SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN THPT Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi 25/10/2013 Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sin x 2cos x Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x3 3mx m (1), m tham số thực a) Tìm m để đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho tam giác ABC có diện tích 2, C (0; 1) Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình sau với m tham số thực � x3 x y 3x xy 2m (x, y ��) �2 �x x y m a) Giải hệ m b) Tìm m để hệ cho có nghiệm Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm BC H trung điểm AM Biết HB HC a , � 300 ; góc mặt phẳng SHC mặt phẳng HBC 600 Tính theo HBC a thể tích khối chóp S HBC tính cosin góc đường thẳng BC mặt phẳng SHC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vng A D; AB AD, CD AD Đường thẳng BD có phương trình x y , đường thẳng AC qua điểm M 4;2 Tìm tọa độ đỉnh A biết diện tích ABCD 10 điểm A có hồnh độ nhỏ Câu (1,0 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn �a �b �c a b c Tìm giá trị nhỏ P 3abc 2014a b c Đáp án Phương trình tương đương: Nội dung sin x cos x 3 cos x sin x 2 � � � cos �2 x � 3� � 0,5 � � x k � 12 �� � x k � 0,5 k �� Vậy phương trình có nghiệm x Điểm 0,5 0,5 k x k (k ��) 12 Nội dung a) (1,0 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm: x 3mx m x m x0 � � �2 x 3mx (1) � Yêu cầu toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt khác � 9m � m � 2 �� Vậy giá trị cần tìm m m m 3 � m � � b) (1,0 điểm) Ta có y ' 3x 6mx ; y ' � x x 2m Đồ thị có hai điểm cực trị m �0 (*) 4 Các điểm cực trị đồ thị A 0; m ; B 2m; m 4m Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 4 Suy AC m m ; C �Oy � d B, AC m AC.d B, AC m m 1 ; S ABC � m m 1 Đặt m t ta t t � (t 1)(t t t t 2) � t Do S ABC Do m �1 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy m �1 Nội dung 0,25 0,25 Điểm a) (1,0 điểm) x3 x y x xy ( x x)(3x y ) � � �� Với m=2 ta có hệ �2 ( x x ) (3 x y ) �x x y � �ab �a b Đặt x x a;3x y b , ta có hệ: � �a b 0,25 0,25 ab � Giải hệ � ta a b Suy ab � �x x � 3x y � Giải hệ ta ( x; y ) (1;5);(2; 4) Vậy hệ có hai nghiệm ( x; y ) (1;5);(2; 4) Chú ý: HS làm theo phương pháp b) (1,0 điểm) � ( x x)(3 x y ) 2m Hệ tương đương � ( x x) (3 x y ) m � ab 2m � Đặt x x a, a � ;3 x y b , ta có hệ: � ab 6m � �6a a ab 2m a (6 m a ) 2m � � m (1) � �� � �a � ab 6m b 6ma � � � b 6ma � Hệ cho có nghiệm (1) có nghiệm thỏa mãn a � a 4a 12 6a a Xét hàm số f ( a) ; a � Ta có f '(a) (a 2) a2 f '(a) � a Bảng biến thiên: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Với a � 0,25 Suy giá trị cần tìm m là: m �2 Nội dung a HB.HC.sin1200 Gọi K hình chiếu vng góc A HC S HBC Điểm 0,5 a a � AK AH sin 600 � 600 � SA AK tan 600 3a Góc (SHC) (ABC) SKA 1 3a a 3a Vậy VS HBC SA.S HBC 3 4 16 � ' Gọi B’ hình chiếu B (SHC), suy góc BC (SHC) BCB Ta có AH HM HB sin 300 0,25 0,5 0,25 0,25 Gọi I hình chiếu A SK � AI ( SHC ) Ta có BB ' d ( B, ( SHC )) 2d ( M , ( SHC )) 2d ( A, ( SHC )) AI Trong tam giác vng SAK, ta có AI � ' Do sin BCB AK AS AK AS 3a 2 3a 3a � BB ' 16 a BB ' 3a 3a BC 4.2 BM 8.HB.cos 30 � ' 1 Vậy cos BCB 13 16 0,25 Câu (1,0 điểm) Nội dung Điểm 0,25 Gọi I AC I BD , H hình chiếu B CD 1 tan D1 tan C1 1� � � tan AID tan D C AID 450 1 Ta có 1 tan D1 tan C1 Đường thẳng AC có dạng: a ( x 4) b( y 2) � ax by 4a 2b (a b 0) a 2b � 3a 8ab 3b Góc AC BD 450 nên cos 45 2 a b Chọn b=1 ta a ; a 3 Từ suy phương trình AC x y 10 x y 10 BE AB IA AD 2� Gọi E BH I AC , ta có EH CH IE BE AD AD AD 10 � AD Từ tìm 10 Ta có S ABCD AI 17 11 � � 10 * Nếu AC : x y 10 , suy I � ; � Gọi A 10 3t ; t từ AI ta có �5 � 2 17 � � 11 � 32 �29 � � 10 t t � t 3; t Suy A 1;3 ; A � ; � � � � � 5� � 5� 5 �5 � � Do x A � A 1;3 �21 13 � 10 * Nếu AC : x y 10 , suy I � ; � Gọi A t ;3t 10 từ AI ta có 5 � � 2 13 � 32 17 � 21 � � t � � 3t 10 � � t 5; t (không thỏa mãn x A t ) � 5� 5 � 5� � 0,25 0,25 0,25 Vậy điểm A cần tìm A 1;3 Chú ý: Nếu HS tính cạnh AD cho 0,25 điểm Câu (1,0 điểm) b c � b a Ta có a a��� 2 c Nội dung b 2c a b2 c a a 2a 2 Điểm 0,25 Suy bc �a 2a a b c �3 a b c � a b c �3 P � 3abc 2013a 3a 2a 0,25 2013a Xét hàm f (a) 3a 2a 2013a 3; a � 0;1 Ta có � 2a f '(a) � a 2a a 2a � 18a a � 2013 �18a a 2013 � 2013 2a � 0,25 1 �2a a a � Ta có a a 2a a a � � � 2� � 27 2 2 2 � f '( a ) 18 2013 2013 Suy a a � 3 3 Suy f ( a) nghịch biến đoạn 0;1 Do f (a) �f (1) 2013 0,25 Đẳng thức xảy a b c Vậy giá trị nhỏ P 2013 a b c ... 12 6a a Xét hàm số f ( a) ; a � Ta có f '(a) (a 2) a2 f '(a) � a Bảng biến thi? ?n: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Với a � 0,25 Suy giá trị cần tìm m là: m �2 Nội dung a HB.HC.sin1200