Tuyển tập hệ phương trình mẫn ngọc quang

Tất học sinh thân yêu Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI Tất học sinh thân yêu GIẢI HPT – PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ  x10  x  y  x y Bài 1: Giải hệ phương trình  ( x, y   )  x   y   Bài giải: Điều kiện: y    y  - - Xét x=0, từ pt đầu suy y=0, thay x=y=0 vào pt thứ hai khơng thỏa mãn (loại) ỉ ỉ - Xét x  , chia vế pt đầu cho x  , ta c x x ỗ ữ ỗ ữ (1) ố xứ ốxứ ' Xét hàm số f  t   t  2t , t   Ta có f  t   5t   0, t   5 Vậy hàm số f  t   t  2t đồng biến  Do (1)  x  hệ ta được: Xét hàm số g ( y )  Ta có g ' ( y )  y  y  x Thay vào pt thứ x y   y   (2) y   y  1, y  - 1   0, y  - Vậy g(y) đồng biến khoảng 2 y5 y 1 ỉ ç - ;  ÷ è ø Mà g(4)=6 nên (2)  y  Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI Tất học sinh thân yêu x   x  -2 Suy y  x     y  y   xy ( x  1)  x  y  x - y 1 Bài 2: Giải hệ phương trình   3 y  x    y        x  x2    2 Bài giải:  y  x  Biến đổi PT (1)   x - y  x - y     y  x 1 x = y vào PT (2) ta được:   3x  x    x     x  1    x  x2     2x  1   2  (-3x)   (-3 x)    f  x  1  f  -3 x  Xét f (t )  t   t   có f '(t )  0, t f hàm số đồng biến nên: x   - x  x   1 y5 y  x  vào    (2) 3( x  1)  x   x      x  x2   Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI Tất học sinh thân yêu Vế trái dương, PT vô nghiệm ỉ è Vậy hệ có nghiệm nht: ỗ - ; - 1ử ữ 5ứ x3  y  3( x  y )  y ( y - 2)  14 1 Bài 3: Giải hệ phương trình sau  27 x  27 x  20 x   y  x -   Bài giải: Phương trình (1)  x  x  - y  y - 15 y  14  x  x  2 - y   32 - y  Xét hàm số: f (t )  t  3t liên tục R Ta có f ' (t )  3t   với t  R   hàm số đồng biến R pt : f ( x )  f ( - y )  x  - y  y  - x Thế y = 2-x vào phương trình (2) ta 27 x  x  20 x   43  x  3 x  1  4(3 x  1)  x   43 x  Xét hàm số: g (t )  t  4t liên tục R Ta có g ' (t )  3t    hàm số đồng biến R Suy ra: g (3 x  1)  g (3 x  1)  x   x   27 x  27 x  x   x  Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI Tất học sinh thân yêu x   y   27 x  27 x  x    27 x  27 x   0(vn) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(0;2)  x   ( x  1)( y - 2)  x   y  y -  Bài 4: Giải hệ phương trình  ( x - 8)( y  1)  x, y     ( y - 2) x  -   x - 4x    Bài giải: Điều kiện: Xét phương trình: Đặt Từ phương trình ta phương trình: ta có thay vào phương trình ta Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI Tất học sinh thân yêu Tiếp tục giải phương trình Xét hàm số Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI Tất học sinh thân yêu Do hàm số đồng biến Từ Giải phương trình +) Với +) Với Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là:     x  x  y  y   1  Bài : Giải hệ phương trình  12 y - 10 y   x3     ( x; y   ) Bài giải: Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI Tất học sinh thân yêu Ta có: (1)  x  x   (-2 y )   (-2 y ) (*) Xét hàm số đặc trưng f (t )  t   t  f '(t )  t t2  1  t  t2  t2   t t t2   Suy f(t) hàm số đồng biến R Từ (*) suy ra: f ( x )  f ( -2 y )  x  -2 y Thay vào phương trình (2) ta được: 3x  x   x3    x  1   x  1   x  1  x3  (**) Xét hàm số g (t )  t  2t ta thấy g(t) đồng biến R nên từ (**) suy x  Vậy hệ có hai nghiệm (-1; ); (0;0) x   x3     x  -1   y  1  y y   x  1 Bài 6: Giải hệ phương trình:   x  x2 - 2x    2 x - y   2  ( x, y   ) Bài giải: Đk: x - y   Ta có: 1  x - y    x - 1   x - 1 4 2  y2 1  y  y2 1  y   vào PT (2) ta Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI Tất học sinh thân u  x -1 ỉ x -1 ỗ ữ y  y  (*) (vì è ø y2 1  y  y  y  ) Xét hàm số f  t   t  t   t f 't   1  t2 1  t t 1  0, t   , t   t  t  t  0, t   t 1 æ x -1 ö  f  t  đồng biến  , theo (*) ta cú f ỗ ữ f  y è ø  x  y 1 Với x  y  thay vào (1) ta có:  y2 1  y  4 y2 1  y   y2 1  - y  y  x ỉ5 3ư Vậy hệ có nghiệm  x; y ỗ ; ữ ố2 4ứ x - y  Bài 7: Giải hệ phương trình   y  8 x  y  x  xy  x - 11  12 - x  y  - x  Bài giải: Điều kiện  x  ,y0 Ta có x - y  4( x - 2) y  4x -  y Dấu “=” xẩy y=4x–8 Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI Tất học sinh thân yêu  y  8 x   y  8 x  4x  y  Dấu “=” xẩy y=4x–8  y  8 x  y  x Dấu “=” xẩy y=4x–8 Suy x - y  Như vậy, pt(1)  y = 4x – Thế vào pt(2) ta có: x - x - 11   3x  - 3x    x - x - 3      3x - x -  x - x - 3  - 3x - x   x - x - 3 æ 7ử ỗ x 2;  ÷  3x  x  - 3x  x -  3ø è 1     x - x - 3  0  3x  x  - 3x  x -     x - x - 3 -  x2 - x -  ()   1    (3)   3x  x  - 3x  x - + pt ()  x - x -   x  Đối chiếu điều kiện ta có x   13 - 13 x 2  13 æ  13 ; 13 - ÷ ố ứ H cú nghim ỗ + Xột pt(3) Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 10 Tất học sinh thân yêu a - b3  a  a   x  y      b  x - y  a  b  b  Câu 26 : Giải HPT : Đặt ab   x   y  a - b   x 1  y 1    72 xy 2  x - y  29 x - y   Hệ trở thành :  ab a -b 8a  b 1     ( a  2) - b  - a    2  18( a - b )  9b3 - 112b - 128   2  29 ab   18(a - b )  29 ab   b  a   b Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 112 Tất học sinh thân yêu  b   -4  b   a   x  ; y    -8 b   Câu 26 : Giải HPT : Dễ thấy  x y  y   xy  2  x  y  y  xy y  nghiệm hệ Khi hệ tương đương : ỉ  7x 3x ỗ - x ữ - x - y   y2  y  è y ø   2 ỉ2 ỉ x   ỉ - x ổ x ỗy ữ ỗ y ữ 3ỗ y - x ữ ỗố y ữứ ứ ố ố ứ ố ø Đặt 2  y - x  a a - 3b      (a  b)(a - b - 3)   b  3a   x b  y Với  a  -1  b  a  b   a  3a      a  -2  b  Với a - b   a - 3a  11  (Loại) Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 113 Tất học sinh thân yêu Câu 27 : Giải HPT : Dễ thấy  x  xy  y  y -  2 x  x y  x - x  x  nghiệm hệ  x.(1) - (2)   x  xy - 3xy   Lấy (3) (3) - (1) ta : xy - y - xy  y  Xét thấy y  x  nghiệm hệ   4x - y  x -1  Với y0 Với y thay vào không thỏa mãn hệ 4x - x -1 thay vào (2) ta :  -1 5-  y x  2 ( x  x - 1)     5 - -1 y x   2 Câu 28 : Giải HPT : ( x  y  3) x - y  y    2 ( x - y )( x  4)  y  PT (1)  ( x - y  1)( x  y  - x - y )   x - y  x  y  Thế 4 x- y -x- y vào PT(2) ta : Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 114 Tất học sinh thân yêu ( x - y )( x  x - y - x - y )  y   x ( x - y - 1)  ( x - y )3 -   ( x - y - 1)( x  Ta hệ :  x - y   x  -1    x  y  x - y -  y  -2 Câu 29 : Giải HPT : Thế x - y  x - y 1 )0 x - y 1  x  xy  y    x  xy  y  1( x  x y  2)  x  y  -2 xy vào PT(2) ta : -2 x y - x - y  x y   y  x y  -   ( x y  - 1)  ( x y  - y  1)   x y     x y   y   x ( y  1)   x y   y   x2 y   - x2  x y   y   x  y   xy  -1 Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 115 Tất học sinh thân yêu Dễ thấy x  nghiệm hệ  y  -1  x2 -  x x   x  -1  y    1 -2  x  y 1   -1  y x  1-   -2 ; ) 1 Đối chiếu điều kiện  ( x; y )  (-1;1);( Câu 30 : Giải HPT : (2 x - 1) x  y  (6 - x - y ) - x  2 3x - xy - y  -72 Xét thấy x   - x   x  y   y  -2 không thỏa PT(2)  x  y, - x  PT(1)  - ( x  y ) - (8 - x)  x y - 4x Xét hàm số Mà f (t )  - t2 -6  f '(t )  -  suy hàm số nghịch biến t t f ( x  y )  f ( - x )  x  y  - 4x  y  - 5x Thế vào PT(2) giải PT bậc Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 116 Tất học sinh thân yêu Câu 31 : Giải HPT : Ta có  x2  y  x   2 2( x  y )  x  3( x  y )  x.(1) - (2)  y - xy  x  3( x  y )  - x  y (2 y - x - 3)  ( x - 1)( x - 5) Mà y  - x - x  (1 - x)(3  x)  ( x - 1)( x  3)(2 y - x - 3)  ( x - 1)(5 - x) Với x 1 y  Với ( x  3)(2 y - x - 3)  (5 - x)  y  5- x x2  x  x  x3 2( x  3) Thế vào PT(1) ta : ỉ x2  x  x 2x ỗ ữ 3 x ố ø 2  ( x  x)( x  3)  ( x  x  7)  3( x  3) 2  ( x  1) ( x  x  11)   x  -1  y  Câu 32 : Giải HPT : Lấy  x  xy  x     y ( x  3)  x   x y  y (1) - (2)  x  - y  x y  y  Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 117 Tất học sinh thân yêu  ( x  - y )( x   y )   y  x2  Thế vào PT(1) ta : x3  x  3x    x  -1  y   2 ( x  y )(1  2 )  x y Câu 33 : Giải HPT :  ( xy - 1)  x - y   2  ( x  )  ( y - )  x y  ( x  1)( y - 1)  xy  2  ( x  )  ( y ) 5  x y   ( x  )( y - )   x y Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 118 Tất học sinh thân yêu Đặt  b    a   b  -2    x  x  a a  b   a  -1     y -  b ab   b  y  a     b  -1  a  -2  Xét TH giải x, y đơn giản ( x  1) ( y  1)  xy  Câu 34: Giải HPT :  2 ( x  1)( y  1)  10 xy  1  ( x   x )( y   y )  -9   ( x  )( y  )  -10  x y Đặt  b    x a     (a  2)(b  2)  -9 a  b  -3  a  -5 x      b  -5 ab ab  10  10  y   b   y   a  Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 119 Tất học sinh thân u Do vai trị x, y Câu 35 : Giải HPT : Ta thấy Xét nên ta xét TH cặp a, b hoán đổi lại 2 ( x  y ) x   y y   xy  y  2 2 x x   ( x  y ) y   xy - x x  thỏa mãn cặp nghiệm hệ  y  x2  y2  Dùng định thức ta có : D  x2  y2  2  Dx  y ( x  y )  D  - x( x  y )  y Dx    2y x  D   x  -2 x  x  y  (Loại)  y  Dy  - x  D Kết hợp  ( x; y )  (0;0) Câu 36 : Giải HPT : Xét hệ : nghiệm ( x  y ) xy   xy - y   ( x  y ) xy   xy  x - y - 2.(1) - (2)  3.(1) - 2.(2) Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 120 Tất học sinh thân yêu  x - y -  (2 xy - 5) - x xy   ( x - y ) xy   y - x  15  x - y -  (2 xy - 5) - x xy   ( x - y - 3)( xy   5)  3( x - xy  5)  (2 xy  - x xy  5)( xy   5)  3( x - xy  5)  ( x - xy  5)(2 xy   xy   3)   x  xy    xy   xy    Có xy   xy    x2 -  x  xy   xy  x2  Thế vào PT(1) ta x2 - 3( x - 5)  2( x - 5) 1 2x  x - 3x - 13 x  15   x  -3( L)  x   y    x   y  -2 Câu 37 : Giải HPT :  y  x  xy - y    2  xy  x y  x - y  Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 121 Tất học sinh thân yêu Lấy (1) - (2)  xy ( y  x - 1)  (3 y - 1)2 Lại có xy  ( x  y - 1)  2(3 y - 1)  xy,( y  x - 1) nghiệm PT X - 2(3 y - 1) X  (3 y - 1)2   X  y -  xy  y -  x  y -1  3y -1 Thấy Thế y0 x nghiệm hệ 3y -1 vào PT(2) ta : y 3y -1  y  y  y - y  y -   y  -1  x  y Câu 38 : Giải HPT :  3x - y    3x  y   3x  y 8 x2 - y 3x - y 7 x2 - y Đặt 2 2a(b  1)  b(a  1)  8ab  x  y  a  2b a  a b  2a  b  8ab      2  x - y  b  2a b  ab  2b  a  ab 2b(a  1)  a(b  1)  7ab ( ab  )  2a(b  1)  b( a  1)   2a(b  1)  3b(a  1) 2 2b( a  1)  a(b  1) Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 122 Tất học sinh thân u Mà có 3a(b2  1)  3b(a  1)  15ab  3 b   5a (b  1)  15ab  b - 3b      3- b   3 b2  Với b   a   2a  2a  a  3b x  y    3 x - y   Với b 3- b2   a   2a  2a  a  3b x  y    3- x - y   Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 123 Tất học sinh thân yêu GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH , PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM KÉP ĐÁNH GIÁ PHẦN SAU BẰNG CASIO THẦY QUANG BABY Bài : x - x -  x x -  2( x - 2) x - Bài : x x -  2( x - 2) x -  x - x  24 x - 29 Bài : x x  - ( x - 1) x -  32 x  114 x  99(1) BÀI : x  x   x  11  x  , Điều kiện : x  - Bước , dò nghiệm ta nghiệm : x = , x = -1 x  x   x  11  x   2( x - x - 2) -  x  - x   -  x  - x  11  1    ( x - x - 2)  0 x   x  x   11x    Bước , ta chứng minh biểu thức ngoặc dương   x   5x  Ta đặt : f ( x)   - -   x   11x   Chứng minh f ( x )  , việc sử dụng casio , chức Table sau : Nhập mode , , g ( x)  biểu thức x   5x  , start -6/5 , end , step 0,2 thấy g(x) lớn 1,25 , ta tách  , cịn lại ta có x   11x  x   5x  Việc lại em biến đổi tương đương Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 124 Tất học sinh thân yêu   x   5x  Bước : Kết luận : ( x - x - 2)  - -   0  x -x-20 x   11x   Nghiệm : -1.25  x  -1 x  Video hướng dẫn : https://www.youtube.com/watch?v=fGcVf77I-9g x   -2.5  x  -1 Giải : Điều kiện :  CHÚNG TA GIẢI MỘT BPT CŨNG GIỐNG NHƯ GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH , GỒM CÁC BƯỚC SAU : Bước : Casio ta tìm nghiệm kép , em bấm Shift + Cal thầy Eror , thực tế vô nghiệm , e thử nhật : Mode , , f(x) = VT – VP , Start -2,5 , end -1 , step 0,2 Các em thấy x = -2 f(x) = khơng đổi dấu , ta có f(x) = có nghiệm kép BƯỚC 1: DÒ NGHIỆM : Dùng casio phát nghiệm kép (qua chức Table ) : x = -2 Tiếp đến tạo lien hợp cho : 2x   ax  b : sử dụng điều kiện để đường tiếp xúc : -2a  b   f ( x)  g ( x) xét điểm có x = - ta có hệ :   a   f '( x)  g '( x) Vậy ta có liên hợp : x  - ( x  3) , làm hoàn toàn tương tự ta có : x -  (2 x  1) (1)  x( x  - x - 3) - ( x - 1)( 3x -  x  1)  25( x  x  4)   5x x -1  ( x  x  4)   25   ( x  2)2 f ( x)  3x - - x -  2x   x   5x 5x f ( x)   25 2x   x  3x - - x - BƯỚC : XỬ LÝ BIỂU THỨC TRONG NGOẶC : Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 125 Tất học sinh thân yêu Xét : f ( x)  5x x -1  25 , ta chứng minh ln dương với x thuộc tập 2x   x  3x - - x - xác định +)Đầu tiên ta khẳng định : x  f ( x )  , chỗ em dung table , mode , star , end 100 , step 10 xem , thầy -2.5  x  -1 ,dung +)Xét f ( x)  chức table ta thấy x -1 5x  25  (bấm mode , nhập f(x) , start -2,5 , end -2 , step 2x   x  3x - - x - 0,2) Chọn riêng hàm g ( x )  - x -1 (bấm mode , nhập f(x) , start -2,5 , end -2 , step 0,2) ta 3x - - x - thấy g ( x )  -25 , ta có 5x  25  , em dễ chứng minh biến đổi 2x   x  tương đương Vậy tập xác định f ( x )  , (1)  ( x  2)   x  -2 Đáp sô : x = -2 Facebook cá nhân : https://www.facebook.com/quang.manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI 126 ... https://www.facebook.com /quang. manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI Tất học sinh thân yêu Tiếp tục giải phương trình Xét hàm số Facebook cá nhân : https://www.facebook.com /quang. manngoc... x      x  x2   Facebook cá nhân : https://www.facebook.com /quang. manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI Tất học sinh thân yêu Vế trái dương, PT... 27 x  27 x  x   x  Facebook cá nhân : https://www.facebook.com /quang. manngoc CÁC EM HỌC TỐN KHƠNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI Tất học sinh thân yêu x   y   27