SKKN rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua giải bài tập về véc tơ trong hình học 10

MỤC LỤC MỞ ĐẦU…………………………………………………………… 1.1 Lý chọn đề tài……………………………………………… 1.2 Nhiệm vụ đề tài……………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………… 1.4 Phạm vi nghiên cứu……………………………………………… NỘI DUNG………………………………………………………… 2.1 Cơ sở lý luận…………………………………………………… 2.2 Thực trạng……………………………………………………… 2.3 Áp dụng thực tế giảng dạy……………………………… 2.3.1 Áp dụng quy trình bước dạyhọc………………… 2.3.2 Các kiến thức tập bản…………………………… 2.3.3 Hệ thống tập…………………………………………… 2.3.4 Khó khăn sai lầm học sinh giải toán véc tơ 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm…………………………… KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ…………………………………… TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………… 3 4 5 15 17 18 19 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Tình hình giáo dục cho thấy nhiều năm qua Tốn học mơn học khác góp phần tích cực vào việc nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện trường TTGDTX.Tuy nhiên trường, với mơn tốn học chất lượng nắm vững kiến thức số học sinh chưa cao, hiệu dạy học chưa đáp ứng u cầu giáo dục Một số thầy cịn sử dụng phương pháp dạy học đạo phương pháp truyền thống , điều khiến học sinh trở thành nhân vật thụ động tiếp thu kiến phát huy tính tích cực ,tự lực thức Vì việc chủ học sinh ,việc rèn luyện bồi dưỡng lực nhận thức ,giải vấn đề ,năng lực tư khả tư em chưa ý mức Việc giải tập toán có tác dụng lớn việc gây hứng thú học tập cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ góp phần giáo dục, rèn luyện người học sinh nhiều mặt Thực tiễn dạy học cho thấy: Việc sử dụng phương pháp véctơ nghiên cứu hình học, học sinh có thêm cơng cụ để diễn đạt, suy luận để giải toán, tránh ảnh hưởng khơng có lợi trực giác, từ cho thấy vấn đề xem xét giải quan điểm khoa học, với cách tiếp cận vấn đề khác đưa phương pháp khác đắn Thế việc sử dụng không thành thạo phương pháp trên, cụ thể lúng túng giải sai tập làm học sinh gặp nhiều khó khăn, hạn chế tới kết học tập phạm vi chuyên đề sử dụng “phương pháp véc tơ” để giải tốn hình học Từ vấn đề nêu trên, với mong muốn làm tốt nhiệm vụ người giáo viên giai đoạn đất nước, mong muốn góp phần nhỏ bé vào nghiệp giáo dục nhà trường, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, đổi phương pháp dạy học để phát triển tư cho học sinh, giúp em tự lực tìm tri thức, tạo tiền đề cho việc phát triển tính tích cực, khả tư em cấp học cao đời sống sau này, mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu “Rèn luyện tư cho học sinh thông qua việc giải tập VÉC TƠ hình học 10” 1.2 Nhiệm vụ đề tài 1.2.1 Nghiên cứu phương pháp giảng dạy giải tập toán theo hướng hình thành rèn luyện tư cho học sinh 1.2.2.Dựa theo chuẩn kiến thức kỹ hình học 10 Bộ GD-ĐT xuất phát từ thực tiễn giảng dạy phương pháp dạy học tập hình học 10 qua phương pháp dùng véc tơ, nhằm rèn luyện tư cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.3.1 Phương pháp giải tập hình học phẳng phương pháp véc tơ 1.3.2 Các tập hình học phẳng phương pháp véc tơ hình học 10 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1.Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết 1.4.2.Phương pháp điều tra khảo sát thực tế NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận Theo phương pháp dạy học toán tập tốn đặt thời điểm trình dạy học chứa đựng cách tường minh hay ẩn tàng 4chức khác hướng tới việc thực mục đích dạy học: - Chức dạy học - Chức giáo dục - Chức phát triển - Chức kiểm tra Hiệu việc dạy toán phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác thực cách đầy đủ chức có tác giả viết sách giáo khoa có dụng ý đưa vào chương trình Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá thực dụng ý tác giả lực sư phạm Trong tốn ,có nhiều tốn chưa có khơng có thuật giải khơng có thuật giải tổng quát để giải tất toán Chúng ta thơng qua việc dạy học giải số toán cụ thể mà truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm việc suy nghĩ, tìm tịi lời giải cho tốn Để làm tăng hứng thú học tập học sinh, phát triển tư duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho tốn Theo G.Pơlya, phương pháp tìm lời giải cho toán thường tiến hành theo bước sau: Bước : Tìm hiểu nội dung toán Để giải toán, trước hết phải hiểu tốn có hứng thú với việc giải tốn Vì người giáo viên phải ý gợi động cơ, kích thích trí tò mò, hứng thú cho học sinh giúp em tìm hiểu tốn cách tổng qt Tiếp theo phải phân tích tốn cho: - Đâu ẩn số, đâu kiện -Vẽ hình, sử dụng kí hiệu thích hợp (nếu cần) -Phân biệt thành phần khác điều kiện, diễn đạt điều kiện dạng cơng thức tốn học khơng? Bước 2: Xây dựng chương trình giải Phải phân tích tốn cho thành nhiều toán đơn giản Phải huy động kiến thức học (định nghĩa, định lí, quy tắc ) có liên quan đến điều kiện, quan hệ đề tốn lựa chọn số kiến thức gần gũi với kiện tốn mị mẫm, dự đốn kết Xét vài khả xảy ra, kể trường hợp đặc biệt Sau đó, xét tốn tương tự khái qt hóa tốn cho Bước 3:Thực chương trình giải Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải - Kiểm tra lại kết quả, xem lại lập luận trình giải - Nhìn lại tồn bước giải, rút tri thức phương pháp để giải loại toán - Tìm thêm cách giải khác (nếu có thể) - Khai thác kết có toán - Đề xuất toán tương tự, tốn đặc biệt khái qt hóa tốn Cơng việc kiểm tra lời giải tốn có ý nghĩa quan trọng Trong nhiều trường hợp, kết thúc toán lại mở đầu cho tốn khác Vì "Cần phải luyện tập cho học sinh có thói quen kiểm tra lại tốn, xét xem có sai lầm hay thiếu sót khơng, tốn có đặt điều kiện tốn địi hỏi phải biện luận Việc kiểm tra lại lời giải yêu cầu học sinh thực cách thường xuyên” 2.Thực trạng: Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn vận dụng kiến thức vào giải tập cụ thể do: học sinh không nắm vững kiến thức khái niệm, định lí, qui tắc, khơng trở thành sở kỹ Muốn hình thành kỹ năng, đặc biệt kỹ giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để học sinh nắm vững tri thức, có kỹ sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn Trong chương trình hình học lớp 10 học sinh học véctơ, phép tốn véctơ, tính chất tích vơ hướng ứng dụng chúng, đặc biệt hệ thức quan trọng tam giác: Định lý Côsin, định lý Sin,công thức trung tuyến, cơng thức tính diện tích tam giác học sinh phải biết tận dụng kiến thức nói để giải số tốn hình học PPVTcó nhiều tiện lợi việc giải tập hình học.Tuy vậy, sử dụng phương pháp học sinh gặp phải số khó khăn khơng tránh khỏi sai lầm giải tốn hình học 10 Khó khăn thứ nhất: Lần học sinhlàm quen với đối tượng véctơ, phép toán véctơ.Các phép toán véctơ lại có số tính chất tương tự số mà học sinh học trước đó, học sinh chưa hiểu rõ chất khái niệm phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm sử dụng PPVT Khó khăn thứ hai:Khi sử dụng PPVT thoát ly khỏi hình ảnh trực quan,hình vẽ nên khó tưởng tượng, hiểu tốn cách hình thức, khơng hiểu nghĩa hình học tốn.Vì học sinh có thói quen giải tốn hình học phải vẽ hình nên sử dụng PPVT để giải số tập khơng sử dụng hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khăn Học sinh thường gặp khó khăn chuyển tốn từ ngơn ngữ hình học thơng thường sang “ngơn ngữ véctơ” ngược lại Vì cần rèn luyện cho học sinh kỹ chuyển tương đương quan hệ hình học từ cách nói thơng thường sang dạng véctơ để vận dụng cơng cụ véctơ giải toán 2.3 Áp dụng thực tế dạy học Ở lớp 10 học sinh học véc tơ, phép toán véc tơ sau trục, hệ trục toạ độ, toạ độ điểm, toạ độ véc tơ vài ứng dụng đơn giản phương pháp toạ độ Tuy học sinh học hai phương pháp: Véc tơ toạ độ phương pháp chủ yếu phương pháp véc tơ Bởi vì, hệ thức lượng tam giác đường tròn xây dựng nhờ véc tơ phép toán, đặc biệt tích vơ hướng hai véc tơ định nghĩa theo đẳng thức véc tơ Để giúp học sinh sử dụng thành thạo PPVT để giải toán, học sinh lớp 10 giảng dạy GV cần lưu ý vấn đề sau: 2.3.1 Áp dụng quy trình bước dạy giải tập tốn : GV cần hình thành cho học sinh bước giải tốn hình học phương pháp véc tơ theo bước sau: Trước hết giáo viên cần rèn luyện cho học sinh nắm vững quy trình bốn bước giải tốn PPVT Quy trình bốn bước giải tốn hình học PPVT Bước 1: Chọn véc tơ sở Bước : Dùng phương pháp phân tích véc tơ phép tốn véc tơ để biểu diễn, chuyển ngơn ngữ từ hình học thông thường sang ngôn ngữ véc tơ Bước 3: Giải toán véc tơ Bước 4: Kết luận, đánh giá kết Giáo viên cần tận dụng hội để rèn luyện cho học sinh khả thực bốn bước giải tốn hình học PPVT thơng qua tập, minh hoạ quy trình bốn bước ví dụ sau: Bài tốn: Cho góc xOy hai điểm di chuyển hai cạnh góc M thuộc Ox, N thuộc Oy, ln thoả mãn OM = 2ON Chứng minh trung điểm I MN thuộc đường thẳng cố định Hướng dẫn giải: Bước 1: Lấy điểm A Ox, B Oy cho OA = OB, chọn hai véc tơ OA, OB làm hai véc tơ sở Mọi véc tơ tốn phân tích (hoặc biểu thị được) qua hai véc tơ Bước 2: Giả thiết cho OM = 2ON, nên ON kOB , OM 2kOA Điều phải chứng minh I thuộc đường thẳng cố định (dễ thấy đường thẳng x qua O) tương đương OI pv , với v véc tơ cố định đó' A A Bước 3: Do I trung điểm MN, nên ta có OI (OM ON ) k (2OA OB) Đặt , ta điều phải chứng minh k p , 2OA OB I O v Bước 4: Nhận xét: Nếu lấy OA' 2OA v OA' OB đường thẳng cố định qua trung điểm A’B B N y * Có thể tổng qt hố tốn theo hai cách: - Thay cho giả thiết OM = 2ON OM = m.ON (m số) - Thay cho kết luận: Trung điểm I MN thuộc đường thẳng cố IM p định kết luận: Mỗi điểm chia MN theo tỷ số IN q (p, q số dương) thuộc đường thẳng cố định Trong q trình hướng dẫn học sinh giải tốn PPVT, giáo viên cần ý đến tri thức phương pháp: Ở bước 1: Nên chọn véc tơ sở cho véc tơ tốn phân tích theo chúng thuận lợi Qua toán học sinh thấy việc chọn véc tơ sở Ở bước 2: Cần rèn luyện cho học sinh chuyển đổi ngôn ngữ cách thành thạo Ở bước 3: Cần nắm vững phép tốn véc tơ Đồng thời, thơng qua tập cụ thể, giáo viên cần làm cho học sinh hiểu rõ tính ưu việt PPVT Đặc biệt tập tìm tập hợp điểm, tập chứng minh điểm thẳng hàng, chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vng góc, dạng tốn có nhiều hội để làm rõ vấn đề 2.3.2.Các kiến thức tập Trước giải tập theo hệ thống GV cần nhấn mạnh cho học sinh kiến thức tập sau (vì tri thức phương pháp để giải tập sau này) A - Điều kiện cần đủ để hai véc tơ khơng phương Bài tốn 1: Chứng minh hai véc tơ a b phương có cặp số m, n không đồng thời cho ma mb Suy điều kiện cần đủ để a b phương có cặp số m, n không thời cho ma mb B-Tâm tỉ cự hệ điểm {A1, A2, .An} ứng với hệ số { , , n } (n ≥ 2) Bài toán 2: Cho hai điểm A, B phân biệt hai số , không đồng thời khơng Chứng minh rằng: a) Nếu= không tồn điểm M cho MA MB b) Nếu0 tồn điểm M cho MA MB Bài toán : Cho hai điểm A, B hai số thực , Chứng minh: Nếu = véc tơ v MA MB khơng đổi, khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh kết tổng quát: - Cho n điểm A1, A2, An n số thực , , n cho + + + n0 Khi tồn điểm I cho: IA1 IA2 n IAn (1) Điểm I gọi tâm tỉ cự hệ điểm {A1, A2, .An} ứng với hệ số { , , n } (n ≥ 2) Từ (1), với điểm M tùy ý ta có: MA1 MA2 n MAn (1 n )MI Công thức thường xuyên sử dụng tốn có liên quan tới tâm tỉ cự Ta gọi cơng thức thu gọn Với n = = = 1, ta thấy tính chất trọng tâm tam giác trình bày Bài tốn 4: Cho tam giác ABC số , , không đồng thời Chứng minh rằng: a Nếu tồn điểm I cho IA IB IC b Nếu khơng tồn điểm M cho MA MB MC C-Tính chất trung điểm Bài tốn : M trung điểm đoạn thẳng AB MA MB Hoặc với điểm M ta có MA MB 2MI D-Tính chất trọng tâm tam giác Bài toán : Cho tam giác ABC CMR điểm G trọng tâm tam giác GA GB GC với điểm M ta có GA GB GC 3MG E-Điều kiện cần đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng Bài toán 7: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng thoả mãn điều kiện sau: Tồn số k khác cho AB k AC Cho điểm I số t cho IA t IB (1 t ) IC điều kiện cần đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng F-Công thức điểm chia Bài toán 8: Cho đoạn thẳng AB, số thực k khác Ta nói điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k MA k MB CMR với điểm C ta có: CM 1k k CA k CB (*) Ta gọi (*) cơng thức điểm chia G-Cơng thức hình chiếu Cho hai véc tơ OA, OB Gọi B’ hình chiếu B đường thẳng OA đó: OA.OB OA.OB' Véc tơ OB' gọi hình chiếu OA đường thẳng OA; Công thức ' gọi cơng thức hình chiếu OA.OB OA.OB 2.3.3 Hệ thống tập Trong thực tế giảng dạy học tập, lúc giải tập làm theo bước trên, khơng phải lúc phân tích véc tơ theo hai véc tơ sở cho trước, mà giải tốn cách linh hoạt Việc rèn luyện cho học sinh thông qua hệ thống tập phân loại đem lại hiệu cao dạy học Việc đưa hệ thống tập phân loại giúp học sinh có kinh nghiệm giải tốn rèn luyện kỹ năng: - Chuyển tốn sang ngơn ngữ véc tơ - Phân tích véc tơ thành tổ hợp véc tơ - Kỹ biết cách ghép số véc tơ tổ hợp véc tơ - Biết khái quát hoá số kết để vận dụng vào toán tổng quát Đặc biệt biết vận dụng quy trình bốn bước giải tốn hình học PPVT vào giải tập hình học Giáo viên sử dụng hệ thống tập phân dạng tình dạy học khác như: Làm tập nhà, tập phân hoá, dùng để bồi dưỡng HS giỏi, dùng để kiểm tra, kiểm tra trắc nghiệm góp phần bồi dưỡng lực tư cho học sinh Dạng 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Đối với dạng tốn ta dùng điều kiện phương hai véc tơ để giải toán Véc tơ b phương với véc tơ a ( a 0) có số k cho bk a * Từ ứng dụng vào dạng tốn: Cho điểm A, B, C thoả mãn điều kiện xác định Chứng minh A, B, C thẳng hàng Phương pháp: - Hãy xác định véc tơ AB , AC - Chỉ hai véc tơ phương, nghĩa số thực k cho AB k AC Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P chia đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỷ số m, n, p (đều khác 1) Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng mnp = (Định lý Mênêlauýt) Hướng dẫn giải: (Theo quy trình bước giải tốn HH PPVT) Bước 1: GV chọn véc tơ sở HS: Chọn hai véc tơ CA, CB làm hai véc tơ sở.AMọi véc tơ xuất toán phân tích theo hai véc tơ P Bước 2: M GV: Các điểm M, N, P chia đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỷ số m, n, p (đều khác 1) tương đương với đẳng thức véc tơ nào? B C HS: MA mMB; NB nNC ; PC pPA N GV: Điều phải chứng minh M, N, P thẳng hàng tương đương với đẳng thức véc tơ phải xảy ra? HS: - Chỉ số thực k cho MP k MN - Với điểm O số thực ta có OM tON (1 t )OP Bước 3: Lấy điểm O đó, ta có OA mOB OM m OB nOC ; ON n OC pOA ;OP p Để đơn giản tính tốn, ta chọn điểm O trùng với điểm C ta có: CA mCB CB pC (1) CM A ; CP n p ; CN m Từ hai đẳng thức cuối (1) ta có: p CB (1 n )CN ; CA p p CM p (1 m ) CP CP Và thay vào đẳng thức đầu (1) ta được: m (1 n) 1m CN Từ Bài toán 9: Điều kiện cần đủ để điểm M, N, P thẳng hàng là: p p (1 m ) m (1 n) p pm (1 n ) p (1 m ) mnp 1 n Bước 4: Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P chia đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỷ số m, n, p M, N, P thẳng hàng khi: mnp =1 Lưu ý: Học sinh vận dụng cách chứng minh tốn vào giải toán sau: 1/ Cho tam giác ABC có trực tâm H tâm đường trịn ngoại tiếp O Chứng minh rằng: a/ OA OB OC OH b/ HA HB HC 2OH 2/Bài 1.30(-Tr32-SBT-HH10 –cơ bản):Cho tam giác ABC Điểm I cạnh AC BJ AC AB cho CI= CA J điểm mà a,Hãy biểu thị véc tơ BI qua véc tơ AC AB b.Chứng minh điểm B,I,J thẳng hàng *.Bài tập đề xuất : Bài 1/ Cho tam giác ABC với cạnh AB = c, BC = a, CA = b Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: aIA bIB cIC Bài 2/ Cho điểm O cố định đường thẳng d qua hai điêm A, B cố định Chứng minh điểm M thuộc đường thẳng d có số cho: OM OA (1 )OB Với điều kiện M thuộc đoạn thẳng AB Bài 3: Cho tam giác ABC, gọi D, I, N điểm xác định hệ thức: DB DC 0, AN NB , CI 2CN Chứng minh A, I, D thẳng hàng Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc Vận dụng kiến thức PPVT để giải toán quan hệ vng góc cho lời giải rõ ràng, ngắn gọn.Xuất phát từ định nghĩa tích vơ hướng hai véc tơ ta suy ra: Nếu a , b hai véc tơ khác với a nằm đường thẳng a, b nằm đường thẳng b a b a.b Vậy tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc quy tốn chứng minh tích vơ hướng hai véc tơ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A; M trung điểm BC, H hình chiếu M AC, E trung điểm MH Chứng minh AE BH 10 Hướng dẫn giải: Bước 1: Tìm hiểu nội dung tốn Trước hết học sinh phải tìm hiểu tốn cách tổng thể: Đây dạng toán chứng minh hai đường thẳng vng góc Tiếp theo phải phân tích tốn cho - Bài tốn cho biết gì? (Cho tam giác ABC cân A, H hình chiếu M AC, E trung điểm MH) - Bài tốn hỏi gì? (Chứng minh AE BH) - Tìm mối liên hệ phải tìm với cho Bước 2: Xây dựng chương trình giải: Để chứng minh AE BH, ta phải chứng minh ? (phải chứng A minh đẳng thức véc tơ AE BH ) Để sử dụng giả thiết AM BC (Hay AM BC ) MH AC (Hay MH AC ) ta phải phân tích véc tơ AE , BH theo véc tơ nào? Khi AE BH ? B E Bước 3: Thực chương trình giải 2AE.BH ( AM AH )(BM MH ) H C M = AMMH AHBM = AM MH (AM MH)BM AM MH MH MC = HM MH MH.MH AE BH Bước 4: - Kiểm tra nghiên cứu lời giải - Kiểm tra lại bước giải toán *.Bài tập đề xuất Bài 1: (Bài 8-tr5-SGK-HH10- nâng cao) Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC vuông A BABC AB2 Bài 2: Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC H điểm nằm đường thẳng BC Chứng minh AB2 AC2 2BC MH điều kiện cần đủ để AH BC Bài 3: Tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O), D trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh OE CD Dạng 3:Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn điểm Đối với dạng tốn ta dựa vào quan hệ vng góc véc tơ pháp tuyến véc tơ phương đường thẳng cho ta lời giải rõ ràng, ngắn gọn Vậy tốn viết phương trình tiếp tuyến đường trịn quy tốn tính tích vơ hướng hai véc tơ Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến(d) với đường trịn : x y 2 25 điểm A(4;2) thuộc đường trịn Hướng dẫn giải: Bước 1: Tìm hiểu nội dung tốn: 11 Trước hết học sinh phải tìm hiểu toán cách tổng thể: Đây dạng toán tính tích vơ hướng véc tơ tọa độ Tiếp theo phải phân tích tốn cho - Bài tốn cho biết gì? (Cho biết tọa độ tâm I(1;-2) đường tròn, A(4;2) tiếp điểm đường trịn với d) - Bài tốn hỏi gì? (Viết phương trình tiếp tuyến (d) với đường trịn điểm A) - Tìm mối liên hệ phải tìm với cho Bước 2: Xây dựng chương trình giải: Để viết phương trình tiếp tuyến (d) với đường tròn, ta phải xác định véc tơ pháp tuyến d : n = AI (Ta phải thiết lập đẳng thức tương ứng) Để sử dụng giả thiết ta gọi M (x,y) d AM AI Bước 3: Thực chương trình giải: x 1y 2 03x y 20 Vậy AM AI phương trình tiếp tuyến (d) với đường tròn là: 3x+4y-20=0 Bước 4: - Kiểm tra nghiên cứu lời giải *.Bài tập đề xuất Bài 1.(Trang 84-SGK-Hình Học 10-Cơ bản):Viết phương trình tiếp tuyến d với đường tròn: x y2 4x y điểm A(-1;0) thuộc đường tròn Dạng 4: Chứng minh đẳng thức véc tơ Để chứng minh tập dạng này, chủ yếu ta sử dụng quy tắc điểm, quy tắc hình bình hành để dựng véc tơ cho hai vế đẳng thức, sử dụng công thức trọng tâm tam giác, trung điểm đoạn thẳng, tính chất phép tốn, tính chất tích vơ hướng hai véc tơ để rút gọn hai vế Ví dụ: Chứng minh với điểm A, B, C, D ta có AB.CD AC.DB AB.BC (*) Hướng dẫn giải: Bước 1: Chọn véc tơ AB , AC , AD làm véc tơ sở Mọi véc tơ xuất tốn phân tích qua véc tơ Bước 2: Bài toán cho dạng ngôn ngữ véc tơ Bước 3: AB.CD AC DB AB.BC = AB(AD AC) AC(AB AD) AD(AC AB) = AB.AD AB.AC AC.AB AC.AD AD.AC AD.AB = ( AB.AD AD.AB) (AC.AB AB.AC) (AD.AC AC.AD) Bước 4: Nhận xét: Đẳng thức véc tơ (*)được gọi hệ thức Ơle Có thể dùng hệ thức Ơle để chứng minh: Trong tam giác đường cao đồng quy 12 Thật vậy, giả sử đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC cắt H Áp dụng hệ thức Ơle cho điểm H, A, B, C ta có: HA.BC HB.CA HC.AB Do HB CA, HC AB nên HB.CA HC AB từ HA.BC tức HA BC Kết vừa chứng minh mở rộng đẳng thức AB.CD AC DB AD.BC A, B, C, D nằm đường thẳng *.Bài tập đề xuất Bài 1: Cho tam giác ABC, G trọng tâm Chứng minh MA.BC MB.CA MC AB MA2 MB2 MC2 3MG2 GA2 GB2 GC2 GA2 GB2 GC2 a2 b2 c2 , với a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC Nếu tam giác ABC nội tiếp (O; R) OG2 R2 (a2 b2 c2 ) Nếu trọng tâm G tam giác ABC thoả mãn điều kiện aGA bGB cGC tam giác ABC Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi H trực tâm, I tâm đường tròn nội tiếp Chứng minh: aIA bIB cIC (a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC) tan AHA +tan BHB tan CHC =0 ^ ^ ^ S a MA S b MB S c MC , trongđó M điểm nằm tam giác ABC, Sa, Sb, Sc theo thứ tự diện tích tam giác MBC, MCA, MAB a.IA2 b.IB2 c.IC2 abc Bài 3: cho tam giác ABC tâm O, M điểm tam giác Hạ MD, ME, MF vng góc với cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: MD ME MF MO Dạng 5: Các tốn tìm tập hợp điểm Trong hình học phẳng thường đề cập đến tốn quỹ tích điểm M chuyển động mặt phẳng thoả mãn điều kiện Bằng phương pháp tổng hợp nghiên cứu tốn quỹ tích tốn quỹ tích Bằng phương pháp véc tơ nghiên cứu quỹ tích điểm M chuyển động mặt phẳng thoả mãn điều kiện (ta gọi tính chất ) theo nguyên tắc chung phải thiết lập tính tương ứng tính chất với điều kiện véc tơ có liên quan đến điểm M từ mơ tả hình H = {(M/M có tính chất )} Do phạm vi nghiên cứu mở rộng nhiều cho lời giải dễ dàng Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho a) b) MA.MB k ( k R) 2MB MB MC a2 (a độ dài cạnh BC) Hướng dẫn giải: a.) MA.MB k ( MI IA)(MI IA) k 13 IM2 IA2 k AB IM * Nếu AB k k k AB2 Tập hợp điểm M đường trịn tâm I, bán kính 4 AB k * Nếu k AB IM Tập hợp M điểm I AB 2 k k tập hợp điểm M tập rỗng 4 * Nếu k = ta có MA.MB tập hợp điểm M đường trịn đường kính AB * Nếu AB b) MB MB MC a MB (2 MB MC ) a2 (1) Chọn điểm K thoả mãn: KB KC K cố định MB MC 3MK a2 (1) MB.MK Gọi I trung điểm BK, biến đổi câu a) ta được: (1) MI BK4 a32 thấy BK a3 Do (1) IM 13a IM 36 a 13 Vậy tập hợp điểm M đường trịn tâm I, bán kính a 13 Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB số thực k Tìm tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện: AB AM k Hướng dẫn giải:Ta tiến hành biến đổi tốn dạng quen thuộc Gọi H hình chiếu M đường thẳng AB ta có: AB.AM k AB( AH HM ) k k điều chứng tỏ H điểm cố định Vậy tập AB.AH k AH AB hợp điểm M đường thẳng vng góc với AH H Chú ý q trình lí luận, ta sử dụng phép biến đổi tương đương, phần thuận đảo chứng minh song song Giới hạn quỹ tích phần đảo Bài xem toán bản, Phần lớn toán phức tạp đưa toán qua số phép biến đổi tương đương *.Bài tập đề xuất Bài 1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho: a) ( MB MC )( MA MB MC) ;b) MA.MB 2 2 (MC MA MB ) Bài 2: Cho tam giác ABC cạnh a Tìm tập hợp điểm M cho: MA.MB MB.MC MC.MA 52 a 14 Bài 3: Cho hình vng ABCD cạnh a, tìm tập hợp điểm M cho: a) MA MB MC 3MD a2 b) ( MA MB MC )( MC MB ) 3a2 Hệ thống tập với kỹ giải toán cần thiết như: Chuyển tốn sang ngơn ngữ véc tơ, phân tích véc tơ thành tổ hợp véc tơ, kỹ biết cách ghép số véc tơ tổ hợp véc tơ giúp học sinh dễ nhận dạng tìm cách giải cho tốn cụ thể, giúp học sinh có hứng thú học tập mơn tốn, góp phần phát triển lực giải tốn.Sự phân dạng tập tạo điều kiện cho học sinh tuỳ theo lực, trình độ chủ động, sáng tạo học tập, nghiên cứu chủ đề véc tơ chương trình HH 10 2.3.4 Chỉ khó khăn sai lầm học sinh gặp phải giải tốn hình học phẳng PPVT PPVT có nhiều tiện lợi việc giải tập hình học Tuy vậy, sử dụng phương pháp học sinh gặp phải số khó khăn, khơng tránh khỏi sai lầm giải tốn hình học lớp 10 Khó khăn thứ : Học sinh chưa hiểu rõ chất khái niệm phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm sử dụng PPVT Ví dụ 1: Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: AB CD AD CB Với toán trên, nhiều học sinh hiểu toán sau: Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh rằng: AB CD AD CB Vì hiểu sai tốn, dẫn đến khó khăn q trình tìm lời giải tốn Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với AB 3,AC 5,BC Tính AB AC , tính góc A, góc hai đường thẳng AB AC AB.AC Lời giải1:Có học sinhgiải tốn này: Ta có AB.CD 3.5 15 cos A nên số đo góc A 00 , góc hai đường thẳng AB, AC 00 Lờ i g i i ả :Ta có AB AC 2 ( AB AC BC 15 ) nên 15 cos A AB.AC 15 Do : góc A có số đo 120 độ Góc đường thẳng AB, AC 120 độ Bài học sinh giải sai chưa nắm vững kiến thức véc tơ, có nhầm lẫn véc tơ với đoạn thẳng, đặc biệt việc xác định góc hai véc tơ với góc hai đường thẳng (không hiểu, không học kỹ định nghĩa) Lời giải tốn sau: Tacó: AB AC 2 ( AB AC 2 BC 15 ) nên cos A 15 15 Góc BAC 1200 , góc hai đường thẳng AB, AC : 1800 1200 600 Khó khăn thứ hai: Khi sử dụng PPVT để giải số tập khơng sử dụng hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khăn lúng túng 15 Ví dụ : Cho tam giác ABC Đặt CA a , CB b Lấy điểm A’, B’ cho CA ' ma , CB ' nb Gọi I giao điểm A’B B’A Hãy biểu thị véc tơ CI theo hai véc tơ a , b Học sinh giải tốn sau: ta có CA ' ma , CB ' nb nên CA' m C A CA' A'A CA ' m Tương tự: BB ' n Gọi I chia đoạn CA ' m A'A m AB’ CB theo tỷ số x , B, I, A’ thẳng hàng nên áp dụng định l Menelaus ta có m (1 n ) m m x x m AI m (1 n ) IB ' hay IA m m (1 n) CA CB ' m (1 n) m m (1 n) IB' CI m ( n 1) CA n (1 m) CB ' mn1 mn Nhìn kết q trình làm lơgic hồn hảo Phân tích sai lầm: Trong q trình giải, ly khỏi hình vẽ nên HS xác định “nhầm” vị trí điểm I: điểm I nằm tam giác ABC.Mặc dù kết cuối đúng, lời giải chưa xác, “thu hẹp” điều BB ' kiện m, n là: m > 0, n > Mặt khác, HS xác “định” nhầm: từ tỉ số BC n , suy điểm B chia đoạn thẳng B’C theo tỷ số n , làm tương tự với điểm A’ -Lời giải tốn sau: Vì I thuộc A’B AB’ nên có số x y : CI x.CA ' (1 x ) CB y.CA (1 y )CB ' hay mx y xma (1 x ) b ya (1 y ) nb Vì hai véc tơ a , b không phương nên : m ( n 1) n (1 m) CA mn mn CB' x (1 y ) n x n mn kết biết CI Học sinh thường gặp khó khăn chuyển tốn từ ngơn ngữ hình học thơng thường sang ngơn ngữ hình học véctơ ngược lại Vì cần rèn luyện cho học sinh kỹ chuyển tương đương quan hệ hình học từ cách nói thơng thường sang dạng véctơ để vận dụng véctơ giải tốn 16 2.4.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tế giảng dạy với việc sử dụng phương pháp nghiên cứu tơi thấy,khả tư giải tốn hình học phương pháp véc tơ em nâng lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nói riêng chất lượng giáo dục nói chung Điều chứng minh kết học tập học sinh lớp 10 chọn trường TTGDTX năm học sau: Đề kiểm tra tiết: *Năm học 2014-2015: Chất lượng học sinh Lớp Thực nghiệm( Lớp10A với 38 học sinh) Kém 0hs Chiếm 0% Yếu TB Khá Giỏi 6hs Chiếm 15,8% 21hs Chiếm 55,3% 10hs Chiếm 26,3% 1hs Chiếm 2,6% Đối chứng( Lớp 10B với 32 học sinh) 2hs Chiếm 6,3% 17hs Chiếm 53,1% 12hs Chiếm 37,5% 1hs Chiếm 3,1% 0hs Chiếm 0% *Năm học 2015-2016: Chất lượng học sinh Lớp 10 Thực nghiệm( Lớp10 A với 38 học sinh) Đốichứng( Lớp 10B với 31học sinh) Kém 0hs Chiếm 0% Yếu TB Khá Giỏi 4hs Chiếm 10,5% 21hs Chiếm 55,3% 11hs Chiếm 28,9% 2hs Chiếm 5,3% 3hs Chiếm 9,7% 15hs Chiếm 48,4% 12hs Chiếm 38,7% 2hs Chiếm 3,2% 0hs Chiếm 0% 17 3.KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1.Kết luận Qua vấn đề trình bày sáng kiến rút số kết luận sau: 1.Trong nhiệm vụ mơn tốn trường TTGDTX với việc truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ nhiệm vụ quan trọng, sở để thực nhiệm vụ khác Để rèn luyện khả tư giải tốn, góp phần bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh cần đưa hệ thống tập đa dạng,hợp lí,được xếp từ dễ đến khó nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ phát triển tư biết áp dụng toán học vào thực tiễn Sáng kiến hướng dẫn cho học sinh phương pháp tìm lời giải toán theo bốn bước lược đồ G.Pôlya Sáng kiến đề xuất số biện pháp sư phạm phù hợp, thông qua hệ thống tập nhằm rèn luyện khả tư giải tập HH PPVT với nội dung phong phú đề cập tới hầu hết tình điển hình mà học sinh hay gặp giải tốn HH phẳng PPVT Phương hướng : Tiếp tục nâng cao vai trò tổ chức giáo viên hoạt động dạy học việc thường xuyên sử dụng phương pháp dạy học tích cực phương pháp tìm lời giải toán theo bốn bước lược đồ G.Pôlya 3.Kiến nghị đề xuất : Trong q trình giảng dạy thân ,thơng qua thực nghiệm sư phạm kinh nghiệm tơi xin nêu số kiến nghị đề xuất sau : SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BAN NGÀNH có liên quan cần tạo điều kiện sở vật chất cho nhà trường nhiều để giáo viên có điều kiện tốt thực phương pháp dạy học Vì lần đưa vấn đề mà thân áp dụng chắn cịn nhiều thiếu sót nên tơi mong nhận ý kiến đóng góp, nhận xét quý thầy cô để công việc giảng dạy ngày có kết cao Đồng thời vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu mở rộng thêm Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa,ngày 17 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết,khơng chép nội dung người khác Người viết sáng kiến kinh nghiệm: NGUYỄN THỊ HƯƠNG 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hoàng Chúng (1997), Phương pháp dạy học mơn tốn trường THPT, NXB Giáo Dục G.Polya - Sáng tạo toán học, NXB Giáo Dục – 1997 Hà Văn Chương (2006), Tuyển chọn 400 tốn Hình Học 10, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội 4.Nguyến Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (1997), Sai lầm phổ biến giải toán, NXB Giáo Dục Bùi Mai Anh (2002), Rèn luyện lực giải toán học sinh THPT, Luận Văn thạc sĩ khoa học giáo dục, Đại Học Sư Phạm I Hà Nội, Hà Nội Lê Thị Thu Hà (2007), Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh phương pháp véc tơ chương trình hình học 10, chương I+II nâng cao, Luận văn thạc sỹ Nguyễn Hải Châu, Nguyễn Thế Thạch, Kiểm tra đánh giá thường xun định kỳ mơn tốn lớp 10 (2008), NXB Giáo Dục Nguyễn Phương Anh, Hoàng Xuân Vinh (2006), Luyện tập trắc nghiệm Hình Học 10, NXB Giáo Dục Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, Đào Ngọc Nam, Lê Tất Tơn, Đặng Quan Viễn (1996), Tốn bồi dưỡng Hình Học 10, NXB Hà Nội 10 Phan Văn Các (1992), Từ điển Hán-Việt, NXB Giáo Dục 11.Sách giáo khoa sách Bài tập hình học , NXB Giáo Dục – 2006 12 Sách giáo khoa sách Bài tập hình học nâng cao, NXB Giáo Dục – 2006 13 Tài liệu chuẩn kiến thức kỹ mơn Tốn lớp 10 NXB Giáo Dục – 2011 14 Tài liệu tập huấn chun tốn hình học 10 NXB Giáo Dục – 2007 15 Bài báo internet, Tạp chí Tốn học tuổi trẻ, Tạp trí Giáo dục thời đại, SKKN đồng nghiệp 19 ... ? ?Rèn luyện tư cho học sinh thông qua việc giải tập VÉC TƠ hình học 10? ?? 1.2 Nhiệm vụ đề tài 1.2.1 Nghiên cứu phương pháp giảng dạy giải tập tốn theo hướng hình thành rèn luyện tư cho học sinh 1.2.2.Dựa... sai lầm giải tốn hình học 10 Khó khăn thứ nhất: Lần học sinhlàm quen với đối tư? ??ng véctơ, phép toán véctơ.Các phép toán véctơ lại có số tính chất tư? ?ng tự số mà học sinh học trước đó, học sinh chưa... chuẩn kiến thức kỹ hình học 10 Bộ GD-ĐT xuất phát từ thực tiễn giảng dạy phương pháp dạy học tập hình học 10 qua phương pháp dùng véc tơ, nhằm rèn luyện tư cho học sinh 1.3 Đối tư? ??ng nghiên cứu