Dùng hàm số để xác định cân bằng và trạng thái cân bằng. Tĩnh học là một phần của bộ môn Vậtlý học, nghiên cứu sự cân bằng của chất điểm, tức là vật ở trạng thái có gia tốc bằng không. Cân bằng có nhiều loại cân bằng, cân bằng mà khi vật lệch ra khỏi vị trí đó thì hợp lực tất cả các lực tác dụng lên vật làm cho nó trở về vị trí cân bằng ban đầu là cân bằng bền. Cân bằng mà vật lệch ra khỏi vị trí cân bằng thì hợp lực tất cả các lực tác dụng lên vật khônglàm cho nó trở về vị trí cân bằng ban đầu là cân bằng không bền. Cân bằng mà vật lệch ra khỏi vị trí cân bằng mà vật tìm đợc vị trí cân bằng mới là cân bằng phiếm định. Những bài tập xác định vị trí cân bằng và trạng thái cân bằng thì rất khó và trừu tợng, học sinh thờng mắc ở các loại bài tập này, để giải quyết đợc một phần khó khăn đó, tôi đa ra một ý tởng sau: Dùng hàm số để xác định cân bằng và trạng thái cân bằng . Khi nghiên cứu sự cân bằng các chất điểm, thì ta phải chọn một hệ quy chiếu nào đó, mà vật đứng yên hay chuyển động thẳng đều thì vật ở trạng thái cân bằng. Một chất điểm cân bằng theo phơng Ox thì hợp lực tác dụng lên nó theo phơng đó phải bằng không. x x f 2 (x) O f 1 (x) Đặt f 1 (x) là hợp lực kéo vật theo hớng Ox, còn f 2 (x) là hợp lực kéo vật theo chiều Ox . Khi f 1 (x)=f 2 (x) thì vật ở trạng thái cân bằng. f 1 (x) và f 2 (x) là hai hàm bậc nhất của x, lúc đó xảy ra các trờng hợp sau: Nếu vật lệch ra khỏi vị trí cân bằng theo chiều x, nghĩa là x tăng, nếu f 1 (x) và f 2 (x) là hai hàm đồng biến cả, thì ta phải xét đến hệ số góc k 1 và k 2 , nếu k 1 >k 2 nghĩa là f 1 (x) tăng nhanh hơn f 2 (x), thì f 1 (x)>f 2 (x), hợp lực tác dụng lên vật kéo vật lệch về phía x, cân bằng đó là cân bằng không bền. Còn nếu k 1 <k 2 nghĩa là f 1 (x) tăng chậm hơn f 2 (x), tức là f 1 (x)<f 2 (x), hợp lực tác dụng lên vật kéo vật trở lại vị trí cân bằng ban đầu, cân bằng đó là cân bằng bền. Nếu f 1 (x) là hàm đồng biến, f 2 (x) là hàm nghịch biến thì khi vật lệch về phía x, nghĩa là x tăng, f 1 (x) tăng, f 2 (x) giảm, lúc đó f 1 (x)>f 2 (x), hợp lực tác dụng lên vật kéo vật lệch tiếp khỏi vị trí cân bằng, đó là cân bằng không bền. Nếu f 1 (x) là hàm nghịch biến, f 2 (x) đồng biến, khi x tăng nghĩa là vật lệch về phía x, f 1 (x) tăng, f 2 (x) giảm, lúc đó hợp lực tác dụng lên vật kéo vật trở lại vị trí cân bằng ban đầu, cân bằng đó là cân bằng bền. Trờng hợp f 1 (x), f 2 (x) là hai hàm nghịch biến cả thì ta lại phải xét hệ số góc k. Nếu k 1 <k 2 khi vật lệch về phía x, tức là x tăng thì f 2 (x) giảm nhanh hơn f 1 (x), lúc đó f 1 (x)>f 2 (x), hợp lực kéo vật về phía x, cân bằng đó là cân bằng không bền. Nếu k 1 >k 2 , nghĩa là f 1 (x) giảm nhanh hơn f 2 (x), khi vật lệch khỏi vị trí cân bằng theo chiều x thì hợp lực kéo vật về vị trí cân bằng ban Sáng kiến kinh nghiệm. Vũ Duy Trung.Tổ Vật lý. Trờng THPT Quỳnh Lu 3 1 1 Dùng hàm số để xác định cân bằng và trạng thái cân bằng. đầu, đây là cân bằng bền. Còn nếu vật lệch khỏi vị trí cân bằng về một phía nào đó mà f 1 (x)=f 2 (x), nghĩa là cân bằng ở mọi vị trí thì đó là cân bằng phiếm định. Ví dụ 1: Thanh OA quay quanh trục thẳng đứng Oz với vận tốc góc góc = ZOA không đổi. Một hòn bi nhỏ có khối lợng m có thể trợt không ma sát trên OA và đợc nối với điểm O bằng một lò xo có độ cứng k và có chiều dài tự nhiên l 0 . a-Tìm vị trí cân bằng của bi và điều kiện để có cân bằng. b-Cân bằng là bền hay không bền? Bài toán trên là loại bài toán xác định vị trí cân bằng và trạng thái cân bằng, để giải quyết vấn đề đó thì ta phải áp dụng phơng pháp trên nh sau: Gọi f 1 (l) là hợp lực kéo vật theo chiều x, còn f 2 (l) là hợp lực kéo vật theo chiều ngợc lại. Lúc đó ta có f 1 (l)=m 2 l.sin 2 Để vật ở trạng thái cân bằng thì f 1 (l)=f 2 (l) m 2 l.sin 2 = kl+mgcos - kl 0 22 0 sin cos mk mgkl l = Vì bi nhỏ nên mgcos < kl 0 kl 0 - mgcos > 0 để có cân bằng tức là vật ở trạng thái a=0 và vị trí của vật khác gốc tọa độ, lúc đó l>0. kl 0 - mgcos > 0 (1) < m k sin 1 Bây giờ ta xét trạng thái cân bằng của vật, từ (1) tg 1 >tg 2 Khi vật lệch về phía x, lúc đó l tăng dần đều, f 1 (l) tăng nhanh hơn f 2 (l), nghĩa là f 1 (l)>f 2 (l), hợp lực tác dụng lên vật kéo vật trở lại vị trí cân bằng ban dầu thì cân bằng của vật là cân bằng bền. Ngợc lại nếu lò xo nén, l giảm thì f 1 (l) giảm nhanh hơn f 2 (l), hợp lực f 1 (l)<f 2 (l) kéo vật trở lại vị trí ban đầu nên cân bằng này là cân bằng bền. Ví dụ 2: Một ống x x đờng kính nhỏ đợc gắn ở điểm O tạo với đờng thẳng Oz góc xOz= và quay quanh Oz với vận tốc góc , trong ống có hai hòn bi A có khối lợng m 1 , B có khối lợng m 2 nối với nhau bằng thanh CD chiều dài l, khối l- ợng không đáng kể. Hai hòn bi có thể trợt không ma sát trong ống. Xét tất cả Sáng kiến kinh nghiệm. Vũ Duy Trung.Tổ Vật lý. Trờng THPT Quỳnh Lu 3 2 2 Dùng hàm số để xác định cân bằng và trạng thái cân bằng. các trờng hợp có thể xảy ra về vị trí của A và B so với O, trong mỗi trờng hợp tìm vị trí cân bằng đối với ống của hệ hai bi. Xác định vị trí cân bằng. Bài toán này là bài toán hay và khó, để xét và vét hết các trờng hợp có thể xảy ra, để xác định vị trí cân bằng và các trạng thái cân bằng ta phải sử dụng phơng pháp trên. + Trờng cả A và B đều nằm trên O. Lúc đó f 1 (l)= Q 1x + Q 2x f 2 (l)= P 1x + P 2x Chiếu cả hai hàm số trên lên phơng x x ta đợc. f 1 (l)= m 1 (x-l)sin 2 + m 2 2 xsin 2 f 2 (l)=(m 1 +m 2 )cos để hai viên bi ở trạng thái cân bằng thì: f 1 (l)= f 2 (l) hay m 1 (x-l)sin 2 +m 2 2 xsin 2 = =(m 1 +m 2 )cos x= 22 21 1 sin cosg mm lm + + (2) Điều kiện để có cân bằng là x > l Từ (2) < ml gmm cos)( sin 1 21 + = 0 Bây giờ ta xét loại cân bằng: Khi > 0 thì f 1 tăng lên còn f 2 không đổi, hợp lực tác dụng lên vật kéo vật về phía x, lúc đó A, B là cân bằng không bền. + Trờng hợp A trùng O, B ở trên O. để có cân bằng x=l 0 = 22 1 2 1 sin)( lmf = và cos)( 212 gmmf += Khi tăng f ( ( 2 ) tăng, f 2 không đổi, hợp lực tác dụng lên vật kéo A, B về phía x , lúc đó cân bằng là cân bằng bền. + Trờng hợp A nằm dới O, B nằm trên O, để AB cân bằng: (m 1 +m 2 )gcos + m 1 (l-x)sin 2 m 2 2 xsin = 0 (3) 22 21 1 sin cosg mm lm x + + = Từ (3) f 1 (x)=m 2 2 xsin 2 f 2 (x)=(m 1 +m 2 )gcos Khi x tăng, f 1 (x) tăng, f 2 (x) không đổi, hợp lực tác dụng lên AB kéo vật về phía x, lúc đó AB ở trạng thái cân bằng bền. + Trờng hợp cả hai nằm dới O Sáng kiến kinh nghiệm. Vũ Duy Trung.Tổ Vật lý. Trờng THPT Quỳnh Lu 3 3 3 Dùng hàm số để xác định cân bằng và trạng thái cân bằng. f 1 (x) và f 2 (x) đều kéo vật AB về phía x , lúc đó AB không có cân bằng. Ví dụ 3: Một hình cầu bán kính R chứa một hòn bi ở đáy, khi hình cầu quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc đủ lớn thì bi cùng quay với hình cầu ở vị trí xác định bởi góc . Tìm các vị trí cân bằng tơng đối của bi và nghiên cứu sự bền vững của chúng. Để giải bài toán này ta lại phải dùng hàm số nhng ở đây một hàm thay đổi và một hàm bằng không. Đặt R = P + Q + F qt (4) và f=0 Chiếu (4) lên phơng tiếp tuyến có R t =mgcos m 2 rsin cos =sin (g- 2 rcos ) để có cân bằng R=f sin (g- 2 rcos )=0 Hoặc sin =0 =0 (5) hoặc cos = r g 2 (6) Từ (5) đều có R t =0. Tại A ta có cân bằng. Nếu cos = r g 2 <1 r g > 2 ta có vị trí cân bằng thứ hai ứng với đợc xác định bởi (6) + Tại A: - Nếu bị lệch khỏi A một góc nhỏ )(1cossin 2 rgR t ==+ Nếu r g < 2 R t >0 bi trở lại vị trí A, tại A ta có cân bằng bền. Nếu r g > 2 R t <0, hợp lực kéo bi lệch ra khỏi vị trí cân bằng nên đây là cân bằng không bền. + Tại vị trí 1 Khi bi bị đẩy lên cao một chút 1 > R t >0 vì g- 2 rcos >o , hợp lực tác dụng lên bi kéo bi tụt xuống. Tơng tự khi bi tụt xuống thấp một chút 1 < R t <0 vì g- 2 rcos <o , hợp lực kéo bi lên một chút. Nh vậy bi tại vị trí 1 thỏa mãn cos = r g 2 <1 là cân bằng bền. Ví dụ 4: Một viên bi thép đến va chạm vào một viên bi ve trên một mặt phẳng nhẵn, sau va chạm hai bi chuyển động thẳng đều. Trong quá trình chuyển động của Sáng kiến kinh nghiệm. Vũ Duy Trung.Tổ Vật lý. Trờng THPT Quỳnh Lu 3 4 4 Dùng hàm số để xác định cân bằng và trạng thái cân bằng. hai viên bi trên mặt phẳng nhẵn thì chúng luôn chịu tác dụng của hai lực, đó là lực hút của trái đất và phản lực của bàn, hai lực đó ta coi là hai hàm số không đổi N=P ở mọi vị trí của bi nên bi cân bằng, và gọi đó là cân bằng phiếm định. Trên đây tôi đã đa ra và giới thiệu với các em học sinh phơng pháp Dùng hàm số để xác định cân bằng và trạng thái cân bằng . Mong rằng nó giúp các em đợc một phần nào khó khăn trong việc xác định cân bằng và trạng thái cân bằng của chất điểm. Tôi mong rằng các em vận dụng nó và có ý kiến trao đổi để phơng pháp này để phơng pháp đợc hoàn thiện và nhân rộng. -------**Hết**------- Sáng kiến kinh nghiệm. Vũ Duy Trung.Tổ Vật lý. Trờng THPT Quỳnh Lu 3 5 5