BẤT ĐẲNG THỨC

CHÚ DẪN MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT 1. GTLN: giá trị lớn nhất; GTNN: giá trị nhỏ nhất 2. pt; hpt; bpt; BĐT: phương trình; hệ phương trình; bất phương trình; bất đẳng thức 3. cmr; đpcm: chứng minh rằng; điều phải chứng minh 4. ĐK: điều kiện 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bất đẳng thức – một bộ phận trong Đại số sơ cấp, đặc biệt nó có vai trò quan trọng trong chương trình Toán phổ thông. Bất đẳng thức có mặt trong Đại số lẫn hình học của cả ba cấp học ở phổ thông. Bất đẳng thức rất đa dạng và phong phú, ngoài ra, nó cũng có nhiều ứng dụng quan trọng để giải nhiều bài toán một cách nhanh gọn. Bất đẳng thức là một trong những vấn đề khó đối với học sinh nói riêng và người học Toán nói chung. Để dạy tốt được vấn đề này, người giáo viên không chỉ có kiến thức tốt mà còn phải biết vận dụng linh hoạt các phương pháp dạy học, kết hợp các hình thức dạy học thích hợp nhằm phát huy tính tích cực, năng động của học sinh trong quá trình tiếp thu kiến thức, biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các vấn đề đã học vào giải toán và giải quyết các vấn đề trong thực tế. Nghiên cứu vấn Toán học nói chung và vấn đề bất đẳng thức nói riêng có thể rèn luyện tính kiên trì, chịu khó, chính xác. Chính vì những lý do này, tôi đã chọn đề tài “Phân tích vấn đề bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức – đại số 10” 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu hơn vấn đề “bất đẳng thức” trong đại số 10. Trên cơ sở phân tích mục tiêu, nội dung hành thành cách dạy để học sinh tiếp thu kiến thức một cách tích cực và biết vận dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Hiện nay, vấn đề bất đẳng thức đã được giảm tải trong chương trình toán lớp 10 nên tính phong phú, đa dạng và phức tạp chỉ mang tính tương đối. Ngoài ra, do thời gian nghiên cứu có hạn nên tôi chưa thể nghiên cứu hết từng khía cạnh một cách sâu sắc vấn đề. Bài nghiên cứu chỉ đi sâu vào việc phân dạng bài tập và phân 2 tích mục tiêu và nội dung vấn đề bất đẳng thức trong chương trình Toán lớp 10 nhằm đáp ứng cho việc giảng dạy của giáo viên cũng như là tài liệu để học sinh tham khảo để học tốt vấn đề bất đẳng thức. 5. Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu liên quan đến bất đẳng thức và các ứng dụng của nó. Nghiên cứu nhiều tài liệu hướng dẫn giảng dạy và phân tích chương trình Đại số 10, đặc biệt là vấn đề bất đẳng thức. Soạn một số giáo án phục vụ giảng dạy bất đẳng thức. 3 PHẦN NỘI DUNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chương 1: BẤT ĐẲNG THỨC 1. Định nghĩa và các tính chất: 1.1. Định nghĩa: Định nghĩa 1: Cho hai số a và b, ta nói a lớn hơn b (kí hiệu a b> ) nếu hiệu a – b là một số dương; a nhỏ hơn b (kí hiệu a b< ) nếu hiệu a – b là một số âm. Ngược lại, nếu hiệu a – b > 0 thì ta nói rằng a b> , nếu a – b < 0 thì a b< Vậy: 0a b a b> ⇔ − > ; 0a b a b< ⇔ − < Các mệnh đề “ a b> ”; “ a b< ”; “ a b≥ ”; “ a b≤ ” được gọi là những bất đẳng thức Cũng như các mệnh đề logic khác, một bất đẳng thứcc có thể đúng hoặc sai. Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng Định nghĩa 2: Cho hai biểu thức A(x) và B(x) phụ thuộc vào biến số x được xác định trên cùng miền D thì ta viết A(x) > B(x) (hoặc A(x) < B(x) ) nếu hiệu A(x) – B(x) > 0 (hoặc A(x) – B(x) < 0), ứng với mọi trị số x trong miền D. Ngoài ra, nếu tồn tại ít nhất một giá trị xo thuộc D sao cho A(x o ) = B(x o ) thì ta viết A(x) ≥ B(x) ( hoặc A(x)≤ B(x)) 1.2. Tính chất: 1.2.1. Nếu a > b thì b < a và ngược lại 1.2.2. Nếu a > b thì b > c thì a > c 1.2.3. Nếu a > b thì a + c > b + c, ∀c 1.2.4 Nếu a > b và c > d thì a +c > b + d 1.2.5. Nếu a > b và c > d thì a – c > b – d 1.2.6. Nếu a > b thì - a < - b và ngược lại 4 1.2.7. Nếu a > b và c > 0 thì ac > bc, nếu c < 0 thì ac < bc 1.2.8. Nếu a > b > 0 và α > 0 thì a α > b α ; nếu α < 0 thì a α < b α 1.2.9. Nếu n ∈ N * thì a 2n > b 2n ⇔ |a| > |b| 1.2.10. Nếu a > 1 thì 1 2 1 2 x x a a x x> ⇔ > 1.2.11. Nếu 0 < a < 1 thì 1 2 1 2 x x a a x x> ⇔ < 1.2.12. Nếu a > b > 1 thì a x > b x ⇔ x > 0 1.2.13. Nếu 0 < a < b < 1 thì a x < b x ⇔ x < 0 1.2.14. Nếu a > b > 0 hay a < b < 0 thì 1 1 a b < 1.2.15. Nếu a, b, k >0 và 1 a b < thì a a k b b k + < + 1.2.16. Tính chất của giá trị tuyệt đối: Định nghĩa: , 0 , 0 a a a a a ≥  =  − <  Tính chất: + -|a| < a <|a| + |a + b| ≤ |a| + |b| + ||a| - |b|| ≤ |a – b| 1.2.17. Tính chất của tam thức bậc hai: Giả sử x 1 , x 2 là hai số cho trước (x 1 < x 2 ), khi đó: 1 2 1 2 ( )( ) 0x x x x x x x− − < ⇔ < < 1 1 2 2 ( )( ) 0 x x x x x x x x <  − − > ⇔  >  5 2. Một số bất đẳng thức được sử dụng trong chương trình toán lớp 10: 2.1. Bất đẳng thức Cauchy (Augustin Cauchy, nhà toán học người Pháp, 1789 – 1857) Cho các số không âm a 1 , a 2 , a 3 ,…,a n . Khi đó, ta có các BĐT sau: 2.1.1. 1 2 1 2 2 a a a a + ≥ , dấu “=” xảy ra 1 2 a a⇔ = (Trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của hai số đó) 2.1.2. 1 2 3 1 2 3 3 a a a a a a + + ≥ , dấu “=” xảy ra 1 2 3 a a a⇔ = = (Trung bình cộng của ba số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của ba số đó) 2.1.3. Tổng quát: 1 1 n i n i n i i a a n = = ≥ ∑ ∏ , dấu “=” xảy ra 1 2 3 . n a a a a⇔ = = = = Ở thế kỉ thứ II (TCN), Euclide – nhà toán học cổ Hy Lạp, bằng phương pháp hình học đã tìm ra BĐT trên cho hai số. Năm 1982, Cauchy – nhà toán học lỗi lạc, Viện sĩ Viện Hàn Lâm Khoa Học Pháp đã chứng minh trong trường hợp tổng quát nên ta gọi BĐT 2.1.3 là BĐT Cauchy. Sau đây một trong số hơn hai mươi cách chứng minh BĐT Cauchy (chứng minh bằng quy nạp) - Với n = 2, khi đó BĐT 2.1.3 đúng, thật vậy: Ta có: ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 0 0 2 a a a a a a a a a a + ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ , đúng 1 2 , 0a a∀ ≥ dấu “=” xảy ra 1 2 a a⇔ = - Giả sử BĐT 2.1.3 đúng với n = k ( 2,k k N≥ ∈ ), tức là: 6 1 1 k i k i k i i a a k = = ≥ ∑ ∏ , dấu “=” xảy ra 1 2 3 . k a a a a⇔ = = = = - Chứng minh BĐT 2.1.3 đúng với n = k +1, tức là chứng minh: 1 1 1 1 1 1 k i k i k i i a a k + + = + = ≥ + ∑ ∏ Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1). ( 1). k k k k k k i i i k i i i i i a k a a a k a + + + + + + = = = =   + − = + + −  ÷  ÷   ∑ ∑ ∏ ∏ 1 1 1 1 1 . . . k k k k k i k i i i k a k a a − + + = = ≥ + ∏ ∏ 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 . . . 2 . k k k k k k i k i i i i i k a a a k a − + + + + = = = ≥ = ∏ ∏ ∏ 1 1 1 1 1 ( 1). k k k i i i i a k a + + + = = ⇒ ≥ + ∑ ∏ hay 1 1 1 1 1 1 k i k i k i i a a k + + = + = ≥ + ∑ ∏ Dấu “=” xảy ra 1 2 3 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 . . . k k k k i k i k k k k k i k i i i a a a a a a a a a a a a a + + + + = − + + = =    = = = =    ⇔ = ⇔ = = = =     =    ∏ ∏ ∏ Theo nguyên lý quy nạp toán học, BĐT 2.1.3 đúng ∀n≥2, n∈N. 2.2. Bất đẳng thứcc Bunhiacopxk (Buniakowski, nhà toán học người Nga, 1804 – 1889): Cho 2n số thực a i , b i (i = 1 n). Khi đó, ta có cácc BĐT: 2.2.1. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 a b a b a a b b+ ≤ + + , dấu “=” xảy ra 1 2 1 2 a a b b ⇔ = 7 2.2.2. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 a b a b a b a a a b b b+ + ≤ + + + + , dấu “=” xảy ra 3 1 2 1 2 3 a a a b b b ⇔ = = 2.2.3. Tổng quát: 2 2 2 1 1 1 n n n i i i i i i i a b a b = = =   ≤  ÷   ∑ ∏ ∏ , dấu “=” xảy ra 1 2 1 2 . n n a a a b b b ⇔ = = = Sau đây xin nêu cách chứng minh 2.2.3 - Nếu 0, 1 ai i n= = thì ta thấy ngay BĐT 2.2.3 đúng - Nếu 2 2 2 1 2 . 0 n a a a+ + + > , khi đó, ta xét tam thức bậc hai: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 ( ) . 2 . . n n n n f x a a a x a b a b a b x b b a= + + + − + + + + + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 ( ) . 0, n n f x a x b a x b a x b x⇔ = − + − − ≥ ∀ ( ) 0,f x x⇒ ≥ ∀ Theo định lý về dấu tam thức bậc hai, ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 . . . 0 n n n n a b a b a b a a a b b a+ + + − + + + + + + ≤ Hay ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 . . . n n n n a b a b a b a a a b b a+ + + ≤ + + + + + + Dấu “=” xảy ra t R ⇔ ∃ ∈ sao cho i i a tb= hoặc , 1 i i b ta i n= = BĐT 2.2.3 đã được chứng minh. Đặc biệt: - Khi n = 2, ta có BĐT 2.2.1 - Khi n = 3, ta có BĐT 2.2.2 8 Chương 2: PHÂN TÍCH NỘI DUNG MỤC “BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC” ĐẠI SỐ LỚP 10 Bất đẳng thức là một dạng toán rất quen thuộc đối với học sinh phổ thông và sinh viên ngành Toán. Đây là một vấn đề không qua đơn giản, học sinh phổ thông khó nắm bắt được vấn đề. Nhận thấy rằng, nội dung vấn đề này được giảm tải cũng như hệ thống bài tập về bất đẳng thức trong SGK Đại số 10 hiện nay tương đối gọn, nhẹ nên chưa thể khai thác được hết tính thâm thúy của bất đẳng thức. Nhưng để tìm hiểu sâu hơn thì đây là vấn đề rộng lớn, khá khó và có nhiều ứng dụng, không đơn thuần chỉ đôi ba cách để chứng minh một bất đẳng thức trong SGK, mà có nhiều csch để chứng minh chúng. Mỗi cách giải phù hợp với đặc trưng riêng của mỗi bất đẳng thức. Những kiến thức cơ bản, trọng tâm về vấn đề bất đẳng thức nằm trong Đại số 10. Nhưng lớp 11, 12 vẫn có các dạng toán ứng dụng chúng. Điều này gây không ít khó khăn cho các em học sinh vì phần lớn các em học sinh đã quên đi phần nào kiến thức về bất đẳng thức đã học ở lớp 10 và không thành thạo trong vận dụng chúng. Do vậy, nhiệm vụ người giáo viên khi dạy vấn đề này trong Đại số 10 hay những vấn đề có liên quan là rất quan trọng, làm sao cho các em khắc sâu kiến thức và biết cận dụng chúng khi cần. Để dạy học một vấn đề, một nội dung nào đó dạt hiệu quả cao, người dạy cần nghiên cứu kỹ nội dung vấn đề cần dạy. Đối với nội dung vấn đề về bất đẳng thức cũng vậy, đặt ra những phần trọng tâm, những kiến thức cốt lõi mà học sinh cần nắm vững. Việc nghiên cứu kỹ vấn đề minh cần dạy còn giúp giáo viên thấy được những kiến thức liên quan cần thiết, những sai lầm của học sinh thường mắc phải, những cách thức cần truyền đạt để từ đó có kế hoạch giảng dạy phù hợp. 9 Nếu chỉ sử dụng phương pháp thuyết trình trong giảng dạy và buộc học sinh thuộc lòng suông những tính chất, định lý, .Điều này sẽ hạn chế việc phát triển tư duy, khả năng suy luận của học sinh cũng như không phát huy tính tích cực của các em. Đây cũng là một trong những nguyên nhân gây nên những sai lầm đáng tiếc của học sinh khi sử dụng các tính chất của bất đẳng thức hoặc giải các bài toán về bất đẳng thức. Để dạy kiến thức bất đẳng thức đạt hiệu quả, giáo viên cần giúp học sinh tự phát hiện ra tính chất và khắc sâu chúng. Để làm được điều này, giáo viên cần dạy theo hướng tích cực hóa đan xen với các phương pháp truyền thống. Chảng hạn, giáo viên nêu vấn đề, học sinh giải quyết vấn đề, kết luận thành tính chất,…Trong dạy học các tính chất và trong dạy toán bất đẳng thức giáo viên có thể cho phản ví dụ để khắc sâu kiến thức, cần xem xét vấn đề ở nhiều khía cạnh (như thay đổi giả thiết xem kết quả bài toán thay đổi như thế nào hoặc thay đổi một phần giả thiêt đưa đến bài toán mới, xét xem chiều ngược lại có đúng không,…) khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải khác nhau (nếu có) cho một bài toán,… Để làm tốt công việc trên thì đòi hỏi người giáo viên ngoài việc nắm vững kiến thức, sử dụng phương pháp dạy học phát huy tính tích cựa của học sinh, còn phải có lòng yêu nghề, say mê nhiệt tình với công việc và phải hiểu rõ từng đối học sinh mình dạy. Sau đây là phần phân tích nội dung vấn đề bất đẳng thức Đại số 10 cũng như phân dạng bài tập và giáo án giảng dạy bất đẳng thức. 2.1. Mục tiêu: Giúp học sinh: Về kiến thức: - Hiểu khái niệm BĐT. - Nắm vững các tính chất của BĐT. - Nắm được các BĐT về giá trị tuyệt đối. - Nắm vững BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số không âm. 10 [...]... hơn” Chẳng hạn, các bất đẳng thức 3 ≥ 2 và 3 ≥ 3 còn có thể đọc theo thứ tự là “3 không nhỏ hơn 2” và “3 không nhỏ hơn 3” Tương tự kí hiệu ≤ còn có thể đọc là “không lớn hơn” Các bất đẳng thức “a >b” và “c>d” (hoặc “ad” là cùng chiều, còn các bất đẳng thức “a>b” và “dd” hay “db”, “a≥b”, người ta còn dùng cả những bất đẳng thức kép dạng a c 2 a > b ⇔ a + c > b + c 3 Nếu c > 0 thì a > b ⇔ ac > bc Nếu c < 0 thì a > b ⇔ ac < bc Các hệ quả 4 a > b và c > d ⇒ a + c > b + d a+c > b ⇔ a > b−c 5 a ≥ b ≥ 0 và c ≥ d ≥ 0 ⇒ ac ≥ bd 11 6 a ≥ b > 0 và n ∈ N * ⇒ a n ≥ b n 7 a ≥ b > 0 ⇒ a ≥ b 8 a > b ⇒ 3 a > 3 b 2.2.2 Bất đẳng. .. lưu ý: + Theo định nghĩa, các bất đẳng thức “a>b” và “b” thật ra là không cần thiết Tuy nhiên, trong thực tế, cả hai ký hiệu đều tỏ ra thuận lợi Ta cũng ký hiệu “a ≤b” (“a ≥b” để chỉ rằng hoặc ta có “a < b”( “a >b”) hoặc ta có “a=b” Học sinh thường có nhận thức chưa đúng về các ký hiệu này Khi phải trả lời Bất đẳng thức “5≥0” hoặc “5≥5” có đúng... a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc ≤ 3a 2 + 3b 2 + 3c 2 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc ≥ 0 27 ⇔ (a − b) 2 + (b − c ) 2 + (c − a ) 2 ≥ 0 (2) Bất đẳng thức (2) luôn đúng nên bất đẳng thức (1) được chứng minh BÀI TẬP BỔ SUNG: Ví dụ 1.1: CMR: với 5 số a, b, c, d bất kì, bao giờ ta cũng có: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a ( b + c + d + e ) (1) Giải: Ta có: (1) ⇔ 4a 2 + 4b2 + 4c 2 + 4d 2 + 4e 2 ≥ 4ab +... + + ≥ 3 3 = 3abc b c a b c a Bài 3 Cho ba số không âm a, b, c Chứng minh các bất đẳng thứcc sau và chỉ rõ đẳng thức xảy ra khi nào? a ( a + b ) ( ab + 1) ≥ 4ab b ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) ≥ 9abc Giải: a Với a ≥ 0; b ≥ 0 ta có: a + b ≥ 2 ab ≥ 0 ; ab + 1 ≥ 2 ab ≥ 0 Từ đó suy ra (a + b)( ab + 1) ≥ 2 ab.2 ab = 4ab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 (đpcm) b Với a + b + c ≥ 3 3 abc ≥ 0 ta có:... Trả lời như vậy mới là không đúng! Thậy vậy bất đẳng thức “a≥0” có nghĩa là hoặc “a>0) hoặc “a=0” Nói riêng, “5≥” có nghĩa là một trong hai khả 12 năng: hoặc “5>0” hoặc “5=0” xảy ra Trong truờng hợp này, khả năng thứ nhất xảy ra Vậy viết “5≥0” là hoàn toàn đúng Cũng như vậy, viết “5≥5’ là hoàn toàn đúng Từ định nghĩa của ký hiệu “≥”, suy ra rằng bất đẳng thức a ≥b là không đúng khi và chỉ khi a . là những bất đẳng thức Cũng như các mệnh đề logic khác, một bất đẳng thứcc có thể đúng hoặc sai. Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó. Các bất đẳng thức “a >b” và “c>d” (hoặc “a<b” và “c<d”) gọi là bất đẳng thức cùng chiều. Các bất đẳng thức “a >b” và “c<d” gọi là bất đẳng