CĐ 1 GIẢI bài TOÁN cơ học bài TOÁN cơ học CHẤT điểm DÙNG TRỤC tọa độ459

GIẢI BÀI TOÁN BÀI TOÁN CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM DÙNG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ I Lý thuyết 1.1 Sự chuyển động vật, hệ quy chiếu, vận tốc, gia tốc, vận tốc gia tốc chuyển động tròn 1.1.1 Chuyển động hệ quy chiếu a.Chuyển động Chuyển động học thay đổi vị trí vật phần vật theo thời gian b.Quỹ đạo: Là tập hợp tất vị trí mà vật có khơng gian c.Hệ quy chiếu Để nghiên cứu chuyển động vật thể, người ta chọn vật thể khác làm mốc mà ta quy ước đứng yên Hệ toạ độ gắn liền với vật làm mốc để xác định vị trí vật thể không gian đồng hồ gắn với hệ để thời gian gọi hệ quy chiếu d.Tính tương đối chuyển động Một vật chuyển động hay đứng yên tuỳ thuộc vào hệ quy chiếu mà ta chọn Vật chuyển động so với hệ quy chiếu lại đứng yên so với hệ quy chiếu khác e.Chất điểm: Một vật thể coi chất điểm kích thước vật không đáng kể so với khoảng cách mà vật qua chuyển động xét f.Hệ chất điểm: Là tập hợp hai hay nhiều chất điểm mà khoảng cách chất điểm không đổi chuyển động chất điểm phụ thuộc chất điểm khác 1.1.2 Phương trình chuyển động a.Phương trình chuyển động Phương trình chuyển động phương trình mô tả phụ thuộc đại lượng cho ta xác định vị trí vật với thời gian Để xác định vị trí chất điểm, người ta thường gắn vào hệ quy chiếu hệ toạ độ, chẳng hạn hệ toạ độ Descartes Oxyz Vị trí M chất điểm xác định toạ độ Với hệ toạ độ Descartes toạ độ x,y,z Bán kính véc tơ r  OM có toạ độ x,y,z ba trục toạ độ Ox,Oy,Oz ( hình vẽ ) có mối liên hệ: r  xi  y j  zk Khi chất điểm chuyển động, vị trí M theo thời gian, toạ độ x,y,z M hàm thời gian t: x  f (t )   y  g (t )  z  h(t )  (1.1) Do bán kính véc tơ r chất điểm hàm thời gian t: r  r (t ) (1.2) Các phương trình (1.1) (1.2) gọi phương trình chuyển động chất điểm b.Phương trình quỹ đạo Biết phương trình chuyển động chất điểm ta tìm quỹ đạo nó: Thật khử thời gian t phương trình chuyển động ta tìm phương trình quỹ đạo c.Hồnh độ cong – tọa độ tự nhiên (nâng cao) Giả sử quỹ đạo chất điểm đường cong (C) ( hình vẽ ) Trên đường cong (C) ta chọn điểm A gốc chiều dương theo chiều chuyển động chất điểm Khi thời điểm t, vị trí M chất điểm đường cong (C) xác định trị đại số cung , kí hiệu là:  AM  s Người ta gọi s hoành độ cong chất điểm chuyển động Khi chất điểm chuyển động, s hàm thời gian t, tức là: s  s(t ) (1.3) *Véc tơ vi phân hoành độ cong d s -Phương trùng với tiếp tuyến quỹ đạo điểm xét -Hướng theo chiều chuyển động -Độ lớn vi phân hoành độ cong ds  Nhắc lại phương trình đường cơníc  Elip * Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 F2 với F1F2  2c  c   Đường elip quỹ tích điểm M cho MF1  MF2  2a ( a  c ), a số cho trước + Hai điểm F1; F2 tiêu điểm elíp, cịn F1F2  2c tiêu cự elip + MF1; MF2 gọi bán kính qua tiêu * Phương trình tắc: Trong hệ trục toạ độ Oxy chọn F1  c,0  ; F2  c,0  elíp có phương trình x2 y   ; c  a  b2 a b * Các yếu tố elip: + Tiêu điểm: Elíp có hai tiêu điểm F1  c,0  ; F2  c,0  + Tiêu cự: F1F2  2c tiêu cự elip + Toạ độ đỉnh: A1  a,0  ; A2  a,0  ; B1  0, b  ; B2  0, b  + Toạ độ đỉnh: A1  a,0  ; A2  a,0  ; B1  0, b  ; B2  0, b  + Độ dài trục lớn A1 A2  2a ; Độ dài trục bé B1B2  2b + Hình chữ nhật sở: hình chữ nhật có chiều dài cạnh 2a 2b + Đường chuẩn: 1;  hai đường chuẩn Elip, thoả mãn điều kiện MF1 MF2   e với  e  d  M , 1  d  M ,   Phương trình đường chuẩn: x  a a x  e e + Tâm sai: Số thực e gọi tâm sai Elip Giá trị e nhỏ Elip giống đường trịn, giá trị e lớn Elip giống đường thẳng (càng dẹt) e c ; với:  e  a Nếu e = tức hai tiêu điểm trùng nhau, elip suy biến thành đường tròn Nếu e = tức hai tiểu điểm trùng với hai điểm A1 A2 elip suy biến thành đường thẳng  Hypebol * Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 F2 với F1F2  2c  c   Đường Hypebol quỹ tích điểm M cho MF1  MF2  2a (  a  c ), a số cho trước Hai điểm F1; F2 tiêu điểm hypebol, F1F2  2c tiêu cự hypebol * Phương trình tắc: Trong hệ trục toạ độ Oxy chọn F1  c,0  ; F2  c,0  hypebol có phương trình x2 y   ; c  a  b2 a b * Các yếu tố hypebol: + Tiêu cự: F1F2  2c tiêu cự hypebol + Tiêu điểm: F1  c,0  ; F2  c,0  + Độ dài trục thực A1 A2  2a ; Độ dài trục ảo B1B2  2b + Toạ độ hai đỉnh: A1  a,0  ; A2  a,0  + Hình chữ nhật sở có độ dài hai cạnh 2a 2b (xem hình vẽ) + Đường chuẩn: 1;  hai đường chuẩn Hypebol, thoả mãn điều kiện MF1 MF2   e với e  d  M , 1  d  M ,   Phương trình đường chuẩn: x  + Tâm sai e   a a x  e e c ;e>1 a Parabol * Định nghĩa: Cho điểm F cố định đường thẳng  cố định không qua F Tập hợp điểm M cách F đường thẳng  gọi đường parabol F gọi tiêu đỉêm parabol.Đường thẳng  gọi đường chuẩn Khoảng cách từ F tới  gọi tham số tiêu parabol * Phương trình tắc parabol: p  ,0  ; p  parabol có phương trình tắc là: y  px 2  Giả sử F  p p  ,0  ; Đường chuẩn x  2  * Các yếu tố: Đỉnh O  0,0  ; Tiêu điểm F  d Cơng thức tính bán kính cong quỹ đạo điểm Khi chất điểm chuyển động quỹ đạo cong bất kì, biết điểm gia tốc vật phân tích thành hai thành phần + Gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho thay đổi độ lớn véctơ vận tốc: at  + Gia tốc pháp tuyến (hay gia tốc hướng tâm) đặc trưng cho thay đổi v2 hướng véctơ vận tốc, độ lớn gia tốc pháp tuyến là: an  , r với giá trị r hiểu bán kính đường tròn vẽ đồng phẳng với quỹ đạo có độ cong giống với độ cong quỹ đạo điểm khảo sát (xem hình vẽ) Đường trịn gọi đường tròn mật tiếp quỹ đạo điểm khảo sát Về mặt toán học đại lượng r độ cong đồ thị điểm khảo sát Ta thiết lập công thức tính r sau: Xét cung nhỏ P0 P có r độ dài ds hình vẽ bên Ta có ds   dx    dy  tan   2  dx   y ' ds d ; dy y ''.dx  1  tan   d  y ''.dx  d  dx   y ' dv dt 1   y '  2 Thay biểu thức ds d  vào biểu thức r ta được: r  y '' Đây cơng thức tính bán kính cong quỹ đạo điểm Cần lưu ý cơng thức cho ta giá trị r âm dương tuỳ theo mặt cong lõm hay lồi Trong Vật lí khơng xét chi tiết ta tính độ lớn bán kính cách lấy giá trị tuyệt đối biểu thức vế phải   y '   r 2 y '' Trong y ' y '' đạo hàm bậc bậc hai hàm số điểm khảo sát (điểm mà chất điểm có mặt quỹ đạo)   x'   Chú ý: Trong trường hợp x hàm số y (ví dụ Parabol) ta có: r  2 x'' Ví dụ 1: Xác định bán kính cong parabol có phương trình tắc: y  px đỉnh x2 y Ví dụ 2: Xác định bán kính cong Elip có phương trình tắc:   đỉnh a b A1  a;0  1.1.3 Vận tốc, vectơ vận tốc, vectơ vận tốc hệ toạ độ đề a.Định nghĩa Vận tốc đại lượng đặc trưng cho chuyển động nhanh hay chậm chuyển động b.Vận tốc trung bình vận tốc tức thời *Vận tốc trung bình Xét chuyển động chất điểm đường cong C Trên C chọn gốc O chiều (+) t0=0 vị trí M trùng O  Tại thời điểm t chất điểm M có s= OM  Tại thời điểm t’ chất điểm M’ có s’= OM ' Trong khoảng thời gian t  t 't chất điểm di chuyển quãng đường s  s's Vận tốc trung bình: vtb  s t (1.4) *Vận tốc tức thời s t 0 t Theo (1.4) M’ gần M v  lim Hay v  ds dt (1.5) (1.6) Vậy vận tốc chất điểm có giá trị đạo hàm bậc quãng đường theo thời gian - Nếu chất điểm dịch chuyển theo chiều (+) quỹ đạo v>0 - Nếu chất điểm dịch chuyển theo chiều (-) quỹ đạo v