tính đơn điệu của hàm số lý thuyết và bài tập

CHƯƠNG I: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1: SỰ ĐÔNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ I – LÝ THUYẾT Các kiến thức cũ liên quan 1.1 Bảng đạo hàm các hàm số bản x' = c¢= ¢ un = n.un- 1.uÂ( n ẻ Ơ ;n > 1)  xn = n.xn- ( n ẻ Ơ ;n > 1) ( ) ( ) ( x ) ¢= 21x , " x > ¢ ỉ1ư ỗ ữ = - ,"x ỗ ữ ữ ữ ỗ x ốx ứ 11 13 ổ1ữ ử u ỗ = - ,"u ç ÷ ÷ ç u èu ÷ ø ( k.x) ¢= k ( cosx) ¢= - 10 sin x 12 ( sin x) ¢= cosx 14 ( tan x) ¢= cos x ( cot x) ¢= 17 19 ( k.u) ¢= k.u¢ ( cosu) ¢= - u¢sinu ( sinu) ¢= u¢.cosu u¢ 15 ( u ) ¢= 2u¢u , " u > ( tanu) ¢= cos u 16 sin2 x ỉ ư¢ ad - bc ax + bữ ỗ ữ ỗ ữ= ỗ ốcx + d ÷ ø ( cx + d) ( cot u) ¢= 18 20 u¢ sin2 u ¢ a b - a b x2 + a c - a c x + bc - bc æ ( 2 1) ( 2 1) a1x2 + bx + c1 ữ 2 ỗ ữ ỗ = ữ ỗ 2 ữ ỗ ÷ + c2 ø èa2x + bx a x + bx + c ( 2 1.2 Quy tắc tính đạo hàm u = u ( x) ; v = v( x) Cho hàm số ( u + v) ¢= u¢+ v¢ có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có: ¢ u - v =u¢- v¢ ( ) ( u.v) ¢= u¢v + v¢u ¢ ¢ ỉ ỉư u¢v - vÂu 1ữ v ữ ỗ ỗ ữ ữ = ị = ỗ ỗ ữ ỗ ỗvữ ữ ữ v2 v2 èv ø è ø Mở rộng: (u ± u2 ± ± un ) ¢= u1¢± u2¢± ± un¢ ) ( u.v.w) ¢= u¢.v.w + u.v¢.w + u.v.w¢ Đạo hàm hàm sớ hợp Cho hàm số 1.3 Quy tắc xét dấu : Bước Bước Bước ( ) y = f u ( x) = f ( u) với u = u ( x) Khi đó: yx¢= yu¢.ux¢ P (x) Để lập bảng xét dấu biểu thức ta thực theo bước : P (x) P (x) Tìm nghiệm biểu thức , giá trị x làm biểu thức không xác định Sắp xếp giá trị x tìm theo thứ tự từ nhỏ đến lớn P (x) Sử dụng máy tính tìm dấu khoảng bảng xét dấu Định nghĩa: Cho hàm số • • y = f (x) xác định K , với K khoảng, nửa khoảng đoạn " x1, x2 Î K , x1 < x2 Þ f ( x1) < f ( x2 ) y = f (x) K Hàm số đồng biến (tăng) " x1, x2 ẻ K , x1 < x2 ị f ( x1) > f ( x2 ) y = f (x) K Hàm số nghịch biến (giảm) Định lý: y = f (x) K 3.1 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số có đạo hàm khoảng f ¢( x) ³ 0, " x ẻ K K ã Nu hm s đồng biến khoảng f ¢( x) £ 0, " x ẻ K K ã Nu hm s nghịch biến khoảng y = f (x)  K 3.2 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số có đạo hàm khoảng  f ( x) > 0, " x ẻ K K • Nếu hàm số đồng biến khong f Â( x) < 0, " x ẻ K K • Nếu hàm số nghịch biến khong f Â( x) = 0, " x ẻ K K • Nếu hàm số khơng đổi khoảng  Chú ý y = f (x) K  Nếu đoạn nửa khoảng phải bổ sung giả thiết “ Hàm số liên tục đoạn é a;bù y = f (x) ê ú ë û nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm số liên tục đoạn có đạo hàm é f ¢( x) > 0, " x Ỵ K a;bù ( a;b) ê ú ë û khoảng hàm số đồng biến đoạn f ¢( x) ³ 0, " x ẻ K f Â( x) Ê 0, " x ẻ K f Â( x) = K Nu ( ) số điểm hữu hạn hàm số đồng biến khoảng II – DẠNG TOÁN K ( nghịch biến khoảng K ) 1 Dạng 1: Xét tính đơn điệu hàm số a) Phương pháp giải Phương pháp tự luận túy y = f ( x) Xét tính đơn điệu hàm số tập xác định Bước 1: Tìm tập xác định D y′ = f ′( x) Bước : Tính đạo hàm ′ f ( x) f ′( x) Bước : Tìm nghiệm giá trị x làm cho không xác định Bước : Lập bảng biến thiên Bước : Kết luận Phương pháp sử dụng MTCT Cách : Sử dụng chức lập bảng giá trị MODE máy tính Casio Quan sát bảng kết nhận , khoảng làm cho hàm số ln tăng khoảng đồng biến, khoảng làm cho hàm số giảm khoảng ngịch biến Cách : Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm Sử dụng tính giải bất phương trình INEQ máy tính Casio (đơi với bất phương trình bậc hai, bậc ba) Trắc nghiệm (Cách nhận xét bài toán, mẹo mực để loại trừ) TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT Câu A Khoảng đồng biến hàm số ( 0;1) Câu B Hàm số ( 0;2) C y = x3 + 3x2 - 9x + ( - 3; 1) Cho hàm số A Hàm số cho đồng biến ¡ B Hàm số cho nghịch biến C Trên khoảng D Trên khoảng Câu Hàm số ( - 3;+¥ ) Câu ( 2;+¥ ) ¡ Cho hàm số D ( - 1;1) ( 1; 2) D Mệnh đề sai? hàm số cho đồng biến hàm số cho đồng biến y = x3 + 3x2 - 9x + C y = 2x3 + 6x2 + 6x - 2017 ( - ¥ ;- 2) ( - ¥ ;- 1) ( 1;+¥ ) ( - ¥ ; 1) B Câu đồng biến khoảng sau đây? ( - 3; + ¥ ) A A y = - x3 + 3x - B ( - ¥ ;1) y = - x3 - 3x2 + nghịch biến trên: C ( - 3;1) Mệnh đề đúng? D ( - ¥ ;- 3) ( 1;+¥ ) ; ( - 2;0) A Hàm số nghịch biến khoảng C Hàm số đồng biến khoảng Câu A Câu A B Cho hàm số ( - 2;0) Câu ( 2;+¥ ) Hàm số B C ( - 2;0) Cho hàm số f ( x) f ( x) ( 0;2) nghịch biến khoảng C Hàm số đồng biến khoảng ( 0;+¥ ) (- C ) B ( - ¥ ;1) D ( - ¥ ;- 2) ( 2;+¥ ) ( 1; 2) D D Mệnh đề sau sai? f ( x) f ( x) đồng biến khoảng ( - 1;1) nghịch biến khoảng ( - ¥ ;- 3) y = - x4 + 8x2 + B Hàm số nghịch biến khoảng D Hàm số nghịch biến khoảng C ( 1;3) ( - ¥ ;- 3) D ( - 1;5) nghịch biến khoảng sau đây? )( 3;0 B ( - ¥ ;1) đồng biến khoảng sau đây? ( - ¥ ;0) (- Câu 13 Hàm số (- 2;2) A ( 0;2) ( - ¥ ; 1) ( 3;+¥ ) y = - x4 + 4x2 + 2; đồng biến khoảng sau đây? ( 1;+¥ ) y = x4 + 3x2 + B Câu 12 Hàm số D ( - 1;3) x + 2x2 - 3x + Tìm mệnh đề đúng: A Hàm số đồng biến khoảng Câu 11 Hàm số ( - ¥ ;- 2) y = f ( x) = - 2x3 + 3x2 + 12x - ( 0;2) C đồng biến khoảng Câu 10 Cho hàm số ( 3;+¥ ) ( - 2;0) Các khoảng đồng biến hàm số ( - 3; + ¥ ) y =- A D Hàm số đồngbiến khoảng B Câu A y = x3 + 3x2 - 9x + A C ( - 3;1) B Hàm số đồng biến khoảng y = - x3 + 3x2 + 9x + y = x4 - 8x2 - ( - 3; 1) A ( - ¥ ;- 2) Khoảng đồng biến hàm số ( - ¥ ;- 3) ( 0;+¥ ) ; 2;+¥ ) ( )( 2;0 ; 2; +¥ C đồng biến khoảng đây? (- ¥ ;- 2) (0;2) B ) D ( 2; +¥ ) C (- ¥ ;- 2) Câu 14 Hàm số A ( - 4;- 3) (2; +¥ ) D y = x4 - 2x2 + B y= Câu 15 Cho hàm số (2;+¥ ) đồng biến khoảng khoảng sau? ( - 1;0) x- x- (- 2;0) ( 0;1) C ( - ¥ ;- 1) D Xét mệnh đề sau ( - ¥ ; 1) È ( 1; + ¥ ) 1) Hàm số cho đồng biến ¡ \ {1} 2) Hàm số cho đồng biến 3) Hàm số cho đồng biến khoảng xác định ( - ¥ ; - 1) 4) Hàm số cho đồng biến khoảng Số mệnh đề A B ( - 1; + ¥ ) C D 2- x x y= Câu 16 Cho hàm số Mệnh đề đưới đúng? A Hàm số nghịch biến tập xác định ( - ¥ ;0) ( 0;+¥ ) B Hàm số nghịch biến hai khoảng ( - ¥ ;0) È ( 0; +¥ ) C Hàm số đồng biến ( - ¥ ;0) ( 0;+¥ ) D Hàm số đồng biến hai khoảng y= Câu 17 Cho hàm số x +3 x +2 A Hàm số đồng biến ¡ Khẳng định sau khẳng định đúng: B Hàm số đồng biến khoảng C Hàm số nghịch biến ( - ¥ ;- 2) È ( - 2;+¥ ) ¡ \ { 2} D Hàm số nghịch biến khoảng y= Câu 18 Cho hàm số - x +2 x- ( - ¥ ;- 2) ( - 2;+¥ ) Khẳng định sau đúng? ( - ¥ ;1) A Hàm số đồng biến khoảng ( - ¥ ;1) B Hàm số nghịch biến khoảng C Hàm số đồng biến x ¹ - x +2 x- Câu 19 Cho hàm số Khẳng định khẳng định A Hàm số đồng biến (từng) khoảng ( - ¥ ;1) B Hàm số nghịch biến (từng) khoảng C Hàm số nghịch biến ¡ \ {1} D Hàm số nghịch biến với x¹ A Hàm số đồng biến khoảng ( 1;+¥ ) D = ¡ \ {1} ( - ¥ ;+¥ ) Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng ( - ¥ ;1) B Hàm số nghịch biến khoảng C Hàm số đồng biến 2x - x- ( - ¥ ;1) C Hàm số nghịch biến tập xác định Câu 21 Cho hàm số và ( - ¥ ;1) ( 1;+¥ ) ( 1;+¥ ) R \ { 1} D Hàm số đồng biến với x ¹ MỨC ĐỘ THƠNG HIỂU Câu 22 Hàm số y = 2x - x2 ( 1;+¥ ) ( - ¥ ;1) È ( 1;+¥ ) B Hàm số nghịch biến khoảng - x +2 x- ( - ¥ ;1) Câu 20 Xét tính đơn điệu hàm số D Hàm số nghịch biến khoảng ( 1;+¥ ) y= y= ( 1;+¥ ) R \ { 1} D Hàm số đồng biến với y= ( 1;+¥ ) nghịch biến khoảng A ( 0;1) B y= Câu 23 Hàm số A ( - ¥ ; - 1) C ( 1;2) D ( 1;+¥ ) 2x - x2 - ổ 3ữ ỗ ỗ1; ữ ữ ỗ ố 2ữ ứ v ( - Ơ ;1) B nghịch biến khoảng khong di õy? ổ ổ 3ữ ỗ ỗ ữ ỗ ; +Ơ ữ ỗ1; ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ( - Ơ ; - 1) ố2 ø è 2÷ ø C D y = x5 - x3 + 2x;y = x3 + 1;y = - x3 - 4x - 4sin x Câu 24 Cho hàm số nhiêu hàm số đồng biến tập xác định chúng A B C y= Câu 25 Hình vẽ đồ thị hàm số D ax + b ac ¹ 0,ad - cb ¹ cx + d ( Trong hàm số có bao ) Mệnh đề đúng? ad > bd > ad > ab < bd < ab > ad < ab < A B C D Câu 26 Biết bảng biến thiên sau bảng biến thiên hàm số hàm số liệt kê phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? x y' –∞ – – y +∞ +∞ –∞ A y= x +1 x−2 B y= 2x −1 x+2 C y= 2x + x+2 D y= x −3 x−2 Câu 27 Bảng biến thiên hình bốn hàm số liệt kê Hãy tìm hàm số y= A 2x - x +1 y= B 2x + x- y= C - 2x - x- y= D - x +1 x- Câu 28 Hàm số sau nghịch biến khoảng xác định nó? - x+8 3x - 3x + - x +1 y= y= y= y= x+3 x +1 5x + x- A B C D ( - ¥ ;+ ¥ ) Câu 29 Hàm số sau đồng biến y = x4 + x2 + y = x3 + x - A B C ? y = x2 + x + Câu 30 Hàm số đồng biến tập ¡ ? A y = x + B y = −2 x + C y = x + Câu 31 Hàm số sau đồng biến x- y= x +2 A C ¡ D y = x3 - x + D y = − x + ? B y = x3 + 4x2 + 3x – y= y = x – 2x – D x - x + 3x + MỨC ĐỘ VẬN DỤNG THẤP Câu 32 Trong hàm số sau, hàm số nghịch biến khoảng 1 y= y= y = x - 3x + x x A B C Câu 33 Hàm số sau đồng biến x- y= x +2 A C ¡ B Câu 35 Cho hàm số sau: (I) : y = x3 − x + x + ; (IV) : y = x + x − sin x ; D x D x - x + 3x + ? C y = x3 - 3x (II) : y = D y = x3 - x2 + x x −1 x + ; (III) : y = x + (V) : y = x + x + Có hàm số đồng biến khoảng mà xác định? A B C Câu 36 Cho hàm số sau: y=- y = x3 + 4x2 + 3x – y= ¡ ? ? y = x4 – 2x2 – Câu 34 Hàm số sau đồng biến y= y = x2 x A B ( - 1;1) D (I) : y = − x + 3x − x + ; (II) : y = sin x − x ; (IV) : y = (III) : y = − x + ; Hỏi hàm số nghịch biến toàn trục số? A (I), (II) B (I), (II) (III) x−2 1− x C (I), (II) (IV) D (II), (III) Câu 37 Xét mệnh đề sau: (I) Hàm số y = −( x − 1) nghịch biến ¡ x y = ln( x − 1) − x − đồng biến tập xác định (II) Hàm số x y= x + đồng biến ¡ (III) Hàm số Hỏi có mệnh đề đúng? A B C D MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO f ( x) = Câu 38 Cho hàm số x2 - m ( m ¹ 1) x- Chọn câu trả lời ( - ¥ ;1) ( 1;+¥ ) ( - ¥ ;1) ( 1;+¥ ) A Hàm số giảm B Hàm số giảm tập xác định C Hàm số tăng D Hàm số ln tăng ( - ¥ ;1) và ( 1;+¥ ) với với m 1 f ( x) y = f ′( x) Câu 39 Cho hàm số xác định ¡ có đồ thị hàm số đường cong hình bên Mệnh đề ? A Hàm số f ( x) đồng biến khoảng B Hàm số f ( x) nghịch biến khoảng C Hàm số f ( x) đồng biến khoảng D Hàm số f ( x) nghịch biến khoảng Câu 40 Cho hàm số y = f ( x) ( 1; ) ( 0; ) ( −2;1) ( −1;1) xác định liên tục đoạn Mệnh đề đoạn [ −3;3] [ −3;3] có đồ thị đường cong hình vẽ bên A Hàm số B Hàm số C Hàm số D Hàm số y = f ( x) y = f ( x) y = f ( x) y= Câu 41 Hàm số đạt giá trị lớn x = đạt cực đại x = ( −1;3) f ( x) ( 2;3) nghịch biến khoảng đồng biến khoảng y = f ( x) có đồ thị g( x) = f ( x) − y = f ′ ( x) hình vẽ 3 x − x + x + 2017 Xét hàm số Trong mệnh đề (I) g (0) < g (1) g ( x) = g (−1) (II) x∈[ −3;1] (III) Hàm số g ( x) nghịch biến (−3; −1) max g( x) = max{ g(−3), g(1)} (IV) x∈−  3;1 Số mệnh đề A B C D K Dạng 2: Điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng a) Phương pháp giải - Tự luận túy y = f (x, m) (a;b) Ì D  Lý thuyết cần nhớ : Cho hàm số có tập xác định D, khoảng : (a;b) yÂÊ 0, " x ẻ (a;b) Hàm số nghịch biến  Hàm số đồng biến Ghi nhớ: f ¢( x) = (a;b) Û y 0, " x ẻ (a;b) ch ti mt s điểm hữu hạn a x + b1 y= cx + d  Chú ý: Riêng hàm số thì: ¢ (a;b) Û y < 0, " x Ỵ (a;b) h bin trờn (a;b) yÂ> 0, " x ẻ (a;b) biến K (a;b)  Nếu gặp bài toán tìm m để hàm sớ đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng : ¢ ¢ f (x) ³ f (x) £ " x Ỵ (a;b) g(x) ³ h(m)  Bước 1: Đưa bất phương trình (hoặc ), dạng (hoặc g(x) £ h(m) " x Ỵ (a;b) ), g(x) (a;b)  Bước 2: Lập bảng biến thiên hàm số  Bước 3: Từ bảng biến thiên điều kiện thích hợp ta suy giá trị cần tìm tham số m  Dấu tam thức bậc hai g(x) = ax2 + bx + c (a ¹ 0) Cho tam thức ìï a > ìï a > ï g(x) ³ 0, " x Ỵ ¡ Û í g(x) > 0, " x Ỵ ¡ Û ïí ïï D £ ïï D < ỵ ỵ a) b) ìï a < ìï a < g(x) £ 0, " x Ỵ ¡ Û ïí g(x) < 0, " x Ỵ ¡ Û ïí ïï D £ ïï D < ợ ợ c) d) "x ẻ Ă ¡ Lưu ý : Điều kiện tương đương giữ nguyên thay bớt số hữu hạn điểm f ( x) = ax + bx + c = ¹ x1, x2  Phương trình (a 0) có hai nghiệm thỏa : x1 < < x2 Û P < x1 £ £ x2 Û P £ a) b) ìï D > ìï D > ïï ïï ï ï £ x1 < x2 Û í P ³ x1 < x2 £ Û í P ³ ïï ïï ïï S > ïï S < ïỵ ïỵ c) d) é0 < x < x ìï D > ï ê êx < x < Û íï P > ê ë1 ỵïï e) b c S = x1 + x2 = - , P = x1.x2 = a a Trong : f (x) D  Nếu hàm số có giá trị nhỏ tập ,thế thì: f (x) ³ m, " x Ỵ D Û f (x) ³ m xỴ D  Nếu hàm số f (x) D có giá trị lớn tập , f (x) £ m, " x Ỵ D Û max f (x) £ m xỴ D b, Bài tập áp dụng Câu Tìm tất giá trị thực dài lớn A Câu Câu m³ Tìm giá trị tham số ( 0;3) ? A Câu B f ( x) = - x3 + 3x2 + ( m - 1) x + 2m - để m£ - C 12 m y =- để hàm số m< B 12 Tìm m để hàm số m>6 B C y= Tìm tất giá trị m để hàm số A - 2£ m£ 2 B m£ 2 m>- D y = 2x3 - 3( 2m + 1) x2 + 6m( m + 1) x + D m>1 m> mỴ ¡ D C m1 đồng nghịch biến khoảng có độ dài lớn D mx2 x + 2x + 2017 C đồng y = 2x3 - 3( 2m + 1) x2 + 6m( m + 1) x + y = 2x3 + 3( m - 1) x2 + 6( m - 2) x + m Ỵ ( 0;6) đồng biến khoảng có độ x + ( m - 1) x2 + ( m + 3) x - 10 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số ( 2;+¥ ) biến khoảng ? m£ m