Lý thuyết và bài tập hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

CHƯƠNG BÀI A 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM TĨM TẮT LÝ THUYẾT Đường trịn lượng giác dấu giá trị lượng giác sin B(0; 1) y H (II) (I) M + • cos α = OK cos A (−1; 0) O (III) (IV) α O A (1; 0) B (0; −1) • sin α = OH x K Giá trị lượng giác sin α cos α tan α cot α Góc phần tư I II III IV + + + + + − − − − − + + − + − − Công thức lượng giác sin2 x + cos2 x = 1 + tan2 x = cos2 x + cot2 x = sin2 x tan x cot x = Cung góc liên kết Cung đối Cung bù Cung π cos(−α) = cos α sin(−α) = − sin α tan(−α) = − tan α cot(−α) = − cot α cos(π − α) = − cos α sin(π − α) = sin α tan(π − α) = − tan α cot(π − α) = − cot α cos(α + π) = − cos α sin(α + π) = − sin α tan(α + π) = tan α cot(α + π) = cot α CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Cung phụ π −α π sin − α π tan − α π cot − α cos = sin α = cos α = cot α = tan α Cung π π + α = − sin α π sin + α = cos α π tan + α = − cot α π cot + α = − tan α cos Công thức cộng sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b tan a + tan b − tan a tan b + tan x π tan + x = − tan x tan(a + b) = tan a − tan b + tan a tan b − tan x π tan − x = + tan x tan(a − b) = Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc cos 2α = cos2 α − sin2 α = cos2 α − = − sin2 α tan 2α = − cos 2α + cos 2α cos2 α = − cos 2α tan2 α = + cos 2α + cos 2α cot2 α = − cos 2α sin2 α = sin 2α = sin α cos α tan α − tan2 α cot2 α − cot 2α = cot α Công thức nhân sin 3α = sin α − sin3 α cos 3α = cos3 α − cos α tan 3α = tan α − tan3 α − tan2 α Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b cos 2 a+b a−b sin a + sin b = sin cos 2 sin(a + b) tan a + tan b = cos a cos b sin(a + b) cot a + cot b = sin a sin b cos a + cos b = cos a+b a−b sin 2 a+b a−b sin a − sin b = cos sin 2 sin(a − b) tan a − tan b = cos a cos b sin( b − a) cot a − cot b = sin a sin b cos a − cos b = −2 sin CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM Đặc biệt sin x + cos x = sin x + π = cos x − π sin x − cos x = sin x − π = − cos x + Công thức biến đổi tích thành tổng [cos(a − b) + cos(a + b)] sin a · sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] sin a · cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)] cos a · cos b = Bảng lượng giác số góc đặc biệt độ 0◦ rad sin α cos α tan α cot α kxđ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ π π π π 3 2 2 3 2 2π 3 − kxđ 3π 5π 2 2 − − 2 −1 − 3 3 − − 3 −1 150◦ − 180◦ 360◦ π 2π 0 −1 0 kxđ kxđ Một điểm M thuộc đường trịn lượng giác có tọa độ M (cos α, sin α) π 4 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC y (0, 1) − 12 , 2 , − − ,2 (−1, 0) π 120 90◦ ◦ 60 − 12 , − ,2 π 30◦ (1, 0) 360 0◦ ◦ 2π 210◦ 2 ,− 2 2 , π 150◦ 5π ,−2 − ◦ π 180◦ 7π − π 2π 3π 5π 2, 330◦ 240◦ 4π 270◦ 3π 300◦ 5π 3 x 11π 7π ,−2 2 ,− 2,− (0, −1) BÀI A HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TĨM TẮT LÝ THUYẾT Tính chất hàm số a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số y = f ( x) có tập xác định D gọi hàm số chẵn với x ∈ D − x ∈ D f (− x) = f ( x) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Hàm số y = f ( x) có tập xác định D gọi hàm số lẻ với x ∈ D − x ∈ D f (− x) = − f ( x) Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng b) Hàm số đơn điệu Cho hàm số y = f ( x) xác định tập (a; b) ⊂ R Hàm số y = f ( x) gọi đồng biến (a; b) ∀ x1 , x2 ∈ (a; b) có x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Hàm số y = f ( x) gọi nghịch biến (a; b) ∀ x1 , x2 ∈ (a; b) có x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) c) Hàm số tuần hoàn Hàm số y = f ( x) xác định tập hợp D, gọi hàm số tuần hồn có số T = cho với x ∈ D ta có ( x + T ) ∈ D ( x − T ) ∈ D f ( x + T ) = f ( x) HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Nếu có số dương T nhỏ thỏa mãn điều kiện T gọi chu kì hàm tuần hồn f Hàm số y = sin x Hàm số y = sin x có tập xác định D = R ⇒ y = sin [ f ( x)] xác định ⇔ f ( x) xác định ◦ ◦ Tập giá trị T = [−1; 1], nghĩa −1 ≤ sin x ≤ ⇒ ≤ | sin x| ≤ ≤ sin2 x ≤ Hàm số y = f ( x) = sin x hàm số lẻ f (− x) = sin(− x) = − sin x = − f ( x) Nên đồ thị hàm số y = sin x nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Hàm số y = sin x tuần hồn với chu kì T0 = 2π, nghĩa sin ( x + k2π) = sin x Hàm số y = sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì T0 = 2π | a| π π 2 Hàm số y = sin x đồng biến khoảng − + k2π; khoảng π + k2π; 3π + k2π với k ∈ Z ◦ Hàm số y = sin x nhận giá trị đặc biệt ◦ ◦ + k2π nghịch biến π + k 2π sin x = ⇔ x = kπ , k ∈ Z π sin x = −1 ⇔ x = − + k2π sin x = ⇔ x = Đồ thị hàm số y − π2 −π π π x Hàm số y = cos x Hàm số y = cos x có tập xác định D = R ⇒ y = cos [ f ( x)] xác định ⇔ f ( x) xác định Tập giá trị T = [−1; 1], nghĩa −1 ≤ cos x ≤ ⇒ ≤ | cos x| ≤ ≤ cos2 x ≤ Hàm số y = cos x hàm số chẵn f (− x) = cos(− x) = cos x = f ( x) nên đồ thị hàm số nhận trục tung O y làm trục đối xứng Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì T0 = 2π, nghĩa cos( x + 2π) = cos x Hàm số y = cos(ax + b) tuần hồn với chu kì T0 = 2π | a| Hàm số y = cos x đồng biến khoảng (−π + k2π; k2π) , k ∈ Z nghịch biến khoảng (k2π; π + k2π) , k ∈ Z Hàm số y = cos x nhận giá trị đặc biệt ◦ ◦ ◦ Đồ thị hàm số cos x = ⇔ x = k2π cos x = −1 ⇔ x = π + k2π , k ∈ Z π cos x = ⇔ x = + kπ CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC y −π − π2 π x π Hàm số y = tan x π Hàm số y = tan x có tập xác định D = R \ + kπ, k ∈ Z , nghĩa x = π số y = tan [ f ( x)] xác định ⇔ f ( x) = + kπ; ( k ∈ Z) Tập giá trị T = R π + kπ ⇒ hàm Hàm số y = tan x hàm số lẻ f (− x) = tan(− x) = − tan x = − f ( x) nên đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O Hàm số y = tan x tuần hồn với chu kì T0 = π ⇒ y = tan(ax + b) tuần hoàn với chu π kì T0 = | a| π π 2 Hàm số y = tan x đồng biến khoảng − + kπ; ◦ Hàm số y = tan x nhận giá trị đặc biệt ◦ ◦ + k π , k ∈ Z π + kπ π tan x = −1 ⇔ x = − + kπ , k ∈ Z tan x = ⇔ x = kπ tan x = ⇔ x = Đồ thị hàm số y −π − π2 O π π x Hàm số y = cot x Hàm số y = y = cot x có tập xác định D = R \ {kπ, k ∈ Z}, nghĩa x = kπ ⇒ hàm số y = cot [ f ( x)] xác định ⇔ f ( x) = kπ; ( k ∈ Z) Tập giá trị T = R Hàm số y = cot x hàm số lẻ f (− x) = cot(− x) = − cot x = − f ( x) nên đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O Hàm số y = y = cot x tuần hồn với chu kì T0 = π ⇒ y = cot(ax + b) tuần hoàn với chu π kì T0 = | a| Hàm số y = y = cot x nghịch biến khoảng (kπ; π + kπ) , k ∈ Z HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ◦ Hàm số y = y = cot x nhận giá trị đặc biệt ◦ ◦ π + kπ π cot x = −1 ⇔ x = − + kπ , k ∈ Z π cot x = ⇔ x = kπ cot x = ⇔ x = Đồ thị hàm số y −π − 32π B 3π − π2 O π π x CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP DẠNG 2.1 Tìm tập xác định hàm số lượng giác Phương pháp giải: Để tìm tập xác định hàm số lượng giác ta cần nhớ: y = tan f ( x) = π sin f ( x) ; Điều kiện xác định: cos f ( x) = ⇔ f ( x) = + kπ, (k ∈ Z) cos f ( x) 2 y = cot f ( x) = cos f ( x) ; Điều kiện xác định: sin f ( x) = ⇔ f ( x) = kπ, (k ∈ Z) sin f ( x) Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp: y= , điều kiện xác định P ( x) = P ( x) 2n P ( x), điều kiện xác định P ( x ≥ 0) y = 2n , điều kiện xác định P ( x) > P ( x) y= Lưu ý rằng: −1 ≤ sin f ( x); cos f ( x) ≤ A · B = ⇔ Với k ∈ Z, ta cần nhớ trường hợp đặc biệt: A=0 B = CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  sin x = ⇔ x = π  + k 2π  cos x = ⇔ x = k2π  π   cos x = ⇔ x = + kπ  cos x = −1 ⇔ x = π + k2π VÍ DỤ Tìm tập xác định hàm số: y = f ( x) = π π D = R \ ± + k π; π + kπ    tan x = ⇔ x = kπ   π tan x = −1 ⇔ x = − + kπ  π cot x = ⇔ x = + kπ   π   cot x = ⇔ x = + kπ   π cot x = −1 ⇔ x = − + kπ    sin x = ⇔ x = kπ   π sin x = −1 ⇔ x = − + k2π tan x = ⇔ x = sin x tan2 x − + − cos x + cos x ĐS: + k π ; π + k 2π Lời giải   tan2 x − =       cos x = Điều kiện xác định hàm số: − cos x  ≥0    + cos x    cos x = −1 ≤ − cos x ≤ − cos x Do −1 ≤ cos x ≤ nên ⇐ ≥ 0, ∀ x ∈ R Từ suy ra: + cos x ≤ + cos x ≤  π   x = ± + kπ    π π Vậy hàm số xác định x = π + kπ , nên D = R \ ± + kπ; + kπ; π + k2π      x = π + k2π VÍ DỤ Tìm tập xác định hàm số: y = f ( x) = D = −2π ≤ x ≤ 2π; x = π 4π − x cos x ĐS: + kπ Lời giải  4π − x ≥  − 2π ≤ x ≤ 2π π ⇔ Vậy D = −2π ≤ x ≤ 2π; x = + kπ π  x = + k π cos x = 2 Điều kiện xác định hàm số: BÀI TẬP VẬN DỤNG BÀI Tìm tập xác định hàm số lượng giác sau: y = cos x ĐS: D = R \ {0} cos x y= + cos x sin x ĐS: D = R \ {kπ} y= y= tan x π kπ π ĐS: D = R \ + ; + k2π sin x − 2 y= tan x + cos2 x cos x + sin x + ĐS: D = [0; +∞) ĐS: D = R \ π π + kπ ĐS: D = R \ − + k2π 2 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC cos x − − sin x y= ĐS: D = ∅ Lời giải Điều kiện xác định: x = Điều kiện xác định: x ≥ ⇔ x ≥ Điều kiện xác định: sin x = ⇔ x = kπ Điều kiện xác định: cos x = ⇔ x = Điều kiện xác định: π + kπ ⇔ x = π  π kπ  cos x =  x = + ⇔  sin x =  x = π + k2π + kπ   cos x + ≥ Điều kiện xác định: sin x +  sin x + = cos x + ≥ 0; ∀ x ∈ R Do −1 ≤ sin x; cos x ≤ nên sin x + π Vậy hàm số xác định x = − + k2π   cos x − ≥ Điều kiện xác định: − sin x  − sin x = cos x − ≤ 0; ∀ x ∈ R Do −1 ≤ sin x; cos x ≤ nên − sin x Vậy tập xác định hàm số là: ∅ BÀI Tìm tập xác định hàm số lượng giác sau: π2 − x y= sin x ĐS: D = −π ≤ x ≤ π; x = tan x − π π 2 π − sin x − tan x − y= π ĐS: D = − ≤ x ≤ ; x = π2 − x2 + tan x y= π + kπ kπ ĐS: D = R \ 3π k π 5π + ; + k 2π 8 π ĐS: D = R \ 3π π + k π ; − + k 2π π − cos x + Lời giải Điều kiện xác định:   −π ≤ x ≤ π ⇔  x = kπ sin x = π2 − x ≥ 10 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  π π  − ≤x≤  π − 4x ≥ 2 ⇔ Điều kiện xác định: π k π  cos x = x = +    π π 3π kπ     =0 =0 +  cos x −  cos x − x = 4 Điều kiện xác định: ⇔ ⇔ π π π     − sin x − >  − sin x − =0  x = + k2π 8   π 3π   =0  cos x − x = + kπ 4 Điều kiện xác định: ⇔ π   − cos x +  x = − π + k2π =0  3 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI Tìm tập xác định hàm số lượng giác sau: y= + sin x cos x + ĐS: D = R \ {π + k2π} y= y= − sin x + cos x ĐS: D = R \ {π + k2π} y= x sin π x y= x2 + x cos x y= y= cos x + tan x − sin x tan x ĐS: D = R \ sin x + π kπ π D = R\ + ; − + k2π 2 π + kπ cot x − cos2 x ĐS: D = R \ kπ ĐS: D = [0; +∞) \ Z ĐS: D = R \ π + k π; ĐS: BÀI Tìm tập xác định hàm số lượng giác sau: π −x cos x − + tan y= y= − sin x cos x + y= cos x − cos x y = cot x + y= y= π ĐS: D = R \ {π + k2π} ĐS: D = R \ kπ; tan2 x − sin x − cos2 x π π ĐS: D = R \ − + · tan x + sin x − y = cot x + π ĐS: D = R \ − + kπ + π ĐS: D = R \ π + cot + x y= π tan x − kπ π kπ ; + ĐS: D = R \ ± + kπ + cos x − cos x kπ π + kπ π ĐS: D = R \ − + kπ; k2π π π 12 ĐS: D = R \ − + kπ; + kπ π kπ ; + 32 Ta có sin x + cos x = + sin x ⇔ sin x − + cos x − sin x cos x = ⇔ (sin x − 2)(1 − cos x) = ⇔ cos x = π ⇔ x = ± + k 2π π Vậy phương trình có hai nghiệm x = ± + k2π với k ∈ Z π ĐS: x = ± + k2π với k ∈ Z Ta có sin x + = cos x + sin x ⇔ sin x cos x − cos x + − sin x = ⇔ (sin x − 1)(2 cos x − 3) =  sin x =  ⇔  cos x =  π x = + k 2π  ⇔  π x = ± + k 2π π π Vậy phương trình có ba nghiệm x = + k1 2π, x = ± + k2 2π với k1 , k2 ∈ Z π π ĐS: x = + k1 2π, x = ± + k2 2π với k1 , k2 ∈ Z Ta có 2(sin x − cos x) = − sin x ⇔ sin x − − 2 cos x + sin x cos x = ⇔ 2(sin x − 2) + cos x(sin x − 2) = ⇔ (sin x − 2)(2 cos x + 2) = ⇔ cos x = − 3π ⇔ x=± + k 2π Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = ± 3π + k2π với k ∈ Z ĐS: x = ± Ta có sin x − sin x = − cos x ⇔ sin x(2 cos x − 1) + 2(2 cos x − 1) = ⇔ (2 cos x − 1)(sin x + 2) = ⇔ cos x = π ⇔ x = ± + k2π 3π + k2π với k ∈ Z PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 33 π Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = ± + k2π với k ∈ Z π ĐS: x = ± + k2π với k ∈ Z Ta có sin x + cos x − sin x − = ⇔ cos x(sin x + 1) − (sin x + 1) = ⇔ (sin x + 1)(2 cos x − 1) =  sin x = −1  ⇔ cos x =  π x = − + k2π  ⇔  π x = ± + k 2π π π Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = − + k2π, x = ± + k 2π, với k, k ∈ Z π ĐS: x = − + k2π, x = ± + k 2π, với k, k ∈ Z π Ta có sin x − sin x − cos x + = ⇔ sin x(cos x − 1) − 2(cos x − 1) = ⇔ (sin x − 1)(cos x − 1) = sin x = ⇔ cos x =  π x = + k 2π ⇔  x = k 2π Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = π + k2π, x = k 2π, với k, k ∈ Z π ĐS: x = + k2π, x = k 2π, với k, k ∈ Z Ta có sin x + = sin x + cos x ⇔ sin x cos x + sin2 x − sin x = ⇔ sin x(cos x + sin x − 3) = ⇔ sin x = 0, (do cos x + sin x − = 0) ⇔ x = k π Vậy phương trình có nghiệm x = kπ với k ∈ Z ĐS: x = kπ với k ∈ Z 34 Ta có sin x − cos x = sin x − ⇔ sin x cos x + − cos x − sin x = ⇔ sin x cos x + sin2 x − sin x = ⇔ sin x(cos x + sin x − 1) =  sin x =  ⇔ π cos x − =1  sin x =  ⇔  π cos x − =  x = k1 π  π π  x − = + k 2π  ⇔  4  π π x − = − + k 2π 4  x = k1 π  π  ⇔  x = + k 2π  x = k 2π  x = k1 π  ⇔ π x = + k 2π π Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = k1 π, x = + k2 2π với k1 , k2 ∈ Z π ĐS: x = k1 π, x = + k2 2π với k1 , k2 ∈ Z Ta có sin x + sin x + = cos x ⇔ sin x cos x + sin x + sin2 x = ⇔ sin x(cos x + sin x + 1) =  sin x = ⇔  π cos x − = −1  sin x =  ⇔  π cos x − =−  x = k1 π  π 3π  x− = + k 2π ⇔   4  3π π x− =− + k 2π 4  x = k1 π  x = π + k 2π ⇔   π x = − + k 2π  x = k1 π ⇔  π x = − + k 2π PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 35 π + k 2π với k , k ∈ Z π ĐS: x = k1 π, x = + k2 2π với k1 , k2 ∈ Z Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = k1 π, x = 10 Ta có sin x(1 + cos x) + sin x = + cos x ⇔ sin x cos2 x − cos x + (sin x − 1) = ⇔ cos x(sin x − 1) + (sin x − 1) = ⇔ (cos x + 1)(sin x − 1) = cos x = −1 ⇔ sin x =  x = π + k2π ⇔  π x = + k π π + k π với k, k ∈ Z π ĐS: x = π + k2π, x = + k π với k, k ∈ Z Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = π + k2π, x = 11 Ta có sin x − sin x + cos x = − cos x ⇔ sin x cos x − sin x + cos2 x − + cos x = ⇔ sin x(2 cos x − 1) + cos x(2 cos x − 1) + 3(2 cos x − 1) = ⇔ (2 cos x − 1)(sin x + cos x + 3) =  cos x = ⇔  sin x + cos x + = Mà sin x + cos x ≥ −3, đẳng thức xảy sin x = −1 cos x = −1 hệ vô nghiệm Suy phương trình sin x + cos x + = vơ nghiệm Do cos x = π ⇔ x = ± + k2π, k ∈ Z π ĐS: x = ± + k2π, k ∈ Z 36 12 Ta có (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin x − sin x ⇔ (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin x(2 cos x − 1) ⇔ (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x − sin x + 1) =  cos x =  ⇔  π cos x − = −1  π x = ± + k 2π   π 3π  + k 2π ⇔ x− =  4  π 3π x− =− + k 2π 4  π x = ± + k 2π    ⇔  x = π + k 2π  π x = − + k 2π π π Vậy phương trình cho có bốn nghiệm x = ± + k1 2π, x = π + k2 2π, x = − + k3 2π, với k1 , k , k ∈ Z π π ĐS: x = ± + k1 2π, x = π + k2 2π, x = − + k3 2π, với k1 , k2 , k3 ∈ Z π 13 Điều kiện sin x = ⇔ x = k Ta có tan x + cot x = 2(sin x + cos x) ⇔ = 2(sin x + cos x) sin x cos x ⇔ = sin x cos x(sin x + cos x) ⇔ = sin2 x + sin x cos x ⇔ − sin2 x = sin x cos x ⇔ cos x(1 − sin x) =  cos x = ⇔  sin x =  π π x = + k1   x = π +k π ⇔  12   5π x= + k π 12 π π π 5π Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = + k1 , x = + k π, x = + k π, với k , k , 12 12 k ∈ Z ĐS: x = π π π 5π + k1 , x = + k π, x = + k π, với k , k , k ∈ Z 12 12 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 37 14 Ta có (1 + sin2 x) cos x + (1 + cos2 x) sin x = + sin x ⇔ sin x + cos x + sin x cos x(sin x + cos x) = (sin x + cos x)2 ⇔ (sin x + cos x)(1 + sin x cos x − sin x − cos x) = π ⇔ cos x − (1 − cos x)(1 − sin x) =  π =0 cos x −  ⇔   cos x = sin x = π π x − = + k1 π   x = k ⇔  2π   π x = + k 2π  3π  x = + k1 π  ⇔   x = k 2π  π x = + k 2π  3π π Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = + k π, x = k 2π, x = + k 2π, với k , k , k ∈ Z ĐS: x = π 3π + k π, x = k 2π, x = + k 2π, với k , k , k ∈ Z 15 Ta có sin x + sin2 x = sin x + cos x ⇔ sin x(sin x + cos x) − (sin x + cos x) = ⇔ (sin x + cos x)(2 sin x − 1) =  π cos x − =0  ⇔  sin x =  π π x − = + k1 π    x = π + k 2π ⇔    5π + k 2π x=  3π  x = + k1 π   π ⇔   x = + k 2π   5π x= + k 2π 3π π 5π Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = + k π , x = + k 2π , x = + k 2π, với k , k , 6 k ∈ Z ĐS: x = 3π π 5π + k π, x = + k 2π, x = + k 2π, với k , k , k ∈ Z 6 38 16 Ta có cos x + cos x = cos x sin x ⇔ cos x cos x = cos x sin x ⇔ cos x( sin x − cos x) = cos x = ⇔ cot x =  π x = + k1 π  ⇔  π x = + k2 π  π π x = + k1  ⇔  π x = + k π Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = π π + k , x = + k π, với k , k ∈ Z π π π ĐS: x = + k1 , x = + k2 π, với k1 , k2 ∈ Z π 17 Ta có cos x − cos x = sin x cos x ⇔ −2 sin x sin x = sin x cos x ⇔ sin x(sin x + cos x) = sin x = ⇔ tan x = −1  x = k1 π ⇔  π π x = − + k2 π π Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = k1 π, x = − + k2 , với k1 , k2 ∈ Z π π ĐS: x = k1 π, x = − + k2 , với k1 , k2 ∈ Z 18 Ta có sin2 x − sin x + sin x + cos x = ⇔ sin2 x − cos2 x − sin x cos x + sin x + cos x = ⇔ sin x + cos x = sin x + cos x π π = cos x − ⇔ cos x − 4  π π x − = x − + k 2π  4 ⇔  π π x − = − x + + k 2π 4  x = k2π ⇔  2π π x= +k 2π , với k, k ∈ Z π 2π ĐS: x = k2π, x = + k , với k, k ∈ Z Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = k2π, x = π +k PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 19 Điều kiện cos x = ⇔ x = π 39 + kπ Ta có cos x + tan x = + tan x sin x ⇔ cos2 x + sin x = cos x + sin2 x ⇔ sin x − cos x = (sin x − cos x)(sin x + cos x) ⇔ (sin x − cos x)(sin x + cos x − 1) =  sin x = cos x ⇔  π cos x − =1  tan x =  ⇔  π cos x − =  π x = + k1 π   π π  ⇔  x − = + k 2π  4  π π x − = − + k 2π 4  π x = + k1 π   π ⇔   x = + k 2π  x = k 2π  π x = + k1 π ⇔  x = k 2π Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = π + k π, x = k 2π, với k , k ∈ Z π ĐS: x = + k1 π, x = k3 2π, với k1 , k2 ∈ Z π 20 Điều kiện sin x = ⇔ x = k Ta có tan x = sin x − cot x cos x sin x = sin x − ⇔ cos x sin x 2 ⇔ sin x = sin x − cos x ⇔ − cos x = sin2 x − cos x ⇔ − sin2 x = − cos x ⇔ cos2 x + cos x = cos x = ⇔ cos x = −1  π π x = + k1  ⇔  π x = + k π Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = π π π + k , x = + k π, với k , k ∈ Z 2 π π π ĐS: x = + k1 , x = + k2 π, với k1 , k2 ∈ Z 2 40 BÀI Giải phương trình lượng giác sau: cos x + sin x(1 − cos x)2 = + sin x π ĐS: x = − + kπ, k ∈ Z 2(cos x + sin x) = + sin x(1 + cos x) ĐS: x = − sin x cos x = sin x − cos2 π 12 + k π, x = 5π π + k π, x = ± + k 2π, với k , k , k ∈ Z 12 x ĐS: x = sin x + cos x − sin x − π π + k2π, k ∈ Z = π π ĐS: x = − + k1 2π, x = ± + k2 2π, với k1 , k2 ∈ Z sin π − x + sin π +x = π π ĐS: x = − + k1 π, x = cos π − x − sin π + 2x = + k 2π , x = 5π + k 2π, với k , k , k ∈ Z π π ĐS: x = − + k1 π, x = ± + k2 2π., với k1 , k2 ∈ Z sin3 x + cos3 x = sin x + cos x π π ĐS: x = − + k1 π, x = k2 , với k1 , k2 ∈ Z sin3 x + cos3 x = 2(sin5 x + cos5 x) ĐS: x = sin3 x + cos x + cos x = π π + k , với k ∈ Z π ĐS: x = π + k1 2π, x = − + k2 π, với k1 , k2 ∈ Z 10 sin8 x + cos8 x = 2(sin10 x + cos10 x) + cos x ĐS: x = 11 sin x − cos x − sin x = ĐS: x = 12 tan x + cot x = cos2 x ĐS: x = π + k π, x = π + k 2π , x = π + k , k ∈ Z π 5π 2π + k , với k , k ∈ Z 12 π π 5π π + k2 , x = + k , với k , k , k ∈ Z 24 24 13 sin x + + sin x(3 − cos x) = cos x ĐS: x = ± arccos 14 sin x(2 cos x + + sin x) = cos x + ĐS: x = π 5π + k 2π , x = + k π, x = + k π, với k , k , k ∈ Z 12 12 π + k 2π , x = 5π π + k 2π, x = ± + k π, với k , k , k ∈ Z 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 41 Lời giải Ta có cos x + sin x(1 − cos x)2 = + sin x ⇔ cos x − + sin x((1 − cos x)2 − 1) = ⇔ cos x − + sin x cos x(cos x − 2) = ⇔ (cos x − 2)(sin x + 1) = ⇔ sin x = −1 π ⇔ x = − + k π π Vậy phương trình có nghiệm x = − + kπ, k ∈ Z π ĐS: x = − + kπ, k ∈ Z Ta có 2(cos x + sin x) = + sin x(1 + cos x) ⇔ cos x + sin x = + sin x cos2 x ⇔ cos x + sin x = + sin x cos x ⇔ sin x(1 − cos x) − (1 − cos x) = ⇔ (2 sin x − 1)(1 − cos x) =   sin x = ⇔   cos x =  π x= + k1 π  12  5π  ⇔ x = + k2 π  12  π x = ± + k 2π π 5π π Vậy phương trình cho có bốn nghiệm x = + k π, x = + k π, x = ± + k 2π, với k , 12 12 k , k ∈ Z ĐS: x = π 12 + k π, x = 5π π + k π, x = ± + k 2π, với k , k , k ∈ Z 12 3 Ta có x 2 x ⇔ − sin x cos x = sin x − cos ⇔ − sin x cos x = sin x − − cos x − sin x cos x = sin x − cos2 ⇔ + cos x − sin x(cos x + 2) = ⇔ (2 + cos x)(1 − sin x) = ⇔ sin x = π ⇔ x = + k 2π Vậy phương trình cho có nghiệm x = π + k2π, k ∈ Z ĐS: x = π + k2π, k ∈ Z 42 Ta có sin x + cos x − sin x − π =1 ⇔ sin x cos x + cos x − sin x + cos x = ⇔ sin x(2 cos x − 1) + cos x − = ⇔ (sin x + 1)(2 cos x − 1) =  sin x = −1  ⇔ cos x =  π x = − + k 2π  ⇔  π x = ± + k 2π π π Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = − + k1 2π, x = ± + k2 2π, với k1 , k2 ∈ Z π ĐS: x = − + k1 2π, x = ± + k2 2π, với k1 , k2 ∈ Z π Ta có ⇔ π π 4 2 cos x − sin x + cos x + sin x = sin − x + sin +x = ⇔ cos x − sin x + sin x + cos x = ⇔ (cos x − sin x)(cos x + sin x) + (sin x + cos x) = (sin x + cos x)2 ⇔ (sin x + cos x)(cos x − sin x + − sin x − cos x) = sin x + cos x = ⇔ sin x =  tan x = −1  ⇔ sin x =  π x = − + k1 π    x = π + k 2π ⇔    5π x= + k 2π π π 5π Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = − + k1 π, x = + k2 2π, x = + k 2π, với k , k , 6 k ∈ Z π π ĐS: x = − + k1 π, x = + k 2π , x = 5π + k 2π, với k , k , k ∈ Z PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 43 Ta có cos ⇔ π − x − sin cos π π + 2x = − x − sin π 2 + 2x = 4 ⇔ sin x + cos x − sin x − cos x = 2 ⇔ sin x + cos x − (sin x + cos x)2 − (cos x − sin x)(cos x + sin x) = ⇔ (sin x + cos x)(1 − sin x − cos x − cos x + sin x) = ⇔ (sin x + cos x)(1 − cos x) = sin x + cos x = ⇔ − cos x =  tan x = −1 ⇔  cos x =  π x = − + k1 π  ⇔  π x = ± + k 2π π π Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = − + k1 π, x = ± + k2 2π., với k1 , k2 ∈ Z π ĐS: x = − + k1 π, x = ± + k2 2π., với k1 , k2 ∈ Z π Ta có sin3 x + cos3 x = sin x + cos x ⇔ (sin x + cos x)(1 − sin x cos x) = sin x + cos x ⇔ (sin x + cos x) sin x = sin x + cos x = ⇔ sin x = tan x = −1 ⇔ sin x = π x = − + k1 π  ⇔  π x = k2  π π Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = − + k1 π, x = k2 , với k1 , k2 ∈ Z π π ĐS: x = − + k1 π, x = k2 , với k1 , k2 ∈ Z 44 Ta có sin3 x + cos3 x = 2(sin5 x + cos5 x) ⇔ sin3 x − sin5 x + cos3 x − cos5 x = ⇔ sin3 x(1 − sin2 x) + cos3 x(1 − cos2 x) = ⇔ sin3 x cos x − cos3 x cos x = ⇔ cos x(sin x − cos x)(1 + sin x cos x) =  cos x =  ⇔  sin x = cos x sin x = −2 ⇔ cos x = π π ⇔ x = + k1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = π π + k , với k ∈ Z ĐS: x = π + k , với k ∈ Z π Ta có sin3 x + cos x + cos x = ⇔ sin3 x + − sin2 x + cos x = ⇔ 2(1 − cos2 x)(sin x − 1) + (1 + cos x) = ⇔ (1 + cos x)(2 sin x + cos x − sin x cos x − 1) = ⇔ (1 + cos x)(2(sin x + cos x) − (sin x + cos x)2 ) = ⇔ (1 + cos x)(sin x + cos x)(2 − sin x − cos x) = ⇔ (1 + cos x)(sin x + cos x) = cos x = −1 ⇔ tan x = −1  x = π + k 2π ⇔  π x = − + k π π Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = π + k1 2π, x = − + k2 π, với k1 , k2 ∈ Z π ĐS: x = π + k1 2π, x = − + k2 π, với k1 , k2 ∈ Z 10 Ta có cos x ⇔ sin8 x(1 − sin2 x) + cos8 x(1 − cos2 x) = cos x ⇔ sin8 x cos x − cos8 x cos x = cos x 8 ⇔ cos x(4(sin x − cos x) − 5) =  cos x =  ⇔ sin8 x − cos8 x = 5 Xét phương trình sin8 x − cos8 x = ⇔ sin8 x = + cos8 x ≥ > vô lý, suy phương trình 4 8 sin x − cos x = vô nghiệm sin8 x + cos8 x = 2(sin10 x + cos10 x) + PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Do cos x = ⇔ x = 45 π + k , k ∈ Z π ĐS: x = π π + k , k ∈ Z 11 Ta có ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin x − cos x − sin x = π sin x − − sin x = π sin x − = sin x  π x − = x + k 2π   π x − = π − x + k 2π  π x = + k 2π   5π 2π x= + k2 12 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 12 Điều kiện π 5π 2π + k , với k , k ∈ Z 12 π 5π 2π ĐS: x = + k1 2π, x = + k , với k , k ∈ Z 12 + k 2π , x =  π π cos x =  x = + k , k ∈ Z Ta có ⇔  sin x = x = kπ tan x + cot x = cos2 x sin x cos x ⇔ + = cos2 x cos x sin x ⇔ cos x cos x + sin x sin x = cos x sin x cos2 x ⇔ cos x = sin x cos x  cos x =  ⇔ sin x =  π x = + k1 π   x = π +k π ⇔  24   5π π x= + k3 24 π 5π π + k2 , x = + k , với k , k , k ∈ Z 24 24 π π π 5π π ĐS: x = + k1 π, x = + k2 , x = + k , với k , k , k ∈ Z 24 24 Vậy phương trình có ba nghiệm x = π + k π, x = π 46 13 Ta có sin x + + sin x(3 − cos x) = cos x ⇔ sin x − 12 sin3 x + + sin x − sin x cos x − cos x = ⇔ 12 sin x − 12 sin3 x + − sin x cos x − cos x = ⇔ 12 sin x cos2 x − sin x cos x + − cos x = ⇔ sin x cos x(3 cos x − 2) − (3 cos x − 2) = ⇔ (3 cos x − 2)(2 sin x − 1) =   cos x = ⇔   sin x =   x = ± arccos + k 2π   π ⇔   x = 12 + k π   5π x= + k π 12 Vậy phương trình cho có bốn nghiệm x = ± arccos với k1 , k2 , k3 ∈ Z ĐS: x = ± arccos 5π π + k π, x = + k π, + k 2π , x = 12 12 5π π + k π, x = + k π, với k , k , k ∈ Z + k 2π , x = 12 12 14 Ta có sin x(2 cos x + + sin x) = cos x + ⇔ sin x cos x + sin x + sin2 x − cos x − = ⇔ sin x cos x − cos x + sin x − = ⇔ (2 cos x + 1)(2 sin x − 1) =   sin x = ⇔   cos x = −  π x = + k 2π   5π  ⇔ x = + k 2π   π x = ± + k π π 5π π Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = + k1 2π, x = + k 2π, x = ± + k π, với k , k , 6 k ∈ Z ĐS: x = π + k 2π , x = 5π π + k 2π, x = ± + k π, với k , k , k ∈ Z