Đại cương vè đường thẳng

§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG I. Khái niệm mở đầu 1). Mặt phẳng Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ( ). Ví dụ : mặt phẳng (P ), mặt phẳng ( Q ), mặt phẳng (α), mặt phẳng (β) hoặc viết tắt là mp( P ), mp( Q ), mp (α) , mp ( β) , hoặc ( P ) , ( Q ) , (α) , ( β), 2. Điểm thuộc mặt phẳng Cho điểm A và mặt phẳng (P). * Điểm A thuộc mặt phẳng (P) ta nói A nằm trên (P) hay (P) chứa A, hay (P) đi qua A và kí hiệu A ∈ ( P) . * Điểm A không thuộc mặt phẳng (P) ta nói điểm A nằm ngoài (P) hay (P) không chứa A và kí hiệu A ∉ ( P) . 3. Hình biểu diễn của một hình không gian Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian , ta dựa vào những qui tắc sau : * Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng. * Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau. * Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng. * Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bò che khuất. ii. Các tính chất thừa nhận 1. Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt 2. Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Kí hiệu: mp ( ABC) hoặc ( ABC ) 3. Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó . * Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P ) thì ta nói đường thẳng d nằm P P A P A A B C trong mặt phẳng ( P ) . Hay ( P ) chứa d và kí hiệu d ⊂ ( P ) hay ( P ) ⊃ d 4. Tính chất 4 : Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mp thì ta nói những điểm đó đồng phẳng . 5. Tính chất 5 : Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. * Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy. * Đường thẳng chung d của hai mặt phẳng phân biệt ( P ) và ( Q ) được gọi là giao tuyến của ( P) và ( Q ) kí hiệu d = ( p) ∩ ( Q ) 6. Tính chất 6 : Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. iii. Cách xác đònh một mặt phẳng 1. Ba cách xác đònh mặt phẳng * Qua 3 điểm không thẳng hàng xác đònh duy nhất một mặt phẳng. * Qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó ta xác đònh duy nhất một mặt phẳng. Kí hiệu mp(A,d) hay ( A,d) * Hai đường thẳng cắt nhau xác đònh duy nhất một mặt phẳng. Kí hiệu mp ( a, b) hay ( a, b ) Vấn đề 1 : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG α VÀ β : Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) ta đi tìm hai điểm chung I ; J của α và( β )  ( α ) ∩ ( β ) = I J Khi tìm điểm chung ta chú ý :  Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm chung  M ∈ d và d ⊂ α  M ∈ α     β⊂α⊂ =∩ b;a Mba (P) trong  M là điểm chung Chứng minh A; B; C thẳng hàng : Chỉ ra A ; B ; C ∈ α Chỉ ra A ; B ; C ∈ β Kết luận : A; B; C ∈ α ∩ β  A; B; C thẳng hàng Chứng minh a ; b ; MN đồng quy : Đặt a ∩ b = P Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng Kết luận :MN ; a ; b đồng quy tại P BÀI TẬP 1. 1: 1) Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm α β I J • • α β A C • •• B M N • • a b P của AB. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD) 2) Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng trong (ABC) cắt đoạn AB; BC tại J ; K . Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I,d) với các mặt phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC) 1. 2: 1) Cho tứ giác lồi ABCD sao cho AB ≠ CD ;AD ≠ BCvà điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm giao tuyến của : a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD) c) (SAD) và (SBC) 1. 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi; M là điểm trên cạnh CD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng : a)(SAM) và (SBD) b)(SBM) ; (SAC) 1. 5: Cho tứ diện ABCD .M nằm trên AB sao cho AM = 4 1 MB ; N nằm trên AC sao cho AN = 3NC; điểm I nằm trong ∆BCD. Tìm giao tuyến của : a) (MNI) và (BCD) b) (MNI) và (ABD) c) (MNI) và (ACD) 1. 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J lần lượt là trung điểm của AD; BC . a) Tìm giao tuyến của : (IBC) và (JAD) b)M là điểm trên AB; N là điểm trên AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN) 2. 1: Cho hai mặt phẳng α và β cắt nhau theo giao tuyến d .Trên α lấy hai điểm A ; B nhưng không thuộc d. O là điểm ở ngoài hai mặt phẳng . Các đường thẳng OA ; OB lần lượt cắt β tại A’ ; B’. AB cắt d tại C a) Chứng minh O; A; B không thẳng hàng ? b) Chứng minh A’ ; B’ ; C thẳng hàng ? Từ đó suy ra AB ; A’B’; d đồng quy 2.6. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm ∆SAD. Tìm giao tuyến của : a) (GMN) và (SAB) b) (GMN) và (SCD) c) Gọi giao điểm của AB và CD là I ; J là giao điểm của hai giao tuyến của câu a và câu b. Chứng minh S ; I ; J thẳng hàng? . của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng. * Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, hai đường thẳng. nhau là hai đường thẳng cắt nhau. * Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng. * Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn