ĐỀ THI BỔ SUNG CHỌN HỌC SINH VÀO ĐỘI TUYỂN DỰ THI IMO 2005 ***************** Bài 1: Cho tam giác ABC có AB AC góc B, C nhọn (*) Kí hiệu (O) đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi D chân đường cao ứng với đỉnh A; từ C hạ CH vng góc với đường thẳng AO Kí hiệu (I) đường trịn qua điểm H tiếp xúc với đường tròn (P) đường kính AB điểm D Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn OI tất tam giác ABC thoả mãn điều kiện (*) , có BC có bán kính đường tròn (I) (P) Gọi Q trung điểm cạnh AC, G trọng tâm tam giác ABC Đường phân giác góc A tam giác ABC cắt đường thẳng IQ E đường trịn (P) F Đường phân giác ngồi góc A tam giác ABC cắt đường tròn (O) K (K khác A) Chứng minh GK qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF." Bài 2: Xét số A 20042005 20052004 20521991 Hãy chứng minh A hợp số dương tổng ước số dương A chia hết cho 24 Bài 3: Cho bảng vng kích thước n n, n Hai ô vuông gọi kề chúng hai ô liên tiếp hàng cột Tìm số nguyên dương p lớn để tồn cách đánh dấu p ô bảng thoả mãn: Trong số ô kề với ô đánh dấu có khơng q đánh dấu Hai cách đánh dấu gọi q kề chúng có q đánh dấu, có q có vị trí trùng bảng hai cịn lại hai cách hai kề Tìm số nguyên dương q nhỏ để tồn cách đánh dấu q ô bảng thoả điều kiện: i) Tất ô kề với ô đánh dấu không đánh dấu ii) Mọi cách đánh dấu q kề với khơng thoả mãn điều kiện i)