De thi HSG toan 9 (thang 11/2010)

TRNG THCS THIU QUANG THI HSG LP 9 NM HC 2010-2011 Mụn: Toỏn Thi gian lm bi:150 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Bài 1: (6 điểm) 1. Giải phơng trình: 4 4 1 2 9 6 2x x x x+ + + = 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số không âm và b là số trung bình cộng của a và c thì ta có: 1 1 2 a b b c c a + = + + + 3. Chng minh rng vi mi s nguyờn a thỡ: (a 3 + 11a ) chia ht cho 6 Bài 2: (4 điểm) 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2 2 3 5 1 x x y x + + = + . 2. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2 2 2 3 2 4 3 0x y xy x y+ + + = Bài 3: (6 điểm) Cho õổồỡng troỡn (O , R) vaỡ õióứm A vồùi OA = 2R. Tổỡ A veợ 2 tióỳp tuyóỳn AE vaỡ AF õóỳn (O). (E, F laỡ 2 tióỳp õióứm). ổồỡng thúng OA cừt (O) taỷi C vaỡ D (O nũm giổợa A vaỡ C) a) Tờnh dióỷn tờch tổù giaùc AECF theo R. b) Tổỡ O veợ õổồỡng thúng vuọng goùc vồùi OE cừt AF taỷi M. Tờnh tyớ sọỳ dióỷn tờch hai tam giaùc OAM vaỡ OFM. c) ổồỡng thúng keớ tổỡ D vuọng goùc vồùi OE cừt EC taỷi Q. Chổùng minh caùc õổồỡng thúng AC, EF vaỡ QM õọửng qui. Bi 4 (4,0 ) a./ Tỡm a thc f(x) bit rng f(x) chia cho (x-3) d 7. f(x) chia cho (x-2) d 5. f(x) chia cho (x-3)(x-2) thỡ thng tỡm c l 3x v cũn d. b./ Với giá trị nào của góc nhọn thì biểu thức 3sin 3 cosP = + có giá trị lớn nhất ? Cho biết giá trị lớn nhất đó. Hết Đáp án và thang điểm: CHNH THC Bài ý Nội dung Điểm 1. 6,0 1.1 ( 3,0 điểm) 4 4 1 2 9 6 2x x x x+ + + = ( ) ( ) 2 2 4 4 1 3 2x x + = ( ) 4 4 4 1 3 2 (1) 1 3 2 0; 0 (2)x x y y y x x + = + = = (1) 1,0 0 1: 1 0, 3 0y y y < , nên (2) 1 3 2 1y y y + = = (thoả ĐK) 1x = là một nghiệm của phơng trình (1) 0.5 1 3: 1 0, 3 0y y y< > , nên pt (2) 1 3 2 0 0y y y + = = do đó pt (2) có vô số nghiệm y ( 1 3y< ), suy ra pt (1) có vô số nghiệm x ( 1 81x < ). 0.5 3: 1 0, 3 0y y y> > > , nên pt (2) 1 3 2 3y y y + = = , pt vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của pt (1) là: [ ] 1; 81S = 1,0 1.2 (3,0 điểm) 1 1 2 1 1 1 1 (*) a b b c c a a b c a c a b c + = + + + = + + + + 0,50 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 c b A a b c a a b c a c b a b c a b c = = + + + + = + + + 0,50 Theo giả thiết: 2 2 a c b a c b b a c b + = + = = , nên: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a b a A a b b c c a a b b c c a + = = + + + + + + 1,0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 b a b c c a A c a b c b c c a b c c a + + = = = + + + + + + Đẳng thức (*) đợc nghiệm đúng. 1,0 2. 4,0 2.1 (2,0 điểm) 2 2 3 5 1 x x y x + + = + (xác định với mọi x R ) ( ) 2 1 3 5 0 (**)y x x y + = 0,5 1:y = pt (**) có nghiệm 4 3 x = 1:y để pt (**) có nghiệm thì: 2 9 4( 1)( 5) 4 24 11 0y y y y = = + 0.5 ( ) ( ) 2 25 5 5 5 1 11 3 0 3 3 1 4 2 2 2 2 2 y y y y y 0.5 Vậy tập giá trị của y là 1 11 ; 2 2 , do đó 11 1 ; 2 2 Max y Min y= = 0,5 2.2 (2,0 điểm) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 4 3 0 3 2 2 4 3 0x y xy x y x y x y y+ + + = + + + = (***) 0,5 Để pt (***) có nghiệm nguyên theo x, thì: ( ) ( ) 2 2 2 3 2 4 2 4 3 4 8y y y y y = + = + là số chính phơng. ( ) ( ) 2 2 2 2 4 8 2 12y y k k y k + = + =Z ( 2 )( 2 ) 12 ( )y k y k a + + + = 0.5 Ta có: Tổng ( ) 2 ( 2 ) 2( 2)y k y k k+ + + + = + là số chẵn, nên ( ) 2 ; ( 2 )y k y k+ + + cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Mà 12 chỉ có thể bằng tích 1.12 hoặc 2.6 hoặc 3.4, nên chỉ có các hệ phơng trình sau: 2 2 2 6 2 6 2 2 ; ; ; ; 2 6 2 2 2 2 2 6 y k y k y k y k y k y k y k y k + = + = + = + = + + = + + = + + = + + = 0,5 Giải các hệ pt trên ta có các nghiệm nguyên của pt (a): ( ) ( ) ( ) ( ) 2; 2 , 2; 2 , 6; 2 , 6; 2y k y k y k y k= = = = = = = = Thay các giá trị 2; 6y y= = vào pt (***) và giải pt theo x có các nghiệm nguyên (x; y) là: ( 1; 2), ( 3; 2);( 11; 6),( 9; 6)x y x y x y x y= = = = = = = = 0,5 b/Ta cú: a 3 + 11a = (a 3 - a) + 12a = a(a -1)(a + 1) + 12a (0.5) Vỡ a Z nờn a; a -1; n + 1 l ba s nguyờn liờn tip a(a 1) M 2 ; a(a +1)(a 1) M 3 (0,5) Vỡ (2, 3) = 1 nờn a( a-1)( a+1) M 6; 12 a M 6 (0,5) a( a -1)( a +1) + 12a M 6 Vy (a 3 + 11a ) M 6 vi a Z (0,5) Baỡi 4 (4 õióứm) Veợ hỗnh chờnh xaùc (0,25 õ) I M Q O C D G E F a) (1,25 õ) Ta coù AE = AF (t/c tióỳp tuyóỳn) vaỡ OE = OF = R nón OA laỡ õổồỡng trung trổỷc cuớa õoaỷn thúng EF. Goỹi I laỡ giao õióứm cuớa AC vaỡ EF taỷi I thỗ OA EF vaỡ IE = IF OEA coù ã OEA = 90 0 (t/c tióỳp tuyóỳn) vaỡ EI OA nón OE 2 = OI . OA 2 2 OE R R ịOI = = = OA 2R 2 OIE ( ã OIE = 90 0 ) nón EI 2 = OE 2 - OI 2 = R 2 - 2 2 R 3R 3.R = ị EI = 4 4 2 EF = 2EI = 3 .R vaỡ AC = AO + OC = 2R + R = 3R S AECF = 1 2 . AC . EF = 1 2 . 3R . 3 . R = 2 3 3 R 2 b) (1,25 õ) Ta coù OM // AE ( OE) nón ã ã MOA = OAE maỡ ã ã OAE = OAM Do õoù ã ã MOA = OAM Suy ra OMA cỏn taỷi M MO = MA OAM OFM S AM OM = = S FM FM = ã 1 cos OMF maỡ ã ã ã OMF = EAF = 2EAO sin ã EAO = ã EAO 0 OE R 1 = = ị =30 OA 2R 2 Do õoù ã OMF = 60 0 nón OAM OFM S S = 0 1 cos60 = 1 2 1 2 = c) (1,25 õ) - Chổùng minh DEQ = OFM Suy ra: QD = OM - Chổùng minh QDMO laỡ hỗnh bỗnh haỡnh Suy ra QM vaỡ DO giao nhau taỷi trung õióứm cuớa mọựi õổồỡng Maỡ I laỡ trung õióứm cuớa OD (OI = ID = R 2 ) nón I laỡ trung õióứm cuớa QM Vỏỷy AC, EF vaỡ QM õọửng quy taỷi I. 1. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ab cd a c b d ab cd a c b d + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b c d abcd a b a d b c c d + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0ad bc ad bc ad bc + : đúng với 4 số thực a, b, c, d bất kì. Vậy: ( ) ( ) 2 2 2 2 0 , , , ,ab cd a c b d a b c d + + + R Dấu đẳng thức xảy ra khi 0ad bc = hay ( ) 0, 0 c d a b a b = áp dụng kết quả trên, ta có: 3sin 3 cos 0P = + > nên ( ) ( ) 2 2 2 2 3sin 3 cos 3 3 sin cos 2 3P = + + + = max 2 3P = khi 0 sin 3 3cos 3sin 0 3 60 cos 3 tg = = = = . THCS THIU QUANG THI HSG LP 9 NM HC 2010-2011 Mụn: Toỏn Thi gian lm bi:150 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Bài 1: (6 điểm) 1. Giải phơng trình: 4 4 1 2 9 6. vaỡ IE = IF OEA coù ã OEA = 90 0 (t/c tióỳp tuyóỳn) vaỡ EI OA nón OE 2 = OI . OA 2 2 OE R R ịOI = = = OA 2R 2 OIE ( ã OIE = 90 0 ) nón EI 2 = OE 2 - OI