Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 157 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
157
Dung lượng
2,69 MB
Nội dung
Tailieumontoan.com Sưu tầm CÁC CHỦ ĐỀ LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN Thanh Hóa, ngày 27 tháng năm 2020 Website:tailieumontoan.com Chuyên đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TỐN LIÊN QUAN Câu (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước - chuyên 2018-2019) a +1 a +1 ab + a ab + a + − 1 : − + 1 a) Rút gọn biểu thức T = ab − ab − ab + ab + b) Cho x + = Tính giá trị biểu thức: H =x − 3x − 3x + 6x − 20x + 2023 Lời giải a) Rút gọn biểu thức T a ≥ Điều kiện: b ≥ ab ≠ Ta có ( ) ab a + a +1 ab + a + −1 = ab − ab + ab − ( ) −2 a + a +1 ab + a − +1 = ab − ab + ab − ab Do T = ( ) : −2 ( a +1 ab − ab − b) Ta có x + = ⇔ − x = ( ⇒ 2−x ) )= − a +1 ab = ⇔ − 4x + x = ⇔ x − 4x + = Ta có: H = (x = x3 ) ( (x − 4x + 1) + x (x ) ( − 4x + 1) + ( x ) − 4x + x + x − 4x + x + x − 4x + + 2018 2 2 ) − 4x + + 2018 Vì x − 4x + = nên H = 2018 Câu (Tuyển sinh tỉnh Bình Định 2018-2019) A = − Cho biểu thức x+ x x , với x > : x +1 x + x +1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A > Lời giải Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Điều kiện: x > = A − x+ x x : x +1 x + x +1 = A − x x +1 ( ) x ( x x +1 ) ( ) x +1 x − x )( x + 1) − x )( x + 1) (1= (= x x ( x + 1) x = A 1− x x b) Với điều kiện: x > 1− x A> ⇔ > ⇔ − x > x ⇔ 3x < ⇔ x < x Kết hợp với điều kiện x > , Vậy với < x < Câu A > (Tuyển sinh tỉnh Trà Vinh - Chuyên 2018-2019) − 1 + x − y x Cho biểu thức: = Q y : với x > y > 2 2 x − y x− x − y x a Rút gọn Q b Xác định giá trị Q x = y Lời giải a) Rút gọn Q: − 1 + x − y y : 2 x − y x − x2 − y x = Q x x + x2 − y x − x2 − y x = − ⋅ y x2 − y x2 − y x = x2 − y x = x2 − y = = ( x− y − − ) x2 − x2 + y y x2 − y y x2 − y 2 x + y x − y x− y x+ y Vậy Q = x− y x+ y với x > y > Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Thay x = y (thỏa mãn ĐK) vào biểu thức Q, ta được: 3y − y = 3y + y = Q 2y = 4y 2 x = y Vậy Q = Câu (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - Chuyên 2016-2017) x + + x + − x + − x + với x > Đơn giản biểu thức Lời giải Ta có: = x + + x +1 − x + − x +1 x +1+ x +1 +1 − x +1− x +1 +1 ( = = ) x +1 +1 x +1 +1 − = x +1 +1− ( ( − ) x +1 −1 x +1 −1 ) x +1 −1 = Vậy với x > x + + x +1 − x + − x +1 = (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre - chuyên Toán 2018-2019) Câu a b + a −b a − b với a, b hai số thực dương + ab a) Rút gọn biểu thức P : ⋅ a + b (a + b) Cho biểu thức P = ( ) b) Tính giá trị biểu thức P = b 2020 + 2019 = a 2019 + 2018 Lời giải a) ab P= P: ( ) ( ) (1 + a− b + a− b = + ab ( a + b (a + b) ) ( ( ) 2019 + 1) ( =a− b )( )( ) a− b = + ab ab a− b ) a + b (a + b) = ( a − b )( a + b= ) a − b2 b) = a = b 2018 + 2 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com = P 2018 + − 2019= −1 2018 − 2019 (Tuyển sinh tỉnh Bình Định – chuyên Toán - 2018-2019) Câu = Cho biếu thức : T ( a− b ) + ab a − b a − b3 : − a− b a −b a+ b , với a ≠ b, a > 0, b > a) Rút gọn biểu thức T b) Chứng tỏ T > Lời giải a) Rút gọn T: Với a ≠ b, a > 0, b > , ta có: = T = a + b − ab a + a b − b a − b3 − a + b3 a + b − ab = ⋅ : a+ b a+ b a− b a+ b ( ) )( ( a− b ab ( )( a+ b a− b ) ) a + b − ab ab Vậy : T = a + b − ab , với a ≠ b, a > 0, b > ab b) Chứng tỏ T > Ta có: T = a + b − ab , với a ≠ b, a > 0, b > (kết câu 1.a) ab = ⇔T ( ) a − b + ab = ab ( a− b ab (vì ) +1 > ab > 0, a − b ≠ với a ≠ b, a > 0, b > ) Vậy T > Câu (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam – chuyên Toán - 2018-2019) 1+ a 1− a 1 Q = + − − a − 2a + (với < a < ) a a 1 a a + − − 1 a a − − + 1) Rút gọn Q 2) So sánh Q Q Lời giải Với < a < 1, ta có: 1+ a 1− a 1 Q = + − − a − 2a + a − a − + a a 1+ a − 1− a Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1+ a = + 1+ a − 1− a (1 − a ) (1 − a )(1 + a ) − (1 − a ) 1+ a = + 1+ a − 1− a (1 − a ) ( + a − − a (1 − a ) ) 1+ a 1− a = + + − − + − − a a a a 1 1 − a2 − a2 a (1 − a )(1 + a ) (1 − a )(1 + a ) − a a ( a − 1) 1 − a −1 a (1 − a ) + a + − a (1 − a )(1 + a ) − (1 + a ) − (1 − a ) (1 − a ) 2a 1+ a − 1− a 1+ a + 1− a − 1+ a − 1− a ( ( 1+ a − 1− a ) (1 − a ) 2a ) )( 1+ a + 1− a 1+ a − 1− a = − (1 − a ) 2a (1 + a ) − (1 − a ) = − 2a 2a 2a − (1 − a ) =− a (1 − a ) = Do > a > ⇒ > a − > −1 ⇒ > ( a − 1) > ( ) Xét Q − Q = ( a − 1) ( a − 1) − > Vậy Q > Q Câu (Tuyển sinh tỉnh Quảng Trị - chuyên 2018-2019) Rút gọn biểu thức: + − 13 + 48 A= 6+ Lời giải = A = 3+ Câu ( ( ) −1 6+ ) + − +1 = 6+ 2 3+ 4− 6+ ( + 1) 4+2 == = ( + 1) ( + 1) (Tuyển sinh tỉnh Điện Biên - chuyên 2018-2019) Cho biểu thức P = x +2 x + 3x + x − , ( x ≥ 0; x ≠ 25) − − x +1 − x x − x − a) Rút gọn P Tìm số thực x để P > −2 b) Tìm số tự nhiên x số phương cho P số ngun Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải a) Rút gọn P Tìm số thực x để P > −2 x +2 x + 3x + x − − − = x +1 − x x − x − P= x +2 x +3 − − x +1 − x ( = ( x + 2)( x − 5) + ( x + 3)( x + 1) − (3 x + x − 5) ( x + 1)( x − 5) = −x − x − ( x + 1)( x + 2) x +2 = − = − ( x + 1)( x − 5) x −5 ( x + 1)( x − 5) Ta có P > −2 ⇔ − 3x + x − )( x +1 x −5 ) x −2 ⇔ − >0⇔ x −5 x −5 > x 12 + Với x < ⇔ ≤ x < 25 + Với x > 12 ⇔ x > 144 b) Tìm số tự nhiên x số phương cho P số ngun Ta có x số phương nên Khi P =− x ∈ , x − ≥ −5 x +2 =−1 − ∈ x −5 x −5 ⇒ x − ước Suy +) x − =−1 ⇒ x =16 +) x − =1 ⇒ x = 36 +) x − = ⇒ x = 144 x − ∈ {−1;1;7} Vậy giá trị x cần tìm 16;36;144 Câu 10 (Tuyển sinh tỉnh Tiền Giang - chuyên 2018-2019) Rút gọn biểu thức A = 29 − 12 + 5+ Lời giải A= 29 − 12 + ( 5 = =2 − 20 − 2.2 5.3 + + 5+ 5+ ) + ( 5+2 ) = −3+5− = Câu 11 (Tuyển sinh tỉnh Dak Nông - chuyên 2018-2019) x−4 = + 1 : Cho biểu thức P x − x + 2x − x +1 Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P Lời giải Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐK: x ≥ 0; x ≠ ; x ≠ 1; x ≠ x−4 P = + 1 : x − x + 2x − x +1 x +2 x −2 = + 1 ⋅ x − x − x −1 x −2 ( ( x +2 = + 1 ⋅ x −1 = (2 ) ) )( )( ( ( )( ) ( x − x − 1= )( ) )( )( ) x + + x −1 ⋅ x −1 ) x + ⋅ x − = x − Câu 12 (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên - chuyên 2018-2019) Cho biểu thức A = x +1 −1 : ; B = x − x − x + 2025 với x > 0; x ≠ x x + x + x −x + x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để biểu thức T= B − A2 đạt giá trị nhỏ Lời giải a) A= −1 x +1 = : x x + x + x −x + x x +1 x (1 − x )(1 + x + x) = x −1 −1 x ( x + x + 1) b) T =B − A2 = x − x − x + 2025 − 2( x − 1) =x − x − x + 2025 − x + x − =x − x − x + 2023 = ( x − x + 16) + ( x − x + 4) + 2003 = ( x − 4) + ( x − 2) + 2003 ≥ 2003 (∀x) GTNN T 2003 x = Câu 13 (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn - chuyên 2018-2019) Rút gọn biểu thức = P x − 13 x + x −4 với x ≥ 0, x ≠ − + x −2 x −3 x +1 x −3 Lời giải P= = x − 13 x + − ( ( x + 1)( x − 3) (= ( x + 1)( x − 3) x −4 )( )( x +1 ) ( x −3 +5 x −3 ) )= x +1 ( 2x − x − )( x +1 x −3 ) x −3 x −3 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 14 (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang - chuyên 2018-2019) x+4 x +4 x+ x 1 Cho biểu thức A = (với x > 0; x ≠ ) + − : − x x + 1 − x x+ x −2 a) Rút gọn biểu thức A b) Có giá trị nguyên x để A ≥ + 2018 2018 Lời giải a) + Biến đổi x+4 x +4 x+ x += 1− x x+ x −2 ( ( + Biến đổi 1 x − = x +1 1− x x +1 x −1 + Ta có A 2 x = : x −1 x +1 x −1 )( ( )( )( x −1 ) x +2 − ) ( x ( ) x +1 )( x −1 ) x +1 x +2 x − = x −1 x −1 x −1 = ( x +2 ) ) x −1 ( )( x +1 ) x −1 x x +1 , với điều kiện x > 0, x ≠ x + Vậy A = b) A ≥ + 2018 1 1 ⇔ 1+ ≥ 1+ ⇔ ≥ 2018 x 2018 x 2018 x ≤ 2018 ⇒ < x ≤ 2018 Vì x > 0, x ≠ x nguyên nên x ∈ {2;3; 4; ; 2018} Suy có 2017 giá trị nguyên x thỏa mãn toán Câu 15 (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương - chun 2018-2019) Tính giá trị biểu thức: P= 1 1 + + + + +1 + + 2025 2024 + 2024 2025 Lời giải P= 1 1 + + + + +1 + + 2025 2024 + 2024 2025 Với n ∈ N * , ta có: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 = n + n n +1 n + n n + + n ( ( n + 1) = n +1 − n = n + n ( n + − n ) n +1 − n = n + n ) 1 − n n +1 Áp dụng kết trên, ta được: 1 1 1 1 − + − + − + + − 2 3 2024 2025 1 44 = − =− = 45 45 2025 P= Câu 16 (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - chuyên 2018-2019) P Cho biểu thức= ( x+2 x )− x+ x −2 a Chứng minh P = x +2 x +1 − (với x ≥ 0; x ≠ ) x −1 x +2 x +3 x +2 b Chứng minh x ≥ 0; x ≠ P ≤ Lời giải a Ta có P = = = = ( ( x − 1)( x + 2) ( x − 1)( x + 2) ( 3x + x − ( x +2 ) − )( x − 1)( x +1 ) x + 2) x −1 3x + x − x − x − − x + ( )( x −1 x +2 ) x+ x −3 ( x − 1)( x + 2) x − 1)( x + 3) (= ( x − 1)( x + 2) b P = Với x ≥ 0; x ≠ ta có x +3 x +2 x +3 = 1+ x +2 x +2 x +2≥2⇒ 1 3 ≤ ⇒ 1+ ≤ ⇒P≤ x +2 x +2 Câu 17 (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình - chuyên 2018-2019) Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: P= Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 x + + 2018 x TÀI LIỆU TỐN HỌC 142 Website:tailieumontoan.com Có S ≤ m + n + p ( m + n ) + m n = m n + ( p + 1) m + n ( p + 1) ( m + n + p + 1) ≤ =108 m = 18 Dấu đẳng thức xảy m = n = p + = = ⇔ n = p = Vậy thiết lập tối đa 108 tuyến đường chiều để hết 18 địa điểm cho Câu 174 (Tuyển sinh tỉnh Đắc Lắk - chuyên 2018-2019) 1) Truyện kể hoàng tử cứu công chúa gặp rắn có 100 đầu Hồng tử có hai kiếm: Thanh kiếm cho phép chặt 21 đầu rắn Thanh kiếm cho phép chặt đầu rắn rắn lại mọc thêm 2018 đầu khác 2) Biết rắn có 21 đầu đầu hồng tử khơng dùng kiếm kiếm tương ứng hoàng tử cứu công chúa rắn bị chặt hết đầu Hỏi hồng tử có cứu cơng chúa khơng? 3) Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn đồng thời: x + 4y + z + 2xz + 4(x + z) = 396 x + y = 3z Lời giải 1) Giả sử rắn có n đầu ( n số nguyên dương) Nếu dùng kiếm kiếm số đầu rắn sau bị chặt n - 21 n + 2009 Tức giảm tăng đại lượng bội số Mà 100 chia dư nên hoàng tử cứu công chúa 2) Từ điều kiện x + y = 3z suy x + y chia hết cho hay x, y chia hết cho x + 4y + z + 2xz + 4(x + z) = 396 ⇔ (x + z + 2) = 4(100 - y ) Suy ra: 100 - y số phương y ≤ 100 Mặt khác y nên y ∈ {0; 36} ⇒ y ∈ {0; 6; -6} x2 x2 x = 3z z = z = ⇔ ⇔ Xét y = : 3 ( x + z + ) = 400 x + z + = 20 x + z + = -20 Tìm x = 6, z =12 x = -9, z = 27 x + 36 = 3z Xét y = y = -6 : ( x + z + ) = 256 x2 x2 + 12 + 12 z = z = ⇔ ∨ 3 x + z + = 16 x + z + = -16 Giải x, z ∉ Z Vậy ( x; y; z ) ( 6; 0; 12 ) ( -9; 0; 27 ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 143 Website:tailieumontoan.com (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn - chuyên 2018-2019) Câu 175 a) Cho n ∈ N Chứng minh n + 3n + số nguyên tố b) Cho n ∈ N cho 2n + 3n + 81 số phương Chứng minh n chia hết cho 40 Lời giải a) Dễ thấy A = n + 3n + = ( n + ) - n = ( n - n + )( n + n + ) Vì n ≥ 0, n ∈ N nên n - n + = n ( n - 1) + ≥ 2; n + n + ≥ Do A có ước thực khác A , A số nguyên tố 2n + = x (1) b) Rõ ràng n = thỏa mãn yêu cầu toán Ta có 3n + 81 = y ( ) Từ (1) suy x lẻ nên x = 2a + Thay vào (1) ta 2n = 4a ( a + 1) nên n chẵn Do đó, từ ( 2) suy y lẻ nên y = 2b + Thay vào ( 2) ta 3n + 80 = 4b ( b + 1) , ý ( 3; ) = , suy n Chú ý A ≡ 0, 1, ( mod ) với A nguyên Cộng (1) (2) ta x + y = 5n + 82 ≡ ( mod ) , nên x ≡ y ≡ 1( mod ) Trừ (2) cho (1) ta n + 80 = y - x ≡ ( mod ) tức n Từ điều n 40 (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn - chuyên 2018-2019) Câu 176 a) Cho 17 điểm bên hình chữ nhật với chiều dài 5, chiều rộng Chứng minh có hai điểm mà khoảng cách chúng khơng vượt b) Cho k số nguyên dương a1 , a , , a k thỏa mãn a1 < a < < a k ≤ 4035 k > 2018 Chứng minh số tồn hai số a m ; a n cho a1 + a m = a n Lời giải a) B A Chia hình chữ nhật thành 10 hình vng với kích thước 1×1 Vì có 17 điểm nên theo ngun lí Dirichlet ln tồn điểm nằm hình vng 1×1 đó, giả sử A, B Độ dài AB khơng vượt q đường chéo hình vng nên AB ≤ Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 144 Website:tailieumontoan.com b) Ta thấy k - số a - a1 ; a - a1 ; , a k - a1 phân biệt a1 < a < < a k Kết hợp với k số ban đầu ta có 2k - số Chú ý tất số nguyên dương a - a1 ; a - a1 ; , a k - a1 a1 , a , , a k không vượt 4035 Mặt khác, số số a - a1 ; a - a1 ; , a k - a1 , a1 , a , , a k 2k - > 4035 Theo ngun lý Dirichlet có hai số trùng Vì a - a1 ; a - a1 ; , a k - a1 phân biệt nên tồn a n - a1 = a m a1 + a m = a n Câu 177 (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang- chuyên 2018-2019) Chứng minh không tồn số tự nhiên n để 2018 + n số phương Lời giải Giả sử 2018 + n số phương 2018 + = n m ( m ∈ * ) Suy 2018 = m − n ⇔ 2018 = ( m − n )( m + n ) Như hai số m − n m + n phải có số chẵn (1) 2m nên suy hai số m − n m + n tính chẵn lẻ (2) Mà ( m − n ) + ( m + n ) = Từ (1) (2) suy hai số m − n m + n hai số chẵn ⇒ ( m − n )( m + n ) chia hết cho Mà 2018 không chia hết điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2018 + n số phương Câu 178 (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang- chuyên 2018-2019) Mười đội bóng chuyền tham gia giải bóng chuyền VTV cup 2018 Cứ hai đội giải đấu thi đấu với trận Đội thứ thắng x1 trận thua y1 trận, đội thứ hai thắng x2 trận thua y2 trận,…, đội thứ mười thắng x10 trận thua y10 trận Biết trận đấu bóng chuyền khơng có trận hịa Chứng minh rằng: x12 + x22 + + x102 = y12 + y22 + + y102 Lời giải Có 10 đội bóng, đội thi đấu trận với đội lại Do số trận thua đội từ đội thứ đến đội thứ 10 : y1 = − x1 , y2 = − x2 , , y10 = − x10 Có tất số trận đấu : 10.9 = 45 trận Vì khơng có trận hịa nên tổng số trận thắng 10 đội là: x1 + x2 + + x10 = + + + + = 45 Ta có : y12 + y22 + + y102 = ( − x1 ) + ( − x2 ) + + ( − x10 ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 145 Website:tailieumontoan.com ⇔ y12 + y22 + + y= 10.92 − 18 ( x1 + x2 + + x10 ) + ( x12 + x22 + + x102 ) 10 ⇔ x12 + x22 + + x102 = y12 + y22 + + y102 ( đpcm) Câu 179 (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ngãi - chuyên 2018-2019) a Chứng minh với số tự nhiên n n3 − 9n + 27 khơng chia hết cho 81 b Một số nguyên dương gọi số may mắn số gấp 99 lần tổng tất chữ số Tìm số may mắn Lời giải a Chứng minh với số tự nhiên n n3 − 9n + 27 không chia hết cho 81 Giả sử tồn số tự nhiên n để n3 − 9n + 27 81 , suy n3 − 9n + 27 hay n => n = 3k n3 − 9n += 27 27 ( k − k + 1) Mà n3 − 9n + 27 81 nên ( k − k + 1) Nhưng ( k − k + 1) = ( k − 1) k ( k + 1) + không chia hết cho với k Vậy với số tự nhiên n n3 − 9n + 27 không chia hết cho 81 b Một số nguyên dương gọi số may mắn số gấp 99 lần tổng tất chữ số Tìm số may mắn 99 ( a1 + a2 + + am ) Giả sử số cần tìm a1a2 am ⇒ a1a2 a= m TH1 m ≤ kiểm tra trực tiếp suy vô nghiệm TH2 m ≥ a1a2 am ≥ 10m −1 Ta ln có suy 10m −1 ≤ 891m + + + ≤ 99 a a a 99.9 m ( m) Do m ≥ bất đẳng thức khơng cịn TH3 m = 99 ( a1 + a2 + a3 + a4 ) Suy 1000a1 + 100a2 + 10a3 + a= hay 901a1 + a2= 89a3 + 98a4 1683 nên a1 = 89a3 + 98a4 ≤ ( 89 + 98 ) = Khi đó: a3 = 10 − a4 + 11 + a2 − 9a4 89 Suy 11 + a2 − 9a4 = hay = a2 7,= a4 2,= a3 8,= a1 Vậy số cần tìm 1782 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 146 Website:tailieumontoan.com Câu 180 (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ngãi - chuyên 2018-2019) Trên biểu tượng Olympic có miền ký hiệu 𝑎, 𝑏, , 𝑘 (như hình minh họa) Người ta điền số 1, 2, , vào miền cho miền điền số, miền khác điền số khác tổng số hình trịn 14 a Tính tổng số miền b, d, f h b Xác định cách điền thỏa yêu cầu Lời giải Gọi a , , b, , , k , số miền a, b, , k Mỗi hình trịn có tổng 14 nên hình trịn 5.14 = 70 Khi cộng số miền b, d , f , h cộng hai lần nên b, + d , + f , + h, = 70 − (1 + + ) = 25 5.b Theo giả thiết a , + b, = h, + k , = 14 nên ta có hai cặp thỏa ( 5;9 ) ( 6;8 ) Do b, + h, 11,13,15,17 Dễ thấy b, + h, = 25 ) khơng thể 11 b, + h, = 13 (mà b, + d , + f , + h, = thỏa mãn Nếu b, + h, = 17 d , + f , = ( d , ; f , ) cặp (1;7 ) khơng thể có cặp ( 7;9 ) ( 7;8 ) hình trịn Suy b, + h, = 15 Khơng tính tổng quát, giả sử = b, 9,= h, = a , 5,= k , 8,= d , 3,= f , 7,= c, 2,= e, 4,= g , (hoặc đối xứng lại) Câu 181 (Tuyển sinh tỉnh Yên Bái – Chuyên 2018-2019) ( ) a) Chứng minh A = 52 n − 14n + 2n + 17 n chia hết cho 33, với số ngun dương n b) Cho hình vng cạnh 4cm, người ta đặt vào miền hình vng 17 điểm phân biệt (kể cạnh) Chứng minh tồn hai điểm mà khoảng cách chúng nhỏ Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 2cm TÀI LIỆU TỐN HỌC 147 Website:tailieumontoan.com Lời giải ) ( ( a) Ta có A = 25n − 14n − 28n + 17 n = 25n − 28n + 17 n − 14n ) Vì 25n − 28n 17 n − 14n chia hết A chia hết cho (1) ) ) ( ( Mặt khác A = 25n − 14n + 17 n − 28n Vì 25n − 14n 17 n − 28n chia hết cho 11 nên A chia hết cho 11 (2) Từ (1) (2) kết hợp với (3;11) = suy A chia hết cho 33 b) Cho hình vng cạnh 4cm, người ta đặt vào miền hình vng 17 điểm phân biệt (kể cạnh) Chứng minh tồn hai điểm mà khoảng cách chúng nhỏ 2cm Chia hình vng cho thành 16 hình vng nhỏ, hình vng có cạnh (cm) Trong 17 điểm, tồn nhât điểm nằm hình vng nhỏ Hình vng nhỏ có độ dài đường chéo phải nhỏ (cm) nên khoảng cách điểm (cm) Câu 182 (Tuyển sinh tỉnh Gia Lai - chuyên 2018-2019) Chứng minh (13 + 23 + 33 + + 20173 + 20183 ) 2019 Lời giải Ta có 13 + 23 + 33 + + 20183 = 13 + 20183 + 23 + 20173 + + 10093 + 10103 = (1 + 2018 ) a1 + ( + 2017 ) a2 + ( + 2016 ) a3 + + (1009 + 1010 ) a1009 = 2019a1 + 2019a2 + 2019a3 + + 2019a= 1009 = 2019 ( a1 + a2 + a3 + + a1009 ) Vì a1 , a2 , a3 , , a1009 ∈ nên 2019 ( a1 + a2 + a3 + + a1009 ) 2019 Câu 183 (Tuyển sinh tỉnh An Giang - chuyên 2018-2019) a) Tìm số a hai số x; y thỏa x y 9 x ay đồng thời tổng hai số x; y 7 b) Tìm số số nguyên 𝑥 thỏa mãn bất đẳng thức x 18 x 19 x 2018 19 18 2019 0 Lời giải Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 148 Website:tailieumontoan.com x y x y 7 9 x ay a) Ta có hệ phương trình Từ hai phương trình đầu ta có x y x x x y 7 x y 7 y 15 Thay vào phương trình hệ ta 9.8 a.15 a Vậy a 5; x 8; y 15 b) x 18 x 19 x 2018 19 18 2019 0 Ta có x 19 dấu xảy x 19 18 Để vế trái khơng dương x 18 x 2018 19 2019 Ta xét trường hợp sau theo giá trị 𝑥 + Nếu x 18 x 18 x 2018 19 2019 0 nên vế trái số dương, không thỏa + Nếu 18 x 2018 x 18 x 2018 2019 19 vế trái số không dương, thỏa đề + Nếu x 2018 x 18 x 2018 19 thỏa 2019 nên vế trái số dương, không 18 x 2018 Vậy có 2001 số nguyên thỏa yêu cầu x 18; 2018; x Z Câu 184 (Tuyển sinh tỉnh Nghệ An - chuyên 2018-2019) Cho số tự nhiên n (n ≥ 2) số nguyên tố p thoả mãn p − chia hết cho n đồng thời n − chia hết cho p Chứng minh n + p số phương Cho 17 số tự nhiên mà chữ số số lấy từ tập hợp {0, 1, 2, 3, 4} Chứng minh ta chọn số 17 số cho cho tổng số chia hết cho Lời giải Ta có n − = (n − 1)(n + n + 1) p (1) Do p − n nên p − ≥ n hay p ≥ n + Do n − < p nên từ (1) suy n + n + p Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 149 Website:tailieumontoan.com an, a ∈ , a ≥ Khi = Đặt p −= p an + n + n + an + Suy a ≤ n + (vì a > n + an + > (n + 1)n + 1, mâu thuẫn) (2) Mặt khác, a(n + n + 1) − n(an + 1) an + hay (a − 1)n + a an + (3) Do a ≥ nên (a − 1)n + a > 0, từ (3) suy (a − 1)n + a ≥ an + a ≥ n + hay (4) Từ (2) (4) suy a= n + Do p = (n + 1)n + = n + n + Suy n + p = n + 2n + = (n + 1)2 số phương, đpcm Kí hiệu T0 , T1, T2 , T3 , T4 tập hợp số có chữ số tận 0, 1, 2, 3, - Nếu tập khác rỗng ta chọn từ tập phần tử Khi tổng số chọn có tận nên chia hết cho - Nếu có tập rỗng theo ngun lí Đirichlê, tập cịn lại ln có tập có phần tử Ta chọn số từ tập này, tổng số chọn chia hết cho Vậy trường hợp ta chọn số có tổng chia hết cho Câu 185 (Học sinh giỏi huyện Hoằng Hóa - 2015-2016) a) Tìm số nguyên dương n bé để F = n3 + 4n2 – 20n – 48 chia hết cho 125 b) Chứng minh với số tự nhiên n >1 số A = n6 - n4 +2n3 + 2n2 khơng thể số phương Lời giải a) Ta có: F = n3 + 4n2 – 20n – 48 = (n – 4)(n + 2)(n + 6) Thử với n = 1; 2; F khơng chia hết cho 125 Thử với n = F = chia hết cho 125 Vậy số nguyên dương bé cần tìm là: n = b) A=n6 - n4 +2n3 + 2n2 = n4(n2-1) + 2n2(n+1) = n2(n+1)(n3-n2 +2) = n2(n+1)[(n+1)(n2-2n+2)] = n2(n+1)2(n2-2n +2) = n2(n+1)2[(n-1)2 +1] Ta có: (n-1)2 < (n-1)2 +1= n2 + 2(1-n) < n2 (vì n>1) ⇒ (n-1)2 +1 khơng thể số phương Vậy A khơng thể số phương Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 150 Website:tailieumontoan.com Chuyên đề 9: BIỂU THỨC Câu 186 (Tuyển sinh tỉnh Bình Định - chuyên 2018-2019) ( 4x Tính giá trị biểu thức: P= + x − x3 + x − ) 2018 x = + 2019 2 −1 ⋅ +1 Lời giải Ta có:= x 2 −1 = +1 ( ) 2 −1 = 2 −= 1 ( ) −1 Đặt A = x + x − x + x − Ta thấy: = A x ( x + x + 1) − x + x − = x ( x + x − 1) − x ( x + x − 1) + ( x + x − 1) − ( 4x = + x − 1)( x − x + 1) − 1 Mà x + x − = ⋅ 2 ( ) −1 + ⋅ ( ) −1 −1 = Thay x + x − =0 vào A , ta A = −1 Vậy P = ( −1) 2018 + 2019 = 2020 Câu 187 (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - chuyên 2018-2019) a) Cho a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện a + b + c = 6; a b c 1 47 + + = Tính giá trị biểu thức + + b+c c+a a+b a + b b + c c + a 60 b) Chứng minh tồn vô hạn ba số nguyên ( x, y, z ) thỏa mãn xyz ≠ x + y + 7z = c) Tìm tất số ngun khơng âm a, b, c thỏa mãn (a − b) + (b − c ) + (c − a ) = 6abc a + b3 + c + chia hết cho a + b + c + 2 Lời giải a) Do a + b + c = nên = − (b + c ) − (c + a ) − ( a + b) a b c + + = + + b+c c+a a+b b+c c+a a+b 1 47 47 17 6 + + − 3= + + − 3= − = − = 60 10 10 b+c c+a a+b b+c c+a a+b b) Với số nguyên k ≠ ta có: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 151 Website:tailieumontoan.com x + y + 7z = ⇔ k 30 x + k 30 y + k 30 7z = ⇔ ( k x ) + ( k 10 y ) + ( k 15 z ) = Do ( x0 ; y0 ; z0 ) số nguyên thỏa mãn điều kiện đề với số (k nguyên k ≠ ta có x0 ; k 10 y0 ; k 15 z0 ) số nguyên khác thỏa mãn điều kiện đề ( ) Ta thấy 1; −2; thỏa mãn điều kiện đề Từ suy tồn vô hạn ba số nguyên ( x, y, z ) thỏa mãn xyz ≠ x + y + 7z = ( ) Lưu ý: Học sinh k ; −k 10 ; k 15 với k số nguyên khác tùy ý số nguyên thỏa mãn đề c) Giả sử a; b; c số nguyên khơng âm thỏa mãn đề bài, ta có: (a − b) + ( b − c ) + ( c − a ) = 6abc ⇔ a + b + c − ab − bc − ca= 3abc (1) 2 Phân tích a + b3 + c − 3abc = ( a + b + c ) ( a + b2 + c − ab − bc − ca ) (2) Từ (1) (2) a + b3 + c − 3= abc 3abc ( a + b + c ) hay a + b3 = + c 3abc ( a + b + c + 1) Do a + b3 + c + chia hết cho a + b + c + nên ta chia hết cho a + b + c + Suy a= b= c= Thử lại: a= b= c= thỏa mãn Vậy có số ( a; b; c ) = ( 0;0;0 ) thỏa mãn đề Câu 188 (Tuyển sinh Thừa Thiên Huế - chuyên Toán quốc học 2018-2019) a) Cho biểu thức P ( x ) = x − 12 x − 32 Q ( x ) =x + x + Tìm số nguyên x0 x − 16 cho P ( x0 ) Q ( x0 ) số nguyên, đồng thời P ( x0 ) ước Q ( x0 ) b) Cho t = x2 x Tính giá trị biểu thức theo t A = x4 + x2 + x2 − x + Lời giải a) Ta có P ( x )= x − 12 x − 32 = x − 16 (5 x +8 )( x − 16 x −4 )= x +8 12 = 5− x +4 x +4 Suy P ( x0 ) nguyên ⇔ x0 + ước nguyên dương 12 x0 + = x0 = ⇔ x0 + = ⇔ x0 = x0 = 64 12 x0 + = Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 152 Website:tailieumontoan.com = P ( ) 2= P ( ) = P ( 64 ) Ta có ; ; = Q ( ) = Q ( ) 3= Q ( 64 ) 75 Vậy x0 = b) Lời giải 1: 1) Nếu x = t = A = 1 1 2) Nếu x ≠ x + − 1 t = ⇒ x + = + ⇒ x + = + x x t x t ⇒ x2 + 1 = + − x t t t2 1 Khi đó: = = = A 1 + 2t x2 + + + x t t Từ hai trường hợp suy A = t2 + 2t Lời giải 2: Ta có A = x2 = x4 + 2x2 + − x2 x2 = ( x + 1) − x x2 ( x + x + 1)( x − x + 1) 2 x t2 x + x + ( x − x + 1) + x : t= = = : + 2t x2 − x + x − x +1 x − x +1 Câu 189 (Tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa – chun Tốn Lam Sơn 2018-2019) Tính giá trị biểu thức: P = 1 − 1 − 1 − + + + + + + 2018 Cho hai số thực a , b thỏa mãn hệ thức a − 3a + 5a − 17 = Chứng minh a + b = b3 − 3b + 5b + 11 = Lời giải n(n + 1) Với n ∈ , n ≥ , ta có: + + + + n = Từ suy ra: − (n − 1)(n + 2) = , (n ∈ , n ≥ 1) + + + + n n(n + 1) Cho n giá trị từ 2,3, , 2018 nhân biểu thức ta được: = P 1.4 2.5 2017.2020 1.2.3 2017 4.5 2020 = 2.3 3.4 2018.2019 2.3.4 2018 3.4 2019 Vậy = P 2020 1010 = 3.2018 3027 Ta có: ( a − 1) + ( a − 1) − 14 = ( b − 1) + ( b − 1) + 14 = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 153 Website:tailieumontoan.com Cộng vế hai biểu thức ta được: ( a − 1) + ( b − 1) + ( a − 1) + ( b − 1) = 3 x= a − Đặt đẳng thức trở thành: x3 + y + x + y = ⇔ ( x + y )( x − xy + y + 2) = y= b − y 3y2 ⇔ x+ y = (do x − xy + y + = x − + + > 0) 2 2 Vậy (a − 1) + (b − 1) = ⇔ a + b = Câu 190 Tuyển sinh tỉnh Quảng Trị - chuyên 2018-2019) Cho biểu thức P = x2 y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P + + y x x+ y trường hợp sau: a x, y số thực dương b x, y số nguyên dương Lời giải y2 x2 x2 ≥ 2y − x a Ta có: + y ≥ x suy ≥ x − y Tương tự ta có x y y Suy x2 y ≥2 − ≥ x + y Suy P ≥ x + y + x+ y y x Dấu '' = '' xảy x= y= Vậy giá trị nhỏ P tập số thực dương Đạt x= y= b x, y nguyên dương nên x ≥ 1, y ≥ Suy x + y ≥ P≥ x+ y+ 1 = + ( x + y) ( x + y) + x+ y x+ y ≥2 1 + = ( x + y) x+ y Dấu '' = '' xảy x= y= Vậy giá trị nhỏ P tập số thực dương Đạt x= y= Câu 191 (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long - chuyên 2018-2019) x+3 x +2 = − a) Cho biểu thức A với x > x ≠ : x x x x − − x 14 + Tìm giá trị A = b) Tính giá trị biểu thức A = 12 − 80 − 32 − 12 + 80 − 32 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 154 Website:tailieumontoan.com Lời giải x+3 x +2 = − a) Cho biểu thức A với x > x ≠ : x − x x x −8 Với x > 0; x ≠ , ta có: x+3 x +2 A = − = : x − x x x −8 x+3 x +2 ( )( x −2 x+2 x +4 − ) ( x x −2 x+2 x +4 x+2 x +4 )( ) x −2 x = x x+2 x +4 x −2 x+2 x +4 ( )( ) ( Ta có x = 14 + = + 2.3 + = + Khi đó, ta có: A = 3+ ) ⇒ x= (3 + ) = + = + 3+ 3+ = = = 14 + + + + 24 + 8 + ( ) ( ) b) Tính giá trị biểu thức A = 12 − 80 − 32 − 12 + 80 − 32 ( ) ( Ta có A2 =24 − + = − ⇒ A = ± 3−2 ) Do A < nên A= − Câu 192 (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long - chuyên 2018-2019) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn biểu thức P = − x + x + 14 x + 49 số nguyên tố Lời giải P= − x + x + 14 x + 49 = ( + x + x )( + x − x ) Ta có + x + x > x = Vì P số nguyên tố nên + x − x = ⇔ x2 − x − = ⇔ x = −2 (L) Vậy x =3 ⇒ P =19 (thỏa mãn) Câu 193 (Tuyển sinh tỉnh Khánh hòa - chuyên 2018-2019) a) Chứng minh với số thực a, b, c ta ln có: (a + b + c) = a + b + c + ( ab + bc + ca ) 1 1 b) Cho ba số x, y, z khác đồng thời thỏa mãn x + y + z = , + + + = x y z xyz 1 + + > Tính giá trị biểu thức Q = y 2017 + z 2017 )( z 2019 + x 2019 )( x 2021 + y 2021 ) ( x y z Lời giải a) Ta có VT = (a + b + c) = ( a + b ) + c = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 ( a + b) + ( a + b ) c + c2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 155 Website:tailieumontoan.com = a + b + c + ( ab + bc + ca ) = VP (Điều phải chứng minh) b) Ta có: 4= 1 1 1 1 2( x + y + z) 1 1 1 + 2+ 2+ = 2+ 2+ 2+ = + + + 2 + + x y z xyz x y z xyz x y z xy yz zx 1 1 = + + ( theo câu a) x y z Mà 1 1 1 + + > , suy + + = (1) x y z x y z Mặt khác x + y + z = 1 ⇒ = (2) x+ y+z Từ (1) (2) suy 1 1 + + = ⇔ ( xy + yz + zx)( x + y + z )= xyz ⇔ ( x + y )( y + z )( z + x )= x y z x+ y+z x = − y − y 2021 , y 2017 = − z 2017 , z 2019 = − x 2019 Vậy Q = ⇔ y = − z x 2021 = z = − x Câu 194 (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang - chuyên 2018-2019) 5x + 1 − x Cho 𝑥 ≠ 1, rút gọn biểu thức sau A =3 − − x −1 x + x + 1 − x Lời giải 5x + 1 − x − − A =3 x −1 x + x + 1 − x A = 5x + 2x −1 + + ( x − 1) ( x + x + 1) x + x + x − ( x + x + 1) x − 1)( x − 1) ( 5x + A= + + ( x − 1) ( x + x + 1) ( x − 1) ( x + x + 1) ( x − 1) ( x + x + 1) ( x + x + 1) A= ( x − 1) ( x + x + 1) A= x −1 Câu 195 (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ngãi - chuyên 2018-2019) a + a = b2 c2 Cho a, b, c số thực khác thỏa mãn điều kiện b + b = c + c = a2 Chứng minh ( a − b )( b − c )( c − a ) = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 156 Website:tailieumontoan.com Lời giải a + a = b2 c2 Từ điều kiện: b + b = c + c = a2 Cộng theo vế ta a + b + c = (1)+(2) ta a + b =c − a =( c − a )( c + a ) =( −b )( c − a ) hay −c = ( −b )( c − a ) Tương tự ta có −b = ( −a )( b − c ) –b=(-a)(b-c) −a = ( −c )( a − b ) Nhân theo vế đẳng thức ta ( a − b )( b − c )( c − a ) = Câu 196 (Học sinh giỏi huyện Hoằng Hóa - 2015-2016) a) Tính A = − 15 − + 15 b) Cho x2 – x – = Tính giá trị biểu thức: P = x − 3x + 3x − x + 2015 x − x − 3x − 3x + 2015 Lời giải a) Ta có A = − 15 − + 15 = − 15 + − + 15 + = ( − 3) − ( + 3) =5 − − − = −2 b) Ta có: x2 – x – = ⇒ x2 – x = ⇒ (x2 – x)3 = ⇒ x6 – 3x5 + 3x4 – x3 = Mặt khác: x2 – x – = ⇒ x2 = x + ⇒ x6 = (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + ⇒= P + 2015 2016 = = 1 + 2015 2016 Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ...1 Website:tailieumontoan.com Chuy? ?n đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TỐN LIÊN QUAN Câu (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước - chuy? ?n 2018-2019) a +1 a +1 ab + a ab + a + − 1... Quảng Trị - chuy? ?n 2018-2019) Rút gọn biểu thức: + − 13 + 48 A= 6+ Lời giải = A = 3+ Câu ( ( ) −1 6+ ) + − +1 = 6+ 2 3+ 4− 6+ ( + 1) 4+2 == = ( + 1) ( + 1) (Tuyển sinh tỉnh Điện Biên - chuy? ?n 2018-2019)... 289 572 283 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 13 Website:tailieumontoan.com Chuy? ?n đề 2: BẤT ĐẲNG THỨC Câu 22 (Tuyển sinh tỉnh Bình Định - chuy? ?n 2018-2019) Cho số dương x, y, z thỏa xyz= ⋅ Chứng minh rằng: