SKKN hướng dẫn HS giải phương trình bậc cao nhằm nâng cao chất lượng môn toán ở trường THCS đông lĩnh TP thanh hóa

MỤC LỤC STT NỘI DUNG TRANG A PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu B PHẦN NỘI DUNG I Cơ sở lí luận vấn đề nghiên cứu II Thực trạng vấn đề nghiên cứu III Giải pháp tổ chức thực IV Hiệu sáng kiến 18 C KẾT LUẬN 19 A PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Bộ mơn Tốn học coi mơn quan trọng nhất, vận dụng phục vụ rộng rãi đời sống ngày Bởi trước hết Tốn học hình thành em học sinh tính xác, hệ thống, khoa học, logic tư cao, chất lượng dạy học tốn trường THCS tạo tiền đề cho năm học sau giúp em học tập môn học khác tốt Đổi chương trình, tăng cường sử dụng thiết bị dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin dạy học, đổi phương pháp dạy học toán trường THCS làm tích cực hố hoạt động tư học tập học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, tự tìm tịi, tự sáng tạo, nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện hình thành kỹ vận dụng kiến thức cách khoa học, hợp lý, sáng tạo vào thực tế sống Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng tập giải phương trình nội dung quan trọng, trọng tâm chương trình đại số lớp 8, việc áp dụng dạng toán phong phú, đa dạng phức tạp Vì để giúp học sinh nắm khái niệm phương trình, giải thành thạo dạng phương trình yêu cầu cần thiết người giáo viên Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, qua việc theo dõi kết kiểm tra, thi học sinh lớp (các lớp giảng dạy), việc giải phương trình khơng khó, cịn nhiều học sinh mắc phải sai lầm khơng đáng có, giải phương trình cịn nhiều sai sót, rập khn máy móc chưa làm được, chưa nắm vững cách giải, vận dụng kỹ biến đổi chưa linh hoạt vào dạng toán phương trình Trong trình dạy phương trình chương trình đại số lớp lớp thân thấy giải phương trình bậc cao vấn đề khó em học sinh Việc giải phương trình bậc cao học sinh THCS địi hỏi mức độ đơn giản chủ yếu từ phương trình đặc biệt đưa phương trình bậc bậc hai, qua hướng cho em tư khái quát phương trình Với suy nghĩ kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy mơn Tốn khối 8; tơi xin đưa vài kinh nghiệm "Hướng dẫn học sinh lớp 8; giải phương trình bậc cao nhằm nâng cao chất lượng THCS Đơng Lĩnh-TP Thanh Hóa" Mục đích nghiên cứu Việc bồi dưỡng lực tư sáng tạo cho học sinh nhiệm vụ trọng tâm nhà trường, mơn tốn giữ vai trị quan trọng Do trang bị cho học sinh kiến thức tốn khơng gồm có định nghĩa, khái niệm, định lý, quy tắc mà trang bị cho học sinh kỹ phương pháp giải tập hệ thống tri thức tốn khơng có giảng lý thuyết mà phải suy luận, đúc kết từ hệ thống tập Khi giải tập toán học khơng ngừng địi hỏi học sinh phải linh hoạt việc áp dụng lý thuyết mà đào sâu khai thác, phát triển toán Với học sinh phần lớn em ước mơ học giỏi mơn tốn điều thật khơng dễ dàng có nhiều em thấy ngại sợ học mơn tốn Bản thân giáo viên với mong muốn giúp em hiểu cách có hệ thống em thấy u thích mơn tốn Vì tơi cố gắng hệ thống kiến thức, tìm phương pháp, hệ thống tập phù hợp với đối tượng học sinh, kích thích lịng ham mê từ tìm học sinh có khiếu bồi dưỡng em trở thành học sinh giỏi Đối tượng nghiên cứu Học sinh khối 8, khối trường THCS Đơng Lĩnh - TP Thanh Hóa Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận, thực tiễn - Phương pháp thống kê, so sánh B PHẦN NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Mỗi dạng tốn địi hỏi phải có phương pháp riêng, phương pháp nghiên cứu cách hợp lý học, đào sâu kiến thức việc hình thành kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh Khi giải tập tốn học khơng đòi hỏi học sinh phải linh hoạt việc áp dụng cơng thức mà cịn phải đào sâu khai thác, phát triển tốn để tổng qt hóa, khái qt hóa kiến thức Trong chương trình Tốn học phổ thơng nước ta, cụ thể chương trình Đại số, phương trình bất phương trình nội dung quan trọng, phổ biến nhiều dạng toán xuyên suốt cấp học, phận thường thấy kỳ thi kiểm tra chất lượng học kỳ, thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi môn Toán cấp kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng với hình thức phong phú, đa dạng Mặc dù đề tài quen thuộc, thống khơng mà giảm phần thú vị, nhiều toán tăng dần đến mức khó chí khó, với biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kỹ làm khó nhiều bạn học sinh THCS, THPT Chương trình Đại số lớp THCS giới thiệu, sâu khai thác tốn phương trình bậc hai, chương trình Đại số 10 THPT đưa tiếp cận tam thức bậc hai với định lý dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai ứng dụng Trong phương trình bất phương trình đại số nói chung, bắt gặp nhiều tốn có dạng đại số bậc cao, phân thức hữu tỷ, tốn có mức độ khó dễ khác nhau, đòi hỏi tư linh hoạt vẻ đẹp riêng! Từ lâu rồi, vấn đề quan trọng, xuất hầu khắp cơng đoạn cuối định nhiều tốn phương trình, hệ phương trình chứa căn, phương trình vi phân, dãy số Vì tinh thần, đông đảo bạn học sinh, thầy giáo chun gia Tốn phổ thơng quan tâm sâu sắc Sự đa dạng hình thức lớp toán đặt yêu cầu cấp thiết làm để đơn giản hóa, thực tế phương pháp giải, kỹ năng, mẹo mực hình thành, vào hệ thống Về để làm việc với lớp phương trình, bất phương trình ưu tiên hạ giảm bậc toán gốc, cố gắng đưa dạng bậc hai, bậc dạng đặc thù (đã khái quát trước đó) Trong số tập đề cập chương trình đại số nói chung khối khối nói riêng tơi nhận thấy tập giải phương trình chiếm thời gian lớn xun suốt chương trình học Điều khẳng định vai trị vị trí phương trình, đối tượng nghiên cứu trung tâm môn đại số II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS Đông Lĩnh trường thuộc vùng ven thành phố Thanh Hóa, phần đa học sinh thuộc em lao động khơng có điều kiện học thêm nhiều để mở mang kiến thức tư có phần hạn chế Khi gặp tốn phương trình bậc cao em lúng túng nên buộc người dạy phải tìm phương pháp, biện pháp để mang lại hiệu Thực tế qua hai năm áp dụng phương pháp thấy chất lượng mơn Tốn khối lớp tơi dạy nâng lên Từ thực với đối tượng học sinh mình, tơi mạnh dạn đưa số kinh nghiệm hương dẫn học sinh giải phương trình bậc cao nhằm nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi khối khối III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 1.NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO a Định nghĩa phương trình bậc cao Ta gọi phương trình đại số bậc n ( n ≥ ) ẩn x trường số thực phương trình đưa dạng anxn + an-1xn-1+ + a1 + ao = Trong n Z; a1, a2, ,an (1.1) R; an ≠ b Định lý: Trên trường số thực, phương trình bậc n ln phân tích thành tích nhị thức bậc tam thức bậc hai c Phương trình bậc ẩn Dạng tổng quát ax + b = 0; a,b số; a ≠ Nghiệm x = -b/a * Nhận xét: Giải phương trình mx + n = 0, phương trình cho chưa phương trình bậc nên giải cần phải xem xét hết trường hợp: + Nếu m ≠ phương trình có nghiệm x = -n/m + Nếu m = phương trình có dạng 0x = n - Nếu n = phương trình vơ số nghiệm - Nếu n ≠ phương trình vơ nghiệm d Phương trình bậc hai ẩn: Dạng tổng quát ax2 + bx + c = 0, a, b, c R, a ≠ Cách giải: * Dùng công thức nghiệm = b2 - 4ab + < PT vơ nghiệm + = PT có nghiệm kép: x1 = x2 = - b/ 2a + > PT có hai nghiệm phân biệt: x= b 2a *Cơng thức nghiệm thu gọn: ’ = b’2 - ac + ’ < PT vơ nghệm + ’ = PT có nghiệm kép: x1 = x2 = -b’/ a + ’ > PT có hai nghiệm phân biệt x = b' ' a * Dùng định lý Vi- et: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 S b = x1 + x2 = - a c P = x x2 = a * Phân tích vế trái thành tích a Nếu có nghiệm hữu tỉ nghiệm ước a n P ( x) = có nghiệm a P ( x) ( x- a ) đ Tính đơn điệu hàm số: Đưa phương trình cho dạng (x) = g(x) ( *) + Nếu x1 > x2 mà (x1) > ( x2) (x) hàm đồng biến + Nếu x1 > x2 mà (x1) < ( x2) (x) hàm nghịch biến + (x) hàm đồng biến [ a; b ] g(x) hàm nghịch biến [a; b] tồn x0 nghiệmcủa(*) (x0) = g(x0) + (x) hàm nghịch biến [ a; b ] g (x) hàm đồng biến [ a; b ] tồn x0 nghiệmcủa (*) (x0) = g(x0) Các bất đẳng thức: (1) a (2) | a (3) A b a b b | -A a b Dấu “ = ” xẩy ab Dấu “ = ” xẩy ab Dấu “ = ” xẩy A0 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO: a Đưa phương trình tích a.1 Cơ sở lí luận: Phương trình tích phương trình có dạng F( x) G(x) H(x) = (1) F(x) = G(x) = H(x) = a.2 Nội dung phương pháp: Để đưa phương trình (1) dạng phương trình (2) ta dùng cách sau: * Cách 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: - Đặt nhân tử chung - Dùng đẳng thức - Nhóm nhiều hạng tử - Thêm (bớt) hạng tử - Phối hợp nhiều phương pháp * Cách 2: Nhẩm nghiệm: Nếu a nghiệm đa thức P(x) P(x) (x-a) từ hạ bậc phương trình Chú ý:- Nếu đa thức có tổng hệ số x = nghiệm phương trình - Nếu đa thức có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ x = -1 nghiệm phương trình * Các ví dụ Dùng phương pháp phân tích thành nhân tử Ví dụ Giải phương trình sau: a ) 3x3 - 27x = 3x(x2 -9) = 3x(x-3)(x+3)=0 x x x0x3 x3 Vậy phương trình cho có ba nghiệm: x1=0; x2=3; x3=-3 Dùng phương pháp nhẩm nghiệm Ví dụ: Giải phương trình sau: 5x3 + 7x2 +3x -15 = Nhận xét: Ta có + + - 15 = Nên x = nghiệm phương trình Do 5x3 + 7x2 +3x -15 = (x-1)(5x2+ 12x +15)=0 x (*) 5x 12x 15 (**) giải ( *) ( **) ta nghiệm phương trình cho b Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ b.1.Cơ sở lí luận Khi giải phương trình bậc cao ta cịn dùng đặt ẩn phụ thay cho biểu thức chứa ẩn để đưa phương trình dạng phương trình quen thuộc biết cách giải b.2 Nội dung phương pháp Trong chương trình THCS học sinh thường gặp dạng phương trình sau: 2.1 Phương trình trùng phương: a Dạng tổng qt: Phương trình trùng phương phương trình có dạng: ax4 +bx2 +c =0 (1) (a 0) Trong đó: x ẩn số a, b, c hệ số b.Cách giải: Khi giải phương trình loại ta thường dùng phương pháp đổi biến số Đặt y = x2 ( y 0) (2) Khi phương trình trùng phương đưa dạng phương trình bậc hai trung gian: ay2 + by + c = Giải phương trình bậc hai trung gian thay giá trị tìm y vào (2) ta phương trình bậc hai rút gọn với biến x ( y 0) Giải phương trình ta nghiệm phương trình trùng phương ban đầu c.Ví dụ 1: Giải phương trình x4 -3x2 +2 =0 (1) Giải: Đặt x2 = y (y 0) Phương trình (1) trở thành : y2 -3y +2 = (y-1)(y-2) = y10y1y20y2 Cả hai nghiệm thỏa mãn y + Với y = ta có x2 =1 x1=1 ; x2=-1 + Với y = ta có x2 =2 x3 = ; x4= Vậy phương trình cho có nghiệm là: x1=1; x2=-1; x3 = 2; x4= * Ví dụ 2: Xác định a để phương trình: ax4 - (a - 3) x2 + 3a = (a 0) (1) Có bốn nghiệm phân biệt đồng thời nghiệm nhỏ -2 ; ba nghiệm lớn -1 Giải: Đặt y = x2 (1)ay2 - (a - 3)y + 3a = Giả sử (2) có nghiệm y1 - - y2 y1 (2) y2 (1) có nghiệm phân biệt: y2 y1 Muốn phương trình (1) có đồng thời nghiệm nhỏ -2 ; ba nghiệm lớn -1 thì: - y2 - -1 y y2 y1 1 Vậy phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt y1, y2 thoả mãn: y1 a.f(0) a f(1) a f(4) a 3a ( a + )0 3a ( 5a + )0 y2 a 3a a (a -a +3 +3a ) 3a2 3a2 + 3a a ( 16a - 4a + 12 + 3a ) 15a2 -12a a -1 a - 5 a a Vậy với a ( - , ) phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt, nghiệm nhỏ - ba nghiệm lớn - Bài tập áp dụng: Cho phương trình: x4-2(2m-1)x2 +4m2-3 = (*) Với giá trị m phương trình (*) có nghiệm phân biệt Hướng dẫn: 2a) Đặt y=x2 (y 0) phương trình (*) trở thành: y2 -2(2m-1)y +4m2 -3 = (1) ’=(2m-1)2 -4m2 +3 = -4(m-1) Để (*) có nghiệm phân biệt (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt tức (1) thỏa mãn: m m1 '0 ;m af( 0)0 S 4m 2m10 0 m m m 2 2.2 Phương trình bậc bốn đối xứng: a Dạng tổng quát: Phương trình bậc bốn đối xứng phương trình dạng: ax4 +bx3 +cx2 +bx +a = (a 0) b Cách giải: Vì x = khơng phải nghiệm phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho x2 đặt: y x ( y 2) x c Ví dụ: Cho phương trình: x4- 3x3+ 4x2 - 3x + =0 (*) Ta thấy x = khơng phải nghiệm phương trình, ta chia hai vế phương trình cho x2 khác 0, ta có: Phương trình cho x2 - 3x + - x1 10 (x Đặt x + x = y ; ( y x2 x y2 x ) 3(x x) 2) Ta phương trình: y2 - 3y + = Giải phương trình ta y1 = 1; y2 = Nếu y = x+ x=1 x2 - x + = phương trình vơ nghiệm Nếu y = x + x = x2 - 2x + = x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = *Ví dụ: Giải phương trình: x4 +4x3 -10x2 +4x +1 = Giải: Phương trình phương trình đối xứng( hệ số có tính đối xứng ) Hiển nhiên x=0 khơng nghiệm phương trình Chia hai vế cho x2 khác ta được: x2 + 4x -10 + x x1 x ) 4(x 3(x2 Đặt x 1y x ) 10 ;(y 2) x x2 y2 2, ta có: x y2 + 4y - 12 =0 (y - ) ( y + ) =0 y1 2; y26 Với y1 = x 12 x x2 - 2x+1 = x1 = Với y x 16 x x2 + 6x +1 =0 x 2 x3 2 Vậy phương trình cho có nghiệm: x1 = 1; x2= -3 + 2 ; x3= -3 - 2 11 d Bài tập áp dụng: d.1 Giải phương trình: 3x4 +2x3 -34x2 +2x +3=0 Giải: Phương trình phương trình đối xứng (các hệ số có tính đối xứng) Hiển nhiên x=0 khơng nghiệm phương trình Chia hai vế cho x2 3x2 + 2x - 34 + x 3(x x ) 2(x )340 x2 x y Đặt x x2 y2 2, ta có: x x 3(y2 - 2) + 2y - 34 = 3y2 + 2y - 40 = 10 y14; y2 x Với y = -4 x12 x2 x2 + 4x + = 14 x Với y 10 x 10 x 3x2 -10x + = Vậy phương trình cho có nghiệm: x1 x ; ; x4 x 2 ; x3 ; x4 3 d.2 Giải phương trình: 2x5 + 5x4 - 13x3- 13x2 + 5x + = (1) Giải: Ta thấy x =-1 nghiệm phương trình (1) Phương trình (1) tương đương với phương trình sau: ( x+1) ( 2x4 + 3x3 -16x2 + 3x +2 ) = x 10 2x3x16x3x (2) (3) x1 (2) x + = (3) 2x4 + 3x3 - 16 x2 + 3x + = Ta thấy x = không nghiệm phương trình (3) 12 Chia hai vế phương trình (3) cho x2 ta có: 2x2 3x 16 2(x2 x Đặt y x ) 3(x x x x ) 16 y2 x x2 y 2 x Ta có: (y2 - 2) + 3y - 16 = 2y2 + 3y - 20 = Ta có = + 160 = 169 y1 y 24 + Với ta có: y1 x x 2x 5x = 25-16 = ; x2 x1 +Với y = - ta có: x x x 4x '413 x3 3; x4 Vậy phương trình cho có nghiệm: x1 ; x2 2 ; x3 3; x423 ;x5=-1 Chú ý: a)Trong phương trình đối xứng, a nghiệm 1/a nghiệm b) Phương trình đối xứng bậc lẻ có nghiệm x = -1 c) Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n đưa phương trình bậc n cách đặt ẩn phụ 2.3 Phương trình phản thương 13 a Dạng tổng qt: Phương trình có dạng: ax4 + bx3 +cx2 –bx +a =0 ( a ≠ 0) gọi phương trình phản thương b Cách giải: Vì x = khơng nghiệm phương trình nên chia vế phương trình cho x2 đặt y x x c.Ví dụ *Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x4 + 3x3 + x2 – 3x +2 =0 (1) Giải: Vì x = khơng nghiệm phương trình (1) Chia hai vế (1) cho x2 ta có: 2x2 3x 2 x x 2x x Đặt y x 3x y x x x2 x Thay vào ta có: 2y2 + 3y + = (2) = - 40 = -31 < Phương trình (2) vơ nghiệm Phương trình (1) vơ nghiệm *Ví dụ 2: Cho phương trình: x4 - ax3- (2a+1)x2 + ax + = (1) Tìm a để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ? Giải: Vì x = nghiệm (1) nên chia vế (1) cho x2 ≠ 0, ta có: a x x x2 ax (2a 1) (x Đặt y x ) a(x x 1 x ) (2a 1) x (*) x x y 2 14 Ta phương trình: y2 + – ay –( 2a+1) = ay 2a (2) y2 Ta thấy phương trình (*) ln có nghiệm với y Để (1) có nghiệm phân biệt (2) phải có nghiệm kép: a2 + 8a - = ' =16+4=20 ' a14 a 242 Vậy với a a phương trình (1) có nghiệm phân biệt d) Bài tập áp dụng Giải phương trình: x5-4x3+2x2+2x-1 = Hướng dẫn: x5-4x3+2x2+2x-1 = (1) Ta thấy x = nghiệm (1) (1) (x-1)(x4 +x3 -3x2 –x +1) = x-1 = (2) x4 + x3 - 3x2 – x + = (3) (2) x-1=0 (3) x4 x=1 x3 3x x Vì x = không nghiệm (3) Chia hai vế (3) cho x2≠ ta có: x2 x x x x 1 x x x2 Đặt y x x y 2 x2 x Ta phương trình: y2 + + y - = 15 y2 + y - = Từ tìm nghiệm phương trình 2.4 Phương trình hồi quy a Dạng tổng quát: Là phương trình có dạng: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = ( a ≠ 0) e/a = ( d/b )2 = t2 b Cách giải: Khi x = khơng nghiệm phương trình, ta chia hai vế phương trình cho x2 phương trình cho tương đương a x2 + bx + c dx-1 + e x-2 = ( a x2 + e x-2) + ( bx dx-1) + c = a( x2 + t2x-2 ) + d ( x tx ) + c = Đặt x tx-1 = y lúc phương trình cho ay2 + by + c 2at = ( * ) Giải (*) y0 giải x tx-1 = y0 ta x0 nghiệm phương trình cho c Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 - 3x3 - 2x2 + 6x + = Giải: Nhận xét: Ta thấy x = khơng nghiệm phương trình, chia hai vế phưong trình cho x2 khác ta được: x2- 3x - + x x x x x =0 x (* ) 16 Đặt : x - = y x2 + = y2 + x x Phương trình ( * ) trở thành: y2 - 3y + = Nếu y1 = x - y1 = ; y2 =2 =1 x2 - x - =0 (1) Nếu y2 =2 x - x =2 x2 - 2x - 2=0 (2 x Giải ( ) ( ) ta x0 nghiệm phương trình cho Ví dụ 2: Giải phương trình: x4 - x3 - 2x2 + 3x + = Giải: Ta thấy x =0 khơng nghiệm phương trình, chia hai vế phương trình cho x2 khác 0, ta được: x2- 3x - + x x Đặt : x - x x x = y x2 x =0 0(*) x + = y2 + x Phương trình ( * ) trở thành: y2 - y + = =(-1)2-4.4=-15