Kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phương trình, hệ phương trình chứa căn thức

Trong những năm gần đây, các bài toán về phương trình, hệ phương trình thường xuất hiện nhiều trong các cuộc thi Học sinh giỏi và Kì thi Trung học phổ thông quốc gia. Phương trình, hệ phương trình được đánh giá là bài toán phân loại học sinh đòi hỏi nhiều kĩ thuật. Trong quá trình công tác và giảng dạy tại trường THPT Nguyễn Viết Xuân, tôi đã được ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi và ôn tập kiến thức cho học sinh Ôn luyện Kì thi THPT Quốc gia, nhận thấy rằng kĩ năng giải phương trình, hệ phương trình của học sinh còn nhiều hạn chế, vì thế tôi viết sáng kiến kinh nghiệm: “ Kĩ thuật nhân chia liên hợp đối với phương trình, hệ phương trình chứa căn thức ” với mong muốn cung cấp cho học sinh một phương pháp hữu hiệu để giải phương trình, hệ phương trình, đồng thời góp phần tích luỹ những kiến thức cần thiết cho công tác giảng dạy của bản thân. Hy vọng sáng kiến kinh nghiệm này sẽ là một tài liệu hữu ích cho giáo viên và học sinh tham khảo trong việc ôn luyện thi THPT Quốc gia cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi

MỤC LỤC BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Đất nước ta đà phát triển hội nhập Để đáp ứng nhu cầu cơng nghiệp hố - đại hoá đất nước, với phát triển khoa học - công nghệ, giáo dục đào tạo xem quốc sách hàng đầu nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực bồi dưỡng nhân tài Trong chương trình giáo dục trung học phổ thơng, mơn tốn chiếm vị trí đặc biệt quan trọng mơn học, sở nhiều mơn học khác Mơn tốn có khả to lớn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh tư biện chứng, tư trừu tượng, tư logic… Trong năm gần đây, tốn phương trình, hệ phương trình thường xuất nhiều thi Học sinh giỏi Kì thi Trung học phổ thơng quốc gia Phương trình, hệ phương trình đánh giá tốn phân loại học sinh địi hỏi nhiều kĩ thuật Trong q trình cơng tác giảng dạy trường THPT Nguyễn Viết Xuân, ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi ôn tập kiến thức cho học sinh Ơn luyện Kì thi THPT Quốc gia, nhận thấy kĩ giải phương trình, hệ phương trình học sinh cịn nhiều hạn chế, tơi viết sáng kiến kinh nghiệm: “ Kĩ thuật nhân chia liên hợp phương trình, hệ phương trình chứa thức ” với mong muốn cung cấp cho học sinh phương pháp hữu hiệu để giải phương trình, hệ phương trình, đồng thời góp phần tích luỹ kiến thức cần thiết cho công tác giảng dạy thân Hy vọng sáng kiến kinh nghiệm tài liệu hữu ích cho giáo viên học sinh tham khảo việc ôn luyện thi THPT Quốc gia bồi dưỡng học sinh giỏi Tên sáng kiến “ Kĩ thuật nhân chia liên hợp phương trình, hệ phương trình chứa thức ” Tác giả sáng kiến: - Họ tên: ………………… Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Phần phương trình hệ phương trình lớp 10 Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Tháng 09/2017 Mô tả chất sáng kiến 7.1 Các bước thực sáng kiến Bước 1: Xây dựng nội dung sáng kiến Bước 2: Áp dụng sáng kiến hoạt động dạy học Bước 3: Chỉnh sửa, bổ sung, rút kinh nghiệm Bước 4: Nhân rộng sáng kiến 7.2 Nội dung sáng kiến 7.2.1 Các dạng liên hợp A− B A− B = A+ B • A−B= A − B2 A+B • A−3 B = A+3 B = • A−3 B = • A+ B = • ( A ≥ 0, B ≥ 0) A− B A + A.B + B A − A.B + B • ( A ≥ 0, B ≥ 0) A+ B A3 − B A + A3 B + B A3 + B A − A3 B + B 7.2.2 Nội dung phương pháp nhân chia liên hợp Vận dụng kĩ thuật nhân chia liên hợp giải phương trình vơ tỉ cho ta kết nhanh gọn Mục tiêu phương pháp sau: - Giả sử nhẩm nghiệm phương trình x=a - Nhân liên hợp cách hợp lý cho xuất nhân tử đưa phương trình dạng: ( x − a) g ( x) = g ( x) > x−a g ( x) < Thông thường ta chứng minh (Với x thuộc K tập điều kiện xác định phương trình) Trong trường hợp g ( x) = khó chứng minh phương trình vơ nghiệm, địi hỏi khéo léo xử lý phương trình cơng cụ bất đẳng thức, đạo hàm, … Khi vận dụng kĩ thuật nhân chia liên hợp giải thành thạo phương trình vơ tỉ kĩ thuật cơng cụ hiệu để giải hệ phương trình chứa ẩn dấu cho ta kết nhanh gọn 7.2.3 KĨ THUẬT NHÂN CHIA LIÊN HỢP ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 x + x + − = x + 15 (1) x = ±1 Phân tích: Dễ dàng nhẩm nghiệm phương trình (1), dự đốn giải phương trình phương pháp nhân chia liên hợp x2 −1 để xuất nhân tử chung Tuy nhiên, quan sát biểu thức chứa ẩn dấu căn, ta nhân chia liên hợp trực tiếp Để phát biểu thức nhân chia liên hợp ta thực sau: Xét: , cho x2 + − a = Xét: x + 15 − ) x =1 , cho x + 15 − a = Xét: ( x2 − a = a =1 ta x =1 , cho ta x =1 ⇒ biểu thức liên hợp a=3 ( ⇒ biểu thức liên hợp ta a=4 ) x2 −1 ( ) x2 + − ⇒ biểu thức liên hợp Giải: ( 1) ⇔ ( x − 1) + ( ⇔ ( x − 1) x4 + x2 + + ) ( x2 + − = x2 − x2 + + =  x2 = ⇔  1 + =  x + x + x +8 +3 x + 15 − ) x2 −1 x + 15 + x + 15 + (*) Mặt khác, ta có: x + 15 > x + ⇒ x + 15 + > x + + ⇒ x + 15 + < x2 + + Nên phương trình (*) vơ nghiệm Vậy (1) có nghiệm x = 1, x = −1 Ví dụ 2: Giải phương trình: 3x − 5x + − x − = ( x − x − 1) − x − 3x + (2) Phân tích: Trước hết, kiểm tra ta thấy phương trình cho có nghiệm x=2 nên ta cố gắng đưa phương trình phương trình tích xuất nhân tử ( x − 2) ( 3x Ta có nhận xét rằng: − x + 1) − ( 3x − x − 3) = −2 ( x − ) (x − ) − ( x − 3x + ) = ( x − ) Giải: (2) ⇔ ⇔ x − x + − ( x − x − 1) = x − − x − x + −2 x + 3x − x + + ( x − x + 1) 3x − = x − + x − 3x +   =0 ⇔ ( x − 2)  + 2  3x − x + + x2 − x −  x − + x − x + ( )   Mặt khác, ta có: x − x + + ( x − x − 1) + x − + x − 3x + > với x Vậy phương trình (2) có nghiệm x = Ví dụ 3: Giải phương trình: x − x + 10 = x + x − 12 x + 20 (3) Phân tích: Cũng cách kiểm tra, ta thấy phương trình (3) nhận x = làm nghiệm nên ta đưa phương trình (3) dạng phương trình tích xuất nhân tử ( x − 1) Vì biểu thức dấu tam thức bậc hai nên để xuất nhân tử ( x − 1) , ta thực phân tích sau: x − x + 10 − ( x + a ) = Xét: , cho ⇒ biểu thức liên hợp x − 12 x + 20 − ( x + a ) = Xét: ⇒ biểu thức liên hợp x =1 ta x − x + 10 − ( x + 1) , cho x =1 a =1 ta x − 12 x + 20 − ( x + 2) a=2 Giải: ( 3) ⇔  x − x + 10 − ( x + 1)  =  x − 12 x + 20 − ( x + )     −18 ( x − 1) x − x + 10 + x + ⇔ = x = ⇔  =  x − x + 10 + x + (*) (4) −16 ( x − 1) x − 12 x + 20 + x + x − 12 x + 20 + x + (*) ⇔ x − x + 10 − x − 12 x + 20 = x + 10 Đến ta có hai hướng giải quyết: Hướng 1: Bình phương hai vế…(khơng khả thi) Hướng 2: Kết hợp với phương trình (3) ta có hệ sau: 8 x − x + 10 − x − 12 x + 20 = x + 10  2 x − x + 10 − x − 12 x + 20 = x  15 + 5 x ≥ x − x + 10 = x − ⇔  ⇔x=  x − 15 x + 25 =  ⇒ x = 1, x = Vậy phương trình cho có nghiệm 15 + 5 Ví dụ 4: Giải phương trình 162 x3 + − 27 x − x + = Phân tích: Dùng máy tính cầm tay ta dễ dàng tìm nghiệm x= phương trình Nên ta thêm (bớt) đại lượng phù hợp để nhân chia liên hợp xuất nhân tử chung (3 x − 1) Giải: Phương trình cho tương đương với: ( 162 x ( ) ( ) +2 −2 − 27 x − x + − = 162 x3 − ) 162 x + 3 ⇔ ( + 162 x + + 3 162 x +   ⇔ ( x − 1)    ( ) 27 x − x + + ( x − 1) ( x + x + 1) x ( 3x − 1) − + 162 x + + − =0 3x ( 3x − 1) 27 x − x + + =0   − =0 3 3 27 x − x + +  162 x + + 162 x + +  ( x + x + 1) 3x ) Xét phương trình: ( ( x + x + 1) 162 x + ⇔ ( ) + 162 x + + − ( x + 3x + 1) 162 x + + 162 x + + a = 162 x + Ta đặt ) 3x 27 x − x + + = ( suy ra: =0 3x 162 x + ) ( ) x + 3x + 3x x + x + a + 2a + = ⇔ = a 3x a a + 2a + 4 a    x + + 1÷ = a + + ⇔ x + + = + + ⇒ x = a ⇔ x = 3x  a 3x a  x= Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 5: Giải phương trình sau: x + 12 + = x + x + Phân tích: Ta nhận thấy x = nghiệm phương trình Như phương trình cho phân tích dạng ( x − 2) Q ( x ) = Giải: Phương trình cho tương đương với: x + 12 − = 3x − + x + − ⇔ x2 − x2 − = 3( x − 2) + x + 12 + x2 + +   x+2 x+2 ⇔ ( x − 2)  − − ÷= x2 + +   x + 12 + x = ⇔ x+2 x+2  − − = 0(*) x2 + +  x + 12 + x + 12 + Do < x +5 +3 ⇒ x+2 x + 12 + − x+2 x +5 +3 0 Viết lại phương trình (1) sau: 3y   y  2  x + y − + x − y −  =   2  x2 − ⇔ 5y2 x2 + y2 + 3y + x2 − 5y2 x2 − y2 +   y    ⇔  x − + 3y  2  x +y +  5y2 y ⇔x − =0⇔ x= y =0   =0 y  2 x −y +  x =1⇒ y = Thay vào phương trình (2) ta 19 Vậy hệ phương trình có nghiệm   ( x; y ) = 1;  5  Cách 2: Ta phân tích (1) dạng tích sau: x + y = y − x − y ⇒ x2 + y = x2 + 3y − y x2 − y ( ⇔ 2y y − x2 − y2 ) y = y =  =0⇔ ⇔  y = 4( x − y ) 2  y = x − y  y ≥  Xét trường hợp thay vào phương trình (2) ta kết tương tự Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:  x − x + = y − − y   x + 16( y − x) + y = xy (1) ( 2) Phân tích: Quan sát phương trình (2) thấy x=y thỏa mãn phương trình nên phân tích (2) xuất nhân tử chung Giải: ĐK: ( 2) ⇔ ⇔ ( x − y) x ≥ 0, y ≥ x + 16( y − x) − y = xy − y x + 16( y − x) − y x + 16( y − x) + y = y( x − y) xy + y  x − 16 ⇔ ( x − y) −  x + 16( y − x) + y   = (*) xy + y  2y Từ (1) ta có: 3 11  x−3 x+3 = y −5 − y ⇔  y −5 −  + x−3 x+3 + = 2  11 11  + 10  ⇒ x − x + + ≤ ⇔  x +  ≤ 9( x + 3) ⇔ −3 ≤ x ≤ < 16 4  Do đó: ( (*) ⇔ x = y Thay vào (1) ta được: ) ( x = x + + x − ⇔ x = x − + x − x − 15 ) 20 ⇔ x − x − 15 = x − x + 2 x − x + ⇔ ⇔ x=6 81( x − x − 15) = (2 x − x + 9) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (6;6) Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:  x + − y + = y − x  2 16 x y + = 63 x y + x x≥ Giải: ĐK: 1 ,y≥ 2 x=− Nhận thấy đó: (1) ⇔ (1) (2) y=− khơng thỏa mãn hệ phương trình   + x − y = ⇔ ( x − y ) + 1 = ⇔ x = y  2x + + y +  2x + + y +   2( x − y ) Thay vào phương trình thứ hai hệ ta 16 x + = 63 x + x = 33 2.4 x.( x + 1) ≤ + x + x + ( ) ⇔ ( x − 1) x + x + ≤ ⇔ x = Vậy hệ phương trình có nghiệm 1 1  ;  2 2 Ví dụ 7: Giải hệ phương trình:  x + x + y + = x y + y +  ( x + y − 1) y + = 10 (1) (2) Phân tích: Quan sát phương trình (1), x = y phương trình (1) thỏa mãn Dự đốn nhân tử chung (1) Giải: ĐK: x + y + ≥ 0, y > −1 ( x − y) 21 (1) ⇔ x ( x − y ) + x + y + − ( y + 1) = x2 − y ⇔ x2 ( x − y) + =0 x + y + + ( y + 1)   x+ y ÷ = (*) ⇔ ( x − y)  x +  ÷ x + y + + ( y + 1)   Từ phương trình (2) ta có x=y Với x + y >1 nên , phương trình (2) trở thành: (*) ⇔ x = y ( x − 1) x + = 10 ⇔ x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (3;3) Ví dụ 8: Giải hệ phương trình: x   x + y − y = 1+ y  x + y + x − y − =  (1) (2) Phân tích: Nhiều em học sinh dự đốn khai thác phương trình số (2), ta khó khăn phân tích phương trình (2) dạng phương ( x + y) − y = x trình tích Quan sát phương trình (1) lại thấy , nên ta dùng kĩ thuật nhân chia liên hợp để phân tích (1) xuất nhân tử x chung Giải: ĐK: (1) ⇔ x + y ≥  y ≥ x+ y − y = ( x 1+ y ⇔ ) ( ) ( x + y) − y x+ y + y ( = x 1+ y ) x = ⇔ x 1+ y = x x + y + y ⇔ x x + y −1 = ⇔  x + y = Với Với x=0 , (2) trở thành x + y = ⇔ x = 1− y  y = −1 ( KTM ) y2 − y − = ⇔  y = , thay vào (2) ta được: 22 (1 − y )  + 17 y = + y + 2(1 − y ) − y − = ⇔ y − y + = ⇔   − 17 y =   Vậy nghiệm ( x; y ) 17  17   ; 4  ( 0;2) ,  − ±  hệ phương trình là: Ví dụ 9: Giải hệ phương trình:  x + y + x + y =   y + + x + y + = (1) (2) Phân tích: Nhận thấy rằng, khó để khai thác phương trình hệ, kết hợp hai phương trình hệ ta thấy: ( x + y ) − (2 y + 2) = x − y − (2 x + y ) − ( x + y + 2) = x − y − Vế phải hai phương trình số 5, nên trừ vế với vế hai phương trình xuất biểu thức liên hợp Giải: ĐK: x + y ≥ 2 x + y ≥    y ≥ −1  x + y + ≥ Trừ vế với vế (1) cho (2) ta được: x + y − y + + 2x + 3y − x + y + = ⇔ x− y−2 x + y + 2y + + x− y−2 2x + 3y + x + y + =0   1 ⇔ ( x − y − 2)  + =0 x + y + x + y +   x + y + y + ⇔ y = x−2 Thay y = x−2 vào phương trình (2) ta được: x − + 5x − = (Nhẩm nghiệm x=3 ) 23 ⇔ 2x − − + 5x − − = 2x − 5x − − ⇔ + =0 2x − + 5x − +   ⇔ ( x − 3)  +  = 5x − +   2x − + ⇔ x=3 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (3;1) Ví dụ 10: Giải hệ phương trình:  x + y + = x − x + + x + y  2 x + x + y + = (x (1) (2) ) + y + − (2 x + y ) = x − x + Phân tích: Phương trình (1) có biểu thức khơng nằm dấu Điều định hướng dùng kĩ thuật nhân chia liên hợp phân tích (1) xuất nhân tử chung Giải: ĐK: (1) ⇔ ⇔ (x ) − 2x + x + y + ≥  2 x + y ≥ x + y + = x − 2x + + 2x + y x + y + − 2x + y = x − 2x + x − 2x + ⇔ x + y + − + 2x + y = x − 2x +   ⇔ x − 2x +  − 1 =  x + y + + 2x + y    ( ) x − 2x + = ⇔  x + y + + x + y = x =1⇒ y = − Trường hợp 1: Trường hợp 2:  x + y + + x + y =  2 x + x + y + = Hệ phương trình tương đương với: 24  x + y + + x + y =  2( x + y + 1) + 2(2 x + y ) = Đặt: a = x + y +  b = x + y ( a ≥ 0, b ≥ 0) Hệ phương trình trở thành: Khi đó:  a=  a + b =   ⇔  2 2a + 2b = b =   x =  x + y + =  ⇔  2 x + y =  y = −  ( x; y ) = 1;−   Vậy hệ phương trình có nghiệm 4 Bài tập tự luyện: Giải hệ phương trình sau:  x + x + x = y − + y −   x + y = y − Hướng dẫn: (1) ⇔ ĐS: ( x − y + 1)  x − y + x − y − = x −   x − + x = y + (1) ⇔ ( 2) ĐS: ( 2;3) x − y − ( x − 1) + x − y − = ( x + 1) y + y + + ( y − 1) x + x + = x + y   x + x x − y + = x + x + y + ) , nhân chia liên hợp vế trái làm Hướng dẫn: nhân tử chung 2x – y - ( 3 5  ;  2 2 x + 2x − y − = x − y + xuất nhân tử chung (1) , nhân chia liên hợp làm xuất (1) ( 2) ĐS: 1 1 7 1  ;− , ( − 1;−2 ) ,  ;−  2 2 8 8 Hướng dẫn: 25 ( ( 2) ⇔ x + x ( ⇔ x2 + x )( ) ( ) x − y + = x2 + x − ( x − y −1 ) ) x − y + − = x − y −1 Nhân chia liên hợp phương trình xuất nhân tử chung ( x − y − 1)  x( x + y ) + x + y = y − y   x y − x + x + y − = 63 xy − x + (1) ( 2) ĐS: (1;1) (1) ⇔ x + xy − y + x + y − y = ⇔ ( x − y )( x + y ) + Hướng dẫn:  x + y + 2 x − 3xy + y = x + y + xy   x + y + x − y = x − y + x− y x + y + 2y =0 (1) (2) ĐS: ( 2;2) Hướng dẫn: (1) ⇔ ( x − y ) + 2 x − 3xy + y − ( x + y ) = ⇔ ( x − y) + x − 14 xy + y 2 x − 3xy + y + ( x + y ) =0   =0 ⇔ ( x − y ) 1 +  2 x − xy + y + ( x + y )    ⇔x=y Thế vào phương trình (2) ta tìm x=2 7.3 Khả áp dụng sáng kiến - Sáng kiến áp dụng thành công cho đối tượng học sinh ban nâng cao lớp 10, Trường THPT Nguyễn Viết Xuân, năm học 2017 – 2018 năm học 2018 – 2019 Những thông tin cần bảo mật: Khơng có Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Học sinh ban nâng cao - HS chuẩn bị: Bút, máy tính cầm tay, nháp 10 Đánh giá lợi ích thu áp dụng sáng kiến theo theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu: 26 10.1 Đánh giá lợi ích dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả Đề tài trình bày kĩ vận dụng hiệu phương trình, hệ phương trình vơ tỉ chương trình đại số 10, ôn thi học sinh giỏi, ôn thi THPT Quốc gia Thơng qua ví dụ chọn lọc đề tài, ta thấy nhiều toán giải phương pháp cho lời giải gọn gàng, dễ hiểu nhanh chóng, số tốn cịn thể tính độc đáo kĩ thuật nhân chia liên hợp Đặc biệt, ôn thi học sinh giỏi cho học sinh khối 10, 11 nhiều em cịn tỏ thích thú tiếp nhận kĩ thuật em Tuy nhiên, kĩ thuật nhân chia liên hợp khơng phải “chiếc chìa khóa vàng” để mở cửa phương trình, hệ phương trình mà thực có hiệu số dạng toán định học sinh cần phải phối hợp nhuần nhuyễn nhiều phương pháp khác Tôi tin tưởng người học vận dụng tốt phương pháp việc giải tốn phương trình – hệ phương trình thuận lợi nhiều Với kết làm đề tài này, hy vọng tài liệu tốt cho giáo viên học sinh việc bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi mơn tốn kì thi THPT Quốc gia Đề tài cịn góp phần nâng cao đáng kể công tác giảng dạy, ôn thi THPT Quốc Gia Đề tài giúp em tích cực tự tin hoạt động tìm kiếm hướng lời giải cho loại tập liên quan phương trình, hệ phương trình chứa ẩn dấu thức Từ chỗ lúng túng, sai lầm phần lớn em biết vận dụng kỹ bồi dưỡng để giải nhanh thành thạo nhiều tốn phức tạp Điều đáng mừng có nhiều em biết sáng tạo giải Tốn, có nhiều cách giải nhanh thông minh Đối với thân thực đề tài vào giảng dạy tơi nhận thấy em học sinh trường có thay đổi lớn mặt nhận thức ‘‘mơn tốn mơn học khó’’ và, đặc biệt em rút cho kinh nghiệm làm thi Mặt khác áp dụng đề tài tơi nhận thấy cần phải thay đổi phương pháp giảng dạy phương pháp giải dạng tập phải tìm phương pháp chung nhất, tổng quát giúp em học sinh có phương pháp giải nhanh nhất, ngắn gọn nhất, dễ hiểu dễ nhớ để ghóp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn trường THPT Nguyễn Viết Xn 27 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân - Việc áp dụng sáng kiến giúp học sinh có thêm phương pháp giải phương trình hệ phương trình chứa 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số TT Tên tổ chức/cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Lớp 10A1 Trường THPT Nguyễn Viết Xn Mơn Tốn Trường THPT Nguyễn Viết Xn Mơn Tốn Trường THPT Nguyễn Viết Xn Mơn Tốn Mơn Tốn (2017-2018) Trường THPT Nguyễn Viết Xn GV Hồng Tuyết Nhung Trường THPT Nguyễn Viết Xn Mơn Toán (2017-2018) Lớp 10A2 (2017-2018) Lớp 10A3 (2017-2018) Lớp 10A4 Vĩnh Tường, ngày 31 tháng năm 2019 Vĩnh Tường, ngày 31 tháng năm 2019 Vĩnh Tường, ngày 25 tháng1 năm 2019 Thủ trưởng đơn vị/ CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Tác giả sáng kiến Chính quyền địa phương SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký tên, đóng dấu) (Ký tên, đóng dấu) Hoàng Tuyết Nhung 28 ... dẫn: nhân tử chung x – 3 , nhân chia liên hợp xuất ĐS: −32 + 513 pt ⇔ x + 16 x + 18 − ( x + ) + x − = nhân tử chung x2 − , nhân chia liên hợp xuất 7.2.4 KĨ THUẬT NHÂN CHIA LIÊN HỢP ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG... phương pháp nhân chia liên hợp Vận dụng kĩ thuật nhân chia liên hợp giải phương trình vơ tỉ cho ta kết nhanh gọn Mục tiêu phương pháp sau: - Giả sử nhẩm nghiệm phương trình x=a - Nhân liên hợp. .. “ Kĩ thuật nhân chia liên hợp phương trình, hệ phương trình chứa thức ” Tác giả sáng kiến: - Họ tên: ………………… Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Phần phương trình hệ phương trình