Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 97 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
97
Dung lượng
1,45 MB
Nội dung
Tailieumontoan.com Tài liệu sưu tầm TUYỂN CHỌN MỘT SỐ CHỦ ĐỀ TRỌNG TÂM ƠN VÀO 10 TỐN Tài liệu sưu tầm, ngày 27 tháng năm 2020 Website:tailieumontoan.com PHẦN A MỘT SỐ CHỦ ĐỀ ÔN LUYỆN CHỦ ĐỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Điều kiện để thức có nghĩa Biểu thức A có nghĩa A Các công thức biến đổi thức Ta có cơng thức biến đổi thức thường dùng sau đây: • A A A | A | A A • AB A B với A 0, B ; • A A với A 0, B ; B B • A B | A | B với B 0; A AB với AB 0, B 0; B |B| A B A 0, B • A B ; A B A 0, B • C C( A B) với A 0, A B2 AB AB Một số dạng toán thường gặp • Trong chủ đề rút gọn biểu thức toán liên quan, ta thường gặp dạng toán sau đây: Dạng Rút gọn biểu thức tính giá trị biểu thức biết giá trị biến Dạng Rút gọn biểu thức tính giá trị biến biết biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng Rút gọn biểu thức so sánh biểu thức với số biểu thức cho trước Dạng Rút gọn biểu thức tìm điều kiện biến để biểu thức có giá trị nguyên Dạng Rút gọn biểu thức tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 1A Cho biểu thức: x 1 22 x x 2 : với x 0, x A x x x x 1 x x x 1 x 1 a) Rút gọn A b) Tính giá trị A khi: i) x 2; ii) x 80 80 ; iii) x 10 10 3; iv) x 1 ; 1 3 79 81 v) x nghiệm phương trình 2x 3x x 1; vi) x nghiệm phương trình | 2x | 3x 1; vii) x giá trị làm cho biểu thức M x (1 x ) đạt giá trị lớn c) Tìm x để: i) A ; d) So sánh: i) A với ; ii) | A | A; iii) A A ii) A với biểu thức N x 3 x nhận giá trị nguyên A g) Tìm x thực để A nhận giá trị nguyên e) Tìm x nguyên dương để biểu thức h) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: i) P A(x x 2); ii) Q A với x 4; x x x với x A i) Tìm giá trị lớn biểu thức: iii) R i) B A; ii) C A với x x 7 k*) Tìm x thỏa mãn A( x 1) (2 1) x 2x x Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1B Cho biểu thức: 2x x 1 x x x x với x x B x x x 1 x x 1 x a) Rút gọn B b) Tính giá trị biểu thức B khi: i) x 48; ii) x 11 11 ; iii) x 7; 1 iv) x ; 1 4 97 100 v) x nghiệm phương trình: x x x; vi) x nghiệm phương trình | x 1 || 2x |; vii) x giá trị làm cho biểu thức P x x đạt giá trị nhỏ c) Tìm x để: i) B 0; ii) B x 4 x d) So sánh: i) B với 2 ii) B với C x 3x x e) Tìm x để B nhận giá trị nguyên g) Xét dấu biểu thức T B( x 1) h) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: i) B; ii) D B x; iii) E B x i) Tìm giá trị lớn biểu thức: i) G 3 B; ii) Q 1 B x k*) Tìm x thỏa mãn B x (2 3) x 3x x 10 III BÀI TẬP VỀ NHÀ Cho biểu thức x2 x 2x x 1 x : với x 0, x x C x x x x 4 x x x a) Rút gọn C b) Tính giá trị C khi: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com i) x 8; ii) x 11 11 ; iii) x 14 20 14 20 1; 1 iv) x ; 1 5 77 81 v) x nghiệm phương trình: x x x 1; vi) x nghiệm phương trình: | x | 3; vii) x giá trị làm cho biểu thức M x x đạt giá trị lớn c) Tìm x để: i) C2 0; ii) | C | C; d) So sánh C với biểu thức D x x 2C e) Tìm x để biểu thức E nhận giá trị nguyên x g) Tìm giá trị nhỏ của: i) Biểu thức C với x 9; C với x 9, x x x C h) Tìm giá trị lớn biểu thức N x 1 C ii) Biểu thức I i* ) Tìm x thỏa mãn (2 C) x 3C 3x x 1 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HOẶC HỆ PHƯƠNG TRÌNH I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Các bước giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình bao gồm: Bước Lập phương trình hệ phương trình: - Chọn ẩn số (ghi rõ đơn vị đặt điều kiện cho ẩn số); - Biểu thị đại lượng chưa biết theo ẩn số (chú ý thống đơn vị); - Lập phương trình hệ phương trình biểu thị mối quan hệ ẩn số liệu biết Bước Giải phương trình hệ phương trình vừa tìm Bước Nhận định kết trả lời yêu cầu toán II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Bài tốn chuyển động Phương pháp giải: Chú ý dựa vào công thức S vt , S quãng đường, v vận tốc t thời gian Ngoài ra, theo ngun lí cộng vận tốc tốn chuyển động tàu, thuyền mặt nước, ta có: - Vận tốc xi dịng = vận tốc thực + vận tốc dòng nước - Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực – vận tốc dòng nước - Vận tốc thực ln lớn vận tốc dịng nước 1A Một người xe máy từ A đến B cách 120km với vận tốc dự định trước Sau quãng đường ngừi tăng vận tốc lên 10 km/giờ qng đường cịn lại Tìm vận tốc dự định thời gian thực tế lăn bánh đường, biết người đến B sớm dự định 24 phút 1B Khoảng cách hai tỉnh A B 180km Một ô tô từ A đến B, nghỉ 30 phút B trở lại từ B A Thời gian từ lúc đến lúc trở Biết vận tốc lúc vận tốc lúc 5km / h Tính vận tốc lúc tơ 2A Trên qng đường AB dài 200km có hai ô tô chuyển động ngược chiều: xe thứ từ A đến B, xe thứ hai từ B đến A Nếu khởi hành sau chúng gặp Nếu xe thứ khởi hành trước xe 2,5 hai xe gặp xe thứ hai Tính vận tốc xe Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2B Cùng lúc đoạn đường AB , xe tải từ A đến B ô tô từ B A , chúng gặp điểm C cách A 120 km Nếu xe tải khởi hành sau tơ chúng gặp D cách A 96 km Tính vận tốc xe, biết đoạn đường AB dài 200 km 3A Một ca nô chạy sông giờ, xuôi dòng 81km ngược dòng 105 km Một lần khác chạy khúc sơng đó, ca nơ chạy giờ, xi dịng 54km ngược dịng 42 km Hãy tín vận tốc xi dịng ngược dịng ca nơ, biết vận tốc dịng nước vận tốc riêng ca nô không đổi 3B Một ca nơ xi dịng từ A đến B với vận tốc 30 km/giờ, sau lại ngược từ B A Thời gian xi thời gian ngược 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nước km / h vận tốc riêng ca nô xuôi ngược DẠNG Bài toán suất lao động S với S lượng công việc làm được, N t suất lao động (tức khối lượng công việc hoàn thành đơn vị thời Phương pháp giải: Sử dụng công thức N gian) t thời gian để hồn thành cơng việc 4A Một tổ sản xuất phải làm 700 sản phẩm thời gian quy định với suất quy định Sau làm xong 400 sản phẩm tổ sản xuất phải tăng suất lao động, ngày làm thêm 10 sản phẩm so với quy định Vì tổ hồn thành cơng việc sớm quy định 36 tiếng Hỏi theo quy định, ngày tổ sản xuất phải làm sản phẩm? 4B Một công nhân dự định làm 150 sản phẩm thời gian định Sau làm với suất dự kiến, người cải tiến thao tác nên tăng suất sản phẩm hồn thành 150 sản phẩm sớm dự kiến 30 phút Hãy tính suất dự kiến ban đầu Dạng Bài tốn cơng việc làm chung làm riêng Phương pháp giải: - Coi khối lượng công việc đơn vị - NS + NS = tổng NS - x (ngày) làm xong CV (ngày) làm Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 CV x TÀI LIỆU TỐN HỌC - (ngày) làm Website:tailieumontoan.com 1 CV a (ngày) làm a CV x x 5A Để hoàn thành công viêc, hai tổ làm chung dự kiến hoàn thành sau Trên thực tế, sau hai tổ làm chung, tổ II bị điều làm việc khác, tổ I hồn thành nốt cơng việc lại 10 Hỏi tổ làm riêng sau hồn thành cơng việc? 5B Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước sau 20 phút đầy bể Nếu để vịi I chảy 10 phút, khố lại mở tiếp vịi II chảy 12 phút hai vịi chảy bể Tính thời gian vịi chảy 15 đầy bể? Dạng Bài toán tỉ lệ phần trăm Phương pháp giải: Chú ý rằng, nêu gọi số sản phẩm x số sản phẩm vượt mức a% (100 a )%.x 6A Trong tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy Sang tháng thứ hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt múc 10% so với tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất 1010 chi tiết máy Hỏi tháng thứ tổ sản xuất chi tiết máy? 6B Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất 400 sản phẩm Tháng sau cải tiến kĩ 20 thuật nên tổ I sản xuất vượt mức 10%, tổ II sản xuất vượt mức % , tổng sản phẩm tháng sau hai tổ tăng thêm 35 sản phẩm so với tháng trước Hỏi tháng đầu, tôt sản xuất sản phẩm? 7A Hai lớp 9A 9B gồm 105 học sinh Tổng kết cuối năm, lớp 9A có 44 học sinh tiên tiến, lớp 9B có 45 học sinh tiên tiến Biết tỉ lệ học sinh tiên tiến lớp 9A thấp 9B 10% Tính tỉ lệ học sinh tiên tiến số học sinh lớp 7B Hai trường A B có 420 học sinh thi đỗ vào 10, đạt tỉ lệ 84% Riêng trường A có tỉ lệ đỗ 80%, riêng trường B có tỉ lệ đỗ 90% Tính số học sinh dự thi trường Dạng Tốn có nội dung hình học Phương pháp giải: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com -Với hình chữ nhật: Diện tích = Chiều dài x Chiều rộng Chu vi = (Chiều dài + Chiều rộng) x -Với tam giác: Diện tích = (Đường cao x Cạnh đáy): Chu vi = Tổng độ dài ba cạnh 8A Một hình chữ nhật có chu vi 90m Nếu tăng chiều rộng lên gấp đơi giảm chiều dài 15m ta hình chữ nhật có diện tích diện tích hình chữ nhật ban đầu Tính cạnh hình chữ nhật cho 8B Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn chiều rộng 3m Nếu tăng chiều dài thêm 2m, giảm chiều rộng 1m diện tích mảnh đất khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng ban đầu mảnh đất Dạng Bài toán quan hệ số Phương pháp giải: Chú ý biểu diễn số: ab 10a b;abc 100a 10b c chữ số a, b,c ;0 a 9,0 b 9,0 c 9A Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 19 tổng bình phương chúng 185 9B Tìm hai số tự nhiên, biết tổng chúng 2216 lấy số lớn chia cho thương số kia, số dư 56 10A Cho số tự nhiên có hai chữ số Tổng hai chữ số chúng 13 Tích hai chữ số nhỏ số cho 25 Tìm số cho 10B Tổng ba lần chữ số hàng đơn vị hai lần chữ số hàng chục số có hai chữ số 14 Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số nhỏ số ban đầu 18 đơn vị Tìm số có hai chữ số Dạng Bài tốn xếp, chia Phương pháp giải: Sử dụng tính chất chia hết chia có dư Lưu ý: Nếu chia số a cho số b có thương q dư r a bq r Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 11A Trong buổi liên hoan văn nghệ, lớp có 26 khách mời đến giao lưu Vì lớp có 40 học sinh nên phải kê thêm dãy ghế dãy ghế xếp thêm hai chỗ ngồi Biết dãy ghế có số người ngồi ngồi khơng q người Hỏi lớp học lúc đầu có dãy ghế? 11B Người ta cần chở số lượng hàng Nếu xếp vào xe 15 cịn thừa lại tấn, xêp vào xe 17 cịn chở thêm Hỏi có xe tham gia chở hàng? III BÀI TẬP VỀ NHÀ 12 Một ô tô quãng đường AC dài 180 km gồm đoạn đường nhựa AB đoạn đường đá BC Biết thời gian ô tô đường nhựa 15 phút, thời gian ô tô đường đá 30 phút Vận tốc ô tô đoạn đường nhựa lớn đường đá 30 km/h Tính vận tốc tơ đoạn đường 13 Một người dự định từ A đến B thời gian định Nếu người tăng vận tốc thêm 10 km/giờ đến B sớm dự định Nếu người giảm vận tốc 15 km/giờ đến B muộn dự định Tính vận tốc, thời gian dự định độ dài quãng đường AB 14 Quãng đường AB dài 100 km Hai ô tô khởi hành lúc từ A để đến B Vận tốc xe thứ lớn vận tốc xe thứ hai 10 km/giờ nên xe thứ đến sớm xe thứ hai 30 phút Tính vận tốc xe 15 Hai địa điểm A B cách 30 km Cùng lúc xe máy khởi hành từ A xe đạp khởi hành từ B Nếu hai xe chuyển động ngược chiều sau 40 phút chúng gặp nhau, hai xe chuyển động ngược chiều theo hướng từ A đến B sau chúng gặp Hãy tính vận tốc xe 16 Một xuồng máy xi dịng sơng 30 km ngược dịng sơng 28 km hết thời gian mà xuồng 59,5 km mặt hồ yên lặng Tính vận tốc riêng xuồng biết vận tốc nước chảy song km/giờ 17 Hai bến sông A B cách 40 km Cùng lúc cano xi dịng từ A đến B bè trôi từ A đến B với vận tốc km/giờ Sau đến B, cano quay A gặp bè địa điểm cách B 32 km Tính vận tốc canô 18 Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm thời gian định Nhưng thực tế xí nghiệp lại giao làm 80 sản phẩm Mặc dù người làm thêm sản phẩm so với dự kiến, thời gian hoàn thành công việc Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 82 Website:tailieumontoan.com Từ tìm : Amin = 33 ⇔ x = 1, y = 4 b) i) Ta có : A, B > ⇒ B = Vậy Bmax = Dấu xảy khi= x 1,= y 33 ii) Xét biểu thức x y 15 y 25 x y = + +2= + + ≥ C y x y 16 x 16 x Do C > nên C ≤ Vậy Cmax = 9B 25 Dấu xảy khi= x 1,= y 25 Tương tự 9A, ta có a) Amin = ≤ A 33 x ≥ Từ tìm y 17 ⇔ x = 6, y = b) i) Bmax = 10A a) Ta có : ⇔ x = 6, y = 17 ii) Cmax = ⇔ x = 6, y = 16 a3 ab b = a − ≥ a − a + b2 a + b2 Tương tự : b3 c ≥b− ; 2 b +c c3 a ≥c− 2 c +a a3 b3 c3 a+b+c = Do 2 + 2 + 2 ≥ 2 a +b b +c c +a Đẳng thức xảy a= b= c= b) Gợi ý biến đổi : a ab ab = a − ≥ a − + b2 + b2 Biến đổi đánh giá tương tự với biểu thức : Từ ta VT ≥ a + b + c − Do ab + bc + ca ≤ ( a + b + c )2 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 b c ; 1+ c + a2 ab + bc + ca ≥ 2 = TÀI LIỆU TOÁN HỌC 83 Website:tailieumontoan.com Đẳng thức xảy a= b= c= c) Chú ý Tương tự a2 a = − ≥ 1− 2 a +1 a +1 b c ≥ 1− ; ≥ 1− c +1 b +1 Do chứng minh VT ≥ − a+b+c = 2 Đẵng thức xảy a= b= c= d) Chú ý biến đổi ( a + 1) b ≥ a + − ( a + 1) b a +1 = a +1− 2 b +1 b +1 Biến đổi đánh giá tương tự với biểu thức Từ ta được: VT ≥ + b +1 c +1 ; c2 + a2 + a + b + c ab + bc + ca − 2 a + b + c) ( Do ab + bc + ca ≤ = a + b + c ⇒ VT ≥ đẳng thức xảy a= b= c= e) Chú ý a b 1 = − ≥ − b a b + ab b a + b Biến đổi đánh giá tương tự với biểu thức a b c Ta VT ≥ + + − a − b − b c ; c + bc a + ca c 1 + ≥ − a , từ a a 4a 1 1 3a 3a − ≥ − − = − ≥ (2 − a) − = − a a a 4a 4 4 4 15 3 Suy VT ≥ − (a + b + c) = 4 Đẳng thức xảy a= b= c= a3 ab b = a − ≥ a − 10B a) Chú ý a + b2 a + b2 a 9ab 3ab ab + bc + ca ≤ =a− ≥a− b) Chú ý 2 + 9b + 9b Sử dụng BĐT Cô-si ta có: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 ≤ TÀI LIỆU TOÁN HỌC 84 Website:tailieumontoan.com 9a 3a = 1− ≥ 1− c) Chú ý 9a + 9a + 2 a +1 9(a + 1)b 3(a + 1)b ab + bc + ca ≤ = a +1− ≥ a +1− d) Chú ý 2 9b + 9b + a + (a + 1)b 11A Gợi ý: Biến đổi a + − = b +1 b +1 (a + 1)b (b + 1)c (c + 1)a Đưa tóab chứng minh + + ≥ b +1 c +1 a +1 Sử dụng BĐT Cô-si cho ba số hạng VT, ý abc = Từ suy ĐPCM Dấu '' ='' xảy a= b= c= a + a + (a + 2)b 11B Gợi ý: Biến đổi a + − = + b+2 2(b + 2) Đưa toán chứng minh BĐT: a + b + c (a + 2)b (b + 2)c (c + 2)a + + + ≥ 2(b + 2) 2(c + 2) 2(a + 2) Sử dụng BĐT Cauchy cho ba số dương, ý abc = 1, ta có (a + 2)b (b + 2)c (c + 2)a a + b + c ≥ 3; + + ≥ (b + 2) (c + 2) (a + 2) Từ suy ĐPCM Dấu '' ='' xảy a= b= c= 12 Đáp số: Pmin = ⇔ x = 13 a) Đặt t = x + y2 ⇒ t ≥ , ta có A = t + t xy ⇒ A = ⇔ t = ⇔ x = y b) Đặt t = x + xy + y ⇒ t ≥ , ta có B = t + − t xy ⇒ Bmin = ⇔ t = ⇔ x = y t (x + y) ⇒ t ≥ , ta có C = + − t xy = ⇔t= 4⇔x= y c) Đặt = t ⇒ Cmin d) Đặt t = ⇒ D = ( x + y + 1) ⇒ t ≥ , ta có D = t + t xy + x + y 10 ⇔ t = ⇔ x = y = 14 a) Chú ý= x+y ⋅ (x + y) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 ≤ x+y+2 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 85 Website:tailieumontoan.com b) Chú ý = x + 2y + 3z c) Chú ý xy= ⋅ (x + 2y + 3z) x + y +1 x ⋅ y ⋅1 ≤ 3 d) Chú ý= x(y + z) e) Chú ý= 3x + 5y ⋅ 2x ⋅ (y + z) 3 ≤ ≤ x + 2y + 3z + 2x + y + z + 33 ⋅ ⋅ (3x + 5y) 3x + 5y + 16 ≤ 12 15 Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số ta có ≥ x + x y ≥4 ⇒ ≥ y y x y ⇒ t ≥ Ta có: x 17 a) A = t + ⇒ A = ⇔ t = ⇔ x = 1, y = t 4 b) i) B = ⇒ Bmax = ⇔ x = 1, y = A 17 1 ii) = 2t + + ⇒ C max = ⇔ x = 1, y = C t 45 x 16 Đặt = t ≥ , ta có M = t + ⇒ M = ⇔ t = ⇔ x = 2y t y Đặt t = x2 x = − ≥ 1− 2 x +1 x +1 18 Biến đổi được: 17 Chú ý 2a + bc = a(a + b + c) + bc = 2a + b + c 2b + ca ; 2c + ab (a + b)(a + c) ≤ Biến đổi tương tự với biểu thức Từ suy Q ≤ 2(a + b + c) = Dấu xảy a= b= c= , từ Q max = (a + b) − a − b (a + b) − 19 Ta có ab = = 2 a+b−2 Từ biến đổi M = Sử dụng BĐT: (a + b) ≤ 2(a + b ) ⇒ a + b ≤ 2 nên M ≤ − Vậy M max = 20 Ta có: − Dấu xảy x= y= = a − 2017 2018 ⋅ (a − 2017) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 2018 ≤ a +1 2018 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 86 Website:tailieumontoan.com 2020 ⋅ (b − 2018) b+2 2020 2020 1 1 Do P ≤ + ⇒ Pmax = + 2018 2020 2018 2020 Dấu xảy ra= a 4035, = b 4038 = b − 2018 ≤ BÀI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 1 1A VP= (3x − 1)(x + 2) ⇒ ĐK: x ≥ 3 Ta có VT= 1 x + x − − x − = 3 2 1 x − 3 1 1 PT ⇔ x − = (3x − 1)(x + 2) Tìm S = 3 3 1B Tương tự 1A ĐK x ≥ − PT tương đương 1 1 x − + x + = (2x + 1)(x + 1) ⇔ x + = (2x + 1)(x + 1) 2 2 ⇔ (2x + 1)x = Tìm S= − ; 2A a) ĐK: − ≤ x ≤ PT ⇔ ( 3x + − 4) + (1 − − x ) + 3x − 14x − = ⇔ (x − 5) + + (3x + 1) = + + − + 3x x 1 + + (3x + 1) > Với − ≤ x ≤ − x +1 3x + + Vậy S = {5} b) PT ⇔ 5x + + 5x + + 9 = x + + 5x + + 4 3 5 ⇔ 5x + + = x + với x ≥ có 2 2 ± 13 ; Trường hợp 5x + = x + tìm x = Trường hợp 5x + = −(x + 4) (vô nghiệm) c) x + 2x − − + x − 2x − + = 2 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 87 Website:tailieumontoan.com Nhân hai vế với đưa - Với 2x − ≥ Tìm x = 2x − + > nên có - Với ≤ 2x − < định Vậy ≤ x ≤ 2x − + + 2x − − = 2x − − = với x ≥ 2x − + + 2x − + − 2x − =4 với x thuộc tập xác 2B a) ĐK: x ≥ PT ⇔ x − − + x − 3= x3 − − (x − 3)(x + 3x + 9) x+3 = ⇔ (x − 3) + (x − 1) + x − + x3 − + x+3 x+3 Ta có: + = nên x − = ⇔ x = Vậy S = {3} 4; b) PT ⇔ (x − 1) + 16 − x − = Sử dụng BĐT a + b ≤ a + b nên (x − 1) + 16 − x − ≤ x − + − x − =4 − x − Từ ≤ − x − ⇔ x − = ⇔ x = 3A Từ phương trình ta thấy x > Chia vế cho x ta 1 +1 + x + = 3 Đặt: t =+ x ,t≥2 x x x t≤3 ⇔= 3(3 − t) ⇔ t PT trở thành: t −= t − 9t + 14 = x2 + ⇒x+ = ⇔ x = Vậy S = {1} x 3B PT ⇔ − x =1 − 2x − 2x − x ⇒ − x = + 4x + 4x (1 − x ) − 4x − 4x − x + 8x − x ⇔ x(1 − − x + 8x − x ) = x=0 ⇔ 2 (*) 1 − − x + 8x − x = t − x ĐK: t ≥ Ta có x = − t Đặt = PT trở thành: − 4t + 8t(1 − t ) = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 88 Website:tailieumontoan.com 1+ ⇔ 8t − 4t − =0 ⇔ (2t + 1)(4t − 2t − 1) =0 ⇔ t = 5− 5− Thử lại loại nghiệm x = 8 − Vậy= S 0; − 4x + 5x + = a 4A Đặt ÑK : a, b > b x − x + = Tìm x = ± PT trở thành: a − b = a − b ⇔ (a − b)(a + b − 1) = a=b 4x + 5x + 1= 4x − 4x + ⇔ ⇔ 2 a + b = 1 4x + 5x + + x − x + = x = ⇔ 4x + 5x + = − x − x + (*) 1 Ta có (*) vơ nghiệm Vậy S = 3 4B ĐK: x ≥ Bình phương vế ta có: (x + 2x)(2x − 1) = x + ⇔ (x + 2x)(2x − 1) = (x + 2x) − (2x − 1) 1− a= b x + 2x = a 2 Đặt: Khi đó: ab = a − b ⇔ 1+ 2x − =b b a = 1+ 1+ b ⇔ x += 2x (2x − 1) 2 ⇔ 2x + 2(1 − 5)x + ( + 1)= 0; ∆′ < (vô nghiệm) Do a, b ≥ nên = a Vậy S∈ ∅ 5A a) PT ⇔ x + 2x= 2x − + 2x − Đặt = t 2x − , ta x + 2x =t + 2t ⇔ (x − t)(x + xt + t ) + 2(x − t) =0 ⇔ (x − t)(x + xt + t + 2) =0 t 3t Vì x + xt + t + = x + + + > nên x = t 2 2 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 89 Website:tailieumontoan.com ⇔ (x − 1)(x + x − 1) = −1 ± Tìm S = 1; 5B Đặt: 3 3t + Lại có: t= 3x + 3x + = t PT trở thành x= x3 = 3t + 3t + x = Ta có hệ: ⇔ 3 t = 3x + x − t = 3(t − x) x= 3t + Vì x + tx + x + > 0, ∀x, t ⇔ 2 (*) (x − t)(x + tx + t + 3) = ⇒ x − t =0 ⇔ x =t ⇒ x − 3x − =0 ⇔ (x + 1) (x − 2) =0 Tìm S = {−1; 2} 6A PT ⇔ 2x + − (x + 5) 2x + + 3x + =0 Đặt t = 2x + (t ≥ 1) PT trở thành: t − (x + 5)t + 3x + = t =3 ∆ = [ −(x + 5)] − 4(3x + 6) = (x − 1) ⇒ t= x + t = tìm x = ±2 { } t = x + tìm x= ± Vậy S =±2; ± 6B a) PT ⇔ (x + − x x + 5) + (−3 x + + 3x) =0 ⇔ ( x + − x)( x + − 3) = Vậy S = {±2} b) ĐK: x ≥ −1 Ta có x = khơng nghiệm PT nên ta nhân hai vế phương trình với + x − ≠ ta được: = x( + x − 1) x( + x + 2x − 5) ⇔ ( + x + 2x − 5) = ( + x − 1) ⇔ x = Vậy S = {2} Cách khác: Tương tự 1A Phân tích x = ( + x + 1)( + x − 1) 7A PT ⇔ 3(x + 1) + + 5(x + 1) + =5 − (x + 1) Ta có: VT ≥ 5, VP ≤ Vì VT = VP = 21 + 41 '' x + =0 ⇔ x =−1 Vậy S = Dấu '' =⇔ 7B a) ĐK: x ≥ Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: 2 + x ≤ 2 x +1 ( ) 2 x = x +9 + x + 1 + x + x + Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 90 Website:tailieumontoan.com 2 1 = ⇔x= x +1 x +1 b) ĐK: −1 ≤ x ≤ Áp dụng BĐT Côsi ta có: 4(1 − x ) + x − 3x 4(1 − x )x ≤ = 2 52 − 39x ⇒ 13 x − x ≤ (1) 13x + 39x + 12 2 9x 4(1 + x ) ≤ ⇒9 x +x ≤ (2) Dấu '' ='' ⇔ Cộng vế (1) (2) ta có: 13 x − x + x + x ≤ 16 4(1 − x ) = x2 Tìm S= ± Dấu = ⇔ 5 9x= 4(1 + x ) ĐK: x ≥ PT ⇔ 4x − 6x += ( 2x + 3) − 2x + + 4 '' '' 2 3 1 ⇔ 2x − = 2x + − 2 2 − 21 + 17 Tìm S = ; PT ⇔ 2x + 3 x − 1( x + + x − 1) = 5x Do phép thay x + + x − =3 5x không tương đương nên cần thử lại giá trị x vừa tìm Vậy = S 0; ± ⇒ x − 5x = x ⇒ 4x − 5x = 0⇒ x = 0; x = ± 10 PT ⇔ ( x + − 2x)( x + − 1) = Tìm được: x = 0; x = Vậy S = {0;1} 11 Tương tự 2B PT ⇔ (x − 2) + = 2 2 − − + − + − + − + 3x 5x 3x 7x x x 3x Do + >0 3x − 5x − + 3x − 7x + x − + x − 3x + Nên x − = ⇔ x = (TMĐK tồn thức) Vậy S = {2} 12 Tương tự 3A Ta có x = nghiệm, chia hai vế cho x ta được: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com 1 Đặt= t x − + x − = x x x− x 1 ± Ta có t + t − = ⇔ t = Tìm S = PT trở thành: 4t =− t + 7t − ⇔ t − 6t + − (t − 4t + 4) =0 13 Đặt = t x + x + 1, t ≥ ⇔ (t − 3) − (t − 2) =0 ⇔ (t − t − 1)(t + t − 5) =0 (*) t − t − =0 −1 + 21 1+ Tìm được: t = t = (*) ⇔ 2 t + t − =0 −1 ± + −1 ± 19 − 21 Tìm S = ; 2 14 ĐK: x ≥ − Đặt= t x + + (t > 2), t 2(x + 1)t x + + = Ta có hệ 2 t − x + = ⇒ x + + t= (t − x + 1)(x + 1)t ⇔ (t x + + 1)(t + x + − t x + 1) =0 ⇔ (t x + + 1)(t − x + 1) = ⇔ t = x + x +1 + = 2 x +1 ⇔ = x −15 + 33 32 −15 + 33 Tìm S = 32 15 a) Đk: − 10 ≤ x ≤ 10 x + = a Đặt (*) Điều kiện a ≥ 3; ≤ b ≤ 10 b 10 − x = a+b= Khi ta có hệ: 2 13 a + b = a= a= +b +b = a a = ⇔ ⇔ ⇔ 2ab 13 = ab = b b = (a + b) − = { } Tìm S =± 6; ± Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 92 Website:tailieumontoan.com 2x + x + + = a b) Đặt: , a;b ≥ Ta có hệ: 2x − x + + = b a + b= x + + a= x + + ⇔ − = + + = + a b x 1 b x Tìm x = 16 a) Tương tự 2A Cách ĐK: x > Nhân hai vế phương trình với: 2x + 3x + − 2x − 3x + ≠ Ta được: = 6x 3x( 2x + 3x + − 2x − 3x + 5) ⇔ 2x + 3x + − 2x − 3x + = (*) Cộng hai vế phương trình cho với (*) ta được: 2x + 3x + = + 3x ⇔ x = Vậy S = {4} Cách Đặt = + a, 2x + 3x = +5 b 2x − 3x a − b2 Ta có: 3x = b) ĐK: x + x − ≥ ⇒ x + x + > a = Đặt b = x3 + x −1 x +x +2 Với b > a ≥ Ta có hệ phương trình a= a= +b +b +b = a= a ⇔ ⇔ ⇔ − a (b + a)(b= − a) b= −a = b b = x + x − = x3 + x −1 = ⇔ ⇔ 3 x + x + = x + x + = Tìm S = {1} 17 a) ĐK: 5x − ≥ 5x − 2 6t + (t ≥ 0) Ta có 5x= Cách Đặt t = PT trở thành x + 6t + − =⇔ t x + 6t + = (t + 1)3 ⇔ x = (t − 1)3 ⇔ x = t − ⇔ t = x + { } ⇔ x =−6 + 28 Vậy S = −6 + 28 Cách Đặt 5x − x3 = + 5x − a, = b Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 93 Website:tailieumontoan.com a − 6b =x + Giải hệ a−b = b) Tương tự 4A a= x + x + ĐK: a ≥ Đặt ; b ≥ b x = + Ta có: 2x − x − 5= 2a − 3b ; 2x + x + 1= 2a − b Thay vào PT ta được: b b b (2a − 3b )a + (2a − b )b = ⇔ + − − = a a a 2 b ⇔ = a 2 b 4b +2= + a a b b b - Với: + + = : PT vô nghiệm ≥ a a a x =1 b - Với: =1 ⇔ b =a ⇔ a x = −1 Vậy S = {−1;1} 18 Tương tự 4A x + 2x + 2x + = (x + 1)(x + x + 1) nên ĐK: x ≥ −1 Ta có x + 2x + = (x + 1) + (x + x + 1) Đặt a = x + 1, b = x + x + PT trở thành: 3(a + b ) = 10ab ⇔ 3a − 10ab + 3b = a = 3b ⇔ (a − 3b)(3a − b) =0 ⇔ a = b a = 3b ⇔ x + = x + x + ⇔ 9x + 8x + = (vô nghiệm) b a = ⇔ x + = x + x + ⇔ x − 8x − = ⇔ x = ± = Vậy S {4 ± 6} 19 a) Điều kiện: x ≥ Đặt u = 10 + x , u ≥ 10 x= 10 + u Ta có: u= 10 + x ⇒ x − u − ( x − u ) = ⇔ ( x − u )( x + u + 1) = x=u Ta có (*) vơ nghiệm ⇔ u + x + = (*) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 94 Website:tailieumontoan.com x ≥ 10 21 + 41 ⇔x= x = u ⇔ x = x − 10 ⇔ 2 x − 21x + 100 = 21 + 41 Vậy S = b) Tương tự 5B x + = a ĐK: a ≥ 7; b ≥ Đặt: x = b a = a−b = Tìm Ta có hệ sau: b =1 a − b = a = x + = ⇔ ⇒ ⇔x= Vậy S = {1} = x = b t + 3t =x + t Ta có hệ 20 a) Đặt x + 3x − = t x + 3x =+ Trừ vế PT ta (t − x)(t + x + 4) = Với t =x ⇔ x =−1 ± Với t =− x − ⇔ x =0, x =−4 30 xa(x + a) = 35 − x =a → x + a =35 Ta có 3 35 (2) x + a = (2) ⇔ (x + a)(x − xa + a ) = 35 b) Đặt ⇔ (x + a)[(x + a) − 3xa] = 35 ⇔ (x + a)3 = 125 x = +a = x x = ⇔ ; Ta có = a x.a = a 3= Tìm x ∈ {2;3} 21 a) PT ⇔ (x + − x x + 5) + (−3 x + + 3x) =0 ⇔ ( x + − x)( x + − 3) = Vậy S = {±2} b) ĐK: −1 ≤ x ≤ Ta có: 2x= [ (1 + x) − 1]= 2( + x − 1)( + x + 1) + x − =0 (*) ⇔ − x + = 2( + x + 1) (**) (*) ⇔ x = (**) ⇔ − x = + x + ⇔ − x = + 4x + + x + Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 95 Website:tailieumontoan.com 24 24 Vậy S= − ;0 25 25 c) ĐK: x ≥ −1 Ta có x = khơng phải nghiệm phương trình nên ta nhân hai Tìm x = − vế phương trình với + x − ≠ ta được: x( + x + 2x − 5) = x( + x − 1) ⇔ ( + x + 2x − 5) = ( + x − 1) ⇔ x = Vậy S = {2} Cách khác: Tương tự 1A Phân tích x = ( + x + 1)( + x − 1) 22 a) PT ⇔ 2x + − (x + 5) 2x + + 3x + =0 Đặt t = 2x + (t ≥ 1) PT cho trở thành: t − (x + 5) t + 3x + = t =3 ∆ = [ −(x + 5)] − 4(3x + 6) = (x − 1) ⇒ t= x + { } Vậy S =±2;2 ± b) PT ⇔ x + − x x + − x + + 4x = ⇔ x + 7( x + − x) − 4( x + − x) = ⇔ ( x + − x)( x + − 4) = Tìm S = {±3} c) Tương tự 6A (1) ⇔ x + 2x + − (2x + 1) x + 2x + + 4x − = ⇔ ( x + 2x + − 2x + 1)( x + 2x + − 2) = + 15 Tìm = S ; −1 ± 23 a) Tương tự 2B Cách PT ⇔ x − 2x − + 3(x + 2) − (x + 2) x − 2x + = ⇔ x − 2x − + (x + 2)(3 − x − 2x + 2) = (x − 1) + − (x − 1) ⇔ (x − 2x − 7) = x 2x − + + Vậy S= {1 ± 2} Cách Đặt x − 2x + = t PT trở thành t = x −1 t − (x + 2)t + 3x − = ⇔ ⇒ x =1 ± 2 t2 = t b) Tương tự 6A Đặt = x + ≥ PT trở thành: Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 96 Website:tailieumontoan.com t = x + ⇒ 2t + (1 − 4x)t + 2x − = ⇒ t = 2x − 4 Tìm S = 3 24 Ta có: VT 2= ( − x + x − 5) ≤ (1 + 1)(7 − x + x − 5)= Do đó: < VT ≤ Mặt khác: VP =x − 12x + 38 =2 + (x − 6) ≥ '' ⇔x= Vậy S = {6} Dấu '' = 25 Điều kiện: ≤ x ≤ PT ⇔ − x + 3x − = − x +1 Ta có: − x + ≥ ⇔ x + ≤ ⇔ x + ≤ ⇔ x ≤ Kết hợp với ĐK tìm S = {1} 26 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: (x + x − 1) + x + x = x + x − ≤ 2 2 x − x + ≤ (x − x + 1) + =x − x + 2 ⇒ x2 + x −1 + x − x2 +1 ≤ x +1 Do đó: x − x + ≤ x + ⇔ (x − 1) ≤ ⇔ x = Vậy S = {1} Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... vượt mức a% (100 a )%.x 6A Trong tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy Sang tháng thứ hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt múc 10% so với tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất 101 0 chi tiết... tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 23 Website:tailieumontoan.com c) Viết phương trình đường thẳng d3 song song với d1 : = y x + qua điểm cố định d d) Chứng minh với m ≠ 0, d cắt... người làm thêm sản phẩm so với dự kiến, thời gian hồn thành cơng việc Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 10 Website:tailieumontoan.com chậm so với dự định 12 phút Tính