Luận văn thạc sĩ vấn đề duy nhất của hàm phân hình khi đạo hàm của đa thức chung nhau một hàm nhỏ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN QUỐC CƯỜNG VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH KHI ĐẠO HÀM CỦA ĐA THỨC CHUNG NHAU MỘT HÀM NHỎ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN QUỐC CƯỜNG VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH KHI ĐẠO HÀM CỦA ĐA THỨC CHUNG NHAU MỘT HÀM NHỎ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TRẦN PHƯƠNG THÁI NGUYÊN - 2018 c LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, kết nghiên cứu trình bày luận văn trung thực, khách quan không trùng lặp với đề tài khác công bố Việt Nam Tơi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Quốc Cường i c LỜI CẢM ƠN Với tình cảm chân thành lịng biết ơn sâu sắc, tơi xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Hà Trần Phương trực tiếp hướng dẫn khoa học tận tình giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm Lãnh đạo phòng đào tạo, đặc biệt thầy cô trực tiếp quản lý đào tạo sau đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K24 (20162018) Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức q báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khố học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến đồng nghiệp, bạn bè toàn thể gia đình, người thân động viên tơi thời gian nghiên cứu đề tài Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn Nguyễn Quốc Cường ii c Mửc lửc M Ưu CĂc kián thực cỡ s lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr 1.1 C¡c h m Nevanlinna 1.2 Hai nh lỵ cỡ b£n 10 V§n · nh§t cho hm phƠn hẳnh 12 KT LUN Ti liằu tham khÊo 49 50 2.1 Mët sè ki¸n thùc bê sung 12 2.2 V§n à nhĐt cho hm phƠn hẳnh 23 2.3 Chựng minh cĂc nh lỵ tứ 2.9 án 2.13 33 c M Ưu VĐn à nghiản cựu sỹ xĂc nh nhĐt cừa cĂc hm Ănh xÔ phƠn hẳnh thổng qua Ênh ngữủc cừa mởt têp hỳu hÔn thu hút ữủc sỹ quan tƠm nghiản cựu cừa cĂc nh toĂn hồc v ngoi nữợc G Polia, R Nevanlinna, F.Gross, v thu ữủc nhiÃu kát quÊ quan trồng Nôm 1926, R Nevanlinna  chựng minh náu hai hm phƠn hẳnh f, g chung nôm giĂ tr phƠn biằt thẳ trũng Kát quÊ ny cừa Nevanlinna cho thĐy mởt hm phƠn hẳnh phực ữủc xĂc nh mởt cĂch nhĐt Ănh xÔ ngữủc, khổng k bởi, cừa nôm giĂ tr phƠn biằt Cổng trẳnh ny cừa ữủc xem l nguỗn cho cĂc nghiản cựu sỹ xĂc nh nhĐt cừa hai hm Ănh xÔ phƠn hẳnh Và sau, vĐn à nghiản cựu sỹ xĂc nh nhĐt cừa hai Ănh xÔ phƠn hẳnh thổng qua Ênh ngữủc cừa mởt têp hỳu hÔn thu hút ữủc sü quan t¥m cõa nhi·u nh  to¡n håc v  ngoi nữợc Mởt vĐn à ữủc ữa bi F Gross õ l : Tỗn tÔi hay khổng mởt têp hỳu hÔn S , iÃu kiằn E (S, f ) = E (S, g) k²o theo f = g? Trong thỹc tá cƠu họi cừa F Gross cõ th ữủc phĂt biu nhữ sau: Tỗn tÔi hay khổng a thực P cho vợi bĐt kẳ côp phƠn hẳnh khĂc hơng f v g ta cõ f = g náu P (f ) v  P (g) chung gi¡ trà k cÊ bởi? VĐn à ny  ữủc nghiản cựu mởt cĂch liản tửc mÔnh m vợi nhỳng kát quÊ cõa M L Fang v  W L Hong, W C Lin v H X Yi thới gian gƯn Ơy cõ mởt số tĂc giÊ nghiản cựu vĐn à nhĐt cho cĂc hm phƠn hẳnh hai trữớng hủp phực v padic Ôo hm cừa hai a thực cừa cĂc hm phƠn hẳnh chung mởt hm nhọ (xem [2],[3],[11]) Mửc ẵch cừa à ti luên vôn l trẳnh by mởt số kát quÊ mợi cừa cĂc tĂc giÊ  cổng bố thới gian gƯn Ơy và cĂc hm phƠn hẳnh trản trữớng số phực v padic, hai a thùc f 0P 0(f ) v  g0P 0(g) chung mët h m nhä ÷đc cỉng bè bði ba t¡c gi£ A Escassut, K.Boussaf, J Ojeda c Luên vôn chia thnh hai chữỡng, Chữỡng giợi thiằu và mởt số vĐn à cỡ bÊn lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr bao gỗm hai nh lỵ cỡ bÊn lỵ thuyát Nevanlinna trữớng hủp phực v trữớng hủp padic mởt số kát quÊ chuân b Trong Chữỡng 2, trẳnh by vĐn à nhĐt f P (f ) v  g P (g) chung mởt hm nhọ Trữợc trẳnh by nởi dung chẵnh cừa luên vôn, Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi PGS.TS H TrƯn Phữỡng, ngữới  tên tẳnh hữợng dăn  tổi câ thº ho n th nh khâa luªn n y Tỉi cơng xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh tợi ton th cĂc thƯy cổ giĂo khoa ToĂn, Ôi hồc Sữ phÔm ThĂi Nguyản, Ôi hồc ThĂi Nguyản  dÔy bÊo tổi tên tẳnh suốt quĂ trẳnh hồc têp tÔi khoa NhƠn dp ny Tổi cụng xin ữủc gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh tợi gia ẳnh, bÔn b,  ln b¶n tỉi, cê vơ, ëng vi¶n, gióp ï tỉi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn tốt nghiằp ThĂi Nguyản, ngy 19 thĂng 08 nôm 2017 TĂc GiÊ Nguyạn Quốc Cữớng c Chữỡng CĂc kián thực cỡ s lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr 1.1 CĂc hm Nevanlinna Trữớng hủp phực Vợi méi sè thüc x > 0, k½ hi»u: log+ x = max{log x, 0} Khi â log x = log+ x log+ (1/x) BƠy giớ ta nh nghắa hm ám, hm xĐp x, hm c trững cừa mởt hm phƠn hẳnh Cho f l mởt hm phƠn hẳnh trản DR v  mët sè thüc r > 0, â < R , r < R Dạ thĐy 2π Z2π log L, tø ¥y max(Z(r, g), Z(r, h)) = max(Z(r, g − bh), Z(r, h)) = Z(r, h)) + O(1), t÷ìng ùng T (r, f ) = T (r, f − b) + O(1) L nh lỵ 2.3 ([11]) Cho f M(Cp) (t÷ìng ùng f ∈ M(d(0, R−))) v  a1 , , aq ∈ Cp l  ph¥n bi»t Khi â (q − 1)T (r, f ) ≤ q X Z(r, f − aj ) + O(1) j=1 Chùng minh Gi£ sû ph£n chùng Tùc l  f ∈ M(Cp) (t÷ìng ùng f ∈ M(d(0, R− ))) v  a1, a2, , aq cho (q − 1)T (r, f ) − q X Z(r, f aj ) j=1 dƯn tợi + Vẳ vêy, tỗn tÔi mởt dÂy khoÊng cĂch Js = [s, ys] cho ωs < ys < ωs+1 , lim ωs = +∞ (t÷ìng ùng lim ωs = R) v  s→+∞ s→+∞ lim ( inf (q − 1)T (r, f ) − s→+∞ r∈Js q X Z(r, f − aj )) = +∞ (2.1) j=1 Gi£ sû M = ∪∞s=0Js èi vỵi méi j = 1, , q, ta câ Z(r, f − ) ≤ T (r, f ) + O(1) R+ v vẳ vêy (2.1) ch rơng tỗn tÔi mởt ch số t v a dÂy kho£ng c¡ch In = [un, vn] M , cho un < < un+1, n→+∞ lim un = +∞ (t÷ìng ùng n→+∞ lim un = R) v  lim ( inf (T (r, f ) − Z(r, f − at )) = +∞ n→+∞ r∈In Gi£ sû L = ∪∞n=1In Khi â bði Bê · 2.3, L ta câ Z(r, g − ak h) = T (r, f ) + O(1), ∀k 6= t 17 c (2.2) Do â q X Z(r, f − aj ) > (q − 1)T (r, f ) + O(1) j=1 L, mƠu thuăn vợi (2.1) Do õ nh lỵ úng Chú þ 2.2 ([11]) ành lþ 2.3 l  ìn gi£n èi vợi cĂc hm giÊi tẵch, thêt vêy vợi hm f ∈ A(Cp) hay A(d(0, R−)) ta câ T (r, f ) = Z(r, f ) Mt khĂc nh lỵ ny khổng Ăp dửng cho cĂc hm phƠn hẳnh C Thêt vêy, xt mởt hm phƠn hẳnh f trản C bä hai gi¡ trà a v  b Ta câ Z(r, f − a) + Z(r, f − b) = Bê · 2.4 ([11]) Gi£ sû Q ∈ Cp[x] (t÷ìng ùng Q ∈ C[x]), câ bªc n v  gi£ sû f ∈ M(Cp), (t÷ìng ùng f ∈ M(d(0, R−)), t÷ìng ùng f ∈ M(C)) l  si¶u vi»t Khi â N (r, f ) = N (r, f ) + N (r, f ), Z(r, f ) ≤ Z(r, f ) + N (r, f ) + O(1), nT (r, f ) ≤ T (r, f Q(f )) ≤ (n + 2)T (r, f ) − log r + O(1), (t÷ìng ùng nT (r, f ) ≤ T (r, f Q(f )) ≤ (n + 2)T (r, f ) + O(1), t÷ìng ùng nT (r, f ) ≤ T (r, f Q(f )) + m(r, ) ≤ (n + 2)T (r, f ) + Sf (r)) f0 c biằt, náu f A(Cp ) (tữỡng ùng f ∈ A(d(0, R− ))), â nT (r, f ) ≤ T (r, f Q(f )) ≤ (n + 1)T (r, f ) − log r + O(1), (t÷ìng ùng nT (r, f ) ≤ T (r, f Q(f )) ≤ (n + 1)T (r, f ) + O(1)) 18 c Bê · 2.5 ([11]) Cho Q ∈ Cp[x] v  f, g ∈ A(Cp ) (t÷ìng ch°n Khi â f = g Au (d(0, R− ))) ùng f, g ∈ cho Q(f ) − Q(g) bà Chùng minh a thùc Q(X) − Q(Y ) ÷đc biu diạn dữợi dÔng (X Y )F (X, Y ) vỵi F (X, Y ) ∈ Cp [X, Y ] Vẳ Q(f ) Q(g) b chn, vẳ vêy cÊ hai yáu tố ny Ãu l nỷa chuân |.|(r) vợi php nhƠn trản A(Cp) (tữỡng ựng Au(d(0, R))) Do õ f g l mởt hơng số c (tữỡng ùng l  mët h m bà ch°n u ∈ Ab(d(0, R−))) Do â F (f, g) = F (f, f + c) (t÷ìng ùng F (f, g) = F (f, f + u)) Gi£ sû n = deg(Q) Khi â chóng ta câ thº kiºm tra r¬ng F (X, X + c) l  a thùc X bªc n − Do â n¸u f ∈ A(Cp), F (X, X + c) l hm nguyản khĂc hơng v õ khổng x¡c ành Cp T÷ìng tü, f ∈ (0, R−)), F (X, X + u) l  mët a thùc X bêc n vợi cĂc hằ số A(d(0, R−) v  â F (f, f + u) l  khæng x¡c ành d(0, R−), i·u ph£i chựng minh nh lỵ 2.4 ([11]) GiÊ sỷ P, Q ∈ Cp[x] thäa m¢n mët hai i·u ki»n sau: X X ki > s − m + 3), ki > s − m + (t÷ìng ùng ∈F X qj > (t÷ìng bj ∈F 00 ùng ∈F ” X qj > 3) bi ∈F ” Náu hai hm phƠn hẳnh f, g M(Cp) (tữỡng ùng f, g ∈ M(d(a, R−))) thäa m¢n P (f (x)) = Q(g(x)), x ∈ Cp (t÷ìng ùng x ∈ d(a, R)) thẳ cÊ f v g l hơng số (tữỡng ựng thuởc Mb(d(a, R))) nh lỵ 2.5 ([1]) GiÊ sû P, Q ∈ C[X] thäa m¢n mët hai i·u ki»n sau: X kj > s − m + 3, ∈F X bj qi > 3, ∈F 00 v  n¸u a thùc P (X) − Q(Y ) khổng cõ nhƠn tỷ chung bêc 1, õ khổng tỗn tÔi cĂc hm khĂc hơng f, g M(C) cho P (f (x)) − Q(g(x)) = 0, ∀x C Tứ nh lỵ 2.5 ta cõ th rút nh lỵ 2.6 19 c nh lỵ 2.6 ([11]) Gi£ sû P, Q ∈ C[X] thäa m¢n mët hai i·u ki»n sau: X ki > s − m + 3, ∈F X qj > bj F 00 Khi õ khổng tỗn tÔi cĂc hm khĂc h¬ng f, g ∈ M(C) cho P (f (x)) − Q(g(x)) = 0, ∀x ∈ C Chùng minh Gi£ sû F (X, Y ) = P (X) − Q(Y ) Vẳ C l mởt ng cĐu Ôi số vợi mởt trữớng siảu metric giống Cp (vợi p bĐt kẳ khổng nguyản tố), m khổng mĐt tẵnh tờng quĂt cõ th chuyn bi toĂn lản trữớng Cp Vẳ vêy, Ênh cừa a thực F Cp [X, Y ] l  a thùc F˜ (X, Y ) Nh÷ vêy, giÊ thiát P ki > s m + văn giỳ Cp v tữỡng tỹ, vợi a ∈F P P gi£ thi¸t qj > Gi£ sû ki > s m + Theo nh lỵ 2.5, khổng a F b F tỗn tÔi cĂc hm kh¡c h¬ng f, g ∈ M(C) cho P (f (x))−Q(g(x)) = Cư thº F˜ (X, Y ) khỉng nhên cĂc nhƠn tỷ chung bêc Cp[X, Y ] Những õ, F (X, Y ) khổng nhên cĂc nhƠn tỷ chung bêc C[X, Y ], hoc vẳ cĂc nhƠn tỷ ữủc bÊo ton bơng chuyn giao B¥y gií, chóng ta câ thº ¡p dưng ành lỵ 2.5 chựng minh rơng hai hm f, g ∈ M(C) thäa m¢n P (f (x)) − Q(g(x)) = 0, x C, thẳ chúng l hơng số nh ngh¾a 2.7 ([11]) Gi£ sû f ∈ M(C) cho f (0) 6= 0, ∞ Chóng ta biºu bði Z[2](r, f ) l hm ám tÔi cĂc khổng im bêc chn bi tực l tÔi mội khổng im, náu nhọ hỡn hoc bơng thẳ ám bơng số õ, náu lợn hỡn tẵnh bơng CĂc vĐn à sau Ơy Ăp dửng cho hai hm phực v hm phƠn hẳnh Mởt chựng minh ữủc ữa [2] vợi cĂc hm phƠn hẳnh p-adic v [3] ối vợi cĂc hm phƠn hẳnh phực i j 00 i Q nh lỵ 2.7 ([11]) Cho P (x) = (x−ai)n i=2 (x−ai )k l i l ∈ E[x] (ai 6= aj , ∀i 6= v  vỵi l > v  n > max{k2, , kl } v  k = P ki, gi£ sû f, g M(E) i=2 cõ giĂ tr siảu viằt (tữỡng ùng f, g ∈ M (d(a, R−))) v  θ = P (f )f ∩ P (g)g N¸u Mf (E) Mg (E), (tữỡng ựng náu θ ∈ Mf (d(a, R− )) ∩ j) 20 c Mg (d(a, R− ))) th¼ ta câ nhúng i·u sau : (a) náu l = thẳ n {k, k + 1, 2k, 2k + 1, 3k + 1} k (b) náu l = thẳ n { , k + 1, 2k, 2k + 1, 3k2 − k, 3k3 − k}, (c) n¸u l > thẳ n = k + Hỡn nỳa, náu f, g M(Cp) v náu l hơng số thẳ n = k + Hìn núa n¸u f, g ∈ A(E), th¼ θ 6∈ Af (E) Bê · 2.6 ([11]) Gi£ sû f ∈ M(Cp) (t÷ìng ùng f ∈ M(d0(0, R−)), t÷ìng ùng f ∈ M(C)) Khi â T (r, f ) − Z(r, f ) ≤ T (r, f ) − Z(r, f ) + 0(1) f P (f ) º ìn gi£n, ta câ thº gi£ sû a1 = °t F = α Rã r ng F v  G chung mët gi¡ trà k cÊ Vẳ f ,g l siảu viằt, ỵ án F v G g P (g) v  G = α °t ΨF,G F” 2F G” 2G0 = − − + F F −1 G G−1 Ta s³ chùng minh r¬ng theo cĂc giÊ thiát cừa cĂc nh lỵ, F,G l ỗng nhĐt khổng Bờ à 2.7 ([11]) GiÊ sỷ f, g ∈ M(C) (t÷ìng ùng f, g ∈ M(Cp)), chung mët gi¡ trà kº c£ bëi N¸u Ψf,g l  khỉng ỗng nhĐt khổng, õ max(T (r, f ), T (r, g)) ≤N[2] (r, f ) + Z[2] (r, f ) + N[2] (r, g) + Z[2] (r, g) + Sf (r) + Sg (r), (t÷ìng ùng max(T (r, f ), T (r, g)) ≤ N[2] (r, f )+Z[2] (r, f )+N[2] (r, g)+Z[2] (r, g)−6 log r) Bê · 2.8 ([11]) Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  si¶u vi»t (t÷ìng ùng f, g ∈ Mu (d(0, R− )), t÷ìng ùng f, g ∈ M(C)) Gi£ sû P (x) = xn+1Q(x) l  mët a thùc cho n > deg(Q) + (t÷ìng ùng n > deg(Q) + ) N¸u P (f )f = P (g)g th¼ P (f ) = P (g) 21 c Bê · 2.9 ([11]) Cho f, g ∈ M(E) (t÷ìng ùng f, g ∈ M(d(0, R−))) l  khỉng êi v  chung gi¡ trà kº c£ bëi Gi£ sû Ψf,g = v  lim r→+∞ Z(r, f ) + Z(r, g) + N (r, f ) + N (r, g) max(T (r, f ), T (r, g)) ! < 1, (t÷ìng ùng lim− r→R Z(r, f ) + Z(r, g) + N (r, f ) + N (r, g) max(T (r, f ), T (r, g)) ! < 1) Khi â ho°c f = g ho°c f g = M»nh · 2.1 ([11]) Cho P ∈ Cp[X] thäa m¢n giÊ thiát (G) v n > (tữỡng ựng n > 3) Náu hm phƠn hẳnh f, g M(Cp) (tữỡng ựng f, g M(d(a, R ))) thọa mÂn P (f (x)) = P (g(x))+C (C ∈ C∗p ), x Cp (tữỡng ựng x d(a, R)), thẳ cÊ f v g l hơng số (tữỡng ựng f v  g thuëc v o Mb (d(a, R− ))) Chùng minh GiÊ sỷ rơng hai hm f, g M(Cp) (tữỡng ùng f, g ∈ M(d(a, R− ))) thäa m¢n P (f (x)) = P (g(x)) + C(C ∈ Cp ), ∀x ∈ Cp (t÷ìng ùng ∀x ∈ d(a, R−)) Chóng ta cõ th Ăp dửng nh lỵ 2.4 bơng cĂch t Q(X) = P (X) + C Vẳ vêy, chóng ta câ h = l v  bi = , i = 1, , l Gi£ sû Γ l  ữớng cong cừa phữỡng trẳnh P (X) P (Y ) = C Theo gi£ thi¸t chóng ta câ n > 2, vẳ vêy l bêc > Do õ náu khổng cõ im kẳ d, nõ cõ giống > v õ, bơng nh lỵ Picard-Berkovich, kát luên l lêp tực Do õ câ thº gi£ ành r¬ng Γ l  câ mët iºm ìn (α, β) Nh÷ng sau â P 0(α) = P 0(β) = v  â (α, β) l  cõ dÔng (ah, ak ) Do õ, C = P (ah) − P (ak ) v  v¼ C 6= 0, chóng ta câ h 6= k Chóng ta s³ chùng minh r¬ng ho°c a1 ∈ F ho°c a1 ∈ F ” Gi£ sû a1 ∈/ F ∪ F Tứ a1 / F 0, tỗn tÔi i ∈ {2, , l} cho P (a1) = P (ai ) + C B¥y gií tø ∈ / F , tỗn tÔi j {2, , l} cho P (a1 ) + C = P (ai ) Những vẳ C = P (ai ), câ P (aj ) = −P (ai ), â P (aj ) + P (ai) = V¼ P thäa m¢n (G), chóng ta câ i = j , vẳ vêy P (ai ) = Những õ C = 0, mƠu thuăn Vẳ vêy, chựng minh rơng a1 F F BƠy giớ theo nh lỵ 2.4, f v g l hơng sè (t÷ìng ùng f, g ∈ Mb (d(a, R− ))) 22 c M»nh · 2.2 ([11]) Cho P ∈ C[X] thọa mÂn giÊ thiát (G) v n > Náu hm phƠn hẳnh f, g M(C) thọa mÂn P (f (x)) = P (g(x)) + c, (c ∈ C∗), x C, thẳ cÊ f v g l hơng sè Chùng minh Gi£ sû hai h m f, g ∈ M(C) thäa m¢n P (f (x)) = P (g(x))+ C , (C ∈ C , ∀x ∈ C Chóng ta s Ăp dửng nh lỵ 2.6 bơng cĂch t Q(X) = P (X) + C Do n > 3, ta câ deg(P ) > v  â Γ cõ bêc Do õ, náu khổng cõ im c trững, nõ cõ bêc > v õ, theo nh lỵ Picard's, khổng tỗn tÔi cĂc hm f, g ∈ M(C) thäa m¢n P (f (x)) = P (g(x)) + C , ∀x ∈ C Do â, chóng ta câ thº gi£ sû Γ thøa nhªn mët iºm chung nhĐt (ah, ak ) Chựng minh tữỡng tỹ nhữ cừa Mằnh à 2.1 2.2 VĐn à nhĐt cho hm phƠn hẳnh Trữớng hủp p-adic Nôm 2014 Escassut, Boussaf, Ojeda,  chựng minh nh lỵ sau: nh lỵ 2.8 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] l  mët a thực nhĐt cừa A(Cp) (tữỡng ựng Au(d(a, R))), t P 0(X) = bΠli=1(X − ai)k Gåi f, g A(K) l hm số siảu viằt (tữỡng ựng f, g ∈ Au(d(a, R−))) cho f 0P 0(f ) v  g P (g) mët h m nhä α ∈ Af (Cp ) ∩ Ag (Cp ) (t÷ìng ùng α ∈ Af (d(, R− )) ∩ l P Ag (d(a, R−))) kº c£ bëi N¸u ki > 2l + thẳ f = g Hỡn nỳa, náu i i=1 f ,g ∈ A(Cp ), α l l  mët hơng số v P ki > 2l + thẳ f = g i=1 Chựng minh Khổng mĐt tẵnh tờng qu¡t, chóng ta câ thº gi£ sû b = °t l Y F =f (f − aj )kj j=1 v  l Y G=g (g − aj )kj j=1 23 c Do f, g ∈ A(Cp) v  v¼ F v  G chung α kº c£ bëi, th¼ (F )/(G ) l hm phƠn hẳnh khổng câ khæng iºm v  khæng câ cüc iºm Cp (t÷ìng ùng d(0, R−)), â nâ l  mët hơng số u Cp (tữỡng ựng nõ l mët h m nghàch £o ÷đc u ∈ A(d(0, R−))) Gi£ sû u 6= Th¼ F = uG + α(1 − u) (2.3) Cho r > Tø â α(1−u) ∈ Af (Cp) (t÷ìng ùng α(1−u) ∈ Af (d(0, R−))) Vẳ vêy Ăp dửng nh lỵ 2.2 cho F , ta ÷đc T (r, F ) ≤Z(r, F ) + Z(r, F − α(1 − u)) + SF (r) = Z(r, F ) + Z(G) + SF (r) = l X k Z(r, (f − aj ) ) + Z(r, f ) + l X Z(r, (g − aj )k ) + Z(r, g ) + Sf (r) j=1 j=1 ≤l(T (r, f ) + T (r, g)) + Z(r, f ) + Z(r, g ) + Sf (r) Chúng ta nhên thĐy rơng náu f, g ∈ A(Cp) v  n¸u α ∈ Cp, ta câ T (r, F ) ≤ Z(r, F ) + Z(r, F − α(1 − u)) − log r + O(1) v  â, ta câ T (r, F ) ≤ l(T (r, f ) + T (r, g)) + Z(r, f ) + Z(r, g ) − log r + O(1) BƠy giớ, tr lÔi trữớng hủp tờng quĂt Vẳ f l nguyản, theo Bờ à 2.4 ta câ T (r, F ) = ( l X kj )T (r, f ) + Z(r, f ) + O(1) j=1 Do â, l X ( kj )T (r, f ) ≤ l(T (r, f ) + T (r, g)) + Z(r, g ) + Sf (r) j=1 T÷ìng tü, l X ( kj )T (r, g) ≤ l(T (r, f ) + T (r, g)) + Z(r, f ) + Sf (r) j=1 24 c V¼ vªy l X ( kj )(T (r, f ) + T (r, g) ≤2l((T (r, f ) + T (r, g)) + Z(r, f ) + Z(r, g ) + Sf (r) j=1 ≤(2l + 1)(T (r, f ) + T (r, g)) + Sf (r) Vêy nản, l X kj ≤ 2l + j=1 Do â, vẳ l X cõ u = Náu α ∈ Cp, chóng ta câ l X kj > 2l + 1, j=1 kj (T (r, f ) + T (r, g)) ≤ 2l((T (r, f ) + T (r, g)) + Z(r, f ) + Z(r, g ) + Sf (r) j=1 ≤ (2l + 1)(T (r, f ) + T (r, g)) − log r + O(1), vẳ vẳ vêy T (r, f ) ≤ T (r, f ) − log r + O(1), l l P P kj 2l mƠu thuăn gi£ thi¸t u 6= kj > 2l j=1 j=1 Do â, tr÷íng hđp têng qu¡t, kj > 2l + 1, ta câ u = j=1 0 0 v  â f P (f ) = g P (g) â P (f ) P (g) l mởt hơng số D Những theo Bê · 2.5 , ta câ P (f ) = P (g) V  v¼ P l  mët a thùc nhĐt vợi A(Cp ) (tữỡng ựng A(d(0, R ))), cõ th kát luên f = g Tữỡng tü, n¸u f, g ∈ A(Cp) v  n¸u α l  h¬ng sè ho°c b¬ng b¬ng 0, ta câ u = l P kj > 2l ta câ k¸t luên tữỡng tỹ l P j=1 Hằ quÊ 2.1 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] cho Φ(P ) ≥ v  P 0(X) = bΠli=1 (X − )ki Gi£ sû f, g ∈ A(Cp) l  h m sè si¶u vi»t cho f 0P 0(f ) l P 0 v  g P (g) chung mët h m nhä α ∈ Af (Cp)∩Ag (Cp) kº c£ bëi N¸u ki > i=1 25 c l P th¼ f = g Hỡn nỳa, náu l mởt hơng số v náu ki > 2l + th¼ i=1 f = g V½ dư 2.1 ([11]) Cho c ∈ Cp l  mët nghiằm cừa phữỡng trẳnh Ôi số : 2l + X 11 ( 1 1 1 1 − ) − X ( − ) + X( − ) − + = 11 10 10 11 °t X 11 cX 10 X cX P (X) = − − + 11 10 Ta câ thº kiºm tra r¬ng P (X) = X 7(X − 1)(X + 1)(X − c), P (1) = 1 P (c) 6= v  P (1) 6= 0, P (−1) 6= 0, P (1) + P (−1) = c( − ) v  P (−1) − 1 P (1) = 2( − ), â P (−1) 6= P (c) 11 Do â, chóng ta câ thº ¡p dửng Hằ quÊ 2.1 v ch rơng náu f 0P 0(f ) v  g0P 0(g) chung mët h m nhä α ∈ Af (Cp) ∩ Ag (Cp) th¼ f = g H» qu£ 2.2 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] cho Φ(P ) ≥ 3, °t P 0(X) = bΠli=1 (X −ai )ki Gåi f, g ∈ Au (d(a, R− )) cho f P (f ) v  g P (g) chung l mët h m nhä α ∈ Af (d(a, R−))∩Ag (d(a, R−)) kº cÊ Náu P ki > 2l+2 i=1 thẳ f = g H» qu£ 2.3 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] cho Φ(P ) ≥ (t÷ìng ùng Φ(P ) ≥ 3), °t P (X) = bX n Πli=2 (X − )ki vỵi l > 3, gåi f, g ∈ A(Cp ) (t÷ìng ùng f, g ∈ Au (d(a, R− )) cho f P (f ) v  g P (g)) chung mët h m nhä α ∈ Af (Cp) ∩ Ag (Cp) (t÷ìng ùng α ∈ Af (d(a, R−)) ∩ Ag (d(a, R− ))) kº c£ bëi N¸u n > l + thẳ f = g Hỡn nỳa, náu f, g ∈ A(Cp ), α l  h¬ng sè v  n ≥ l + thẳ f = g Nôm 2014 Escassut, Boussaf, Ojeda,  chựng minh cĂc nh lỵ 2.92.13 cho hm phƠn hẳnh phực v p-adic cử th cĂc nh lỵ nhữ sau: nh lỵ 2.9 ([11]) Cho P l mởt a thực nhĐt cho M(Cp), (tữỡng ựng cho M(d(0, R−))) vỵi l > 2, °t P 0(X) = bΠli=1(X − ai)k vỵi b ∈ C∗p, l P ki > ki+1 , ≤ i ≤ l − 1, °t k = ki , gåi u5 l  ch¿ số i lợn nhĐt cho i=2 ki > v  s5 = max(0, u5 − 3), vỵi méi m N, um l lợn nhĐt cho i 26 c ki > m v  sm = max(0, um − 2) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (1) k1 > 10 + max(0, − k2 ) + l X max(0, − ki ) − min(2l, ∞ X sm ), m=5 i=3 ho°c k1 > k + (t÷ìng ùng k1 > k + 3) ho°c P thọa mÂn giÊ thiát (G), (3) náu l = 2, th¼ k1 6= k + 1, 2k, 2k + 1, 3k + 1, k (4) n¸u l = 3, th¼ k1 6= , k1 6= k + 1, 2k + 1, 3ki − k, ∀i = 2, 3, (5) náu l > 4, thẳ k1 6= k + Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) (t÷ìng ùng f, g ∈ M(d(a, R−))) l  h m si¶u vi»t v  gi£ sû α ∈ Mf (Cp) ∩ Mg (Cp) (t÷ìng ùng α ∈ Mf (d(a, R−) ∩ Mg (d(a, R− )))) l khổng ỗng nhĐt khổng Náu f P (f ) v  g P (g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g ∞ Chú ỵ 2.3 ([11]) Tờng P sm l hin nhiản l hỳu hÔn (2) m=5 Hằ quÊ 2.4 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] thäa m¢n Φ(P ) ≥ v thọa mÂn giÊ thiát (G), t P 0(X) = bΠli=1(X − ai)k vỵi b ∈ C∗p, l > 3, ki > ki+1, l P ≤ i ≤ l−1, k = ki , vỵi méi m ∈ N, gåi um l ch số i lợn nhĐt cho i=2 ki > 4, s5 = max(0, u5 − 3) v  vỵi måi m > 6, °t sm = max(0, um − 2) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: i (1) k1 > 10 + max(0, − k2 ) + l X max(0, − ki ) − min(2l − 1, ∞ X sm ), m=5 i=3 k (2) náu l = 3, thẳ k1 6= , k + 1, 2k + 1, 3ki − k, ∀i = 2, 3, (3) náu l > 4, thẳ k1 6= k + Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v  gi£ sû α ∈ Mf (Cp) Mg (Cp) l khổng ỗng nhĐt khổng N¸u f 0P 0(f ) v  g0P 0(g) chung hm k cÊ bởi, thẳ f = g Vẵ dö 2.2 ([11]) Cho X 20 X 19 4X 18 4X 17 6X 16 6X 15 4X 14 4X 13 X 12 X 11 P (X) = − − + + − − + + − 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 Chóng ta câ thº kiºm tra P 0(X) = X 10(X − 1)5(X + 1)4 v  27 c P 1 − ), 10 + 2j + 2j j=0 P 1 C4j ( P (−1) = − + ) 10 + 2j + 2j j=0 Do â, chóng ta câ Φ(P ) = v  chóng ta kiºm tra giÊ thiát (G) l thọa mÂn BƠy giớ giÊ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v  gi£ sû α ∈ Mf (Cp ) ∩ Mg (Cp ) l khổng ỗng nhĐt khổng Náu f P (f ) v  g P (g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g P (0) = 0, P (1) = C4j (−1)j ( nh lỵ 2.10 ([11]) Cho P l a thực nhĐt cho M(Cp), P 0(X) = l Q l vợi b ∈ C∗p, l > 2, ki > ki+1, ≤ i ≤ l −1, °t k = P ki, vỵi i=2 i=1 méi m ∈ N, gåi um l  ch số i lợn nhĐt cho ki > 4, s5 = max(0, u5 −3), vỵi måi m > 6, sm = max(0, um − 2) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau : b (X −ai )ki (1) k1 > + max(0, − k2 ) + l X max(0, − ki ) − min(2l − 1, i=3 (2) (3) (4) ho°c k1 > k + hoc P thọa mÂn giÊ thiát (G), náu l = 2, th¼ k1 6= k + 1, 2k, 2k + 1, 3k + 1, n¸u l = 3, th¼ k1 6= k2 , k + 1, 2k1, 3ki − k, ∀i = 2, ∞ X sm ), m=5 Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v  α l  h m Moebius N¸u f 0P 0(f ) v  g0P 0(g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g H» qu£ 2.5 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] cho Φ(P ) ≥ v  P 0(X) = l P ki , vỵi bΠli=1 (X −ai )k vỵi b ∈ C∗p , l > 3, ki > ki+1 , ≤ i ≤ l−1, °t k = i=2 méi m ∈ N, gåi um l ch số i lợn nhĐt cho ki > 4, s5 = max(0, u5 −3), vỵi måi m > 6, sm = max(0, um − 2) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau : i (1) k1 > + max(0, − k2 ) + l X max(0, − ki ) − min(2l − 1, i=3 (2) (3) ho°c k1 > k + ho°c P thọa mÂn giÊ thiát (G), náu l = 3, th¼ k1 6= k2 , k + 1, 2k + 1, 3ki − k, ∀i = 2, 28 c ∞ X m=5 sm ), Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v  α l  mët h m Moebius N¸u f P (f ) v  g P (g) chung h m α kº c£ bởi, thẳ f = g Tứ nh lỵ 2.9 chóng ta câ H» qu£ 2.6 H» qu£ 2.6 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] cho P 0(X) = b(x−a1)n(x−a2)k vỵi k ≤ n, min(k, n) > v  vợi b Cp GiÊ sỷ P thọa mÂn cĂc i·u ki»n sau: (1) n > + max(0, − k), (2) ho°c n>k+2 ho°c P thäa m¢n gi£ thi¸t (G) (3) n 6= k + 1, 2k, 2k + 1, 3k − Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v  α l  mët h m Moebius N¸u f P (f ) v  g P (g) chung h m α kº c£ bởi, thẳ f = g nh lỵ 2.11 ([11]) Cho P (X) l  a thùc nh§t cõa M(Cp) v  P (X) = bΠli=1 (X − )k vỵi b ∈ C∗p , l > 2, ki > ki + 1, ≤ i ≤ l − 1, l °t k = P ki, vỵi méi m ∈ N, gồi um l ch số i lợn nhĐt cho ki > 4, i=2 s5 = max(0, u5 − 4), vỵi måi m > 6, sm = max(0, um − 3) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (1) ho°c k1 > k + ho°c P thọa mÂn giÊ thiát (G), i (2) k1 > + max(0, − k2 ) + l X max(0, − ki ) − min(2l − 1, ∞ X sm ), m=5 i=3 (3) k1 6= k + Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v l mởt hơng số khĂc Náu f P (f ) v  g P (g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g H» qu£ 2.7 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] cho Φ(P ) ≥ 3, P 0(X) = l P bΠli=1 (x − )k vỵi b ∈ C∗p , l > 3, ki > ki+1 , ≤ i ≤ l − 1, k = ki , vỵi i=2 méi m ∈ N, gåi um l  ch¿ số i lợn nhĐt cho ki > 4, s5 = max(0, u5 −3), vỵi måi m > 6, sm = max(0, um − 2) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n i 29 c sau: (1) k1 > k + hoc P thọa mÂn giÊ thiát (G), (2) k1 > + max(0, − k2 ) + l X max(0, − ki ) − min(2l − 1, ∞ X sm ) m=5 i=3 Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v  l mởt hơng số khĂc Náu f P (f ) v  g P (g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g H» qu£ 2.8 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] cho P 0(X) cõ dÔng b(x a1 )n (x − a2 )k vỵi min(k, n) > v  vợi b Cp GiÊ sỷ P thọa mÂn c¡c i·u ki»n sau: (1) n > + max(0, − k), (2) ho°c n>k+2 ho°c P thäa m¢n gi£ thi¸t (G), (3) n 6= k + Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v  l mởt hơng số khĂc Náu f P (f ) v  g P (g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g V½ dư 2.3 ([11]) Cho X 24 10X 23 36X 22 40X 21 74X 20 226X 19 84X 18 P (X) = − + − − + − 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 312X 88X 280X 48X 80X 12 312X + + − + + − 17 16 15 14 13 12 11 32X − 11 Chóng ta câ thº kiºm tra r¬ng P 0(X) = X 10(X − 2)5(X + 1)4(X − 1)4 Ti¸p theo chóng ta câ P (2) < −134378, P (1) ∈ [−2, 11, −2, 10], P (−1) ∈ [2, 18, 2, 19] Do â P (0), P (1), P (−1), P (2) l  c¡c sè ph¥n bi»t, â Φ(P ) = Ngo i ra, giÊ thiát (G) l thọa mÂn BƠy giớ, cho f, g ∈ M(Cp) (t÷ìng ùng f, g ∈ Mu(d(a, R−)), t÷ìng ùng f, g ∈ M(C)) v  gi£ sû α ∈ M(Cp ) (t÷ìng ùng α ∈ M(d(a, R− )), tữỡng ựng M(C) l khổng ỗng nhĐt khổng) N¸u f 0P 0(f ) v  g0P 0(g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g 30 c Trữớng hủp phực nh lỵ 2.12 ([11]) Cho P l l a thực nhĐt cho M(C), vợi l > 2, l Q l P °t P (X) = b (X − ai) vỵi b ∈ C , ki > ki+1, ≤ i ≤ l − 1, k = ki, i=2 i=1 gåi u5 l  ch¿ sè i lợn nhĐt cho ki > v S5 = u5 − 3, vỵi méi m ∈ N, um l  ch số i lợn nhĐt cho ki > m v  Sm = max(0, um − 2) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: ∗ ki (1) k1 > 10 + max(0, − k2 ) + l X max(0, − ki ) − min(2l, ∞ X sm ), m=5 i=3 ho°c k1 > k + hoc P thọa mÂn giÊ thiát (G), (3) náu l = 2, th¼ k1 6= k + 1, 2k, 2k + 1, 3k + 1, k (4) n¸u l = 3, th¼ k1 6= , k1 6= k + 1, 2k + 1, 3ki − k, ∀i = 2, 3, (5) náu l > 4, thẳ k1 6= k + Gi£ sû f, g ∈ M(C) l  h m si¶u vi»t v  α ∈ Mf (C) ∩ Mg (C) l  kh¡c N¸u f P (f ) v  g P (g) chung h m nhä α kº c£ bëi, th¼ f = g H» qu£ 2.9 ([11]) Cho P ∈ C[X] thäa m¢n Φ(P ) > v  thäa m¢n l Q gi£ thi¸t (G), °t P (X) = b (X − ai)ki, ki > ki+1, ≤ i ≤ l − 1, (2) i=1 l P vỵi méi m ∈ N, gồi um l ch số i lợn nhĐt cho ki > 4, s5 = max(0, u5 − 3), vỵi måi m > 6, sm = max(0, um − 2) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: k = i=2 ki , (1) k1 > 10 + max(0, − k2 ) + l X i=3 max(0, − ki ) − min(2l, ∞ X sm ), m=5 (2) k1 6= k + Gi£ sû f, g ∈ M(C) v  α ∈ Mf (C) ∩ Mg (C) l khổng ỗng nhĐt khổng Náu f 0P 0(f ) v  g0P 0(g) chung h m α kº c£ bëi thẳ f = g nh lỵ 2.13 ([11]) Cho P l a thực nhĐt cừa A(C) vợi l > v  l P ki > ki + 1, ≤ i ≤ l − l > 2, °t k = ki , gåi u5 l  ch¿ sè i lợn i=2 nhĐt cho ki > v s5 = max(0, u5 − 3), vỵi méi m ∈ N, um l  ch¿ sè 31 c ... HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN QUỐC CƯỜNG VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH KHI ĐẠO HÀM CỦA ĐA THỨC CHUNG NHAU MỘT HÀM NHỎ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn... bày luận văn trung thực, khách quan không trùng lặp với đề tài khác công bố Việt Nam Tôi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả luận văn. .. PGS.TS Hà Trần Phương trực tiếp hướng dẫn khoa học tận tình giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm Lãnh đạo phòng đào tạo, đặc biệt thầy cô trực tiếp quản lý đào tạo sau đại học, quý