Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

1 Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác 1.1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1.1.1 LÝ THUYẾT 1.1.2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng Tìm tập xác định hàm số lượng giác Dạng Tính chẵn lẻ hàm số Dạng Chu kỳ hàm số lượng giác Dạng Chứng minh T0 chu kì hàm số lượng giác Dạng Bảng biến thiên đồ thị hàm số lượng giác Dạng Sử dụng phép biến đổi đồng tính chất hàm số lượng giác Dạng Các toán sử dụng bất đẳng thức biết để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Dạng Các tốn sử dụng tính đồng biến nghịch biến Dạng Các toán liên quan đến a sin x + b cos x = c 1.1.3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1.2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN CÓ ĐIỀU KIỆN 1.2.1 Tóm tắt lí thuyết 1.2.2 Kỹ 1.2.3 Bài tập tự luận 1.2.4 Bài tập Trắc nghiệm 1.2.5 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1.3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1.3.1 Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Dạng Một số dạng phương trình bậc hai hàm số lượng giác 1.3.2 Phương trình bậc sin cos Dạng Phương trình bậc sin cos 1.3.3 Phương trình sin cos Dạng Phương trình sin cos 1.4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Dạng Phương pháp đưa tổng bình phương Dạng Phương pháp đối lập Dạng Phương pháp chứng minh nghiệm Dạng Phương pháp đặt ẩn phụ Dạng Phương pháp đưa hệ phương trình Dạng Một số phương trình lượng giác có cách giải đặc biệt 1.4.1 Phương trình lượng giác có nghiệm khoảng, đoạn 1.4.2 Dạng tốn khác phương trình lượng giác thường gặp 3 5 10 12 15 15 16 16 16 16 26 26 28 28 30 35 37 37 37 40 40 43 43 47 47 47 48 49 49 49 50 51 LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Mục lục LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING MỤC LỤC Chương 1.1 1.1.1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC LÝ THUYẾT a) Hàm số y = sin x • Tập xác định: D = R • Tập giác trị: [−1; 1], tức −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R ã Å π π • Hàm số đồng biến khoảng − + k2π; + k2π 2 å Ç π 3π nghịch biến khoảng + k2π; + k2π 2 • Hàm số y = sin x hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng • Hàm số y = sin x hàm số tuần hồn với chu kì T = 2π • Đồ thị hàm số y = sin x y − π2 −π π π x b) Hàm số y = cos x • Tập xác định: D = R • Tập giác trị: [−1; 1], tức −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ R • Hàm số y = cos x nghịch biến khoảng (k2π; π + k2π) đồng biến khoảng (−π + k2π; k2π) • Hàm số y = cos x hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng • Hàm số y = cos x hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π • Đồ thị hàm số y = cos x Đồ ã số y = cos x cách tịnh tiến đồ thị hàm số Å thị hàm π y = sin x theo véc tơ #» v = − ;0 LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC y − π2 −π π x π c) Hàm số y = tan x ™ π • Tập xác định: D = R\ + kπ, k ∈ Z ò LATEX by NHểM W-T-TEX-BEGINNING ã Tp giá trị: R • Là hàm số lẻ • Là hàm số tuần hồn với chu kì T = π ã Å π π • Hàm đồng biến khoảng − + kπ; + kπ 2 π • Đồ thị nhận đường thẳng x = + kπ, k ∈ Z làm đường tiệm cận • Đồ thị y −π − π2 O π π x d) Hàm số y = cot x • Tập xác định: D = R \ {kπ, k ∈ Z} • Tập giá trị: R • Là hàm số lẻ • Là hàm số tuần hồn với chu kì T = π • Hàm nghịch biến khoảng (kπ; π + kπ) • Đồ thị nhận đường thẳng x = kπ, k ∈ Z làm đường tiệm cận • Đồ thị 1.1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC y O − 3π 1.1.2 3π − π2 π π x LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING −π PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng Tìm tập xác định hàm số lượng giác • y= • y= f (x) xác định ⇔ g(x) = g(x) » 2n f (x) xác định ⇔ f (x) 0, n ∈ N∗ • y = sin [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định • y = cos [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định • y = tan [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định u(x) = π + kπ,k ∈ Z • y = cot [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định u(x) = kπ,k ∈ Z π2 2x − Ví dụ Tìm tập xác định hàm số y = sin Ví dụ Tìm tập xác định hàm số y = cot(2x + 3) πã Ví dụ Tìm tập xác định hàm số y = tan x − Å Ç Ví dụ Tìm tập xác định hàm số y = cot å 2π − 3x Å tan 2x πã Ví dụ Tìm tập xác định hàm số y = + cot 3x + sin x + (5) CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ví dụ Tìm tập xác định hàm số y = Ví dụ Tìm tập xác định hàm số y = Ví dụ Tìm tập xác định hàm số y = tan 5x sin 4x − cos 3x √ (6) − cos x (7) sin x sin x − cos2 x LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu Điều kiện xác định hàm số y = π A x = + kπ, k ∈ Z kπ C x = , k ∈ Z Å − cos x sin x B x = k2π, k ∈ Z Câu Tập xác định hàm số y = tan 2x − ™ π π +k |k ∈Z A D = R \ ß ™ π C D = R \ + kπ | k ∈ Z ß D x = kπ, k ∈ Z πã ® ´ 5π B D = R \ + kπ | k ∈ Z ® 12 ´ 5π π D D = R \ +k |k ∈Z 12 Câu Tập xác định hàm số y = sin x − cos2 x ß ™ ß ™ π π A D = R \ + kπ | k ∈ Z B D = R \ + kπ | k ∈ Z ®2 ´ ß4 ™ π 3π π C D = R \ +k |k ∈Z D D = R \ + k2π | k ∈ Z 4 cot x Câu Tập xác định hàm số y = cos x − ß ™ ß ™ π π A D = R \ k | k ∈ Z B D = R \ + kπ | k ∈ Z 2 C D = R \ {kπ | k ∈ Z} D D = R sin x + Câu Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định hàm số y = − cos x π A x = k2π B x = kπ C x = + kπ D x = Å πã Câu Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định hàm số y = tan 2x − π π 5π π A x = + k B x = + kπ C x = + kπ D x = 12 Câu Tập xác định hàm số y = tan x + cot x A D = R ß B D ™ π C D = R \ + kπ | k ∈ Z D D 2x Câu Tập xác định hàm số y = − sin2 x ß ™ π A D = R \ + k2π | k ∈ Z B D ™ ß2 π C D = R \ + kπ | k ∈ Z D D π + k2π 5π π +k 12 = R \ {kπ | k ∈ Z}.™ ß π =R\ k |k ∈Z ™ π =R\ + kπ | k ∈ Z ß2 ™ π =R\ + k2π | k ∈ Z ß 1.1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC √ cot x − ™ ß ™ π + k2π | k ∈ Z B D = R \ + kπ ; lπ | k,l ∈ Z ®6 ´ ™ π 2π π + kπ ; + lπ | k,l ∈ Z D D = R \ + kπ ; + lπ | k,l ∈ Z Câu Tập xác định hàm số y = Câu 10 Tìm tập xác định D hàm số y = ® ´ π 2π A D = R \ kπ ; + n | k,n ∈ Z ® ´ π 2π C D = R \ kπ ; + n | k,n ∈ Z + cot2 x − sin 3x ® ´ π π 2π B D = R \ k ; + n | k,n ∈ Z ® ´ π 2π D D = R \ kπ ; + n | k,n ∈ Z Câu 11 Tìm tập ß ™ ß xác định D của™ hàm số y = tan 2x π π π B D = R \ + kπ | k ∈ Z A D = R \ − + k | k ∈ Z ® ´ ß2 ™ π kπ π C D = R \ + |k∈Z D D = R \ + kπ | k ∈ Z 4 − sin x Câu 12 Tìm tập xác định D hàm số y = sin x + ß ™ π + k2π | k ∈ Z B D = R \ {k2π | k ∈ Z} A D = R \ ®2 ´ 3π C D = R \ + k2π | k ∈ Z D D = R \ {π + k2π | k ∈ Z} cot x Câu 13 Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định hàm số y = cos x π π A x = + kπ B x = k2π C x = kπ D x = k 2 Câu 14 Tập xác định hàm số y = √ − sin 6x A D = R \ {kπ | k ∈ Z} ™ B D = R ß ß ™ π π C D = R \ + kπ | k ∈ Z D D = R \ + k2π | k ∈ Z 4 √ Câu 15 Hàm số y = cos x − + − cos2 x xác định π A x = + kπ, k ∈ Z B x = C x = kπ, k ∈ Z D x = k2π, k ∈ Z tan 2x Câu 16 Tìm tập xác định D hàm số y = √ sin 2x − cosß2x ß ™ ™ π π π π π π π π A D = R \ +k ; + l | k,l ∈ Z B D = R \ + k ; + l | k,l ∈ Z 12 2 ß4 ™ ß3 ™ π π π π π π π π C D = R \ + k ; + l | k,l ∈ Z D D = R \ +k ; + l | k,l ∈ Z 3 12 Å ã   π + cos x Câu 17 Tập xác định hàm số y = cot x + + cos đ x ò A D = R \ − + k2π | k ∈ Z B D = R \ + kπ,k2π | k ∈ Z ß ™ π C D = R \ {k2π | k ∈ Z} D D = R \ − + kπ | k ∈ Z   − cos 3x Câu 18 Tìm tập xác định D hàm số y = + sin 4x đ ò π π 3π π A D = R \ − + k | k ∈ Z B D = R \ − +k |k ∈Z 2 ß ™ ß ™ π π π π C D = R \ − + k | k ∈ Z D D = R \ − + k | k ∈ Z LATEX by NHĨM W-T-TEX-BEGINNING π ß6 π C D = R \ A D = R \ ß CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √ Câu 19 Tìm tất giá trị m để hàm số y = sin x + m có tập xác định D = R A m > B m < −1 C −1 m D m − sin 2x Câu 20 Hàm số y = √ có tập xác định D = R m cos x + A m > B < m < C m = −1 D −1 < m < Dạng Tính chẵn lẻ hàm số Phương pháp giải Ta thực bước sau:Tìm tập xác định D hàm số, LATEX by NHĨM W-T-TEX-BEGINNING • Nếu D tập đối xứng (tức ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D), ta thực bước • Nếu D không tập đối xứng (tức ∃x ∈ D mà −x ∈ / D), ta kết luận hàm số không chẵn, không lẻ Xác định f (−x), đó: • Nếu f (−x) = f (x) kết luận hàm số hàm chẵn • Nếu f (−x) = −f (x) kết luận hàm số hàm lẻ • Ngồi kết luận hàm số khơng chẵn khơng lẻ Chú ý: a) Hàm số y = sin x hàm số lẻ b) Hàm số y = cos x hàm số chẵn c) Hàm số y = tan x hàm số lẻ d) Hàm số y = cot x hàm số lẻ Ví dụ Xét tính chẵn lẻ hàm số Ç 9π a) y = f (x) = sin 2x + å b) y = f (x) = tan x + cot x Ví dụ 10 Xét tính chẵn lẻ hàm số y = tan7 2x sin 5x MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu Cho hàm số f (x) = sin 4x g (x) = tan |2x| , đó: A f (x) hàm số chẵn g (x) hàm số lẻ B f (x) g hàm số lẻ C f (x) hàm số lẻ g (x) hàm số chẵn D f (x) g (x) hàm số chẵn Câu Cho hàm số f (x) = sin 2x g (x) = cos 2x A f (x) g (x) hàm số chẵn B f (x) g (x) hàm số lẻ C f (x) hàm số chẵn g (x) hàm số lẻ D f (x) hàm số lẻ g (x) hàm số chẵn 1.1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC πã Khi đó: Câu Cho hàm số f (x) = tan 4x g (x) = sin x + A f (x) g (x) hàm số lẻ B f (x) hàm số chẵn g (x) hàm số lẻ C f (x) g (x) hàm số chẵn D f (x) hàm số lẻ g (x) hàm số chẵn Å Câu Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn A y = sin |2016x| + cos 2017x B y = cot 2015x − 2016 sin x C y = tan 2016x + cot 2017x D y = 2016 cos x + 2017 sin x Câu Tìm hàm số chẵn A y = sin x B y = cot x C y = cos x D y = tan x Câu Cho hàm số f (x) = cos 2x g(x) = tan 3x chọn mệnh đề A f (x) hàm số chẵn, g(x) hàm số chẵn B f (x) hàm số lẻ, g(x) hàm số lẻ C f (x) hàm số lẻ, g(x) hàm số chẵn D f (x) hàm số chẵn, g(x) hàm số lẻ Câu Hàm Åsố ãlà hàm số chẵn? π A y = sin x + C y = sin 2x πã D y = tan x − sin 2x Câu Hàm số sau hàm số chẵn A y = tan 3x cos x C y = sin2 x + sin x B y = sin2 x + cos x D y = sin2 x + tan x Å B y = cos x + Câu 10 Hàm số sau hàm số chẵn A y = sin 3x B y = x cos x C y = cos x tan 2x D y = tan x sin x Câu 11 Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn? A y = − sin x B y = cos x − sin x C y = cos x + sin2 x D y = cos x sin x Câu 12 Trong hàm số sau hàm số hàm số chẵn? A y = sin 2x B y = cos 3x C y = cot 4x D y = tan 5x Câu 13 Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn? A y = sin 2x B y = x cos x C y = cos x cot x D y = Câu 14 Trong hàm số sau, hàm số có đồ thị đối xứng qua tung? Å trục ã π A y = sin x cos 2x B y = sin3 x cos x − tan x C y = D y = cos xsin3 x tan2 x + Câu 15 Cho hàm số f (x) = sin 2x g (x) = tan2 x Chọn mệnh đề A f (x) hàm số chẵn, g (x) hàm số lẻ B f (x) hàm số lẻ, g (x) hàm số chẵn C f (x) hàm số chẵn, g (x) hàm số chẵn D f (x) g (x) hàm số lẻ tan x sin x LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Câu Cho hàm số y = sin x + Hàm số là: A Hàm số khơng chẵn khơng lẻ B Hàm số lẻ có tập xác định C Hàm số chẵn D Hàm số lẻ 10 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 16 Cho hai hàm số f (x) = đúng? A f (x) lẻ g (x) chẵn C f (x) chẵn, g (x) lẻ |sin 2x| − cos 3x cos 2x g (x) = Mệnh đề sau 2 + tan2 x + sin 3x B f (x) g (x) chẵn D f (x) g (x) lẻ LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Câu 17 Trong hàm số sau, hàm số có đồ thị đối xứng quaãgốc tọa độ? Å π A y = B y = sin x + sin x Å ã √ √ π D y = sin 2x C y = cos x − Câu 18 TrongÅcác hàm số sau, hàm số hàm số chẵn? Å Å πã πã πã A y = cos x + + sin (π − 2x) B y = sin x − + sin x + 4 Å ã √ √ √ π C y = sin x + − sin x D y = sin x + cos x Dạng Chu kỳ hàm số lượng giác Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa hàm số tuần hoàn tìm chu kì Sử dụng kết sau 2π |a| 2π • Hàm số y = α cos(ax+b) (α.a = 0) hàm số tuần hồn với chu kì T = |a| • Hàm số y = α sin(ax+b) (α.a = 0) hàm số tuần hồn với chu kì T = • Hàm số y = α tan(ax + b) (α.a = 0) hàm số tuần hoàn với chu kì π T = |a| π • Hàm số y = α cot(ax+b) (α.a = 0) hàm số tuần hồn với chu kì T = |a| • Nếu hàm số y = f (x) chứa hàm số lượng giác có chu kì T1 , T2 , , Tn hàm số f có chu kì T bội chung nhỏ T1 , T2 , , Tn • Nếu hàm số y = f (x) tuần hoàn với chu kì T hàm số y = f (x) + c (c số) hàm số tuần hồn với chu kì T Một số dấu hiệu nhận biết hàm số y = f (x) hàm tuần hoàn: Hàm số y = f (x) khơng phải hàm tuần hồn điều kiện sau bị vi phạm • Tập xác định hàm số tập hữu hạn • Tồn số a cho hàm số không xác định với x > a x < a • Phương trình f (x) = k có nghiệm số nghiệm hữu hạn • Phương trình f (x) = k có vô số nghiệm thứ tự < xn < xn+1 < mà |xn − xn+1 | → hay ∞ Ví dụ 11 Xét tính tuần hồn tìm chu kì (nếu có) hàm số sau: y = cos2 x − 38 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ç Bài Bài Bài Bài Bài Bài LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Bài Bài å Å 2π πã Giải phương trình cos 2x + + cos x + + = 3 Å ã Å ã π π Giải phương trình cos + x + cos − x = Giải phương trình cos 4x + 12 sin x cos x − = √ Giải phương trình − cot x − = sin x Giải phương trình cos2 (6x − 2) + 16 cos2 (1 − 3x) = 13 x Giải phương trình cos 2x − cos x = cos2 Å ã Å Å π πã πã Giải phương trình sin2 2x + − sin x + cos x + + = 6 10 Giải phương trình cos 5x cos x = cos 4x cos 2x + cos2 x + II PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu Nghiệm phương trình sin2 x − sin x + =   π π x = + kπ x= +k π   π π 6 A x = + kπ,  (k ∈ Z) (k ∈ Z) B x = + k2π,    5π 5π 2 x= + kπ x= +k π 6   π π x = + k2π  π x = + k π π  C x = + k π,  (k ∈ Z) D x = + k2π, (k ∈ Z)  5π 5π 2  x= + k2π x= +k π 6 Câu Nghiệm phương trình cos 2x + sin x − =  π π x = + kπ x= +k π   2 2Ç å   Ç å   1   x = arcsin − x = arcsin − + kπ +k π B A    4   Ç å Ç å     1 x = π − arcsin − + kπ x = π − arcsin − +k π 4   π π x = + k2π x = + k π    Ç å Ç å   1   x = arcsin − + k2π C  D  x = arcsin − + k π    Ç å Ç å     x = π − arcsin − + k2π x = π − arcsin − +k π 4 Câu phương trình cos 4x − sin2 2x + − =  Nghiệm  cos 2x π π x = + kπ x = + k2π   2  A  (k ∈ Z) B (k ∈ Z)   6 x = ± arccos + kπ x = ± arccos + k2π 7   π π x = + kπ x = + kπ   C  (k ∈ Z) D  (k ∈ Z)   6 x = ± arccos + k2π x = ± arccos + k2π 7 Câu 10 Nghiệm phương trình cos 2x + sin x − =  π π x = + kπ x= +k π   2 2Ç å   Ç å   1   x = arcsin − x = arcsin − + kπ + k π A  (k ∈ Z) B (k ∈ Z)   4   Ç å Ç å     1 x = π − arcsin − + kπ x = π − arcsin − +k π 4 1.3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP x = C    x     π +k π 3Ç π + k2π Ç å = arcsin − + k2π D (k ∈ Z) Ç å x = π − arcsin − + k2π  x= å +k π = arcsin − (k ∈ Z) Ç å x = π − arcsin − +k π     x     Câu 11 Nghiệm phương trình cos 4x − sin2 2x+ cos 2x − =  π π x = + k2π x = + kπ   2 (k ∈ Z) B  (k ∈ Z) A    6 x = ± arccos + kπ x = ± arccos + k2π 7   π π x = + kπ x = + kπ    C  (k ∈ Z) D (k ∈ Z)   6 x = ± arccos + k2π x = ± arccos + k2π 7 Câu 12 Giải phương trình cos x cos 2x + =  π x = ± + k2π  √ A  (k ∈ Z) B  −1 ± + k2π x = ± arccos  π x = ± + k2π  √ C  (k ∈ Z) D  −1 ± + k2π x = ± arccos π + k2π   √ (k ∈ Z)  −1 ± + k2π x = ± arccos  π x = ± + k2π   √ (k ∈ Z)  −1 ± + k2π x = ± arccos  x=± Câu 13 Họ nghiệm phương trình 16(sin8 x + cos8 x) = 17 cos2 2x π 5π π 7π A x = + k (k ∈ Z) B x = + k (k ∈ Z) 8 π 9π π π C x = + k (k ∈ Z) D x = + k (k ∈ Z) 8 Câu 14 Nghiệm phương trình cos4 x − cos 2x + sin6 x = A x = k2π (k ∈ Z) B x = k π (k ∈ Z) C x = k π (k ∈ Z) D x = kπ (k ∈ Z) Câu 15 Giải phương trình cos 2x + cos x + = π 2π π 2π A x = + k2π, x = ± + kπ (k ∈ Z) B x = + kπ, x = + k2π (k ∈ Z) 3 π 2π π 2π C x = + k3π, x = ± + k π (k ∈ Z) D x = + kπ, x = ± + k2π (k ∈ Z) 2 x Câu 16 Nghiệm phương trình cos 2x − cos x = cos2 2π 2π + kπ (k ∈ Z) B x = ± + k π (k ∈ Z) A x = ± 3 π 2π C x = ± + k2π (k ∈ Z) D x = ± + k2π (k ∈ Z) 3 Câu 17 Nghiệm phương trình − 13 cos x + = + tan2 x A x = k2π B x = kπ C x = k π D x = k π Câu 18 Giải phương trình 5(1 + cos x) = + sin4 x − cos4 x 2π 2π 2π 2π A x = ± + kπ B x = ± + k π C x = ± + k π D x = ± + k2π 3 3 Ç å Ç å 5π 7π Câu 19 Nghiệm phương trình sin 2x + − cos x − = + sin x 2 LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING  39 40 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC x = k2π x = k π   π   π x =  + k2π x = + kπ (k ∈ Z) A  (k ∈ Z) B      5π  5π x= + kπ + k2π x= 6   x = kπ x = k2π   π π   x = x = + k2π (k ∈ Z) + k2π (k ∈ Z)   C  D 6     5π 5π x= + k2π x= + k2π 6 Câu 20 Giải phương trình 7cos x = cos3 x + sin 2x    π π π 1 π x = + k2π x = + kπ x = + k π + k π x =     2 2       π π   π π   x = + k2π C x = + kπ D  A  B  x = + kπ x = + k2π   6         5π 5π 5π 5π x= x= + kπ + k2π + k2π + k2π x= x= 6 6 Câu 21 Giải phương trình cos 4x = cos2 3x   x = kπ x = k2π    π  x = ± π + k π x = ± + k2π   B A   12 12     5π 5π + kπ x=± x=± +k π 12 12   x = kπ x = kπ   π π   x = ± x = ± + k3π + kπ C  D  12 12     5π 5π x=± + k3π x=± + kπ 12 12 Câu 22 Nghiệm dương nhỏ phương trình sin 3x + cos 2x = sin x · cos 2x thuộc khoảngÅ ịdưới đây? Ç Å Å π πò π πò π 2π π B ; C ; D ; A 0; 6 4 3 LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING   Câu 23 Cho phương trình cos 4x − cos2 3x = Trên đoạn [0; π], tổng nghiệm phương trình A B π C 2π D 3π 1.3.2 Phương trình bậc sin cos Dạng Phương trình bậc sin cos Định nghĩa Là phương trình có dạng a sin x + b cos x = c (1); với a,b,c ∈ R a2 + b2 = Hoặc a sin x − b cos x = c; a cos x + b sin x = c PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Cách 1: 2 * Điều kiện để phương trình có nghiệm √ a +b ≥c * Chia hai vế phương trình (1) cho a2 + b2 , ta a a c √ √ √ sin x + cos x = (*) a2 + b a2 + b a2 + b a b √ * Đặt √ = cos α; = sin α với α ∈ [0,2π) a + b2 a2 + b 1.3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 41 Ví dụ Giải phương trình sau √ a) sin x + cos x = b) √ sin x − cos x = √ √ c) sin x + cos x = d) sin 2x + 12 cos 2x = 13 Ví dụ Giải phương trình sau ã √ Å π + 2x + sin(π − 2x) = a) sin √ b) sin 3x − cos 9x = + sin3 3x c) √ Å sin 7x − cos 7x = sin 5x − πã Ví dụ Tìm m để phương trình (m − 1) cos x + sin x = m + có nghiệm I PHẦN TỰ LUẬN Ä√ ä Ä√ ä √ Bài 11 Giải phương trình sau: − sin x − + cos x = − Bài 12 Giải phương trình sau: sin x − cos x = √ Bài 13 Giải phương trình sau: sin 8x − cos 6x = 3(sin 6x + cos 8x) √ Bài 14 Giải phương trình sau: sin x + cos x = 2 sin x · cos x √ Bài 15 Giải phương trình sau: sin2 x + sin 2x = Å √ √ πã Bài 16 Giải phương trình sau: cos 2x + sin 2x + sin 2x − = 2 Å ã √ π Bài 17 Giải phương trình sau: cos x + sin x + cos 2x + =0 Å πã Bài 18 Giải phương trình sau: cos 2x + + sin x cos x − = √ Bài 19 Giải phương trình sau: cos 5x − sin 3x cos 2x − sin x = Å x x ã2 √ Bài 20 Giải phương trình sau: sin + cos + cos x = 2 II PHẦN TRẮC NGHIỆM LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING c (*)⇔ sin x · cos α + cos x · sin α = √ a + b2 c đưa phương trình lượng giác ⇔ sin(x + α) = √ a + b2 a b Hoặc đặt √ = sin α ; √ = cos α với α ∈ [0,2π) a +b a + b2 c c ⇔ cos(x − α) = √ Thì (*)⇔ sin x · sin α + cos x · cos α = √ 2 a +b a + b2 Cách 2: ( Thường dùng để biện luận) − t2 x 2t * Đặt t = tan ; thay cos x = ; sin x = 2 1+t + t2 Ta phương trình bậc hai theo t * Giải phương trình tìm t Suy nghiệm x LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING 42 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √ Câu 24 Giải phương trình sin 2x − cos 2x + =0  x = kπ x = kπ   , (k ∈ Z) A , (k ∈ Z) B  π 2π x = + kπ x= + 2kπ 3   x = 2kπ x = kπ C   , (k ∈ Z) D   , (k ∈ Z) 2π 2π x= x= + 2kπ + kπ 3 √ Câu 25 Họ nghiệm phương trình : sin 3x − cos 3x = cos 5x là:   5π kπ 5π kπ x = 48 + x = 48 + , (k ∈ Z) B  , (k ∈ Z) A    5π 5π x=− − kπ x=− − 2kπ 12 12   5π kπ 5π kπ x = 48 + x = 48 + C  , (k ∈ Z) , (k ∈ Z) D    5π π 5π x=− −k x=− − kπ 12 12 √ Câu 26 Giải phương trình : (sin 2x + cos 7x) = sin 7x − cos 2x   π 2π π 3π x = − + k x= +k   10 , (k ∈ Z) 10 , (k ∈ Z) A  B    2π π 7π 7π +k +k x= x= 54 54   π π π 2π x= +k x = 10 + k  10   , (k ∈ Z) D C  , (k ∈ Z)  π 7π 7π 2π +k x= x= +k 54 54 Ä ä √ 4 Câu 27 Nghiệm phương trình : sin x + cos x + sin 4x = là:   π kπ π kπ + + x = x =   A  , (k ∈ Z) B  , (k ∈ Z)   π kπ π kπ x=− + x=− + 12 12   π kπ π kπ + + x = x =  4   , (k ∈ Z) D , (k ∈ Z) C    π kπ π kπ x=− + x=− + 12 12 √ Câu 28 Khẳng định phương trình 2 (sin x + cos x) cos x = + cos 2x A Có họ nghiệm B Có hai họ nghiệm C Vơ nghiệm D Có nghiệm Câu 29 phương trình : cos 4x − sin2 2x + cos2x − =  Giải π π π x = + k2π x= +k   2 , (k ∈ Z) B  , (k ∈ Z) A    6 x = ± arccos + k2π x = ± arccos + k2π 7   π π x = + kπ x = + kπ   2  C  , (k ∈ Z) D , (k ∈ Z)   6 x = ± arccos + k2π x = ± arccos + kπ 7 √ 2 Câu 30 Giải phương trình: cos x − sin 2x = +sin x  π π x = + kπ x = + k2π 3 A  , (k ∈ Z) B  , (k ∈ Z) x = kπ x = k2π  π  π x = + k2π x = + kπ C  , (k ∈ Z) D  , (k ∈ Z)  π x=k x = kπ 1.3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP √ sin x · cos x  − = π x = k B   π π , (k ∈ Z) x= +k  x = kπ , (k ∈ Z) D  π x = + kπ cos x − sin x · cos x √ Câu 32 Nghiệm phương trình : = cos2 x + sin x − 5π kπ 5π k2π A x = + ,k ∈ Z B x = + ,k ∈ Z 18 18 5π k4π 5π k5π C x = + ,k ∈ Z D x = + ,k ∈ Z 18 18 ä √ + cos x + cos 2x + cos 3x 2Ä Câu 33 Giải phương trình: = − sin x cos2 x + cos x −   π π x = + k2π x = + kπ A  , (k ∈ Z) B  , (k ∈ Z)   π π x = − + k2π x = − + kπ 6   π π x = + k3π x = − + k2π  C  , (k ∈ Z) D , (k ∈ Z)   π π x = − + k3π x = − + k2π 6 43 1.3.3 Phương trình sin cos Dạng Phương trình sin cos Định nghĩa Phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng a sin2 x+b sin x cos x+c cos2 x = d, (a2 + c2 = 0) Phương trình đẳng cấp bậc ba có dạng a sin3 x + b cos3 x + c sin2 x cos x + d sin x cos2 x + e sin x + f cos x = 0, Phương pháp giải Giải phương trình a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d, (a2 + c2 = 0) (1) Cách 1: π * Xét cos x = ⇔ x = + kπ,k ∈ Z có nghiệm phương trình hay khơng π * Xét cos x = ⇔ x = + kπ,k ∈ Z Chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x, ta phương trình a tan2 x + b tan x + c = d(1 + tan2 x) Cách 2: − cos 2x + cos 2x Sử dụng công thức hạ bậc sin2 x = ; cos2 x = 2 (1) ⇔ b sin 2x + (c − a) cos 2x = 2d − a − c: phương trình bậc sin x cos x Giải phương trình a sin3 x + b cos3 x + c sin2 x cos x + d sin x cos2 x + e sin x + f cos x = Chia hai vế phương trình cho cos3 x, ta phương trình bậc ba theo tan x Ví dụ Giải phương trình sau a) sin2 x + sin x · cos x − cos2 x = b) sin2 2x − sin 2x · cos 2x − cos2 2x = LATEX by NHĨM W-T-TEX-BEGINNING Câu 31 Giải phương trình: cos2 x +  x = k2π  , (k ∈ Z) A π x = + k2π  π x = k C   π , (k ∈ Z) π x= +k 3 44 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC c) sin2 x x + sin x − cos2 = 2 Ví dụ Giải phương trình sau a) sin3 x + sin2 x · cos x = sin x · cos2 x b) sin x + cos3 x = sin 2x · cos x LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING c) cos4 x − sin2 x · cos2 x + sin4 x = I PHẦN TỰ LUẬN Ä √ √ ä √ Bài 21 Giải phương trình sin2 x + − sin x cos x − cos2 x + − = Bài 22 Giải phương trình sin2 x − 30 sin x cos x + 25 cos2 x = 25 Bài 23 Giải phương trình sin 2x − sin2 x = cos 2x Bài 24 Giải phương trình sin x − sin3 x + cos x = Bài 25 Giải phương trình sin3 x − cos3 x = sin x + cos x Bài 26 Giải phương trình 4(sin3 x + cos3 x) = sin x + cos x Å √ πã Bài 27 Giải phương trình 2 cos3 x − − cos x − sin x = Bài 28 Giải phương trình tan x sin2 x − sin2 x = 3(cos 2x + sin x cos x) Bài 29 Giải phương trình sin3 x = cos x Bài 30 Giải phương trình sin x − cos3 x = sin 4x cos x cos 2x II PHẦN TRẮC NGHIỆM 2 Câu 34 Giải phương trình cos Ç x+ å sin x cos x + sin x = π A x = − + kπ; x = arctan − + kπ, (k ∈ Z) Ç5 å π B x = − + k π; x = arctan − + k π, (k ∈ Z) 3 Ç 5å π 1 C x = − + k π; x = arctan − + k π, (k ∈ Z) 4 Ç 5å π D x = − + k2π; x = arctan − + k2π, (k ∈ Z) √ Câu 35 Giải phương trình cos2 x + sin 2x = + sin2 x   x = k2π x = kπ  A  , (k ∈ Z) B , (k ∈ Z) π π x = + k2π x = + kπ 3   x = k π x = k π C  , (k ∈ Z) D  , (k ∈ Z)   π π x= +k π x= +k π 3 Câu 36 Giải phương trình sin3 x + cos3 x − sin x − sin2 x cos x =   π π x = ± + k2π x=± +k π   3 , (k ∈ Z) A  , (k ∈ Z) B    π π x = + k2π x= +k π 4 1.3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP π x = ± + kπ C  , (k ∈ Z)  π x = + kπ 45 π +k π 3 , (k ∈ Z) D π x= +k π   x   =± Câu 37 Giải phương trình cos3 x = sin 3x  x = arctan(−2) + k2π x = arctan(−2) + k π A  , (k ∈ Z) B  , (k ∈ Z) π  π x = + k2π x = + k π 4   x = arctan(−2) + kπ x = arctan(−2) + k π  C  , (k ∈ Z) D , (k ∈ Z) π  π x = + kπ x= +k π 4 Câu 38 Giải phương trình sin2 x (tan x + 1) = sin x (cos x − sin x) +   π π x = − x=− +k π + k2π   4 , (k ∈ Z) A  , (k ∈ Z) B    π π x = ± + k2π x=± +k π 3   π π x = − + k π x = − + kπ  C  , (k ∈ Z) D  , (k ∈ Z)  π π x = ± + kπ x=± +k π 3 Ä ä Câu 39 Giải phương trình cos3 x + sin3 x = cos5 x + sin5 x π π A x = ± + k2π, (k ∈ Z) B x = ± + kπ, (k ∈ Z) 4 π π C x = ± + k π, (k ∈ Z) D x = ± + k π, (k ∈ Z) 4 2 Câu 40 Giải phương trình sin x + tan x = cos x (4 sin x − cos x) Ä √ ä π A x = + k2π,x = arctan −1 ± + k2π, (k ∈ Z) Ä √ ä π 1 B x = + k π,x = arctan −1 ± + k π, (k ∈ Z) 2 Ä √ ä π 2 C x = + k π,x = arctan −1 ± + k π, (k ∈ Z) 3 Ä √ ä π D x = + kπ,x = arctan −1 ± + kπ, (k ∈ Z) Å √ πã Câu 41 Giải phương trình 2 cos x − − cos x − sin x =   π π x = + k2π x = + kπ   2 A  , (k ∈ Z) B  , (k ∈ Z)   π π x = + k2π x = + kπ 4   π π x = + k π x = + k π   2   C  , (k ∈ Z) D  , (k ∈ Z) π π x= +k π x= +k π 4 Å πã Câu 42 Trong khoảng 0; phương trình sin2 4x + sin 4x cos 4x − cos2 4x = có A nghiệm B hai nghiệm C ba nghiệm D bốn nghiệm Câu 43 Trong khoảng (0; 2π) phương trình cos3 x − sin3 x − cos x sin2 x + sin x = có nghiệm? A B C D ĐÁP ÁN LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING  46 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC D 11 D 15 D 19 C 23 C 27 D 31 D 35 B D 12 B 16 D 20 D 24 B 28 C 32 B 36 C 39 B 40 D LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING 41 B D 13 D 17 A 21 D 25 D 29 C 33 A 37 D 10 D 14 D 18 D 22 D 26 D 30 A 34 A 38 D 42 D 43 A 1.4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC 1.4 47 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC LÝ THUYẾT CÁC DẠNG BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng Phương pháp đưa tổng bình phương   A1     A2 Biến đổi phương trình cho dạng A1 + A2 + + An = ⇔  =0 =0      A1 ≥ 0, An = A2 ≥ 0, , An ≥ √ Ví dụ Giải phương trình tan2 x + sin2 x − tan x − sin x + = Ví dụ Giải phương trình cos2 x − cos x − 2x sin x + x2 + = Ví dụ Giải phương trình cos 4x cos2 2x + √ − cos 3x + = Å √ πã Ví dụ Giải phương trình sin 4x − cos 4x = + sin x − Ví dụ Giải phương trình sin 3x (cos x − sin 3x) + cos 3x (1 + sin x − cos 3x) = Ví dụ Giải phương trình cos 2x − √ sin 2x − √ sin x − cos x + = Dạng Phương pháp đối lập Phương pháp xây dựng tính chất: Để giải phương trình f (x) = g(x), ta nghĩ đến việc chứng minh tồn A: f (x) ≥ A,∀x ∈ (a,b) g(x) ≤ A,∀x ∈ (a,b) f (x) = A đó: f (x) = g(x) ⇔  g(x) = A Nếu ta có f (x) > A g(x) < A, ∀x ∈ (a,b) kết luận phương trình vơ nghiệm Một số dạng phương trình đặc biệt dùng phương pháp đối lập LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Một số tốn phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù phương trình, không nằm phương pháp nêu hầu hết sách giáo khoa Một số phương trình lượng giác thể tính khơng mẫu mực dạng chúng, có phương trình ta thấy dạng bình thường cách giải lại khơng mẫu mực Sau phương trình lượng giác có cách giải khơng mẫu mực thường gặp 48 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC • sin ax · sin bx = ⇔            LATEX by NHĨM W-T-TEX-BEGINNING • sin ax · sin bx = −1 ⇔       sin ax = sin bx = sin ax = −1 sin bx = −1 sin ax = sin bx = −1 sin ax = −1 sin bx = Cách giải tương tự cho phương trình thuộc dạng: cos ax·cos bx = 1; cos ax·cos bx = −1; sin ax · cos bx = 1; sin ax · cos bx = −1 Ví dụ Giải phương trình cos5 x + x2 = Ví dụ Giải phương trình sin1996 x + cos1996 x =     1 − + cos 3x − = Ví dụ Giải phương trình cos x cos x cos 3x Ç Ví dụ Giải phương trình tan x + cot x Ví dụ Giải phương trình cos 3x + √ ån = cosn x + sinn x với n ∈ N, n ≥ 2 − cos2 3x = 2(1 + sin2 2x) Dạng Phương pháp chứng minh nghiệm Tuỳ theo dạng điều kiện phương trình, ta tính nhẩm nghiệm phương trình, sau chứng tỏ nghiệm cách thơng dụng sau: • Dùng tính chất đại số • Áp dụng tính đơn điệu hàm số Phương trình f (x) = có nghiệm x = α ∈ (a,b) hàm f đơn điệu (a,b) f (x) = có nghiệm x = α Phương trình f (x) = g(x) có nghiệm x = α ∈ (a,b), f (x) g(x) hai hàm số đơn điệu ngược chiều khoảng (a,b) phương trình f (x) = g(x) có nghiệm x = α Ví dụ Giải phương trình cos x = − x2 với x ≥ Ví dụ Giải phương trình sin x + tan x − 2x = với ≤ x ≤ π 1.4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC 49 Dạng Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ Giải phương trình 32 cos πã x+ − sin 6x = Å Ví dụ Giải phương trình cos2 x = cos Ví dụ Giải phương trình sin πã √ x+ = sin x (1) Å Å Ví dụ Giải phương trình sin 3x − Ví dụ Giải phương trình cos Ví dụ Giải phương trình √ Å πã πã = sin 2x sin x + 4 πã x+ = cos 3x Å Å sin3 x + πã = sin x √ Ví dụ Giải phương trình cos 2x = cos2 x + tan x Dạng Phương pháp đưa hệ phương trình Ví dụ Giải phương trình √ sin2 x + + √ − cos2 x = √ √ √ Ví dụ Giải phương trình ( cos x)2 + sin2 x − = − Dạng Một số phương trình lượng giác có cách giải đặc biệt Ví dụ 10 Giải phương trình cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x + cos 5x = − (∗) Ví dụ 11 Giải phương trình sin 3x cos 2x = + sin x − sin3 x (∗) Ví dụ 12 Giải phương trình cos x cos 2x cos 4x cos 8x = (∗) 16 LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING 4x 50 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Å Å ã πã π Ví dụ 13 Giải phương trình sin x + cos x = cot x + cot −x 4 Å πã πã Ví dụ 14 Giải phương trình tan x + tan x − sin 3x = sin x + sin 2x Å Ví dụ 15 Giải phương trình cos2 Å ã π cos2 x = + cos (π sin 2x) LATEX by NHĨM W-T-TEX-BEGINNING Bài Giải phương trình x2 − 2x cos x − sin x + = Bài Giải phương trình sin14 x + cos15 x = Å πã 4 Bài Giải phương trình sin x + cos x + = 4 Ç ån Bài Giải phương trình tan x + cot x = sinn x + cosn x (với n ∈ N, n ≥ 2) Bài Giải phương trình sin3 x + cos3 x = − sin4 x πị Bài Giải phương trình sin x + tan x − 2x = với x ∈ 0; 2 Bài Giải phương trình (cos 4x − cos 2x) = + sin 3x ï Bài Giải phương trình cos4 x − sin4 x = | cos x| + | sin x| Bài Giải phương trình x2 − sin x + = 1.4.1 Phương trình lượng giác có nghiệm khoảng, đoạn √ πã Ç å √ 3π x Bài 11 Tìm nghiệm x ∈ (0; π) phương trình sin − cos 2x = 1+2 cos x − Ç å cos 3x + sin 3x Bài 12 Tìm nghiệm x ∈ (0; 2π) phương trình sin x + = cos 2x + + sin 2x ï π πị Bài 13 Tìm m để phương trình sin x + m cos x = − m, (1) có nghiệm x ∈ − ; 2 Câu Nghiệm phương trình cos2 x − cos x = thỏa điều kiện < x < π π π π π A x = B x = C x = D x = − π 3π Câu Nghiệm phương trình cos2 x + cos x = thỏa điều kiện < x < 2 π 3π 3π A x = π B x = C x = D x = − 2 π Câu Nghiệm phương trình sin2 x − sin x + = thỏa điều kiện ≤ x < π π π π A x = B x = C x = D x = − 2 Câu Nghiệm phương trình sin x − sin x = thỏa điều kiện < x < π π π A x = B x = π C x = D x = − 2 π π Câu Nghiệm phương trình sin2 x + sin x = thỏa điều kiện − < x < 2 π π D x = A x = B x = π C x = Bài 10 Tìm nghiệm x ∈ (0; π) phương trình cos x + sin x − = Å sin 2x + 1.4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG MẪU MỰC 51 πã = đoạn [π; 5π] Câu 10 Số nghiệm phương trình sin x + A B C D Å 1.4.2 Dạng tốn khác phương trình lượng giác thường gặp m · x + 2015 (m tham số thực thuộc R) π Chứng minh phương trình y = ln có nghiệm với m √ Bài 25 Cho hàm số y = f (x) = cos3 3x2 − 2πx Hãy tính f (π) Å √ πã = với ≤ x ≤ 2π Câu 11 Số nghiệm phương trình cos x + A B C D Å π ã Câu 12 Tìm m để phương trình 2sin x − (2m + 1) sin x + m = có nghiệm x ∈ − ; A −1 < m < B < m < C −1 ≤ m ≤ D < m < Ç å π 3π Câu 13 Tìm m để phương trình cos 2x−(2m + 1) cos x+m+1 = có nghiệm x ∈ ; 2 A −1 ≤ m < B < m ≤ C ≤ m < D −1 < m < Câ 14 Tìm m để phương trình (cos x + 1) (cos 2x − m cos x) = msin2 x có nghiệm ô 2π x ∈ 0; 1 C −1 < m ≤ − D − < m ≤ A −1 < m ≤ B < m ≤ 2 ã Å π phương trình sin3 x cos 3x + cos3 x sin 3x = Câu 15 Các nghiệm thuộc khoảng 0; 5π π 5π π 5π π 5π π B C D A 6 8 12 12 24 24 Câu 16 Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) phương trình Ç A π 5π 12 12 B sin 3x + cos 3x sin x + + sin 2x π 5π 6 å = + cos 2x π 5π 4 C D π 5π 3 II PHẦN TỰ LUẬN √ 7π 4cos + 2cos − x − cos (2x − 3π) − Bài 26 Giải phương trình = − sin x Ç å √ − cos x 7π Bài 27 Giải phương trình + sin x = sin 2x + tan x √ √ √ (4sin2 x + 1) cos x + sin x(2 cos x − 3) − Bài 28 Giải phương trình + 3sin2 x = cos x sin x + 2x Ç å 2(1 + cot 2x cot x) + = 48 cos4 x sin x sin3 x Bài 30 Cho hàm số y = Chứng minh rằng: y = cos x − cos 2x + cos x Bài 29 Giải phương trình ĐÁP ÁN LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING Bài 24 Cho hàm số y = sin2 x + (m + 1) sin x + LATEX by NHÓM W-T-TEX-BEGINNING 52 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A A A 11 B 13 D 15 D A A 10 C 12 A 14 C 16 D