CD 2 DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG KHỐI LƯỢNG THAY đổi458

DẠNG TỐN CHUYỂN ĐỘNG KHỐI LƯỢNG THAY ĐỔI Bài tốn tổng quát: Hệ có khối lượng thay đổi tổng quát Hạt chuyển động với vận tốc 𝑣 tăng khối lượng 𝛿𝑚 > giảm khối lượng 𝛿𝑚 < từ hạt có khối lượng M chuyển động với vận tốc 𝑢 Từ hình, ta có tổng động lượng hệ thời điểm t: 𝑝1 = 𝑀𝑢 + 𝑚𝑣 Tổng động lượng hệ thời điểm t+ dt: 𝑝2 = (𝑚 + 𝑑𝑚)(𝑣 + 𝑑𝑣) + (𝑀 + 𝑑𝑀)(𝑢 + 𝑑𝑢) Độ biến thiên động lượng: 𝑑𝑝 = 𝑣 𝑑𝑚 + 𝑚 𝑑𝑣 + 𝑢 𝑑𝑀 + 𝑀 𝑑𝑢 Nếu 𝑑𝑚 = −𝑑𝑀 suy 𝐹= 𝑑𝑝 𝑑 𝑑𝑚 𝑑𝑢 = (𝑚𝑣) − 𝑢 +𝑀 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Chuyển động tên lửa Ví dụ 1: Bài toán chuyển động tên lửa Một tên lửa có khối lượng 𝑚 nhiên liệu phía sau với tốc độ 𝑢 so với tên lửa với tốc độ không đổi 𝑘 Bỏ qua trọng lực sức cản khơng khí tìm tốc độ 𝑣 thời điểm 𝑡 𝑡 = có tốc độ 𝑣0 khối lượng 𝑀0 = 𝑀 + 𝑚0 , 𝑚0 lượng nhiên liệu đốt cháy Tên lửa đốt nhiên liệu đẩy với vận tốc 𝒖 liên quan đến tên lửa Hướng dẫn Gọi m khối lượng, 𝑣⃗ vận tốc tên lửa thời điểm 𝑡 đó, 𝑢 ⃗⃗ vận tốc khí phía sau so với tên lửa Sau thời gian 𝑑𝑡 khối lượng khí biến thiên lượng 𝑑𝑚, khối lượng khí 𝑚 + 𝑑𝑚, khối lượng khí −𝑑𝑚, vận tốc tên lửa 𝑣⃗ + 𝑑𝑣⃗, vận tốc khí 𝑣⃗ + 𝑑𝑣⃗ + 𝑢 ⃗⃗ Động lượng hệ thời điểm 𝑡: m𝑣⃗ Động lượng hệ thời điểm 𝑡 + 𝑑𝑡:(𝑚 + 𝑑𝑚)(𝑣⃗ + 𝑑𝑣⃗) + (−𝑑𝑚)(𝑣⃗ + 𝑑𝑣⃗ + 𝑢 ⃗⃗) Độ biến thiên động lượng: 𝑑𝑝⃗ = 𝑚𝑑𝑣⃗ − 𝑢 ⃗⃗𝑑𝑚 Trong bỏ qua số hạng vơ bé bậc 𝑑𝑚𝑑𝑣⃗ Gọi tổng ngoại lực tác dụng lên hệ 𝐹⃗ , ta có: 𝐹⃗ = 𝑚 𝑑𝑣⃗ 𝑑𝑚 𝑑𝑣⃗ 𝑑𝑚 −𝑢 ⃗⃗ ⇒𝑚 = 𝐹⃗ + 𝑢 ⃗⃗ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Đây phương trình chuyển động tên lửa, phương trình chuyển động chất điểm có khối lượng thay đổi (cịn gọi phương trình Mêsecski) Số hạng 𝑢 ⃗⃗ 𝑑𝑚 𝑑𝑡 có thứ nguyên lực, gọi phản lực Như vectơ gia tốc tên lửa phụ thuộc tổng ngoại lực 𝐹⃗ phản lực Biến đổi phản lực độ lớn hướng điều khiển cho tên lửa theo quỹ đạo mong muốn Xét trường hợp ngoại lực bỏ qua, vận tốc tương đối khí 𝑢 ⃗⃗ khơng đổi, hướng phía sau tên lửa 𝑀 𝑑𝑣 𝑑𝑀 = −𝑢 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑀 𝑑𝑣 𝑣 = − ′ ⇒ ln 𝑀 = − + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑀 𝑢 𝑢 Lúc 𝑡 = 0: 𝑣 = ⇒ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = ln 𝑀0 𝑣 = 𝑢 ln 𝑀0 𝑀 Đó cơng thức xác định vận tốc tên lửa theo vận tốc khí Bài Một vật có khối lượng m = 1000kg cần gia tốc chuyển động tròn gần bề mặt trái đất Hãy đánh giá khối lượng ban đầu m0 tên lửa Cho gia tốc rơi tự gần bề mặt trái đất g = 9,8m/s2, bán kính trái đất R = 6400km vận tốc tương đối nhiên liệu (tức thời) so với tên lửa u = 5km/s Hướng dẫn giải: Vận tốc vũ trụ cấp I gần mặt đất là: v  gR Áp dụng công thức Tsiolkovsky: v  u.ln v u Suy ra: m  m.exp( )  m.exp( m0 m gR )  4, 87.103 kg u Bài Một tên lửa bay xa trái đất Khi đạt độ cao 2651km động lại hoạt động để khí đốt với tốc độ 500m/s (so với tên lửa) Biết thời điểm tên lửa có khối lượng 25 thu gia tốc a = 1,5m/s2 Xác định tốc độ tiêu thụ nhiên liệu Cho bán kính trái đất R = 6400km gia tốc rơi tự mặt đát g = 9,8m/s2 Bỏ qua sức cản khơng khí Hướng dẫn giải: Phương trình Meshersky: ma  F  u Chiếu lên chiều dương chiều chuyển động tên lửa: ma  mg' u    m(a  g') u Gia tốc rơi tự độ cao h: g'  GM g  2 (R  h) →  m(a  0, 5g) kg  320 u s Bài Một thùng có khối lượng M chứa đầy nước có khối lượng m ban đầu đứng yên Thùng kéo lên từ giếng sợi dây thừng với lực khơng đổi F Nước bị rị rỉ ngồi với tốc độ khơng đổi thùng trống sau thời gian T Tìm vận tốc thùng thời điểm mà rị rỉ Hướng dẫn giải: Xét thời điểm t, khối lượng thùng nước là: M '  M  m  Phương trình Meshersky: M 'a  M 'g  F  dm u dt Trong u vận tốc tương đối nước thùng, u = Chiếu lên phương thẳng đứng, chiều dương hướng lên ta được: M' dv  F  M 'g dt m t T  dv  ( F F  g)dt  (  g)dt m M' Mm t T Vận tốc thùng thời điểm rò là: T v  ( F Mm m t T  g)dt  FT M  m ln  gT m M Bài Một tên lửa có khối lượng tổng cộng ban đầu m0, sau phóng lên đến độ cao trì trạng thái lơ lửng Nhiên liệu phóng với độ lớn vận tốc u khơng đổi so với tên lửa Tìm hàm tốc độ tiêu thụ nhiên liệu theo thời gian để đạt trạng thái Coi độ cao không lớn, gia tốc trọng trường g thay đổi không đáng kể so với mặt đất Hướng dẫn giải: Đặt    dm tốc độ nhiên liệu khỏi tên lửa; u độ lớn vận tốc tương đối dt Áp dụng công thức Meshersky: m dv  mg  u dt Để tên lửa treo lơ lửng v = →  mg  u Đạo hàm hai vế theo t ta được: t gt  dm d gt gt d g d g →    dt →   0 exp( ) ý exp( )  e u gu   dt →   u0 u  u dt dt u 0  Lưu ý thời điểm ban đầu t = → mg dv  nên:   u dt m 0g gt exp( ) u u gt  gt Dễ thấy tốc độ khí giảm theo thời gian ( exp( )  e u ) u Bài Một tên lửa có khối lượng tổng cộng ban đầu m0 mặt đất Nhiên liệu phóng với độ lớn vận tốc u không đổi so với tên lửa với tốc độ tiêu thụ nhiên liệu µ (kg/s) khơng đổi theo thời gian Coi độ cao không lớn, gia tốc trọng trường g thay đổi không đáng kể so với mặt đất Tìm biểu thức phụ thuộc tốc độ tức thời tên lửa theo thời gian Hướng dẫn giải: Do tốc độ thiêu thụ nhiên liệu µ khơng đổi nên m  m0  t Áp dụng công thức Meshersky: (m  t) dv  (m  t)g  u dt → dv  (g  u )dt m  t → v  gt  u ln(1  u t) m0 Bài Lúc t = 0, xe đựng cát có khối lượng tổng cộng xe cát m0 đứng yên mặt phẳng ngang, nhẵn chịu tác dụng lực F khơng đổi theo phương ngang Do có lỗ thủng sàn xe nên cát chảy xuống với tốc độ không đổi µ (kg/s) Xác định vận tốc gia tốc xe thời điểm t Hướng dẫn giải: Chọn chiều dương chiều chuyển động xe Khi cát rời khỏi xe tốc độ cát so với xe u = Khối lượng xe thời điểm t m = m0 - µt Áp dụng công thức Meshersky: mta  F  u dm F →a  m  t dt Mặt khác: a dv F F   dv  dt dt m  t m  t t m0 F F dt →  dv   → v  ln  m0  m  t t  v Bài Một tàu vũ trụ khối lượng M0 chuyển động theo quán tính xa thiên thể với vận tốc không đổi v0 Muốn thay đổi hướng chuyển động tàu người ta cho hoạt động động phản lực để luồng khí có tốc độ u khơng đổi tàu, đồng thời luồng khí có hướng ln vng góc với hướng chuyển động tàu Khi kết thúc thời gian hoạt động động khối lượng tàu M Xác định góc lệch α hướng chuyển động tàu so với hướng ban đầu Hướng dẫn giải: dv Do khơng có ngoại lực nên cơng thức Meshersky có dạng: v0 dv dm dm m u  dv  u dt dt m Chiếu lên chiều dv ta dv   u dm m dα v’0 u Do luồng khí có hướng ln vng góc với hướng chuyển động tàu nên tốc độ tàu không đổi v0, hướng vận tốc thay đổi Trong thời gian nhỏ dt phương vận tốc biến đổi dα: dv = v0dα  M u dm u dm →  d    d   v0 M0 m v0 m  u M0 ln v0 M Bài Một xe gng có khối lượng m0 chuyển động vận tốc ban đầu v0 chuyển động đường nằm ngang vào vịi nước thẳng đứng Nước chảy vào thùng xe với tốc độ khơng đổi µ (kg/s) Tìm vận tốc xe thời điểm t, lực cản lên xe tỉ lệ với vận tốc theo công thức F = b.v, với b hệ số tỉ lệ không đổi Hướng dẫn giải: Khối lượng xe thời điểm t m = m0 + µt; vận tốc tương đối nước so với xe u = v Chọn chiều dương chiều chuyển động xe, phương trình Meshersky: m  t  dv  bv  v    b    v dt  dv dt    b   v  m  t  Tích phân hai vế: v t dv dt v v    b    0 m  t  b    ln m  t  ln( m ) v  ln   v0  m0 m  t b    b 1    m   v  v0    m  t  Bài (Đề thi chọn ĐT Olympic 2015) Một giọt mưa hình thành rơi xuyên qua đám mây chứa hạt nước nhỏ li ti, phân bố nằm lơ lửng không trung Trong rơi, giọt mưa tích dần nước việc nhập tất hạt nước nhỏ đường mà quét qua đám mây Ta giả thiết cách lí tưởng hóa tốn này: Khơng khí khơng làm ảnh hưởng đến chuyển động giọt mưa, kích thước ban đầu giọt mưa nhỏ không đáng kể giọt mưa có dạng hình cầu Khối lượng riêng giọt mưa đám mây nước tương ứng , o coi số a) Bán kính giọt mưa r phụ thuộc vào thời gian t theo hàm số r(t) Lập phương trình vi phân hàm      b) Giả thiết r(t) có dạng: r(t)  A  o  g t , A, , ,  hệ số không thứ    nguyên A số không phụ thuộc vào tham số nào; g gia tốc trọng trường Xác định giá trị hệ số A, , ,  c) Tìm gia tốc giọt mưa chuyển động đám mây Hướng dẫn giải: a) Phương trình Meshersky cho chuyển động giọt mưa: m dv dm  mg  (v1  v) với v1 = dt dt Chiếu lên phương thẳng đứng hướng xuống: m dv dm dv dm  mg  v  gv (1) dt dt dt mdt Lại có: khối lượng giọt mưa tăng thêm thời gian dt khối lượng nước nhập vào giọt mưa thời gian quét qua đám mây 4 dr dv 4 d 2r (2) dm  4r dr  o r vdt  v    o dt dt o dt 2 Thay (2) vào (1) ta được: 4 d 2r 4 dr 4r 2dr 12  dr  g g   o dt o dt r 3dt o r  dt  3  dr  o  2    g  (3) r  dt   dt d 2r      b) Từ biểu thức: r(t)  A  o  g t       o   1   dr d 2r   A   g t   A (   1)  o  gt  dt dt       Thế vào phương trình (3):        o A (   1)  o  g t   3 2A   gt   g0       o    o  (4  1)A  o  g t   g0              Đồng hệ số           1  4   A  A    56      4 dr 4 c) Theo ý ta có: v   A  o  g t 1  gt o dt o    Do gia tốc giọt mưa chuyển động đám mây là: a  dv g  dt Bài 10 (Đề thi Olympic vương quốc Anh) Một tên lửa không chịu tác dụng lực hấp dẫn vũ trụ, chuyển động nhanh dần theo quỹ đạo thẳng Khối lượng vỏ tên lửa với thiết bị gắn vào M Ở thời điểm t, khối lượng nhiên liệu chứa tên lửa m  mo e kt ( k số dương), vận tốc tương đối (so với tên lửa) lượng khí nhiên liệu u  u o e kt Giả sử mo M , chứng minh vận tốc cuối tên lửa lớn vận tốc đầu lượng xấp xỉ mo u o 2M x x3 x    Cho biết: ln(1  x)  x  Hướng dẫn giải: Do khơng có ngoại lực tác dụng lên tên lửa nên: (M  m) dv dm  u dt dt Chiếu lên chiều dương chiều chuyển động tên lửa: (M  m) dv dm  u dt dt  (M  mo e  kt ) Đặt x  e  kt dv  km o u oe 2kt dt  dx  ke kt dt  kxdt Thời điểm ban đầu: t   x  Thời điểm hết nhiên liệu : t    x  Ta có: dv dv dx dv dv kmo u o x mo u o x M   kx     u o (1  ) dt dx dt dx dx kx M  mo x M  mo x M  mo x Lấy tích phân vế: v M  dv  u  (1  M  m x )dx o vo o v  vo  u o (1  M M Mu o m ln )  uo  ln(1  o ) mo M  mo mo M mo mo ) ( ) Mu o mo M M  uo  (    ) mo M ( Vì mo M nên bỏ qua số hạng từ bậc ba trở lên mo ) Mu o mo mu M Do v  vo  u o  (  ) o o mo M 2M ( Bài 11 Một máy bay phản lực bay ngang với tốc độ 250m/s Trong giây động hút vào 75kg khơng khí đốt hết 3kg nhiên liệu Động nén khí đốt sau máy bay với tốc độ 500m/s so với máy bay Hãy tính lực đẩy động Hướng dẫn giải: Chọn chiều dương chiều chuyển động máy bay Fd  1u1  2 u2  1v   1   n  u2 với 1  75 kg kg m m ; n  ;v  250 ;u2  500 s s s s  Fd  20250N Chuyển động sợi dây xích Bài Một sợi dây xích có chiều dài AB = l, có phần nằm mặt bàn nhẵn nằm ngang phần nằm lơ lửng phía ngồi mép bàn có độ cao h so với mặt đất Đầu B dây xích chạm nhẹ vào mặt đất, đầu A giữ căng bàn Thả đầu nhẹ đầu A xích, tìm vận tốc đầu A vừa rời khỏi mép bàn Hướng dẫn giải: Đoạn xích chuyển động có khối lượng giảm dần: sau thời gian dt, đoạn xích dài dx có khối lượng dm nằm lại mặt đất, vận tốc tương đối phần so với xích u = Khi đầu A đoạn đường x có vận tốc v khối lượng đoạn xích chuyển động m  m0  l  x  , với m0 khối lượng tồn dây xích l Ngoại lực tác dụng trọng lực phần bng thõng: Fext  Áp dụng công thức Meshersky: ma  Fext  u → dm dt m0 dv m l  x  gh   l  x  dv  ghdt  l dt l  vdv  → m0 hg l lh gh ghdx v dx →  vdv  gh  vdt  lx lx lx 0 v2 l l  gh ln → v  2gh ln h h Bài tập sợi dây (xích) nhiều dạng nhiên phạm vi chuyên đề xét ví dụ  ... đẩy động Hướng dẫn giải: Chọn chiều dương chiều chuyển động máy bay Fd  1u1  ? ?2 u2  1v   1   n  u2 với 1  75 kg kg m m ; n  ;v  25 0 ;u2  500 s s s s  Fd  20 250N Chuyển động. .. thời gian