- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.. - Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN THPT Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi 25/10/2013 Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sin x 2cos x Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x 3mx m (1), m là tham số thực a) Tìm m để đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B cho tam giác ABC có diện tích 2, đó C (0; 1) Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình sau với m là tham số thực 3x x y x xy 2m (x, y ) x x y 6 m a) Giải hệ m 2 b) Tìm m để hệ đã cho có nghiệm Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M là trung điểm BC và H là trung điểm AM Biết HB HC a , HBC 300 ; góc mặt phẳng SHC và mặt phẳng HBC 600 Tính theo a thể tích khối chóp S HBC và tính cosin góc đường thẳng BC và mặt phẳng SHC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông A và D; AB 2 AD, CD 3 AD Đường thẳng BD có phương trình x y 0 , đường thẳng AC qua điểm M 4;2 Tìm tọa độ đỉnh A biết diện tích ABCD 10 và điểm A có hoành độ nhỏ 2 2 Câu (1,0 điểm) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a b c và a b c 3 Tìm giá trị nhỏ P 3abc 2014a b c ……… Hết……… - Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay (2) - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm - Họ và tên thí sinh …………………………………Số báo danh………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH VĨNH PHÚC LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN THPT HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 05 trang) Lưu ý chấm bài: - Đáp án trình bày cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có bài làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo các ý đáp án điểm - Trong bài làm, bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết sai đó không điểm - Học sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau - Trong lời giải câu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn Câu (2,0 điểm) Nội dung sin x 1 cos x Phương trình tương đương: 3 cos x sin x 2 0,5 cos x 3 x 12 k k x k Vậy phương trình có nghiệm là Điểm 0,5 0,5 0,5 x k x k (k ) 12 Câu (2,0 điểm) Nội dung Điểm a) (1,0 điểm) 4 Phương trình hoành độ giao điểm: x 3mx m x m x 0 x 3mx 0 (1) 0,25 Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt khác 9m 0,25 0,25 (3) m m Vậy các giá trị cần tìm m là m 2 m b) (1,0 điểm) Ta có y ' 3x 6mx ; y ' 0 x 0 x 2m 0,25 0,25 Đồ thị có hai điểm cực trị và m 0 (*) A 0; m ; B 2m; m 4m3 Các điểm cực trị đồ thị là 4 AC m m C Oy d B, AC 2 m Suy ; 0,25 S ABC AC.d B, AC m m 1 S ABC 2 m m 1 2 Do đó ; m t Đặt ta t t 0 (t 1)(t t t t 2) 0 t 1 Do đó m 1 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy m 1 0,25 0,25 Câu (2,0 điểm) Nội dung Điểm a) (1,0 điểm) 3 x3 x y x xy 4 ( x x)(3 x y) 4 x x y 4 ( x x ) (3x y ) 4 Với m=2 ta có hệ ab 4 a b 2 a b x x a ;3 x y b Đặt , ta có hệ: x x 2 ab 4 x y 2 Giải hệ a b 4 ta a b 2 Suy Giải hệ ta ( x; y ) ( 1;5);(2; 4) Vậy hệ có hai nghiệm ( x; y ) ( 1;5);(2; 4) Chú ý: HS có thể làm theo phương pháp b) (1,0 điểm) ( x x)(3 x y ) 2m ( x x) (3 x y) 6 m Hệ tương đương 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ab 2m x x a, a ;3 x y b Đặt , ta có hệ: a b 6 m 6a a ab 2m a (6 m a ) 2m m (1) a2 a b 6 m b 6 m a b 6 m a Hệ đã cho có nghiệm và (1) có nghiệm thỏa mãn 0,25 a (4) a 4a 12 6a a f '( a ) f (a ) ; a ( a 2) a2 Ta có Xét hàm số a thì f '(a ) 0 a 2 Với Bảng biến thiên: 0,25 0,25 Suy giá trị cần tìm m là: m 2 Câu (2,0 điểm) Nội dung Điểm a S HBC HB.HC.sin120 Gọi K là hình chiếu vuông góc A trên HC 0,5 a a AH HM HB sin 300 AK AH sin 600 Ta có 0,25 (5) 3a SKA 600 SA AK tan 600 Góc (SHC) và (ABC) là 1 3a a 3a VS HBC SA.S HBC 3 4 16 Vậy 0,5 0,25 Gọi B’ là hình chiếu B trên (SHC), suy góc BC và (SHC) là BCB ' Gọi I là hình chiếu A trên SK AI (SHC ) Ta có BB ' d ( B, (SHC )) 2d ( M , ( SHC )) 2d ( A, ( SHC )) 2 AI AI AK AS AK AS Trong tam giác vuông SAK, ta có BB ' 3a 3a sin BCB ' BC 4.2 BM 8.HB.cos 30 Do đó 0,25 3a 2 3a 3a BB ' 16 a 0,25 13 cos BCB ' 1 16 Vậy Câu (1,0 điểm) Nội dung Điểm 0,25 Gọi I AC BD , H là hình chiếu B trên CD 1 tan D tan C 1 tan AID tan D1 C1 1 AID 450 tan D1 tan C1 Ta có 2 Đường thẳng AC có dạng: a ( x 4) b( y 2) 0 ax by 4a 2b 0 ( a b 0) cos 450 a 2b 2 3a 8ab 3b 0 a b Góc AC và BD 45 nên a ; a 3 Chọn b=1 ta Từ đó suy phương trình AC là x y 10 0 3x y 10 0 BE AB IA AD 2 IE BE Gọi E BH AC , ta có EH CH AD AD AD 10 10 S ABCD AD 2 AI Ta có Từ đó tìm 17 11 10 I ; AI A 10 3t ; t ta có * Nếu AC : x y 10 0 , suy 5 Gọi thì từ 0,25 0,25 0,25 (6) 2 17 11 32 29 A 1;3 ; A ; 10 3t t t 3; t 5 5 5 Suy 5 Do x A A 1;3 21 13 10 I ; AI A t ;3 t 10 ta có * Nếu AC : 3x y 10 0 , suy 5 Gọi thì từ 2 13 32 17 21 t 3t 10 t 5; t 5 5 (không thỏa mãn x A t ) A 1;3 Vậy điểm A cần tìm là Chú ý: Nếu HS tính cạnh AD 2 thì cho 0,25 điểm Câu (1,0 điểm) Nội dung a b c a b a c 0 b 2c a b c a a 2a Ta có 2 Điểm 0,25 Suy bc a 2a a b c 3 a b c 9 a b c 3 P 3abc 2013a 3a Xét hàm 0,25 2a 2013a f (a ) 3a 2a 2013a 3; a 0;1 Ta có 18a a 2a 2 f '(a ) 3 2a 2a a 2013 2013 18a a 2013 2a 2a 0,25 1 2a a a a a 2a a a 2 27 Ta có Suy a 1 a2 3 f '(a ) 18 3 2013 4 2013 0;1 Do đó f (a) f (1) 2013 Suy f (a) nghịch biến trên đoạn 0,25 Đẳng thức xảy và a b c 1 Vậy giá trị nhỏ P 2013 a b c 1 ……… Hết……… (7)