SKKN dạy một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ở lớp 8

MỤC LỤC 1.MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài : 1.2 Mục đích nghiên cứu: 1.3 Đối tượng nghiên cứu: 1.4 Phương pháp nghiên cứu: 1.5 Những điểm mới của sáng kiến 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lý luận : 2.2 Thực trạng củủ̉a vấn đềề̀ nghiên cứu 2.3 Giải pháp và tổ chức thưc hiện 2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 16 KẾT LUẬN 17 3.1 Kếế́t luậậ̣n: 17 3.2 Kiếế́n nghị vàề̀ đềề̀ suất biệậ̣n pháế́p: 17 4.Tàề̀i liệậ̣u tham khảủ̉o, Một sốế́ kíế́ hiệậ̣u viếế́t tắt Danh mục sáng kiến kinh nghiệm đã được đánh giá xếp loai MỞỞ̉ ĐẦẦ̀U 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình THCS, Toáế́n họậ̣c chiếế́m vai trị quan trọậ̣ng Toáế́n họậ̣c không giúp họậ̣c sinh pháế́t triểủ̉n tư duy, óc sáế́ng tạo, khảủ̉ tìm tòi vàề̀ kháế́m pháế́ tri thứế́c, vậậ̣n dụậ̣ng nhữữ̃ng hiểủ̉u biếế́t củủ̉a vàề̀o thực tếế́, sớế́ng màề̀ Toáế́n họậ̣c cịn làề̀ cơng cụậ̣ giúp cáế́c em họậ̣c tớế́t cáế́c mơn khoa họậ̣c kháế́c vàề̀ góp phần giúp cáế́c em pháế́t triểủ̉n cáế́ch toàề̀n diệậ̣n Từ vai trị quan trọậ̣ng màề̀ việậ̣c giúp cáế́c em họậ̣c sinh yêu thíế́ch, say mê Toáế́n họậ̣c, giúp cáế́c em họậ̣c sinh kháế́ giỏi có điềề̀u kiệậ̣n mởủ̉ rộng, nâng cao kiếế́n thứế́c kèm cặp, phụậ̣ đạo cho họậ̣c sinh yếế́u môn Toáế́n làề̀ yêu cầu tất ́ế́u đớế́i vớế́i giáế́o viên dạy Toáế́n nói chung Nhất làề̀ đất nướế́c ta thời kỳ công nghiệậ̣p hoáế́, hiệậ̣n đại hoáế́, cần nhữữ̃ng ngườề̀i động, sáế́ng tạo có hiểủ̉u biếế́t sâu vàề̀ rộng Trong chương trình toáế́n THCS cáế́c bàề̀i toáế́n vềề̀ Bất đẳng thứế́c chiếế́m vị tríế́ quan trọậ̣ng Ở lớế́p bậậ̣c THCS cáế́c em bắt đầu đượậ̣c họậ̣c vềề̀ Bất đẳng thứế́c, việậ̣c giảủ̉i loại toáế́n nàề̀y đòi hỏi phảủ̉i vậậ̣n dụậ̣ng cáế́ch hợậ̣p líế́, kháế́ độc đáế́o vàề̀ nhiềề̀u cáế́ch giảủ̉i Vì vậậ̣y cáế́c bàề̀i toáế́n vềề̀ Bất đẳng thứế́c thườề̀ng xuyên xuất hiệậ̣n SGK, sáế́ch nâng cao củủ̉a cáế́c khốế́i lớế́p Nó làề̀ cáế́c bàề̀i toáế́n hay giúp họậ̣c sinh pháế́t triểủ̉n tríế́ thông minh, sáế́ng tạo, khảủ̉ tư Toáế́n họậ̣c cao Mặt kháế́c, nhữữ̃ng năm gần đây, cáế́c kỳ thi họậ̣c sinh giỏi bậậ̣c THCS vàề̀ cáế́c kỳ thi tuyểủ̉n sinh vàề̀o trườề̀ng THPT đặc biệậ̣t làề̀ thi vàề̀o cáế́c trườề̀ng THPT chuyên thườề̀ng gặp nhữữ̃ng bàề̀i toáế́n vềề̀ Bất đẳng thứế́c phong phú vàề̀ đa dạng mang tính ứng dụng thưc tiễn cao qua đo gop phần hình thàề̀nh cho họậ̣c sinh thói quen tìm giảủ̉i pháế́p tớế́i ưu cho cơng việậ̣c nàề̀o sớế́ng sau nàề̀y Tuy nhiên, Qua thưc tiễn làề̀ giáế́o viên dạy toáế́n cáế́c trườề̀ng THCS nhậậ̣n thấy phần đông cáế́c em học môn Toáế́n rât sợ giải các bài toán về bât đăng thức làề̀ cáế́c líế́ sau đây: - Khơng thuộc kiếế́n thứế́c vàề̀ không nắm vữữ̃ng kiếế́n thứế́c về bât đăng thức - Líế́ quan trọậ̣ng làề̀ cáế́c em chưa biếế́t cáế́ch làề̀m toán bât đăng thức, chính xác là các em chưa năm được phương pháp giải các bài toán bât đăng thức, chưa biết cách trinh bày lời giải cho đung, chưa biết cách vận dụng các bât đăng thức vào giải toán Bởủ̉i thếế́ đãữ̃ chọậ̣n đềề̀ tàề̀i: “Dạy số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp ” Nhằm mong muốn nâng cao chât lượng day học đai trà và chât lượng học sinh gioi 1.2 Mục đích nghiên cưu : Với mong muốn tim giải pháp cho học sinh năm vững phương pháp giải toán bât đăng thức, tư đo yêu và chủ đông tích cưc học toán qua đo nâng cao chất lượậ̣ng họậ̣c Toáế́n đại tràề̀ vàề̀ chất lượậ̣ng mũi nhọậ̣n Thông qua đo hinh thành kỹ tư logic, tối ưu giải quyết vân đề găp phải cuôc sống 1.3.Đối tượng nghiên cứu: Họậ̣c sinh lớế́p trườề̀ng THCS Hàm Rồng năm họậ̣c 2017 -2018 1.4.Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháế́p đọậ̣c tàề̀i liệậ̣u SGK, sách tham khảo, tàề̀i liệậ̣u mạng - Phương pháế́p đàề̀m thoại trực tiếế́p - Nghiên cứế́u vàề̀ tổủ̉ng kếế́t kinh nghiệậ̣m giáế́o dụậ̣c thông qua thực tếế́ dạy họậ̣c Trên sởủ̉ lýế́ thuyếế́t nghiên cứu các phương pháp, các giải pháp day học giải các bài toàn bât đăng thức điển hinh để tư đo học sinh vậậ̣n dụậ̣ng vàề̀o giảủ̉i sốế́ bàề̀i toáế́n bât đăng thức 1.5 Những điểm mơi của sang kiến Các phương pháp giải bât đăng thức được săp xếp theo thứ tư thường găp hơn, Các bài toán bât đăng thức giảng day co tính khái quát hoa, mở rông tư dễ đến kho dân, co tính kế thưa vận dụng để ren kỹ năng, làm cho việc tiếp thu của học sinh trở nên dễ NỘỘ̣I DUNG SÁÁ́NG KIẾÁ́N 2.1 CƠ SỞỞ̉ LÍ LUẬỘ̣N Đềề̀ tàề̀i: “Dạy số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp 8.”mang nội dung vô sâu sắc việậ̣c giáế́o dụậ̣c kỹ năng, phẩm chât trí tuệ thông qua môn Toáế́n Đểủ̉ hình thàề̀nh cho họậ̣c sinh kỹ tìm giảủ̉i pháế́p tớế́i ưu cho nhiềề̀u dạng toáế́n màề̀ cáế́c em gặp sau nàề̀y Cáế́c bàề̀i toáế́n chứng minh bất đẳng thức phong phú , đa dạng có mặt nhiềề̀u kỳ thi quan trọậ̣ng thi họậ̣c kỳ 2, thi họậ̣c sinh giỏi, thi tuyểủ̉n sinh vàề̀o lớế́p 10, thi vàề̀o cáế́c trườề̀ng chuyên lớế́p chọậ̣n Việc năm được phương pháp và kỹ giải các bài toán bât đăng thức là yếu tố hết sức quan trọng giup các em co thành tích cao, co kết quả học tập cao học tập, các ky thi Trong bàề̀i viếế́t nàề̀y, hy vọậ̣ng đóng góp thêm sớế́ kinh nghiệậ̣m hướế́ng dẫn họậ̣c sinh “Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp 8.” 2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thực tiễữ̃n dạy vàề̀ họậ̣c môn Toáế́n ởủ̉ Trườề̀ng THCS Hàm Rồng phương pháế́p giảủ̉i toáế́n củủ̉a họậ̣c sinh khớế́i cịn ́ế́u nhiềề̀u đặc biệậ̣t làề̀ chứế́ng minh bất đẳng thứế́c Trong nhữữ̃ng năm họậ̣c vừa qua, đượậ̣c nhàề̀ trườề̀ng phân công giảủ̉ng dạy toáế́n Qua thờề̀i gian giảủ̉ng dạy thấy ýế́ thứế́c họậ̣c tậậ̣p tự giáế́c, sáế́ng tạo củủ̉a họậ̣c sinh chưa cao, cáế́c em quen vớế́i kiểủ̉u họậ̣c vàề̀ làề̀m bàề̀i thụậ̣ động, vớế́i cáế́c líế́ sau đây: - Không thuộc kiếế́n thứế́c vàề̀ không nắm vữữ̃ng kiếế́n thứế́c, trình bàề̀y bàề̀i làề̀m lúng túng khơng biếế́t trình bàề̀y thếế́ nàề̀o cho - Cáế́c em chưa biếế́t cáế́ch làề̀m Toáế́n màề̀ ta gọậ̣i làề̀ phương pháế́p, làề̀ cáế́c phương pháế́p đặc trưng cho dạng Toáế́n Hơn nữữ̃a vềề̀ mơi trườề̀ng gia đình vàề̀ xãữ̃ hội ảủ̉nh hưởủ̉ng nhiềề̀u đếế́n họậ̣c tậậ̣p củủ̉a cáế́c em như: - Một sớế́ họậ̣c sinh có phụậ̣ huynh làề̀m ăn xa, làề̀m công nhân, nên thờề̀i gian giáế́m sáế́t, theo dõi, đôn đốế́c họậ̣c tậậ̣p đốế́i vớế́i cáế́c em chưa tốế́t - Một sốế́ gia đình có hoàề̀n cảủ̉nh khó khăn nên chưa đầu tư nhiềề̀u vàề̀o việậ̣c họậ̣c củủ̉a em, cáế́c loại sáế́ch tham khảủ̉o khơng có - Phong tràề̀o hiếế́u họậ̣c củủ̉a đia phương chưa thực lớế́n mạnh nên cáế́c em theo tràề̀o lưu màề̀ khơng có qúế́t tâm họậ̣c - Mơt sớ em bi lôi cuốn bởi các tro chơi điện tử, bi các trào lưu mà các mang xã hôi tác đông làm các em bi lôi cuốn vào các hinh tượng, thân tượng ảo dân đến lười học, xao nhãng học tập 2.3 GIẢI PHÁÁ́P VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 2.3.1 GIẢI PHÁÁ́P: Đểủ̉ thực hiệậ̣n, đãữ̃ áế́p dụậ̣ng sốế́ giảủ̉i pháế́p sau: - Soạn bàề̀i cáế́ch đầy đủủ̉, chi tiếế́t, phân dạng dạy theo đốế́i tượậ̣ng Mỗi dang toán bât đăng thức sẽ trinh bày theo hinh thức tư dễ đến kho dân, các bài toán bât đăng thức được phát triển theo hướng tư đơn giản đến phức tap Các bài toán bât đăng thức sau kho được phát triển, khái quát hoa tư bài toán trước, bài toán quen thuôc mà học sinh đã năm được trước đo qua đo giup học sinh hứng thu và cảm thây các bài toán bât đăng thức đỡ kho hơn, tư đo yêu, hứng thu học, giải toán bât đăng thức - Hướế́ng dẫn họậ̣c sinh họậ̣c tậậ̣p Cho họậ̣c sinh nắm vữữ̃ng kiếế́n thứế́c bảủ̉n sáế́ch giáế́o khoa, có đủủ̉ cáế́c dạng toáế́n, bên cạnh cịn mởủ̉ rộng bằề̀ng nhữữ̃ng tàề̀i liệậ̣u kháế́c đểủ̉ củủ̉ng cốế́, nâng cao Nghiên cứế́u, phân loại cáế́c dạng bàề̀i tậậ̣p cho phù hợậ̣p vớế́i đốế́i tượậ̣ng họậ̣c sinh vàề̀ phần kiếế́n thứế́c cụậ̣ thểủ̉ - Tổ chức cho các em học tập chuyên đề này bằng các lồng ghep vào các tiết luyện tập phân bât đăng thức giờ luyện tập chính khoa, các buổi day phụ đao cho các đối tượng học sinh theo đối tượng và khả tiếp thu của học sinh để đưa bài tập ở các mức đô khác nhau, Đồng thời hướng dân đinh hướng cho học sinh khá gioi tư học, tư nghiên cứu các dang toán tai nhà - Thực hiệậ̣n giảủ̉ng dạy theo phương pháế́p mớế́i làề̀ hướế́ng ngườề̀i họậ̣c làề̀m trung tâm - Bồề̀i dưỡữ̃ng họậ̣c sinh thi phải thườề̀ng xuyên kiểủ̉m tra, đáế́nh giáế́, sửủ̉a lỡữ̃i, an ủủ̉i, động viên họậ̣c sinh quáế́ trình giảủ̉ng dạy lớế́p đểủ̉ cáế́c em thêm tự tin, hứế́ng thú họậ̣c tậậ̣p 2.3.2 CÁÁ́C BIỆN PHÁÁ́P ĐỂ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 2.3.2.1 Cac kiến thưc bản cần vận dụng a Định nghĩa bất đẳng thức [1] a nhỏ b, kíế́ hiệậ̣u làề̀ a < b, nếế́u a – b < a lớế́n b, kíế́ hiệậ̣u làề̀ a > b, nếế́u a – b > a nhỏ bằề̀ng b, kíế́ hiệậ̣u làề̀ a b, nếế́u a - b a lớế́n bằề̀ng b, kíế́ hiệậ̣u làề̀ a b, nếế́u a - b b Các tíÁ́nh chất bảỞ̉n củỞ̉a bất đẳng thức [5] Tíế́nh chất 1: a > b b b, b > c a>c Tíế́nh chất 3: a > b a+c>b+c a–c>b-c a>b a+c>b a>b-c 0 Tíế́nh chất 4: a > c, b > d a+b>c+d a > b, c < d a-c b, c > c > b.c a > b, c < a.c < b.c Tíế́nh chất 6: a > b 0, c > d 0a.c > b.c Tíế́nh chất 7: a > b > 0a n >bn a > b a n > b n vớế́i n lẻ a > b a n > b n vớế́i n chẵn 2.3.2.2 Một số phương pháp chứng minh Bất đẳng thức a Phương pháp dùng định nghĩa: Đểủ̉ chứế́ng minh bất đẳng thứế́c A > B, ta xét hiệậ̣u A - B, rồề̀i suy A - B > 0.[3] Ví dụ 1: Cho a, b, c, d, e làề̀ cáế́c sốế́ thực Chứế́ng minh rằề̀ng: a b c ab bc ca [9] Ta co Giải a b c ab bc ca b c ) ab bc ca 2( a Xet hiệu a 2b 2c (2 ab 2bc a b a b2 ab a c2 a b c2 c 2ca b c ca) 2bc Do a b với mọi a, b; a c với mọi a, c; b c với mọi c, b Suy 2( a b c ) ab bc ca a2 b2 c ab bc ca a b bc0abcac0 Dấu“ = ” xảy Ví dụ 2: Cho a, b làề̀ sốế́ thực dương Chứế́ng minh rằề̀ng: (a + b) (a + b ) (a + b ) [4] GiảỞ̉i: Xét hiệậ̣u: (a + b) (a + b ) - (a + b ) a(a +b ) + b (a +b ) - a - b = a + ab + ba + b - a - b = - a - b + ab + ba = a(b - a ) + b (a - b ) = a(b - a ) - b (b - a ) = - (a - b) (a- b) (a + ab + b ) = - (a - b) (a + ab + b ) Vì a, b, làề̀ sớế́ thực dương nên: (a –b )2 Suy ra: (a – b ) ( a ab b) = 0, a + ab + b > ( a – b )2 ( a ab b) a b a3 b3 2a4 b4 Dấu “=” xảủ̉y vàề̀ a = b Cho học sinh các bài tập ren luyện co cung dang cách làm phát triển nâng cao dân tư bài tập đã làm để học sinh luyện giải tai lớp và ở nhà Bài 1: Cho a, b, c, d, e 2 a) a b ab a b [9] b) a c) a b d) a b b c c e) a 2(a b c) 2 b 2a(ab c [5] 2(ab bc ca) c R Chứng minh các bât đăng thức sau: 2 a c 1) [8] ab ac 2bc 2 2 6abc [7] f) k) a + b + c + d + e a (b + c + d + e) Hướng Dẫn a) Nhân hai vế với 2, rồi xet hiệu VT - VP a 2a (1 b b) b (1 c) c ab a b(a b) (1 a) (a 1) (b 1) 2 => Đpcm b ) Xet hiệu VT – VP = (a 1) (b 1) (c 1) => Đpcm c) a 2 b c 2ab 2bc 2ca (a b c) 0=> Đpcm d) Xet hiệu VT VP a 2 b c 2a(ab a c 1) (a 2 b ) (a c) (a 1) 0=> Đpcm 2 2 2 f) Xet hiệu VT VP a (1 b ) b (1 c ) c (1 a ) 6abc a 2abc b 2 2 2 2 2 c b 2abc c a c 2abc b a (a bc) (b ca) (c ab) 2 => Đpcm a a a a k ) Xet hiệu VT VP b c d e => Đpcm Bài : Cho a, b, c R Chứế́ng minh cáế́c bất đẳng thứế́c sau: (a bc) (b ca) a b ab a) b) a b b [7] ; vớế́i a, b a b 3 a (c ab) c) a b a3b ab3 d) a 4a 3 e) a b c 3abc, vớế́i a, b, c > f) a4 b a6 b6 ; vớế́i a, b b2 a2 g) 1 ; vớế́i ab 1 a2 b2 ab h) (a 5 b )(a b) (a 4 b )(a 2 b ) vớế́i ab > Hướng Dẫn: Thưc hiện xet hiệu các vế của bât đăng thức a b2 a) ab (a b) 0; 2 a b a b (a b) 0=> Đpcm b) Xet hiệu VT- VP = …= 8(a b)(a b) vớế́i a, b => Đpcm 3 2 c) Xet hiệu VT- VP = …= (a b )(a b) (a b) (a ab b ) 0=> Đpcm 2 d) Xet hiệu VT- VP = …= (a 1)(a a a 3) (a 1) (a 2a 3) 2 vi (a 2a 3) a => Đpcm 3 2 e) Chú ýế́: a b (a b) 3a b 3ab 2 Xet hiệu VT- VP = …= (a b c) a b c (ab bc ca) => Đpcm g) Xet hiệu VT- VP = …= (b a)2(ab 1) 2 (1 ab) (1 a )(1 b ) 3 h) Xet hiệu VT- VP = …= ab(a b)(a b ) 0=> Đpcm b Phương pháp biếÁ́n đổi tương đương Đểủ̉ chứế́ng minh bất đẳng thứế́c A > B, ta biếế́n đổủ̉i tương đương (dựa vàề̀o cáế́c tíế́nh chất củủ̉a bất đẳng thứế́c) A > B … C > D vàề̀ cuốế́i đạt đượậ̣c bất đẳng thứế́c C >D Khi ta kếế́t luậậ̣n rằề̀ng A > B 2 * Ví dụ : Cho a, b làề̀ cáế́c sốế́ thực Chứng minh rằng a b 2ab Giải : Ta co a a b a 2 b b 2 2ab 2ab a, b * ** Bất đẳng thứế́c (**) làề̀ bất đẳng thứế́c Mặt kháế́c cáế́c phép biếế́n đổủ̉i làề̀ tương đương Vậậ̣y bất đẳng thứế́c (*) phảủ̉i làề̀ bất đẳng thứế́c Dấu “=” xảủ̉y vàề̀ a = b Hướng dân, yêu câu học sinh giải các bài toán sau : 2 Bài tập Cho a, b, c, d R.) Áp dụậ̣ng bât đăng thức a b 2ab (*) chứế́ng minh cáế́c bất đẳng thứế́c sau: a) a b) (a c) (a 2 b 4 c 1)(b 4)(b 2 d 4abcd 1)(c 4)(c 1) 8abc 4)(d 4) 256abcd Hướng Dẫn 4 2 4 2 2 2 a) Sử dụng a b 2a b ;c d 2c d ; a b c d 2abcd=> Đpcm 2 b) Sử dụng a a ; b b ; c c => Đpcm 2 2 c) Sử dụng a 4 a ; b 4 b ; c 4 c ; d 4 d => Đpcm Ta đưa ví dụ mở rông và bài tập ứng dụng sau Ví dụ 4: Chứế́ng minh rằề̀ng: a b2 c ab bc ca Giải Ta co a 2 b a2 b2 a b2 c ab bc ca 2( a b c ) ab bc ca a2 ab a c2 a 2b 2c (2 ab 2bc ca) c 2ca b c 2bc b c2 a,b,c Vi a b a , b ; a c a, c ; b c b, c Suy a b c ab bc ca Dấu“ = ” xảy raa = b = c Hướng dân, yêu câu học sinh giải các bài toán sau : 2 Bài tập 4: Cho a, b, c R Áp dụậ̣ng bất đẳng thứế́c: a b c Chứế́ng minh cáế́c bất đẳng thứế́c sau: 2 2 b) a) (a b c) 3(a b c ) b) a 2 b c a bc a b c b c a bc d) a b c 3 c) (a b c) 3(ab bc ca) Hướng dẫn a) Khai triểủ̉n, rút gọậ̣n, đưa vềề̀ (1) a ab bc ca (1) abc(a b c) a b c c) Khai triểủ̉n, rút gọậ̣n, đưa vềề̀ (1) 4 d) Sửủ̉ dụậ̣ng (1) hai lần a b c abc(a b c) a b c a b b c c a ab c a bc abc abc a b c c Phương pháp sử dụng bất đẳng thức thông dụỘ̣ng + Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) [5] x y Vớế́i x 0, y xy Dấu “=” xảủ̉y x = y Chứng minh: - Ta co vớế́i x x yxyx y 22 2 x y , xy xy Xet hiệu x y 0, y x y 2 xy x 2 xy , x , y y x y xy 0x y x,y xy , x , y Dấu “=” xảủ̉y x = y Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-x-ki (Bunhiacopxki) [5] Vớế́i mọậ̣i sốế́ a, b, x, y ta có: (a + b )(x + y ) (ax + by) Dấu “=” xảủ̉y ay = bx Chứng minh: Xét hiệậ̣u: (a + b )(x + y ) - (ax + by) = a x + a y + b x + b y - a x - b y - 2axby + = a y - 2axby + b x = (ay - bx) Dấu “=” xảủ̉y ay = bx + Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối [4] Vớế́i mọậ̣i sớế́ a, b R ta có: a + b a b Dấu “=” xảủ̉y a.b Chứế́ng minh: Ta có: a +b a b (1) vớế́i mọậ̣i a, b a + 2a + b a + 2ab + b (vì vếế́ khơng âm) b ab2ab abab (2) Vì bất đẳng thứế́c (2) nên bất đẳng thứế́c (1) Dấu “=” xảủ̉y vàề̀ a.b Ví dụ Cho a, b, c > Chứế́ng minh 1 a b c (1) [9] a bc Giải : Ta co 11 b 1 a b c a a b c a bc a bc a b a a b a c a c a b c a b c c c b Vì theoBĐT cauchy ta co c 1 b c b 6, a, b, c b a a b c 2, a a c 2, c b c b Dấu“ = ” xảy a = b = c > Hướng dân cho học sinh vận dụng ví dụ để giải bài toán sau: Bài tập 5: a) Cho a, b, c >0 Chứế́ng minh cáế́c BĐT sau 2 (a b 1 c) (a b c) bc c a b) Cho x, y, z > thoảủ̉ x y z Tìm GTLN củủ̉a biểủ̉u thứế́c: a b x y z P x y z c) Cho a, b, c > thoảủ̉ a b c Tìm GTNN củủ̉a biểủ̉u thứế́c: 1 P= a 2bc b 2ac c d) Cho a, b, c > thoảủ̉ Hướng dẫn : a) Áp dụậ̣ng (1) ta đượậ̣c: 2ab a b c Chứế́ng minh: a a b 1 b c c a b c 1 30 ab bc ca 2(a b c) VT 9(a 2 2 2 b c ) 3(a b c ) 3(a b c) 2(a b c) abc2 2 2 Chú ýế́: (a b c) 3(a b c ) b) Đểủ̉ áế́p dụậ̣ng (1), ta biếế́n đổủ̉i P sau: P = x1 x1 Ta có: x1 y11 z1 1= y1 1 y1 z1 x y z3 1 z1 x1 y1 z1 Suy ra: P 4 *Chú ýế́: Bàề̀i toáế́n có thểủ̉ tổủ̉ng quáế́t sau: Cho x, y, z > thoảủ̉ x y z vàề̀ k làề̀ hằề̀ng sớế́ dương cho trướế́c Tìm GTLN củủ̉a biểủ̉u thứế́c: x y z P = kx ky kz c) Ta có: P 2 a d) VT b c ab bc ca Chú ýế́: ab bc ca ab bc ca 30 ab bc ca (a b c) (a b c) ab bc ca 2ca c 2ab a2 b2 c2 ab bc ca = a 2bc b (a b c) Ví dụ 6: Cho a, b > Chứế́ng minh a b a b [4] (1) Giải : Ta co a vi a b ba b aa b 1 b a b ab a b ab a b 4ab a 2ab b ab a b ab a b a b ab a b 0, ab a b a, b >0 1 a b a b , a, b Dấu“ = ” xảy a = b Bài tập 6: Ap dụng bât đăng thức 1 đăng thức sau a b a) b) 1 1 a b a b c a b bc c a 1 bc c a ; vớế́i a, b, c > 2a b c c) Cho a, b, c > thoảủ̉ mãn a a 2b c 1 b , a, b chứng minh các bât a b a b 2c ; vớế́i a, b, c > c Chứế́ng minh: 1 1 2a b c bc ca bc c a a 2b c a b 2c a b c ; vớế́i a, b, c > d) ab a b e) Cho x, y, z > thoảủ̉ mãn x 2y 4z 12 Chứế́ng minh: 2xy 8yz 4xz x 2y 2y 4z 4z x f) Cho a, b, c làề̀ độ dàề̀i ba cạnh củủ̉a tam giáế́c, p làề̀ nửủ̉a chu vi 1 Chứế́ng minh rằề̀ng: p a pb 2a pc b c Hướng dẫn : 1 1 1 a) Áp dụậ̣ng (1) ba lần ta đượậ̣c: a b a b ; b c b c ; c a c a Cộng cáế́c BĐT vếế́ theo vếế́ ta đượậ̣c đpcm b) Tương tự câu a) 1 c) Áp dụậ̣ng a) vàề̀ b) ta đượậ̣c: 1 1 d) Theo (1): a b a b a b c ab a b 1 2a b c (a b) a 2b c a b 2c Cùng vớế́i cáế́c BĐT tương tự, cộng vếế́ theo vếế́ ta đượậ̣c đpcm e) Áp dụậ̣ng câu d) vớế́i a = x, b = 2y, c = 4z a b c 12 đpcm f) Nhậậ̣n xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c 1 4 Áp dụậ̣ng (1) ta đượậ̣c: pa pb ( p a) ( p b) c Cùng vớế́i BĐT tương tự, cộng vếế́ theo vếế́, ta đượậ̣c đpcm Ví dụ 7: Cho A = 2x(16 – 2x) vàề̀ < x < Chứế́ng minh rằề̀ng: A GiảỞ̉i: - Vớế́i < x < 2x > ; 16 – 2x > Theo bất đẳng thứế́c CơSi ta có: 2x 16 2x 64 2x(16 2x) 64 2x(16 – 2x) Hay 2x(16 – 2x) 64 Hay A 64 Dấu “=” xảủ̉y vàề̀ 2x = 16 – 2x x=4 [7] Ví dụ 8: Chứế́ng minh rằề̀ng : am bn vớế́i a + b =1 vàề̀ m + n = GiảỞ̉i: Theo bất đẳng thứế́c Bu-nhi-a-cơp-x-ki ta có: (am + bn) ( a + b )( m + n ) (am + bn) am bn Dấu “=” xảủ̉y vàề̀ : an = bm 10 Ví dụ 9: Cho sốế́ x, y, z thỏa mãữ̃n điềề̀u kiệậ̣n: xy + yz + xz = Chứế́ng minh rằề̀ng: x + y + z 16 GiảỞ̉i: Theo bất đẳng thứế́c Bu-nhi-a-cơp-x-ki ta có: (xy + yz + xz) (x +y +z )(x +y +z ) (1) 16 (x +y +z ) Ta lại có: (x +y +z ) 1(1 + + 1) (x +y +z ) = 3(x +y +z ) Từ (1) vàề̀ (2) suy ra: 16 3(x +y +z ) 3(x +y +z ) 16 16 x +y +z Ví dụ 10 : Cho: A = x 2004 x 2005 Chứế́ng minh rằề̀ng: A (2) vớế́i mọậ̣i x [2] GiảỞ̉i: Ta có: A = x 2004 x 2005 = x 2004 2005 x Theo bất đẳng thứế́c giáế́ trị tuyệậ̣t đốế́i : A = x 2004 2005 x x 2004 2005 x = Hay : A vớế́i mọậ̣i x Dấu “=” xảủ̉y vàề̀ : ( x 2004)(2005 x) 2004 x 2005 d Phương pháp dùng tíÁ́nh chất củỞ̉a bất đẳng thức Ví dụ 11 : Cho a, b, c, > Chứế́ng minh rằề̀ng nếế́u a a a c (1).[2] Giải a Ta co b b bc với a > , b > b a b ac bc ab ac bc ac a b c b ( a c) a c ( Chia vế cho b b c ) b c a a a c Vậy suy nếế́u (1) b b bc a b Yêu câu học sinh vận dụng kiến thức ví dụ để làm bài toán sau : Bài tập vd 11 : Cho a, b, c, d > Chứế́ng minh cáế́c bất đẳng thứế́c sau: a) b) c) a b c [9] a b b c c a a b c a bc bc d c d a a b bc c d a bc bc d c d a d d a b d a d a b Hướng dẫn : a) Sửủ̉ dụậ̣ng (1), ta đượậ̣c: a a b c a a b a c ; a b c 11 b a b c c a b c b b c c c a b a ; a b c c b a b c Cộng cáế́c BĐT vếế́ theo vếế́, ta đượậ̣c đpcm ( Điều phải chứng minh ) a a a b) Sửủ̉ dụậ̣ng tíế́nh chất phân sớế́, ta có: a bc d b Tương tự: a bc d d d a b d a bc d b bc d b ; b d a bc a c c c a bc d c d a a b a bc d a b a bc c ; a c d d b Cộng cáế́c BĐT vếế́ theo vếế́ ta đượậ̣c đpcm c) Chứế́ng minh tương tự câu b) Ta có: Cùng vớế́i BĐT tương tự, ta suy đpcm Ví dụ 12: Chứế́ng minh rằề̀ng Vớế́i mọậ̣i a, b ta có: a + b + ab + 2(a + b) GiảỞ̉i: a b d a bc d a + b + ab + 2(a + b) 2a + 2b + 2ab + 4(a + b) (Nhân cảủ̉ vếế́ vớế́i 2) 2a + 2b + - 2ab - 4a - 4b (a - 2ab + b ) + (a - 4a + 4) + (b - 4b + 4) (a - b) + (a – 2) + (b - 2) Vớế́i mọậ̣i a, b Dấu “=” xảủ̉y vàề̀ a = b = Ví dụ 13: Cho x, y, z làề̀ cáế́c sốế́ dương thỏa mãữ̃n điềề̀u kiệậ̣n: x + y + z 1 Chứế́ng minh rằề̀ng: x y z [8] GiảỞ̉i: Nhân vếế́ củủ̉a bất đẳng thứế́c: x + y + z vớế́i 1 y Ta đượậ̣c bất đẳng thứế́c: (x + y + z) ( x 1+( x yz y z x x ) +1+( x z ) +1+( y 1 x z ) y 1 6( x y y z ) 6( x z x z >0 z z Vì x > 0, y > 0, z > nên ta có: y z 2, x Vì thếế́ bất đẳng thứế́c (1) tương đương vớế́i: 1 1 y z ) 1 y 2, (1) z) z y y z 6( x y z ) 3+2+2+2 1 6( x y z ) 91x 1y 1z 32 Dấu “=” xảủ̉y vàề̀ x = y = z = Ví dụ 14: Cho a, b làề̀ sốế́ dương Chứế́ng minh rằề̀ng: a + b ab(a + b) [9] 12 GiảỞ̉i: Ta co a + b ab(a + b) (a + b) (a - ab + b ) ab(a + b) (Chia cảủ̉ vếế́ cho a + b > 0) (a - ab + b ) ab (a - 2ab + b ) (a - b) Đúng vớế́i mọậ̣i a, b Dấu “=” xảủ̉y vàề̀ a = b Ví dụ 15: Cho x, y làề̀ sốế́ dương, thỏa mãữ̃n điềề̀u kiệậ̣n: x + y x - y > Chứế́ng minh rằề̀ng: x + y < GiảỞ̉i: Ta co x + y < (x - y)(x + y ) < (x - y) (Nhân cảủ̉ vếế́ vớế́i x – y > ) (x - y)(x + y2)< x3+y3 x (x + y ) - y(x +y2)< x3+y3 x3+xy2 -x2y- y3 < x3+y3 -2y + xy - x y < - y (x + 2y - xy) < y (x + 2y - xy) > (Nhân cảủ̉ vếế́ vớế́i – ) y ) - y2 + y ] > y[( x y)22 y)22 y[( x y[( x - y2 + y ] > 4 7y ] > Vớế́i mọậ̣i x, y Vậậ̣y : x + y < Ví dụ 16: Cho x, y, z làề̀ sốế́ dương, thỏa mãữ̃n điềề̀u kiệậ̣n: x + y + z = 1 Chứế́ng minh rằề̀ng: x y z Ta co (x + y - z) x2 xyz GiảỞ̉i: + y + z 2(yz - x y + xz) 2(yz - x y + xz) (Vì : x + y yz - x y + z =5 ) + xz (Chia cảủ̉ vếế́ cho ) yz - x y + xz yz - x y + xz < 1 1 x y z (Chia cảủ̉ vếế́ cho xyz > ) xyz Ví dụ 17: Cho sốế́ a, b thỏa mãữ̃n điềề̀u kiệậ̣n: a + b = [5] Chứế́ng minh rằề̀ng: a + b 2 13 Ta có: a + b = GiảỞ̉i: (a + b) = (1) a + 2ab + b =1 Ta lại có : (a - b) (2) a - 2ab + b Cộng (1) vàề̀ (2) theo vếế́ ta đượậ̣c: 2(a + b ) 1 a2 +b2 Dấu “=” xảủ̉y vàề̀ a = b = 2 Ví dụ 18: Cho sốế́ dương x, y, z thỏa mãữ̃n điềề̀u kiệậ̣n: x + y + z = Chứế́ng minh rằề̀ng: x + y xyz GiảỞ̉i: Ta có : (x - y) x2 +y2 2xy 2 x +y + xy 4xy (Cộng cảủ̉ vếế́ vớế́i 2xy > ) (1) (x + y) 4xy Suy ra: [(x + y) + z ] 4(x + y)z 16 4(x + y)z (vì : x + y + z = 4) 16 (x + y) (x + y) z (Nhân cảủ̉ vếế́ vớế́i x + y > ) Theo (1) (x + y) 4xy Nên: 16 (x + y) (x + y) z 4.4xyz 16 (x + y) 16xyz x + y xyz e Phương pháp chứng minh phảỞ̉n chứng Ví dụ 19: Chứế́ng minh rằề̀ng khơng có sớế́ dương a, b, c nàề̀o thỏa mãữ̃n cảủ̉ bất đẳng thứế́c sau: a+ 2; b+ 2; c + [9] b c a GiảỞ̉i: Giảủ̉ sửủ̉ tồề̀n sốế́ dương a, b, c thỏa mãữ̃n cảủ̉ bất đẳng thứế́c : a+ 2; b+ 2; c+ b c a Cộng vếế́ bất đẳng thứế́c ta đượậ̣c: a + + b + + c +1 < b c a (a + ) + ( b + ) + (c + ) < a b c Vì: a > 0, b > 0, c > nên: a + Như vậậ̣y : (a + a)+ (1) (b+ b)+ a 2; b + 2; c + (c + c ) b c Điềề̀u nàề̀y mâu thuẫn vớế́i (1) Vậậ̣y không tồề̀n sốế́ dương a, b, c thỏa mãữ̃n cảủ̉ bất đẳng thứế́c đãữ̃ cho Ví dụ 20: Chứế́ng minh rằề̀ng khơng có sớế́ dương a, b, c nàề̀o thỏa mãữ̃n cảủ̉ bất đẳng thứế́c sau: 4a(1 - b) > 1; 4b(1 - c) > 1; 4c(1 - a) > 14 GiảỞ̉i: Giảủ̉ sửủ̉ tồề̀n sốế́ dương a, b, c thỏa mãữ̃n cảủ̉ bất đẳng thứế́c : 4a(1 - b) > 1; 4b(1 - c) > 1; 4c(1 - a) > Nhân theo vếế́ cáế́c bất đẳng thứế́c ta đượậ̣c: (*) 64abc(1 - a)(1 - b)(1 - c) > Ta lại có: 4a(1 - a) – = 4a - 4a – = - (2a –1)2 Suy ra: 4a(1 - a) (1) (2) Tương tự ta có: 4b(1 - b) 4c(1 - c) (3) Từ giảủ̉ thiếế́t phảủ̉n chứế́ng vàề̀ từ a, b, c dương , suy ra: – a > 0; – b > 0; – c > Do nhân theo vếế́ cáế́c bất đẳng thứế́c (1); (2); (3) ta đượậ̣c: (**) 64abc(1 - a)(1 - b)(1 - c) Điềề̀u nàề̀y mâu thuẫn vớế́i (*) Vậậ̣y không tồề̀n sốế́ dương a, b, c thỏa mãữ̃n cảủ̉ bất đẳng thứế́c đãữ̃ cho f Phương pháp quy nạỘ̣p toán học Ví dụ 21: Chứế́ng minh rằề̀ng vớế́i mọậ̣i sốế́ nguyên dương n : n > 2n + (1) GiảỞ̉i: Vớế́i n = = ; 2n + = 2.3 +1 = Rõ ràề̀ng vếế́ tráế́i lớế́n vếế́ phảủ̉i Vậậ̣y (1) vớế́i n = Giảủ̉ sửủ̉ (1) vớế́i n = k (k n ; k 3), tứế́c làề̀ : k > 2k + Ta phảủ̉i chứế́ng minh (1) vớế́i n = k + Tứế́c làề̀ : k > 2(k + 1) + Hay: k > 2k + Thậậ̣t vậậ̣y: k = 2 k , màề̀ k > 2k + (theo giảủ̉ thiếế́t quy nạp) Do : k > 2(2k+1) = (2k +3) + ( 2k + 1) > 2k +3 (vì : 2k + > ) Suy ra: k > 2k+3 vớế́i mọậ̣i k Kếế́t luậậ̣n: n > 2n + vớế́i mọậ̣i sốế́ nguyên dương n k) Phương phap làm trôi Dùng cáế́c tíế́nh chất củủ̉a bất đẳng thứế́c đểủ̉ đưa vếế́ củủ̉a bất đẳng thứế́c vềề̀ dạng tổủ̉ng hữữ̃u hạn tíế́ch hữữ̃u hạn + Phương pháế́p chung đểủ̉ tíế́nh tổủ̉ng hữữ̃u hạn: S = u1 u2 un Ta biếế́n đổủ̉i sốế́ hạng tổủ̉ng quáế́t uk vềề̀ hiệậ̣u củủ̉a hai sốế́ hạng liên tiếế́p nhau: uk ak ak S = a1 a2 a2 a3 an an Khi đó: a1 an + Phương pháế́p chung vềề̀ tíế́nh tíế́ch hữữ̃u hạn: P = u1u2 un Ta biếế́n đổủ̉i cáế́c sốế́ hạng uk vềề̀ thương củủ̉a hai sốế́ hạng liên tiếế́p nhau: a k a1 a2 an a a2 a3 n a1 [9] Khi đó: P = Ví dụ 22 : Chứế́ng minh rằề̀ng vớế́i mọậ̣i sốế́ tự nhiên n 1, ta có: a) n1 n n 1n Giải : uk a k1 a n1 15 1 n k n n Ta có: n n n , vớế́i k = 1, 2, 3, …, n –1 2n 1 1 n n n n n n 1 Vậy n n n n vớế́i mọậ̣i sốế́ tự nhiên n Bài tập VD 22: Chứế́ng minh rằề̀ng vớế́i mọậ̣i sốế́ tự nhiên n 1, ta có: a) c) 1 1.2 2.3 k n n 3.4 Hướng dẫn a) Ta có: 2 [7] [7] 2 b) 22 32 n2 (n 1).n 1 , vớế́i k k k = 1, 2, 3, …, n k k k 1 1 , vớế́i k = 2, 3, …, n kk k k k 1 , vớế́i k = 2, 3, …, n c) Ta có: (k 1).n k1 k b) Ta có: 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁÁ́NG KIẾÁ́N KINH NGHIỆM Khi bắt đầu họậ̣c chứế́ng minh bất đẳng thứế́c nhiềề̀u họậ̣c sinh cịn bớế́i rớế́i, thườề̀ng xuyên mắc phảủ̉i nhữữ̃ng sai lầm trình bàề̀y, lậậ̣p luậậ̣n làề̀ nhữữ̃ng bàề̀i toáế́n đơn giảủ̉n , thông qua cáế́c buổủ̉i bồề̀i dưỡữ̃ng vớế́i cáế́ch ơn tậậ̣p chi tiếế́t, có hệậ̣ thớế́ng đặc biệậ̣t phân dạng đượậ̣c cáế́c loại toáế́n , họậ̣c sinh đãữ̃ tiếế́p thu kiếế́n thứế́c cáế́ch chủủ̉ động , nắm vữữ̃ng cáế́c kiếế́n thứế́c đồề̀ng thờề̀i họậ̣c sinh nắm đượậ̣c nhữữ̃ng điểủ̉m trọậ̣ng yếế́u củủ̉a kỹữ̃ vậậ̣n dụậ̣ng cáế́c phương pháế́p vàề̀o cáế́c bàề̀i toáế́n, cáế́c em đãữ̃ làề̀m bàề̀i tậậ̣p cáế́ch linh hoạt, chíế́nh xáế́c lậậ̣p luậậ̣n chặt chẽữ̃ logic Kếế́t quảủ̉ họậ̣c tậậ̣p củủ̉a cáế́c em nâng lên rõ rệậ̣t đượậ̣c thểủ̉ hiệậ̣n rõ ởủ̉ bài kiểm tra chương và tinh thân học tập tích cưc không ngai găp bài toán bât đăng thức Từ xoáế́ cảủ̉m giáế́c khó, phứế́c tạp củủ̉a họậ̣c sinh gặp dạng toáế́n nàề̀y vàề̀ họậ̣c sinh thấy đượậ̣c dạng toáế́n nàề̀y quan trọậ̣ng, phong phú chứế́ không đơn điệậ̣u, giúp họậ̣c sinh hứế́ng thú họậ̣c toáế́n Góp phần giúp cáế́c em tự tin, làề̀m bàề̀i tốế́t cáế́c kỳ thi quan trọậ̣ng tiếế́p theo, kỳ thi tuyểủ̉n sinh vàề̀o lớế́p 10, thi vàề̀o cáế́c trườề̀ng chuyên, lớế́p chọậ̣n Trong thờề̀i gian hoàề̀n thàề̀nh sáế́ng kiếế́n kinh nghiệậ̣m nàề̀y bảủ̉n thân rút đượậ̣c nhiềề̀u kinh nghiệậ̣m giảủ̉ng dạy “ Bất đẳng thứế́c” : Hệậ̣ thốế́ng tốế́t vềề̀ cáế́c phương pháế́p vậậ̣n dụậ̣ng vàề̀o giảủ̉i toáế́n, chọậ̣n lựa đượậ̣c cáế́c bàề̀i toáế́n phù hợậ̣p cho đốế́i tượậ̣ng họậ̣c sinh từ đơn giảủ̉n đếế́n phứế́c tạp Kết so sánh số liệu với thời điểm bắt đầu nghiên cứu Tình trạỘ̣ng TS Hoc sinh Hoc sinh Học sinh Ghi HS Kha - Giỏi Trung binh trung bình TS Tỉ lệ % TS Tỉ lệ % TS Tỉ lệ % Chưa áế́p dụậ̣ng 60 28 46.7 18 30.0 14 23.3 Áp dụậ̣ng 60 38 63.3 22 36.7 0 16 Kếế́t quảủ̉ cho thấy việậ̣c vậậ̣n dụậ̣ng phương pháế́p vàề̀o giảủ̉ng dạy toáế́n giúp họậ̣c sinh có kếế́t quảủ̉ cao họậ̣c tậậ̣p Đây là nôi dung kho và co khối lượng kiến thức lớn của đề tài nên cảm thây nhiều vân đề chưa trinh bày hết được sẽ tiếp tục nghiên cứu hoàn thiện và cung mong muốn sẽ nhận được thêm nhiều đong gop để hoàn thiện để no làề̀ làề̀ tư liệậ̣u củủ̉a bảủ̉n thân giảủ̉ng dạy vàề̀ làề̀ đềề̀ tàề̀i đểủ̉ đồề̀ng nghiệậ̣p vàề̀ nhàề̀ trườề̀ng đóng góp xây dựng làề̀m tư liệậ̣u chung củủ̉a quan KẾÁ́T LUẬỘ̣N, KIẾÁ́N NGHỊ: 3.1 Kết luận Phần “ chứế́ng minh bất đẳng thứế́c , lớp 8.” làề̀ nội dung quan trọậ̣ng, bởủ̉i kiếế́n thứế́c nàề̀y có liên quan chặt chẽữ̃, làề̀ tiềề̀n đềề̀ cho họậ̣c sinh họậ̣c tốế́t cáế́c kiếế́n thứế́c vềề̀ sau vàề̀ đặc biệậ̣t làề̀ ứế́ng dụậ̣ng hiệậ̣u quảủ̉ cho cáế́c em lên lớế́p Trên làề̀ sớế́ phương pháế́p thườề̀ng dùng vàề̀ có hiệậ̣u quảủ̉ đốế́i vớế́i họậ̣c sinh lớế́p ởủ̉ trườề̀ng THCS , ôn tậậ̣p cho cáế́c em tạo tiềề̀n đềề̀ đểủ̉ sau nàề̀y cáế́c em thi vàề̀o lớế́p 10 trườề̀ng chuyên lớế́p chọậ̣n Mớế́i đầu họậ̣c sinh bởủ̉ ngởủ̉ việậ̣c chứế́ng minh bất đẳng thứế́c , thông qua cáế́c buổủ̉i bồề̀i dưỡữ̃ng vớế́i cáế́ch ôn tậậ̣p chi tiếế́t, có hệậ̣ thớế́ng, đa sớế́ họậ̣c sinh đãữ̃ nắm vữữ̃ng cáế́c phương pháế́p chứế́ng minh bất đẳng thứế́c vàề̀ vậậ̣n dụậ̣ng vàề̀o làề̀m bàề̀i tậậ̣p cáế́ch linh hoạt Tuy nhiên, khuôn khổủ̉ củủ̉a bàề̀i viếế́t vàề̀ thờề̀i gian có hạn, khơng thểủ̉ tráế́nh đượậ̣c nhữữ̃ng sai sót nên Tơi mong đượậ̣c nhậậ̣n xét, góp ýế́ củủ̉a cấp lãữ̃nh đạo, củủ̉a đồề̀ng nghiệậ̣p vàề̀ củủ̉a tổủ̉ chuyên môn 3.1.KiếÁ́n nghị: Trên làề̀ cáế́c phương pháế́p bảủ̉n đểủ̉ giảủ̉i toáế́n “ Bất đẳng thứế́c”, đểủ̉ họậ̣c sinh nắm kiếế́n thứế́c vàề̀ có hứế́ng thú họậ̣c tậậ̣p, giáế́o viên phảủ̉i chọậ̣n lọậ̣c hệậ̣ thốế́ng kiếế́n thứế́c, hệậ̣ thốế́ng bàề̀i tậậ̣p theo mứế́c độ tăng dần, từ dễữ̃ đếế́n khó, giúp họậ̣c sinh pháế́t huy khảủ̉ suy luậậ̣n vàề̀ tíế́nh độc lậậ̣p sáế́ng tạo Vớế́i mỡữ̃i dạng toáế́n khơng có quy tắc tổủ̉ng quáế́t song giảủ̉i giáế́o viên nhữữ̃ng đặc điểủ̉m bảủ̉n màề̀ có hướế́ng giảủ̉i quyếế́t đểủ̉ gặp nhữữ̃ng bàề̀i toáế́n tương tự họậ̣c sinh có thểủ̉ liên hệậ̣ đượậ̣c Nhữữ̃ng sáế́ng kiếế́n kinh nghiệậ̣m có tíế́nh vậậ̣n dụậ̣ng tốế́t, đạt giảủ̉i cao huyệậ̣n mong Phòng Giáế́o Dụậ̣c tạo điềề̀u kiệậ̣n đểủ̉ cho Cáế́n bộ, giáế́o viên đượậ̣c họậ̣c hỏi kinh nghiệậ̣m Tôi xin chân thành cảm ơn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoáế́, ngàề̀y 15 tháế́ng 04 năm 2018 Tôi xin cam đoan làề̀ SKKN củủ̉a viếế́t, khơng chép nội dung củủ̉a ngườề̀i kháế́c Người thực Trần Đưc Thành 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO, PHỤ LỤC TT Tên tàẦ̀i liệu tham khảỞ̉o Tác giảỞ̉ [1] Sáế́ch giáế́o khoa toáế́n Tôn Thân (Chủủ̉ biên) [2] Sáế́ch bàề̀i tậậ̣p toáế́n tậậ̣p Tôn Thân (Chủủ̉ biên) [3] Sáế́ch : Ơn tậậ̣p đại sớế́ Ngũữ̃n Ngọậ̣c Đạm [4] Sáế́ch: Toáế́n bảủ̉n vàề̀ nâng cao toáế́n Vũ thếế́ Hựu [5] Sáế́ch: Kiếế́n thứế́c bảủ̉n vàề̀ nâng cao toáế́n Nguyễữ̃n Ngọậ̣c Đạm [6] Sáế́ch: Nhữữ̃ng bàề̀i toáế́n bảủ̉n vàề̀ nâng cao chọậ̣n Lê Thị Hương lọậ̣c toáế́n [7] Sáế́ch: 500 bàề̀i toáế́n chọậ̣n lọậ̣c toáế́n [8] Sáế́ch: Toáế́n nâng cao đại sốế́ Nguyễữ̃n Ngọậ̣c Đạm Nguyễữ̃n Quang Hanh Ngô Long Hậậ̣u Nguyễữ̃n Vĩnh Cậậ̣n [9] Sáế́ch: Nâng cao vàề̀ pháế́t triểủ̉n toáế́n Vũ Bình MỢT SỚ KI HIÊU VIẾT TẮT - Đpcm : Điều phải chứng Minh - VT : Vế trái - VP : Vế phải - BĐT : bât đăng thức 18 DANH MỤC CÁÁ́C ĐỀ TÀI SÁÁ́NG KIẾÁ́N KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘỘ̣I ĐỒNG ĐÁÁ́NH GIÁÁ́ XẾÁ́P LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞỞ̉ GD&ĐT VÀ CÁÁ́C CẤP CAO HƠN XẾÁ́P LOẠI TỪ C TRỞỞ̉ LÊN Họậ̣ vàề̀ tên táế́c giảủ̉: Trần Đưc Thành Chứế́c vụậ̣ vàề̀ đơn vị công táế́c: Trường THCS Hàm Rồng Cấp đánh giá xếÁ́p TT KếÁ́t quảỞ̉ đánh giá xếÁ́p loạỘ̣i (A, Tên đề tàẦ̀i SKKN loạỘ̣i C) Hướng dân học sinh yếu kem Sở, Tỉnh ) Phong Phong A (Phòng, B, A Năm học đánh giá xếÁ́p loạỘ̣i 2000-2001 giải các bài toán so sanh phân số Day học sinh lớp vận dụng đinh lý vi et giải toán về phương trinh bậc môt ẩn Hướng dân học sinh lớp giải bài toán bằng cách lập phương trinh Hướng dân học sinh giải các bài toán hinh học bằng cách vẽ thêm đường phụ Hướng dân học sinh yếu kem giải toán về ti lệ thức Hướế́ng dẫn họậ̣c sinh yếế́u lớế́p sửủ̉ dụậ̣ng bảủ̉ng tóm tắt giảủ̉i bàề̀i toáế́n bằề̀ng cáế́ch lậậ̣p phương trình Hướế́ng dẫn họậ̣c sinh lớế́p giảủ̉i toáế́n chia hếế́t 2001-2002 Sở GD C phong 2005-2006 C 2007-2008 Phong 2010-2011 Phong B B 2014-2015 Phong B 2015-2016 19 ... vớế́i n lẻ a > b a n > b n vớế́i n chẵn 2.3.2.2 Một số phương pháp chứng minh Bất đẳng thức a Phương pháp dùng định nghĩa: Đểủ̉ chứế́ng minh bất đẳng thứế́c A > B, ta xét hiệậ̣u A - B, rồề̀i... dẫn họậ̣c sinh ? ?Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp 8. ” 2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thực tiễữ̃n dạy vàề̀ họậ̣c môn Toáế́n ởủ̉ Trườề̀ng THCS Hàm Rồng phương pháế́p... sinh trở nên dễ NỘỘ̣I DUNG SÁÁ́NG KIẾÁ́N 2.1 CƠ SƠ? ?Ở? ? LÍ LUẬỘ̣N Đềề̀ tàề̀i: “Dạy số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp 8. ”mang nội dung vô sâu sắc việậ̣c giáế́o dụậ̣c kỹ năng,