KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 SỞ GD& ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN ÔN NĂM HỌC 2009 - 2010 MƠN THI: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (5,0 điểm) 2 Cho phương trình x + ( m + 3) x + m − = , m tham số a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 + x2 − x1 x2 = b) Khi phương trình có hai nghiệm x1 , x2 , tìm giá trị lớn biểu thức: P = 5( x1 + x2 ) − x1 x2 Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: ( x + 1) = 4x + + Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi P, Q hai điểm thoả mãn: uuu r uuu r r uuu r uuur r 3PA + PB = 0, QA − 2QC = Chứng minh ba điểm P, Q, G thẳng hàng Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC, M điểm cạnh BC không trùng với B C Gọi a, b, c độ dài cạnh BC, CA, AB 2 2 2 2 Chứng minh rằng: a AM = b BM + c CM + ( b + c − a ) BM CM Câu (3,0 điểm) Cho a,b,c ba số thực đôi khác nhau, chứng minh rằng: 2 a + 2010 b + 2010 c + 2010 ÷ + ÷ + ÷ ≥ b−c c−a a −b - - - Hết - - Trang 1/ Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Trang 2/ Câu Cho hệ phương trình: bx + y = 2c ( b + 1) x + 2by = 4c − a a, b, c tham số x, y ẩn Tìm a cho tồn c để hệ có nghiệm với b HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM (Hướng dẫn biểu điểm chấm gồm 04 trang) Mơn: TỐN -CÂU 1a NỘI DUNG ĐIỂM Pt có hai nghiệm x1, x2 ∆′ = 6m + 12 ≥ ⇔ m ≥ −2 5,0 2,0 (1) x1 + x2 = −2(m + 3) Theo Viet: x1.x2 = m − Theo ra: x1 + x2 − x1.x2 = 0,25 1 ⇔ −2(m + 3) − 2(m − 3) = 2 ⇔ 4m + 4m + = ⇔ m = − Đối chiếu điều kiện (1), m = − 1b 0,5 0,5 0,5 thoả mãn 0,25 3,0 Pt có hai nghiệm m ≥ −2 Khi đó: P = 5( x1 + x2 ) − x1 x2 = −10(m + 3) − 2(m − 3) = −2m − 10m − 24 0,5 Xét hàm số f ( m) = −2m2 − 10m − 24 với m ≥ −2 0,5 Ta có bảng biến thiên: 1,5 m f ( m) − -2 -12 −∞ Trang 3/ 0,5 Dựa vào BBT, ta có Max P = −12 m = −2 4,0 Đặt x + = y + , đk: y + ≥ ⇔ y ≥ − ( x + 1) = y + (1) Ta hệ pt: ( y + 1) = x + (2) ⇒ ( x − y ) ( x + y + 3) = 0,5 0,5 x = y ⇔ −4 y − x = Nếu x = y, thay vào hệ ta pt: ( y + 1) = y + ⇔ 16 y + y − = ⇔ y + y − = y = − ⇔ y = y = − loại không thoả mãn điều kiện 1 y = thoả mãn Với y = ta có x = 2 −4 y − Nếu x = , thay vào hệ ta pt: −4 y − + ⇔ 16 y + 12 y − = ( y + 1) = 4 −6 − 84 y = 16 ⇔ −6 + 84 y = 16 −6 − 84 loại không thoả mãn điều kiện y= 16 Trang 4/ 0,5 1,0 1,0 −6 + 84 −6 + 84 −6 − 84 thoả mãn Với y = , ta có x = 16 16 16 −6 − 84 Vậy pt có hai nghiệm x = x = 16 y= 0,5 4,0 uuu r uuu r r uuu r uuu r uuu r r 3PA + PB = ⇔ 3PA + PA + AB = uuu r uuu r r ⇔ 5PA + AB = uuu r uuu r ⇔ AB = AP (1) uuu r uuur r uuu r uuu r uuur r QA − 2QC = ⇔ QA − QA + AC = uuu r uuur r −QA − AC = uuur uuur ⇔ AC = AQ (2) ( ) ( ) Gọi M trung điểm BC, ta có: uuur uuuu r AG = AM = 3 uuur uuu r ⇔ AG − AP = uuur uuur ⇔ PG = PQ 1,0 uuu r uuur uuu r 1,0 uuur ( AB + AC ) = 56 AP + 16 AQ ( uuur uuu r AQ − AP ) 2,0 Vậy P, Q, G thẳng hàng (đpcm) 4,0 0,5 A Gäi uuur uuur BM = k > ⇒ BM = kMC MC B Trang 5/ M C uuur uuu r uuur uuur ⇔ AM − AB = k AC − AM uuur uuu r uuur ⇔ ( 1+ k) AM = AB + kAC uuu r uuur uuur AB + kAC ⇔ AM = ( 1+ k) ( ) ( ) 0,5 0,5 uuu r uuur uuur MC.AB + BM.AC ⇒ AM = MC + BM uuur uuu r uuur ⇒ a.AM = MC.AB + BM.AC uuu r uuur ⇒ a2.AM = MC2.AB2 + BM 2.AC + 2MC.BM.AB.AC uuu r uuur = b2.BM + c2.CM + 2AB.AC.BM.CM uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r 2 AB AC = AC + AB − AC − AB = b2 + c2 − a2 Mặt khác : ( ) 1,0 1,0 0,5 Suy đpcm 3.0 Đặt x = a + 2010 , y = b + 2010 , z = c + 2010 ta cần c/m x + y + z ≥ b−c c−a a −b Ta có: ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) = ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) ⇒ xy + yz + zx = −1 (1) Mặt khác: x + y + z + ( xy + yz + zx ) = ( x + y + z ) ≥ 0,5 1,0 ⇔ x + y + z ≥ −2 ( xy + yz + zx ) (2) Từ (1) (2) suy x + y + z ≥ hay đpcm Chú ý: Học sinh giải theo cách khác cho điểm tối đa Trang 6/ 1,0 0,5