SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: TỐN Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 02/11/2012 Câu (2 điểm) Cho hàm số y = x − (m + 1) x + x + 2m + , với m tham số thực, có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng d : y = x + m + cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt A, B, C cho tổng hệ số góc tiếp tuyến với (C) A, B, C 12 x2 Câu (2 điểm) Giải phương trình: − x + + x = − , (x ∈ ¡ ) y + y + x − x = − x (x , y ∈ ¡ ) Câu (1,5 điểm) Giải hệ phương trình: y + + y = + x + Câu (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A đường thẳng BC có phương trình x + y − = 0, x − y − = Đường thẳng qua A vng góc với đường thẳng BC cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai D ( 4; −2 ) Viết phương trình đường thẳng AB, AC; biết hoành độ điểm B khơng lớn Câu (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2a, tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M trung điểm SD, mặt phẳng (ABM) vuông góc với mặt phẳng (SCD) đường thẳng AM vng góc với đường thẳng BD Tính thể tích khối chóp S.BCM khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) Câu (1 điểm) Cho số thực x, y thỏa mãn x + y − = x − + y + Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: S = ( x + y ) − − x − y + × x+ y Câu (2 điểm) Nội dung Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d là: x − ( m + 1) x + x + 2m + = x + m + ⇔ x − ( m + 1) x + m = (1) Điểm 0,25 ⇔ ( x − 1) ( x − mx − m ) = x = ⇔ x − mx − m = ( ) d cắt (C) điểm phân biệt phương trình (2) có nghiệm phân biệt khác m + 4m > ∆ = m + 4m > ⇔ (*) ⇔ m ≠ 1 − m.1 − m ≠ Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (2) Tổng hệ số góc tiếp tuyến với (C) A, B, C là: y ' ( 1) + y ' ( x1 ) + y ' ( x2 ) = 12 ⇔ − 2m + ( x12 + x22 ) − ( m + 1) ( x1 + x2 ) = 12 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 − ( m + 1) ( x1 + x2 ) = + 2m (3) 0,25 0,25 0,5 0,25 Theo định lí Viet ta có: x1 + x2 = m, x1 x2 = − m , thay vào (3) ta m + 2m − = Giải ta m = −4 (loại) m = (thỏa mãn) Vậy m = giá trị cần tìm 0,25 0,25 Câu (2 điểm) Nội dung Điều kiện x ∈ [ −1;1] , đặt t = − x + + x ( t ≥ ) Điểm 0,5 t4 , với t − ≥ 0,25 ⇒ t = + − x2 ⇒ x2 = t − t4 Phương trình cho trở thành t = − t − ÷ ⇔ t − 4t − 16t + 32 = 4 4 0,25 ⇔ ( t − 2) 0,5 (t + 4t + ) = , suy t = Với t = , ta có − x + + x = ⇔ + − x = ⇔ − x = ⇔ x = ( thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = 0,5 Câu (1,5 điểm) Điều kiện: −4 ≤ x ≤ 1; y ∈ ¡ Ta có Nội dung (1) ⇔ y + y = − x − x − x + − x Điểm 0,5 ⇔ y + y = 2(1 − x) − x + − x Xét hàm số f (t ) = 2t + t , ta có f '(t ) = 6t + > 0, ∀t ∈ ¡ ⇒ f (t ) đồng biến ¡ Vậy y ≥ (1) ⇔ f ( y ) = f ( − x ) ⇔ y = − x ⇔ y = 1− x Thế vào (2) ta 0,25 − x + − x = + x + (3) Xét hàm số g ( x) = − x + − x − x + 4, liên tục [-4;1], ta có g '( x) = − 1 − − < ∀x ∈ (−4;1) ⇒ g ( x) nghịch biến [-4;1] Lại − 2x 1− x x + có g (−3) = nên x = −3 nghiệm phương trình (3) x = −3 Với x = −3 suy y = Vậy hệ có nghiệm y = Nội dung Gọi M trung điểm BC, H trực tâmuu rtam uu r giác EABC, K giao điểm BC AD, E giao điểm BH AC Ta kí hiệu nd , ud vtpt, vtcp đường thẳng d Do M giao điểm AM BC nên tọa độ M nghiệm hệ phương trình: x= x − y − = ⇒ M ;− ⇔ ÷ 2 2 3 x + y − = y = − 2 0,5 0,25 Điểm 0,25 uuur uuur AD vng góc với BC nên nAD = uBC = ( 1;1) , mà AD qua điểm D suy phương trình AD :1( x − ) + 1( y + ) = ⇔ x + y − = Do A giao điểm AD AM nên tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình 3 x + y − = x = ⇔ ⇒ A ( 1;1) x + y − = y =1 Tọa độ điểm K nghiệm hệ phương trình: x − y − = x = ⇔ ⇒ K ( 3; − 1) x + y − = y = −1 · · · · Tứ giác HKCE nội tiếp nên BHK , mà KCE (nội tiếp chắn cung »AB ) Suy = KCE = BDA · · BHK , K trung điểm HD nên H ( 2; ) = BDK (Nếu học sinh thừa nhận H đối xứng với D qua BC mà không chứng minh, trừ 0.25 điểm) Do B thuộc BC ⇒ B ( t ; t − ) , kết hợp với M trung điểm BC suy C ( − t ;3 − t ) uuur uuur HB (t − 2; t − 8); AC (6 − t ; − t ) Do H trực tâm tam giác ABC nên uuur uuur t = HB AC = ⇔ ( t − ) ( − t ) + ( t − ) ( − t ) = ⇔ ( t − ) ( 14 − 2t ) = ⇔ t = Do t ≤ ⇒ t = ⇒ B ( 2; −2 ) , C ( 5;1) Ta có uuur uuur uuur uuur AB = ( 1; −3) , AC = ( 4;0 ) ⇒ nAB = ( 3;1) , nAC = ( 0;1) Suy AB : x + y − = 0; AC : y − = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (2 điểm) S M K L A D E I H B N C Nội dung Gọi H, N, L, E trung điểm AB, CD, SC, HD Gọi I = AN ∩ BD, K = LM ∩ SN ; Dễ thấy tứ giác AHND hình chữ nhật IN = Từ giả thiết ta có SH ⊥ ( ABCD ) , ME / / SH ⇒ ME ⊥ BD ( 1) Điểm AN Lại AM ⊥ BD ( ) Từ ( 1) & ( ) ⇒ BD ⊥ ( AMN ) ⇒ BD ⊥ AN Trong tam giác AND ta NA2 có ND = NI NA = ⇒ NA = ND = a ⇒ AD = NA2 − ND = a Dễ thấy CD ⊥ ( SHN ) , ML / / CD ⇒ ML ⊥ ( SHN ) ⇒ ML ⊥ SN ( 3) 0,25 0,5 Do ( ABLM ) ⊥ ( SCD ) , ( ABLM ) ∩ ( SCD ) = ML (4), nên từ ( 3) & ( ) ⇒ SN ⊥ ( ABLM ) ⇒ SN ⊥ HK Lại K trung điểm SN nên tam giác SHN vuông cân H suy 0,5 SH = HN = a 11 4a a Ta có VS ABCD = SH AB AD = ; VS BCM = VS BCD = VS ABCD ÷ = ( đvtt) 22 3 Ta có BC ⊥ SH , BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ S SBC = SB.BC 2 1 a = HB + SH BC = a + 2a a = 2 3V a Mặt khác ta có d ( M ; ( SBC ) ) = MSBC = S SBC 0,25 0,25 0,25 Câu (1 điểm) Nội dung Điểm ≤ x + y − = x − + y + ≤ 3( x + y − 1) ⇒ ( x + y − 1) ≤ 3( x + y − 1) 0,25 Điều kiện: x ≥ 2; y ≥ −1;0 < x + y ≤ 9; Ta có ⇒ ≤ x + y − ≤ ⇔ ≤ x + y ≤ Đặt t = x + y, t ∈ [1; 4] , ta có S = t − − t + S '(t ) = 2t + t 0,25 1 − > 0, ∀t ∈ [1; 4] Vậy S(t) đồng biến [1;4] − t 2t t 0,25 Suy S max = S (4) = 42 − − + 33 − = ⇔ x = 4; y = 0; S = S (1) = − 2 ⇔ x = 2; y = −1 0,25 ... điểm AB, CD, SC, HD Gọi I = AN ∩ BD, K = LM ∩ SN ; Dễ thấy tứ giác AHND hình chữ nhật IN = Từ giả thi? ??t ta có SH ⊥ ( ABCD ) , ME / / SH ⇒ ME ⊥ BD ( 1) Điểm AN Lại AM ⊥ BD ( ) Từ ( 1) & ( ) ⇒ BD