Góc tạo bởi hai đường thẳng

GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG (Xét mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy) LTS Theo quan sát, tơi nhận thấy nhiều bạn học sinh lúng túng cách giải tốn góc hình học giải tích phẳng Bài viết hỗ trợ phần nhỏ mặt kỹ thuật, giúp bạn tự tin giải toán loại (Nguyễn Thành Bửu – trường THPT Tây Ninh) Nhắc lại số kiến thức trọng tâm a) Biểu thức toạ độ tích vơ hướng r r r r r r Cho a  (a1;a ), b  (b1;b ) với a �0, b �0 thì: rr r r a.b a1b1  a b cos(a ; b)  r r  a b a12  a 2 b12  b 2 b) Góc hai vectơ uuur r r r r uuur r �  Cho hai vectơ a b khác Từ điểm O, vẽ OA  a OB  b Góc AOB r r r r gọi góc hai vectơ a b , ký hiệu ( a , b) r r  Nếu gọi  số đo góc hai vectơ a b 00 � �1800 c) Góc hai đường thẳng  Hai đường thẳng 1  cắt tạo thành bốn góc Góc nhỏ bốn góc gọi góc hai đường thẳng 1  , ký hiệu (1,  )  Gọi  số đo góc (1,  )   �900 (Khi 1 / /  hay 1 � qui ước   00 ) d) Kết r r  Cho hai đường thẳng 1  có VTPT n1, n Gọi  số đo góc r r (1,  ) thì: cos   cos(n1, n ) r r  Cho hai đường thẳng 1  có VTCP u1, u Gọi  số đo góc r r (1,  ) thì: cos   cos(u1, u ) Một số ví dụ a) Bài tốn Cho tam giác ABC vng cân A có A(2; 1) phương trình đường thẳng BC x  3y   Viết phương trình đường thẳng AB AC Các bạn quan sát ba cách giải sau: A(2; 1)  450 B 450 C trang Cách 1: - Do  qua A(2; 1) nên phương trình đường thẳng  có dạng: ax  by  2a  b  r r (với a  b  ) Suy n1  (a; b) VTPT  Mặt khác n  (1; 3) VTPT BC r r - Từ giả thiết  tạo với BC góc 450 , ta có: cos  , BC   cos(n1, n )  cos 45 a  3b Do đó: a  b 10  � 2(a  3b)2  10(a  b ) � 2a  3ab  2b  2 a a �a � �a � � � � � �  (vì b �0) �  �   b b �b � �b � a  : cho a  b  , phương trình đường thẳng  2x  y   b a Với   : cho a  b  2 , phương trình đường thẳng  x  2y  b - Khơng tính tổng qt, chọn phương trình đường thẳng AB 2x  y   phương trình đường thẳng AC x  2y  ngược lại Với Cách 2: - Đường thẳng  qua A có hệ số góc k là: y   k(x  2) � kx  y   2k  r r Suy n1  (k; 1) VTPT  Mặt khác n  (1; 3) VTPT BC r r - Từ giả thiết  tạo với BC góc 450 , ta có: cos  , BC   cos(n1, n )  cos 45 k 3 2 2 � k  2 �k  � 2(k  3)  10(k  1) � 2k  3k   2 k  10 Với k  2 : phương trình đường thẳng  2x  y   Với k  : phương trình đường thẳng  x  2y  - Khơng tính tổng qt, chọn phương trình đường thẳng AB 2x  y   phương trình đường thẳng AC x  2y  ngược lại Do đó:  Cách 3: - Phương trình đường thẳng (D) qua A vng góc BC 3x  y   - Gọi I hình chiếu A BC Từ phương trình (D) BC ta tìm �8 � I � ;  � �5 � B �BC � - Đỉnh B tam giác ABC thoả mãn điều kiện: � IB  IA  d(I, BC) � Từ B �BC , ta có B(1  3b; b) Thay vào hệ thức cịn lại bình phương hai vế, ta 2 2 � 3� � 1� � 1� � � � b  �b   3b  � � b  �  � 10 � b  � � � b  � � 5 � 5� � 5� � 5� � � 25 �2 � Với b  B � ; �, phương trình đường thẳng AB x  2y  �5 � trang 14 � � B � ;  �, phương trình đường thẳng AB 2x  y   5� �5 Do vai trò B C nên chọn phương trình đường thẳng AB 2x  y   phương trình đường thẳng AC x  2y  ngược lại Với b   Bình luận 1) Các bạn cần trọng rèn kỹ sử dụng kỹ thuật tìm hệ số a, b x, y phương trình đường thẳng cách 1, kỹ thuật an toàn sử dụng nhiều tốn liên quan đến góc khoảng cách 2) So sách cách cách 2, ta thấy giải cách đơn giản so với cách Tuy nhiên cách cách giải chưa chặt chẽ Ở số toán, làm bạn bị nghiệm Nguyên ví dụ trên, hai đường thẳng cần viết phương trình có hệ số góc, nên kết ln xuất chúng Nếu hai đường thẳng cần tìm vng góc với trục x’Ox (đường thẳng cần tìm khơng có hệ số góc) cách giải 2, khơng xuất chúng Các bạn giải toán sau cách để thấy điều đó: a) Cho tam giác ABC vng cân A có A(2; 1) phương trình đường thẳng BC x  y   Viết phương trình đường thẳng AB AC b) Viết phương trình đường thẳng  qua K(1; 0) tiếp xúc với đường tròn (C) tâm I(2; 3) , bán kính R  Cách khắc phục: xét đủ hai trường hợp đường thẳng cần tìm vng góc Ox khơng vng góc Ox 3) Cách giải cách giải sử dụng nhiều (tuy có rườm rà) tốn thi tuyển sinh vào đại học – cao đẳng Các tốn tương tự Bài Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh hình vng ABCD biết A   4;  , BD : 7x – y   Bài Cho tam giác ABC có đỉnh A  2; 1 , phương trình BC : 3x + 4y   Viết phương trình đường thẳng AB, AC Bài Cho điểm A(1; 1) đường thẳng  : 2x  3y   Viết phương trình đường thẳng  ' qua A hợp với đường thẳng một góc  cho cos   26 �1 � Bài (Khối B/2002) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I � ;0 �, phương trình đường thẳng �2 � AB x  2y   AB  2AD Tìm toạ độ đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hồnh độ âm �  cos IBA �  Bài toán Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có tam giác IAB cân I cos IAB trở thành: Viết phương trình đường thẳng qua I hợp với AB góc  cos   (Các bạn áp dụng cách giải toán để giải) trang Bài (Khối A/2012) Cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm 11 � � cạnh CD cho CN  2ND Giả sử M � ; �và đường thẳng AN có phương trình �2 � 2x – y –  Tìm toạ độ điểm A � Hướng dẫn: cos MAN  AM  AN  MN 2 �  � MAN  450 2AM.AN Cách Viết phương trình đường thẳng (D) qua M hợp với AN góc 45 0, ta phương trình (D) 3x  y  17  x  3y   Kết hợp phương trình với phương trình AN để tìm A Cách Gọi I hình chiếu M AN tam giác AIM vuông cân I 10 (*) � AM  MI  2 Do A �AN nên A  x; 2x  3 Từ (*) được: Ta có MI  d(M, AN)  2 x 1 � � 45 � 11 � � 2x  �  � x  5x   � � Vậy A(1; 1) A(4; 5) �x  � � x  2 � � � � � b) Bài toán Cho tam giác ABC cân A có AB : x  2y   , BC : 3x  y   Viết phương trình đường thẳng AC biết qua điểm M  1; 3 A M  1; 3  C B Giải r Đường thẳng AB nhận n1   1;  làm VTPT r Đường thẳng BC nhận n   3; 1 làm VTPT r r r Gọi n   a; b  (với a  b  ) VTPT AC ( n / / n1 ) Vì tam giác ABC cân A nên (CA, CB)  (BC, BA) � cos(CA, CB)  cos(BC, BA) r r r r r r r r n 3.n n n1 3a  b � cos n , n  cos n , n1 � r r  r r �  n3 n2 n n1 a  b2     �a � �a � � 5(3a  b)  a  b � 22a  15ab  2b  � 22 � � 15 � �  (do b �0 ) �b � �b � a a �  �  b b 11 r r a  Với  : chọn a  b  Trường hợp bị loại n / /n1 b 2 2 2 trang r a  : chọn a  b  11 Suy n   2;11 phương trình đường thẳng AC b 11 2x  11y  31   Với Bài tập tương tự Bài Cho tam giác ABC cân A có AB : 4x  3y   , BC : 7x  y  44  Viết phương trình đường thẳng AC biết qua điểm M  4;  Bài (Khối D/2012) Cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD có �1 �  ;1� Tìm phương trình x  3y  x  y   ; đường thẳng BD qua điểm M � �3 � toạ độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Hướng dẫn: Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD tam giác IAD cân I Áp dụng cách giải tốn 2, bạn tìm phương trình đường thẳng BD Từ suy toạ độ đỉnh hình chữ nhật ABCD - HẾT - trang ... Nguyên ví dụ trên, hai đường thẳng cần viết phương trình có hệ số góc, nên kết xuất chúng Nếu hai đường thẳng cần tìm vng góc với trục x’Ox (đường thẳng cần tìm khơng có hệ số góc) cách giải 2,... 2 : phương trình đường thẳng  2x  y   Với k  : phương trình đường thẳng  x  2y  - Khơng tính tổng qt, chọn phương trình đường thẳng AB 2x  y   phương trình đường thẳng AC x  2y ... trình đường thẳng  2x  y   b a Với   : cho a  b  2 , phương trình đường thẳng  x  2y  b - Khơng tính tổng qt, chọn phương trình đường thẳng AB 2x  y   phương trình đường thẳng