â (n + k)[T (r, f ) + T (r, g)] ≤ (2l + 5)[T (r, f ) + T (r, g)] + Sf (r) + Sg (r), ❞♦ ✤â n + k ≤ 2l + 5✱ ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ✭✷✳✷✸✮ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ A = ❧➔ ❦❤æ♥❣ ①↔② r❛ B = tr ỵ t trữớ ủ tr ỵ tt ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â ∞ l k1 + max(0, − k2 ) + max(0, − ki ) − min(2l, sm ), m=5 i=3 ❞♦ ✤â ∞ n+k 10 + 4(l − 2) − ∞ sm = 4l + − m=5 ✹✸ sm m=5 ❱➻ N (r, f ) = N (r, g) = 0, sû ❞ö♥❣ ỵ t t õ u5 Z(r, f − ) (u5 − 3)T (r, f ) + Sf (r) + Sg (r), Z(r, g − ) (um − 2)T (r, g) + Sf (r) + Sg (r), i=3 ✈➔ ✈ỵ✐ m 6✱ um i=3 ❤♦➦❝ u5 Z(r, f − ) s5 T (r, f ) + Sf (r) + Sg (r) Z(r, g − ) sm T (r, g) + Sf (r) + Sg (r) i=3 ✈➔ um i=3 ❇➙② ❣✐í✱ t❤❡♦ ✭✷✳✶✻✮ t❛ ❝â (n + k + 1)(T (r, f ) + T (r, g)) ≤5(T (r, f ) + T (r, g)) + (5 − k2 )(Z(r, f − a2 ) + Z(r, g − a2 )) l (4 − ki )(Z(r, f − ) + Z(r, g − )) + k(T (r, f ) + i=3 + T (r, g)) + Sf (r) + Sg (r), ✈➻ ✈➟② ∞ n + k ≤ + 4(l − 2) − ∞ sj = 2l + − j=5 sm , m=5 ♠➙✉ t❤✉➝♥ ❣✐↔ t❤✐➳t n + k 2l + ỵ ✤â✱ ❣✐↔ t❤✐➳t A = ❧➔ s❛✐ ❦❤✐ B = 0✳ ❇➙② ❣✐í ❝❤ó♥❣ t❛ ❣✐↔ sû B = ✹✹ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ B = ❳➨t tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➛✉ t✐➯♥ ❦❤✐ E = Cp✱ tù❝ ❧➔✱ tr♦♥❣ ✣à♥❤ ỵ tr ỵ ❚❤❡♦ ✭✷✳✷✵✮ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â Z(r, F ) + Z(r, G) + N (r, F ) + N (r, G) l ≤Z(r, f ) + l Z(r, f − ) + Z(r, f ) + Z(r, g) + i=2 Z(r, g − ) i=2 + Z(r, g ) + N (r, f ) + N (r, g) + 4T (r, α) + O(1) ≤(l + 1)[T (r, f ) + T (r, g)] + T (r, f ) + T (r, g ) + 6T (r, α) + O(1) ≤(l + 3)(T (r, f ) + T (r, g)) + 6T (r, α) − log r, ❞♦ ✤â t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✹✱ Z(r, F ) + Z(r, G) + N (r, F ) + N (r, G) ≤(l + 3)(T (r, f ) + 6T (r, α) ✭✷✳✸✸✮ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t❤❡♦ ✭✷✳✶✾✮✱ T (r, F ) = T (r, G) + O(1) ✈➔ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✹✱ t❛ − log r + O(1)) ❝â (T (r, F ) + T (r, α)) + O(1) n+k ✈➔ T (r, g) ≤ n +1 k (T (r, G) + T (r, α)) + O(1) T (r, f ) ≤ ❉♦ ✤â✱ (T (r, F ) + T (r, α)) + O(1), n+k ✭✷✳✸✹❛✮ Z(r, F ) + Z(r, G) + N (r, F ) + N (r, G) 2l + 2l + ≤ T (r, F ) + + T (r, α) − log r + O(1) n+k n+k ✭✷✳✸✹❜✮ T (r, f ) + T (r, g) ≤ ❇➙② ❣✐í✱ t tt tr ỵ ✷✳✶✶ t❤❡♦✭ ✷✳✷✷✮✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â n + k 2l + 7✳ ❉♦ ✤â t❤❡♦ q✉❛♥ ❤➺ ✭✷✳✸✹❜✮ t❛ ❝â Z(r, F ) + Z(r, G) + N (r, F ) + N (r, G) 2l + 2l + ≤ T (r, F ) + + T (r, α) + O(1), 2n + 2n + ✹✺ ✭✷✳✸✺✮ ✈➔ t÷ì♥❣ tü Z(r, F ) + Z(r, G) + N (r, F ) + N (r, G) 2l + 2l + T (r, G) + + T (r, α) + O(1), ≤ 2n + 2n + ✭✷✳✸✻✮ ✈➻ ✈➟② lim sup( r→∞ Z(r, F ) + Z(r, G) + N (r, F ) + N (r, G) ) < max(T (r, F ), T (r, G)) ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ỵ ú t ❝â F = G✱ ❤♦➦❝ F G = 1✳ ●✐↔ sû F G = 1✳ ❑❤✐ ✤â f P (f )g P (g) = ữ tr ỵ ✷✳✾✱ ✷✳✶✵✱ ✷✳✶✶✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❣✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ n = k + ✈➔ ♥➳✉ l = 2✱ t❤➻ n = 2k, 2k + 1, 3k + ✈➔ ♥➳✉ l = t❤➻ n = k, 3k2 − k, 3k3 k õ t ỵ ✷✳✼✳ ❉♦ ✤â ❣✐↔ t❤✐➳t F G = ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ ①↔② r❛ ✈➔ ❞♦ ✤â ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â F = G✳ ❇➙② ❣✐í ①➨t tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❦❤✐ E = C tự tr ỵ ự tữỡ tỹ ợ trữớ ủ E = Cp✳ ❚❛ ❝â l Z(r, F ) ≤ Z(r, f ) + Z(r, f − ) + Z(r, f ) + Sf (r), i=2 N (r, F ) ≤ N (r, f ) + Sf (r), ✈➔ t÷ì♥❣ tü ❝❤♦ G✱ ✈➻ ✈➟② ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ s✉② r❛ Z(r, F ) + Z(r, G) + N (r, F ) + N (r, G) l ≤Z(r, f ) + l Z(r, f − ) + Z(r, f ) + Z(r, g) + i=2 Z(r, g − ) i=2 + Z(r, g ) + N (r, f ) + N (r, g) + Sf (r) + Sg (r) ✭✷✳✸✼✮ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t❤❡♦ ✭✷✳✶✾✮✱ T (r, F ) = T (r, G) + 0(1) ✈➔ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✹✱ t❛ ❝â 1 T (r, F ) + Sf (r) ✈➔ T (r, g) ≤ T (r, G) + Sg (r) T (r, f ) ≤ n+k n+k ❉♦ ✤â✱ ≤(l + 2)[T (r, f ) + T (r, g)] + Sf (r) + Sg (r) T (r, f ) + T (r, g) ≤ T (r, F ) + Sf (r) + Sg (r) n+k ✹✻ ◆❤÷ ✈➟②✱ ✭✷✳✸✼✮ ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ Z(r, F ) + Z(r, G) + N (r, F ) + N (r, G) ≤ 2l + T (r, F ) + Sf (r) + Sg (r) n+k ❇➙② ❣✐í✱ ♥❤÷ tr♦♥❣ ❝→❝ ỵ ú t õ t tr n + k 2l + tr ỵ ✷✳✶✷✳ ❉♦ ✤â✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ Z(r, F ) + Z(r, G) + N (r, F ) + N (r, G) ≤ 2l + T (r, F ) + Sf (r) + Sg (r) 2n + ✈➔ t÷ì♥❣ tü Z(r, F ) + Z(r, G) + N (r, F ) + N (r, G) ≤ 2l + T (r, G) + Sf (r) + Sg (r), 2l + ❞♦ ✤â t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✾ ❧↕✐ ♠ët ❧➛♥ ♥ú❛✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â F = G ❤♦➦❝ F G = 1✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❤❡♦ ỵ ữ tr ỵ tt ỵ trứ trữớ ❤ñ♣ F G = ✈➔ ❞♦ ✤â F = G t tr trữớ ủ ỵ ❦➳t ❤ñ♣ ✭✷✳✸✼✮ ♥❣❤➽❛ ❧➔ Z(r, F ) + Z(r, G) ≤ (l + 2)[T (r, f ) + T (r, g)] + Sf (r) + Sg (r) ✭✷✳✸✽✮ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t❤❡♦ ✭✷✳✶✾✮✱ T (r, F ) = T (r, G) + 0(1) ✈➔ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✹✱ t❛ ❝â T (r, f ) ≤ 1 T (r, F ) + Sf (r) ✈➔ T (r, g) ≤ T (r, G) + Sg (r) n+k n+k ❉♦ ✤â✱ T (r, F ) + Sf (r) + Sg (r) n+k T (r, f ) + T (r, g) ≤ ◆❤÷ ✈➟② ✭✷✳✸✼✮ ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ l Z(r, F ) + Z(r, G) ≤Z(r, f ) + Z(r, f − ) + Z(r, f ) + Z(r, g) i=2 l Z(r, g − ) + Z(r, g ) + Sf (r) + Sg (r) + i=2 ≤4 [T (r, f ) + T (r, g)] + Sf (r) + Sg (r) ❱➻ ✈➟②✱ Z(r, F ) + Z(r, G) ≤ 2l + T (r, F ) + Sf (r) + Sg (r), n+k ✹✼ ❞♦ ✤â t❤❡♦ ✭✷✳✷✸✮ t❛ ❝â Z(r, F ) + Z(r, G) ≤ 2l + T (r, F ) + Sf (r) + Sg (r) 2l + ▼ët ❝→❝❤ t÷ì♥❣ tü✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ F = G ❤♦➦❝ F G = ữ t ỵ F G = ❧➔ ❦❤æ♥❣ t❤➸ ①↔② r❛✳ ❉♦ ✤â F = G✳ ữ tr ỵ t ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ F = G✱ tù❝ ❧➔ f P (f ) = g P (g)✳ ❑➳t q✉↔ ❧➔ P (f ) − P (g) ❧➔ ❤➡♥❣ sè C ✳ ❑❤✐ ✤â ❜➡♥❣ ❇ê ✤➲ ✷✳✽✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✶ tr ỵ ú t ❝â P (f ) = P (g)✳ ❚÷ì♥❣ tü t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✽✱ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷ ✈➔ tr♦♥❣ ❝→❝ ✣à♥❤ ỵ ú t õ P (f ) = P (g) ố ũ tr ộ ỵ P ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ❞✉② ♥❤➜t ❝❤♦ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ❤➔♠ ❝❤ó♥❣ t❛ ✤❛♥❣ ①➨t✳ ❉♦ ✤â✱ f = g✳ ✹✽ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ❦❤✐ ❤❛✐ ✤❛ t❤ù❝ ❝❤ù❛ ✤↕♦ ❤➔♠ ❜➟❝ ♥❤➜t ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❝❤✉♥❣ ởt ọ ữỡ ợ t ởt số ỡ tr ỵ tt ố tr ỗ ỵ ỡ tr ỵ tt tr trữớ ủ ự trữớ ủ p−❛❞✐❝ ❝ò♥❣ ♠ët sè ❦➳t q✉↔✱ ❇ê ✤➲ ✈➲ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝➛♥ t❤✐➳t ✤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ✷✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➜♥ ✤➲ ❞✉② ♥❤➜t ❦❤✐ f P (f ) ✈➔ g P (g) ❝❤✉♥❣ ♥❤❛✉ ♠ët ❤➔♠ ♥❤ä tr♦♥❣ ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♣❤ù❝ trữớ ủ p t ỵ ỵ ú t tr trữớ ủ p ỵ ỵ ú t ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♣❤ù❝✳ ✹✾ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ❆◆✱ ❚✳ ❚✳ ❍✳✱ ❉■❊P✱ ◆✳ ❚✳ ◆✳ ✭✷✵✶✸✮✱ ✧●❡♥✉s ♦♥❡ ❢❛❝t♦r ♦❢ ❝✉r✈❡s ❞❡♥❡❞ ❜② s❡♣❛r❛t❡❞ ✈❛r✐❛❜❧❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s✧✱ ❏✳ ◆✉♠❜❡r✳ ❚❤❡♦r②✱ ✶✸✸✱ ♣♣ ✷✻✶✻✲✷✻✸✹✳ ❬✷❪ ❇❖❯❙❙❆❋✱ ❑✳✱ ❊❙❙❈❆❙❙❯❚✱ ❆✳✱ ❖❏❊❉❆✱ ❏✳ ✭✷✵✶✷✮✱ ✧♣✲❛❞✐❝ ♠❡r♦✲ ♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❢✬P✬✭❢✮✱ ❣✬P✬✭❣✮ s❤❛r✐♥❣ ❛ s♠❛❧❧ ❢✉♥❝t✐♦♥✧✱ ❇✉❧❧❡t✐♥ ❞❡s ❙❝✐❡♥❡s ▼❛t❤❡s♠❛t✐q✉❡s✱ ✶✸✻✭✷✮✱ ♣♣ ✶✼✷✲✷✵✵ ❬✸❪ ❇❖❯❙❙❆❋✱ ❑✳✱ ❊❙❙❈❆❙❙❯❚✱ ❆✳✱ ❖❏❊❉❆✱ ❏✳ ✭✷✵✶✸✮✱ ✧❈♦♠♣❧❡① ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❢✬P✬✭❢✮✱ ❣✬P✬✭❣✮ s❤❛r✐♥❣ ❛ s♠❛❧❧ ❢✉♥❝t✐♦♥✧✱ ■♥❞❛❣❛t✐♦♥❡s✱ ✷✹✭✶✮✱ ♣♣ ✶✺✲✹✶✳ ❬✹❪ ❇❖❯❚❆❇❆❆✱ ❆✳ ✭✶✾✾✵✮✱ ❚❤❡♦r✐❡ ❞❡ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ♣✲❛❞✐q✉❡✱ ▼❛♥✉s❝r✐♣t❛ ▼❛t❤✳✱ ✻✼✱ ♣♣ ✷✺✶✲✷✻✾✳ ❬✺❪ ❊❙❈❆❙❙❯❚✱ ❆✳✭✷✵✵✽✮✱ ✧P✲❛❞✐❝ ✈❛❧✉❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✱ ❙♦♠❡ ❚♦♣✐❝s ♦♥ ❱❛❧✉❡ ❉✐str✐❜✉t✐♦♥ ❛♥❞ ❉✐❢❢❡r❡♥t❛❜✐❧✐t② ✐♥ ❈♦♠♣❧❡① ❛♥❞ P✲❆❞✐❝ ❆♥❛❧✲ ②s✐s✧✱ ✹✷✲✶✸✽✳ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s ▼♦♥♦❣r❛♣❤✱ ❙❡r✐❡s ✶✶✱ ❙❝✐❡♥❝❡ Pr❡ss✱ ❇❡✐✲ ❥✐♥❣✳ ❬✻❪ ❋❯❏■▼❖❚❖✱❍✳✭✷✵✵✵✮✱ ✧❖♥ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ♠❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s s❤❛r✐♥❣ ❢✐♥✐t❡ s❡ts✧✱ ❆♠❡r✳❏✳▼❛t❤✳✱✶✷✷✭✻✮✱✶✶✼✺✲✶✷✵✸✳ ❬✼❪ ❍❆❨▼❆◆✱❲✳❑✳✭✶✾✼✺✮✱✧▼❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❋✉♥❝t✐♦♥s✧✱ ❖①❢♦r❞ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✳ ❬✽❪ ❍✉✱P✳❈✳ ❛♥❞ ❨❆◆●✱❈✳❈✳✭✷✵✵✵✮✱ ✧▼❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❋✉♥❝t✐♦♥s ♦✈❡r ◆♦♥✲ ❆r❝❤✐♠❡❞❡❛♥ ❋✐❡❧❞s✧✱ ❑❧✉✇❡r ❆❝❛❞❡♠✐❝ P✉❜❧✐s❤❡rs✳ ❬✾❪ ❍❯❆✱❳✱ ❨❆◆●✱❈✳❈✳ ✭✶✾✾✼✮✱ ✧❯♥✐q✉❡♥❡ss ❛♥❞ ✈❛❧✉❡✲s❤❛r✐♥❣ ♦❢ ♠❡r♦✲ ♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✧✱❆♥♥✳ ❆❝❛❞✳❙❝✐✳❋❡♥♥✳▼❛t❤✳✱✷✷✱✸✾✺✲✹✵✻✳ ✺✵ ❬✶✵❪ ❨■✱❍✳❳✳✱✭✶✾✾✺✮✱ ✧▼❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❢✉♥❝✐t✐♦♥s t❤❛t s❤❛r❡ ♦♥❡ ♦r t✇♦ ✈❛❧✲ ✉❡s✧✱ ❈♦♠♣❧❡① ❱❛r✐❛❜❧❡s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ✷✽✱✶✲✶✶✳ ❬✶✶❪ ❊❙❈❆❙❙❯❚✱ ❆✳✱ ❇❖❯❙❙❆❋✱ ❑✳✱ ❖❏❊❉❆✱ ❏✳ ✭✷✵✶✹✮✱ ✧❈♦♠♣❧❡① ❛♥❞ ♣✲❆❞✐❝ ▼❡r♦♠♦r♣❤✐❝ ❋✉♥❝t✐♦♥s ❢✬P✬✭❢✮✱ ❣✬P✬✭❣✮ ❙❤❛r✐♥❣ ❛ ❙♠❛❧❧ ❋✉♥❝✲ t✐♦♥✧✱ ❆♥❛❧✳ ❚❤❡♦r② ❆♣♣❧✳✱ ✸✵✱ ♣♣ ✺✶✲✽✶✳ ✺✶ ... HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN QUỐC CƯỜNG VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH KHI ĐẠO HÀM CỦA ĐA THỨC CHUNG NHAU MỘT HÀM NHỎ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC... truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khố học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến đồng nghiệp, bạn bè tồn thể gia đình, người thân động viên thời gian nghiên cứu đề tài Thái... trực tiếp hướng dẫn khoa học tận tình giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm Lãnh đạo phịng đào tạo, đặc biệt thầy trực tiếp quản lý đào tạo sau đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp