De thi HSG vinh phuc 20132014

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN THPT Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi 25/10/2013 Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sin x    2cos x Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  x3  3mx  m (1), m tham số thực a) Tìm m để đường thẳng y   x  m cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho tam giác ABC có diện tích 2, C (0; 1) Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình sau với m tham số thực � x3  x y  3x  xy  2m (x, y ��) �2 �x  x  y   m a) Giải hệ m  b) Tìm m để hệ cho có nghiệm Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm BC H trung điểm AM Biết HB  HC  a , �  300 ; góc mặt phẳng  SHC  mặt phẳng  HBC  600 Tính theo HBC a thể tích khối chóp S HBC tính cosin góc đường thẳng BC mặt phẳng  SHC  Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vng A D; AB  AD, CD  AD Đường thẳng BD có phương trình x  y   , đường thẳng AC qua điểm M  4;2  Tìm tọa độ đỉnh A biết diện tích ABCD 10 điểm A có hồnh độ nhỏ Câu (1,0 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn �a �b �c a  b  c  Tìm giá trị nhỏ P  3abc  2014a  b  c Đáp án Phương trình tương đương: Nội dung sin x     cos x 3 cos x  sin x  2 � � � cos �2 x  � 3� � 0,5 �  � x    k � 12 ��  � x    k � 0,5  k �� Vậy phương trình có nghiệm x   Điểm 0,5 0,5    k x    k (k ��) 12 Nội dung a) (1,0 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm: x  3mx  m   x  m x0 � � �2 x  3mx   (1) � Yêu cầu toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt khác � 9m   � m � 2 �� Vậy giá trị cần tìm m m  m   3 � m � � b) (1,0 điểm) Ta có y '  3x  6mx ; y '  � x  x  2m Đồ thị có hai điểm cực trị m �0 (*) 4 Các điểm cực trị đồ thị A  0; m  ; B  2m; m  4m  Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 4 Suy AC  m   m  ; C �Oy � d  B, AC   m AC.d  B, AC   m  m  1 ; S ABC  � m  m  1  Đặt m  t  ta t  t   � (t  1)(t  t  t  t  2)  � t  Do S ABC  Do m  �1 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy m  �1 Nội dung 0,25 0,25 Điểm a) (1,0 điểm) x3  x y  x  xy  ( x  x)(3x  y )  � � �� Với m=2 ta có hệ �2 ( x  x )  (3 x  y )  �x  x  y  � �ab  �a b  Đặt x  x  a;3x  y  b , ta có hệ: � �a  b  0,25 0,25 ab  � Giải hệ � ta a  b  Suy ab  � �x  x  � 3x  y  � Giải hệ ta ( x; y )  (1;5);(2; 4) Vậy hệ có hai nghiệm ( x; y )  (1;5);(2; 4) Chú ý: HS làm theo phương pháp b) (1,0 điểm) � ( x  x)(3 x  y )  2m Hệ tương đương � ( x  x)  (3 x  y )   m � ab  2m � Đặt x  x  a, a � ;3 x  y  b , ta có hệ: � ab  6m � �6a  a ab  2m a (6  m  a )  2m � �  m (1) � �� � �a  � ab  6m b  6ma � � � b  6ma � Hệ cho có nghiệm (1) có nghiệm thỏa mãn a � a  4a  12 6a  a Xét hàm số f ( a)  ; a � Ta có f '(a)   (a  2) a2 f '(a)  � a  Bảng biến thiên: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Với a � 0,25 Suy giá trị cần tìm m là: m �2 Nội dung a HB.HC.sin1200  Gọi K hình chiếu vng góc A HC S HBC  Điểm 0,5 a a � AK  AH sin 600  �  600 � SA  AK tan 600  3a Góc (SHC) (ABC) SKA 1 3a a 3a Vậy VS HBC  SA.S HBC   3 4 16 � ' Gọi B’ hình chiếu B (SHC), suy góc BC (SHC) BCB Ta có AH  HM  HB sin 300  0,25 0,5 0,25 0,25 Gọi I hình chiếu A SK � AI  ( SHC ) Ta có BB '  d ( B, ( SHC ))  2d ( M , ( SHC ))  2d ( A, ( SHC ))  AI Trong tam giác vng SAK, ta có AI  � ' Do sin BCB AK AS AK  AS  3a 2 3a 3a  � BB '  16 a BB ' 3a 3a    BC 4.2 BM 8.HB.cos 30 � '  1 Vậy cos BCB 13  16 0,25 Câu (1,0 điểm) Nội dung Điểm 0,25 Gọi I  AC I BD , H hình chiếu B CD 1  tan D1  tan C1 1� � � tan AID  tan D  C   AID  450  1 Ta có 1  tan D1 tan C1  Đường thẳng AC có dạng: a ( x  4)  b( y  2)  � ax  by  4a  2b  (a  b  0) a  2b � 3a  8ab  3b  Góc AC BD 450 nên cos 45  2 a b Chọn b=1 ta a  ; a  3 Từ suy phương trình AC x  y  10  x  y  10  BE AB IA AD  2�   Gọi E  BH I AC , ta có EH CH IE BE  AD  AD  AD  10 � AD  Từ tìm 10 Ta có S ABCD  AI  17 11 � � 10 * Nếu AC : x  y  10  , suy I � ; � Gọi A  10  3t ; t  từ AI  ta có �5 � 2 17 � � 11 � 32 �29 � � 10  t   t  � t  3; t  Suy A  1;3 ; A � ; � � � � � 5� � 5� 5 �5 � � Do x A  � A  1;3 �21 13 � 10 * Nếu AC : x  y  10  , suy I � ; � Gọi A  t ;3t  10  từ AI  ta có 5 � � 2 13 � 32 17 � 21 � � t  � � 3t  10  � � t  5; t  (không thỏa mãn x A  t  ) � 5� 5 � 5� � 0,25 0,25 0,25 Vậy điểm A cần tìm A  1;3 Chú ý: Nếu HS tính cạnh AD  cho 0,25 điểm Câu (1,0 điểm) b c � b a Ta có a   a��� 2 c Nội dung b 2c a  b2 c a   a  2a 2  Điểm 0,25 Suy bc �a  2a  a  b  c �3  a  b  c   � a  b  c �3 P � 3abc 2013a 3a 2a 0,25 2013a Xét hàm f (a)  3a  2a  2013a  3; a � 0;1 Ta có � 2a f '(a)  � a  2a  a  2a � 18a   a  �  2013 �18a   a   2013 � 2013   2a � 0,25 1 �2a   a   a � Ta có a   a   2a   a    a  � � � 2� � 27 2 2 2  � f '( a ) 18 2013 2013 Suy a   a  � 3 3 Suy f ( a) nghịch biến đoạn  0;1 Do f (a) �f (1)  2013 0,25 Đẳng thức xảy a  b  c  Vậy giá trị nhỏ P 2013 a  b  c  ...  12 6a  a Xét hàm số f ( a)  ; a � Ta có f '(a)   (a  2) a2 f '(a)  � a  Bảng biến thi? ?n: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Với a � 0,25 Suy giá trị cần tìm m là: m �2 Nội dung a HB.HC.sin1200