SKKN dạy học sử dụng điểm rơi bất đẳng thức cho học sinh lớp 8

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Trong yêu cầu việc giải tập tốn nói chung chứng minh bất đẳng thức tốn học nói riêng việc tìm hiểu liên hệ khác bất đẳng thức đến bất đẳng thức khác yêu cầu cần đặt học sinh Trong q trình giảng dạy mơn Đại số trường THCS nhận thấy tập phần bất đẳng thức mang đậm nội dung phong phú đa dạng Ở tập khó có tiềm ẩn đòi hỏi khai thác sáng tạo, phát để mang lại kết đầy lý thú, kiến thức mở rộng sâu sắc Tuy nhiên để làm điều địi hỏi thày trị q trình làm việc nghiêm túc mang tính sáng tạo Việc phát triển tư sáng tạo cho học sinh diễn theo nhiều hướng, nhiều mức độ khác nhau, nâng cao dần tiếp thu học sinh Có thể từ gợi ý ban dầu ta giải toán cách rể ràng điển hình bất đẳng thức di đơi với bất đẳng thức kỷ thuật điểm rơi khơng dạy cho học sinh thiếu sót giáo viên Với kỷ thuật điểm rơi có điểm rơi biên có điểm rơi roi vào vị trí trung tâm Trên sở chọn viết sáng kiến kinh nghiệm :"Dạy học sử dụng điểm rơi bất đẳng thức cho học sinh lớp 8" áp dụng cho học sinh lớp Mục đích nghiên cứu Hệ thống cho học sinh số vấn đề lý thuyết Phát huy khả suy luận, tư lơgíc, óc phán đoán, linh hoạt, sáng tạo học sinh giải tập bất đẳng thức chương trình Đại số lớp Góp phần nâng cao chất lượng dạy học trường phổ thông, đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi vào lớp 10 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu dạy học sử dụng điểm rơi bất đẳng thức cho học sinh lớp phần quan trọng đại số chương Toán THCS Phần nhiều tốn khó đại số bất đẳng thức xuất phát từ yêu cầu đề thi Một phần kiến thức khó đại số lớp bất đẳng thức Phương pháp nghiên cứu 4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận “Phát triển tư khoa học” “tăng cường em ý thức, lực vận dụng cách thông minh điều học” 4.2 Phương pháp quan sát Nhìn nhận lại q trình học tập mơn toán học sinh trường năm học vừa qua Đưa số biện pháp để nâng cao kết học tập cho học sinh trường giai đoạn PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Xuất phát từ thực tiễn giảng dạy trước xúc cuả việc phụ đạo học sinh yếu bồi dưỡng học sinh giỏi kỳ thi Tôi tập trung nghiên cứu thông qua số tài liệu qua thực tế giảng dạy để viết đề tài này, hy vọng giúp cho em học sinh có cơng cụ để giải tốn bất đẳng thức qua phát triển tư sáng tạo cho học sinh Bên cạnh tơi hy vọng đem lại định hướng cho bồi dưỡng học sinh giỏi cho bạn đồng nghiệp Thông qua kinh nghiệm sáng kiến với tự nghiên cứu, học hỏi bạn đồng nghiệp rút học kinh nghiệm: - Trước bất đẳng thức đề thi: từ đề thi học kì , đề thi học sinh giỏi đến đề thi vào lớp 10 em chưa định hình lời giải tơi cung cấp cho em thêm phương pháp kỷ thuật điểm rơi 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Khigiảng dạy lớp gặp số tập bất đẳng thức thấy học sinh nhiều lúng túng việc làm tập ,hay định hướng cách làm ,đặc biệt học sinh học mức độ trung bình Thực việc kiểm tra vài tập nội dung đề tài thấy Số lượng học Điểm giỏi Điểm Điểm trung Điểm yếu sinh bình 38 21 15 Điểm Trước vấn đề thấy việc cần thiết phải hướng dẫn học sinh Dạy học sử dụng điểm rơi bất đẳng thức cho học sinh lớp việc cần thiết cho học sinh , để giúp học sinh có thêm kiến thức bất đẳng thức , tao điều kiện cho học sinh làm tập bất đẳng thức 2.3 Những giải pháp sử dụng A CƠ SỞ LÝ THUYẾT I- NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Trước hết để chứng minh bất đẳng thức tốn học học sinh phải nắm định nghĩa tính chất sau đây: Định nghĩa: Ta gọi hệ thức dạng a b (hay dạng a b; a b; a b) bất đẳng thức Nếu a b a - b 0; Nếu a b a-b Tính chất: - Nếu a bb a; - Nếu a b, ca + c b + c; - Nếu a b, c ac bc; - Nếu a b, c ac bc; - Nếu a b a, b 1 a b A(x) A(x) dấu "=" A(x) = 0; - A(x) A(x) dấu "=" A(x) = 0; 0; Trên sở định nghĩa tính chất bất đẳng thức xây dựng đường lối tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức a) m giá trị lớn f(x) miền (D) hai điều kiện sau đồng thời xảy ra: f(x) m x (D) tồn x0 (D) : f(xo) = m Khi kí hiệu m = max f(x) b) m gọi giá trị nhỏ miền (D) f(x) hai điều kiện sau đồng thời thoả mãn: f(x) m x (D) tồn x0 (D) cho f(xo) = m Khi kí hiệu m = f(x) Bất đẳng thức +, a2+b2 2ab +,Với a,b >0 ta có Bất dẳng thức a b a b Đúng b +, Với a,b >0 ta có Bất dẳng thức a ab a b b a a b2 Đúng ab Tất dạng bất đẳng thức gọi Bất đẳng thức (*) MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI CỦA BẤT ĐẲNG THỨC A MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ- SI Kỹ thuật chọn điểm rơi toán cực trị đạt biên gần biên Bài tâp (Đề học kì II lớp năm học 2016-2017) Cho x , y số thực dương thỏa mãn x 3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A 4x2 y2 xy Phân tích : Điểm rơi vào phần tử cực biên x=3y Bài giải: Ta có: A 4x 9y xy 4x y 9y 3x x x y 2.3 15(BĐT 9y 9y y x y Cô – Si x 3y BĐT (*)) Dấu “=” xảy  x = 3y Kết luận: GTNN A 15 x = 3y Bài tâp 2( Đề thi vào lớp 10 Tỉnh Thanh Hóa 2012-2013) thay đổi , thoả mãn điều kiện a + b a > Tìm giá trị nhỏ biểu- thức A = 8a b b2 4a Phân tích: Dự đốn điểm rơi a=b= mà a+b=1 nên a b 1 a nên ta ghép ví i a 4a 2 Cho hai số thực a; b 4a Bài giải:Tìm GTNN A = 8a b2 với a+ b a > b 4a Cách 1:Từ a+ b b - a ta có: 8a b b A 2a 4a 1) a2 a 4a (a 4a a (1 a)2 (a )2 4a 2 Dấu xảy a = Vậy GTNN A = a = b = Cách 2: Từ a+ b b - a ta có: A 8a b b 2 a 4a 1 (1 a)2 4 a 2 a a a a a 6a 4a a (2 a 1) (2 a 1) 324a (2 a 1) ( a 1) 3 4a 2 Khi với a > (2 a 1) ( a 1) 4a Nên từ (1) suy ra: A + hay A Dấu xảy a = Vậy GTNN A = a = b = 2 Bài tâp : (Đề thi vào lớp 10 Tỉnh Thanh Hóa 2016-2017)Cho số thực dương a, b, c cho abc = Chứng minh: ab + bc + ca a + b + ab b + c bc c + a 5+ ca Phân tích : điểm rơi a=b=c=1 Đưa Vế trái a a b c b a b c c a b c Bài giải:Vì a, b, c số dương nên a5 + b5 = (a + b)(a - a3 b + a b2 - ab3 + b4 ) = a (a + b) a b b a5 b5 a5 ( a b) (a ab b ) (a b ) a b2 ab ab [ab ( a b) 1] ab a b ( a b c ) (do abc 1) ab c a b c b ab bc Tương tự ta có: 5 b c a bc a b ; ca c c a b ca a b ; c Khi đó: ab + bc + ca a + b + ab b + c bc c + a5 + ca Dấu “ =” xảy a = b = c = Bài tâp 4(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa 2013-2014) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca 3 b4 Chứng minh rằng: a c4 b 3c c 3a a 3c Phân tích :Dự đốn điểm rơi a=b=c=1 nên ta có giá trị a4 b 3c a=b=c=1 Nên ta có b+3c=4 nên mẫu số b+3c=16 ta có cặp a4 b 3c b 3c 16 b4 a4 b 3c c 3a b 3c 16 1b c 3a c4 16 a 3b 1c a 3b 16 Bài giải : Áp dụng cosi: 1a2 2 b 3c c 3a a 3b VT + ( 16 + 16 + 16 ) ( a b c2 ) 1 VT ( a b c2 ) - ( a b c) Dấu xảy khi: a b 3c b4 b 3c 16 c 3a c4 16 a 3b a 3b 16 c 3a b c 3c 3a a b c 1(do a;b;c dương) Bài tâp 5(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa 2014-2015) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = Tìm giá trị lớn biểu + + thức Q = x + y +1 y + z +1 z + x +1 Phân tích: điểm rơi a=b=c=1 nên ta thấy giá trị nhỏ Q Bài giải: Với x, y, z số dương thỏa mãn xyz = ta đặt x = a3, y = b3, z = c3 abc = Khi ta có: x + y +1 = a + b + abc = a + b a - ab + b + abc a + b ab + abc = ab(a + b + c) Tương tự: y + z +1 bc(a + b + c) z + x +1 ca(a + b + c) 1 abc + abc + abc Q = x + y +1 + y + z +1 + z + x +1 ab(a + b + c) bc(a + b + c) ca(a + b + c) Vậy GTLN Q = a = b = c, hay x = y = z =1 Kỷ thuật chọn điểm rơi tâm Bài tâp : (Đê thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm học 2016-2017) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn: x y z 32 x yz Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P z zx y zx z xy x xy y yz a12 Phân tích: Chẩn hóa bất đẳng thức đưa dạng Áp dụng bất dẳng thức a b a a2 b b2 b3 a1 a2 a3 b b b Điểm rơi xẩy x y z a32 b b a22 3 Bài giải: Ta có: P x yz y zx z xy z zx yz x xy zx 2 yz z2 zx x zx z zx x xy x2 y2 xy y xy zx z 12 y y x xy y y yz z z x yz z 12 12 z x x x y y y z (1) Áp dụng BĐT: a2 a2 b b a b 2 a1 a2 a3 b b b 1 (Dấu a1 a2 a3 ) b b b 12 y z z x x x y z x 12 12 y y y z x x y 1y y z 1 x 12 z z 1x z 12 x y z (2) x y z x y z x y z1 1 x y z x y z Lại áp dụng BĐT trên: 12 1 x y z 12 12 1112 x y z x y z x y z (Dấu x = y = z) x y z 1 x y z x y z x y z 27 x y z 4x y z 4x y z Cosi 2 27 15 4.3 2 (Dấu (3) x y z x y z x y z Kết hợp (1) (2) (3) ta được: P 15 Dấu x y z Bài tâp 2: (HSG Huyện Hoằng Hóa năm học 2014-2015) Cho a, b, c > 0; a + b + c = Chứng minh rằng: a b c b2 c2 a2 a Phân tích :Đây kỹ thuật BĐT cô si ngược chiều b2 Nên ta phài dùng ngược lại cách thếm dấu “-“ a a(1 b ) ab a ab2 b2 b2 b2 a 2b Sau áp dụng BĐT 1+b2 2b CM BĐT a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca => ab + bc + ca +2( ab + bc + ca) 2(ab + bc + ca )+ a2 + b2 + c2 =(a+b+c)2 Chứng minh: =9 a ab a b2 ab a 2b ab a ab ab ab a Do a, b > + b2 ≥ 2b với b nên b a b2a 2b b bc c ca Tương tự ta có : c2 b ; a2 c mà a + b + c = nên a b c ab bc ca (1) b2 c2 a2 Cũng từ a + b + c = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca suy 3(ab + bc + ca) ab + bc + ca (2) Từ (1) (2) suy a b c 3 đpcm b2 c2 a2 2 Đẳng thức xảy a = b = c = Bài tâp : (HSG Huyện Hoằng Hóa năm học 2012-2013) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M 1 1 16 x 4y z Phân tích : điểm rơi xảy x=y=z= Bài giải Vì x + y +z = nên: M 1111 16 x y z 21 x y 16 4y 16 x Ta có: x y 4y 16x Tương tự: x z z 16 x 16 x x y z x y z z z y z 16 x z 4y 16 x y2 x y 2.4 x y 4x 2y2 1 ( x , y 0) 16x y ; 64xy 64xy 4 y z z 4y ( Với x, y, z > 0) 4x 2y z Từđó M 21 1 16 49 16 Dấu “=” xảy x y z Vậy GTNN M 16 x ;y 7 y x,y,z 49 x z ;z Bài tâp : (HSG Huyện Hoằng Hóa năm học 2011-2012) ab Cho hai số a, b thoả mãn a + b ≠ Chứng minh rằng: a2 + b2 + a Chứng minh: Ta có a2 + b2 + ab ≥ (a2 ≥ b + b2)(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ 2(a + b)2 a b (a + b)2 [(a + b)2 – 2ab] – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ (a + b)4 – 2ab(a + b)2 – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ (a + b)4 – 2(a + b)2(ab + 1) + (ab + 1)2 ≥ [(a + b)2 – ab - 1]2 ≥ suy đpcm Bài tâp : (HSG Huyện Hoằng Hóa năm học 2015-2016) Cho a, b, c > thỏa mãn : a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng: 1 ab bc ca Phân tích: + Điểm rơi tâm a=b=c(= ) + Một bất đẳng thức quen thuộc (a+b)2 4ab( dấu “=” xẩy a=b + Do ta cần biến đổi 1-ab -4ab mẫu bặc nên ta biến đổi tử thành bậc + 2(a2+b2) (a+b)2 +Kỹ thuật dạng cộng mẫu số engl bất đẳng thức cô si a1 a22 an2 x1 x2 xn (a1 a2 a1 )2 ví i x1, , xn x1 x2 xn Do 1 ab 4 4 4ab (a b)2 (sử dụng (a+b) 4ab) ( nguyên lý đồng bậc) (a b) (a b)2 (a b)2 (a b)2 (a b)2 (a b)2 22 2(a2 b2 ) ((a +b ) (a+b) ) (a b)2 (a b)2 2(a2 b2 ) 4(a2 b2 c2 ) 2(a2 b2 ) (a b)2 (a b)2 a2 b2 2(a2 c2 ) 2(b2 c2 ) 2(a2 c2 ) 2(b2 c2 ) 2(a2 c2 ) 2(b2 c2 ) ( sử dụng BDT mẫu số dạng engl BĐT cô si) Chứng minh: Nhận xét: Ta chứng minh + (a+b)2 4ab + 2(a2+b2) (a+b)2 + a12 a22 an2 (a1 a2 a1)2 ví i x1, ,xn x1 x2 x1 x2 xn 4 4ab (a b)2 (a b)2 ab 1 xn (a b)2 (a b)2 2(a2 b2 ) (a b)2 4(a2 b2 c2 ) 2(a2 b2 ) a2 b2 2(a2 c2 ) (a b)2 2(a2 c2 ) 2(b2 c2 ) 2(b2 c2 ) Bài tâp (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa 2011-2012) Cho u, v số dương thoả mãn u + v = 33 Tìm giá trị nhỏ của: P = u2 + v2 + uv Phân tích : Điểm rơi BĐT u=v=2 Bài giải: Ta có: u + v = u2 + v2 = 16 – 2uv Mặt khác: u, v số dương nên áp dụng bất đẳng thức si ta có: 4uv (u + v)2 4uv 16 uv 33 33 P = u + v2 + = 16 – 2uv + 16–2.4+ 33 = 65 u v u v P = 65 u = v u + v =4 u = v = Vậy giá trị nhỏ P 65 4 u = v = Bài tâp 7: (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa 2009-2010) u, v thoả mãn: u2 + uv + v2 = 1- 3t2 Cho số thực t, Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: D = t + u + v u v t Phân tích: Dự đoán u=v=t nên giá trị nhỏ D= giá trị lớn D= u v t 2 2 Bài giải:Ta có: D2 = (t + u + v)2 = u2 + v2 + t2 + 2uv + 2ut + 2vt (1) Mặt khác: Theo giả thiết u2 + uv + v2 = 1- 3t2 2uv = - 2u2 - 2v2 -3t2 (2) 10 Thay (2) vào (1) ta được: D2 = - u2 - v2 -2t2 + 2ut + 2vt = – (u - t)2 – (v - t)2 u D2 = v uv t 2 u t t u t v t u v t v - D 2 t t u v 3 2 t Vậy: giá trị nhỏ D - u v t Giá trị lớn D 3 u 2 v 3 Kỷ thuật chọn điểm rơi gần tâm Bài tâp 1: (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa 2007-2008) Cho hai số tự nhiên a, b thoả mãn điều kiện: a + b = 2005 Tìm giá trị lớn tích ab Phân tích: điểm roi lân cận phần tử trung bình giá trị lớn a=1003 b=1004 a=1004 b=1003 Bài giải: Từ a + b = 2005 a = 2005 - b Khi đó: ab = (2005 - b) b 2005 2 = b 2005bb 20052 12 2 2005 2004.2006 505012 Dấu “=” xẩy a=1003 b=1004 a=1004 b=1003 Vậy giá trị lớn ab 505012 a=1003 b=1004 a=1004 b=1003 Bài tâp 2: (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa 2006-2007) Chứng minh a 5( a 1) 11 với a > ta có: a2 2a Phân tích : điểm rơi xẩy a=1 a a 5( a 1) a2 Bài giải: Với a > Ta có: a2 a a 2a a2 1 a a2 a 4a a 9( a2 1) 4a a a2 a 4a a a 11 2 11 a a Dấu “=” xẩy khi: a a a2 1 a 4a a a Vậy: a 5( a2 1) 2a 11 Với a > - Kiểm tra lớp E - Tổng số học sinh: 38 h/s thoài gian kiểm tra 20 phút; Bài tập kiểm tra : (Đề thi HKII toán năm học 2016-2017 ) Cho số thực dương a, b, c + + 1 Chứng minh A = a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc Phân tích :Đây BĐT thi vào lớp 10 năm học 2016- 2017 năm 20142015 tỉnh Thanh Hóa mấu chốt BĐT x3 y3 xy(x y) điểm rơi x=y Bài gải: Ta có a + b + abc = a + b a - ab + b + abc a + b ab + abc = ab(a + b + c) 1 Do đó: a3 b3 abc Tương tự: b + c + abc A= ab(a b c) bc(a + b + c) c3 + a + abc ca(a + b + c) + + a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc + abc + abc ab(a + b + c) bc(a + b + c) ca(a + b + c) Vậy GTLN A = a = b = c Hiệu biện pháp: Trong trình dạy học bậc THCS Tôi nhận thấy em học sinh có nhu cầu tính nhẩm, tiết học tự chọn việc đưa cách tính nhẩm cho học sinh gây nên hứng thú học tập cho em cao, nên sau đưa cách tính nhẩm cho em học sinh tơi thấy phương pháp phần mang lại hiệu định cho em Kết thực phương pháp trên: Năm học 20162017 Đầu năm Cuối năm Lớp (Sĩ số 44HS) Số HS chưa biết Số HS biết tính nhẩm tính nhẩm 38 HS HS (100%) (0%) 22 HS 15 HS (69.6%) (39.4%) PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ - KẾT LUẬN: Khai thác lời dạy tốn nói chung tập chứng minh bất đẳng thức đại số nói riêng có tác dụng lớn đối tượng học sinh 12 Đối với học sinh trung bình từ tập đơn giản, từ số liệu cụ thể khai thác tổng quát thành tốn khó mang tính khái qt Việc khai thác giúp em phát triển tư cách linh hoạt, sáng tạo khả tự nghiên cứu Mặc dù trình giảng dạy năm song toàn kinh nghiệm rút trình phụ đạo học sinh yếu, bồi dưỡng học sinh giỏi Để có kinh nghiệm phần lớn học hỏi, đúc rút kinh nghiệm đồng nghiệp yêu cầu cấp thiết học sinh Các ví dụ mà tơi đưa có thê chưa khai thác hết tình chưa thật ví dụ điển hình Vì tơi mong có đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp - KIẾN NGHỊ Với Phòng GD&ĐT - Quan tâm đến việc bồi dưỡng chuyên mơn, nghiệp vụ cho giáo viên dạy tốn Nên tổ chức hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên tỉnh Với BGH nhà trường - Nên mua thêm số sách tham khảo, chuyên môn nghiệp vụ cho giáo viên tự bồi dưỡng, học tập Với PHHS - Quan tâm việc tự học, tự làm tập nhà Thường xuyên kiểm tra sách, việc soạn trước đến trường XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2017 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Phạm Văn Vượng 13 ... học sinh Dạy học sử dụng điểm rơi bất đẳng thức cho học sinh lớp việc cần thiết cho học sinh , để giúp học sinh có thêm kiến thức bất đẳng thức , tao điều kiện cho học sinh làm tập bất đẳng thức. .. gọi Bất đẳng thức (*) MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI CỦA BẤT ĐẲNG THỨC A MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ- SI Kỹ thuật chọn điểm rơi toán cực trị đạt biên gần biên Bài tâp (Đề học. .. dạy học bậc THCS Tơi nhận thấy em học sinh có nhu cầu tính nhẩm, tiết học tự chọn việc đưa cách tính nhẩm cho học sinh gây nên hứng thú học tập cho em cao, nên sau đưa cách tính nhẩm cho em học