SKKN ứng dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN *** - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHAP TỌA ĐỘ ĐỂ TÌM GIA TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Giáo viên: Tổ: Đơn vị: Đỗ Đức Thông Tốn THPT Triệu Sơn Thanh Hóa, năm 2019 PHẦN 1: MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Trong giảng dạy mơn tốn, ngồi việc giúp học sinh nắm kiến thức việc phát huy tính tích cực học sinh, biết ứng dụng phương pháp học vào giải toán điều cần thiết Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức dạng toán phổ biến quan trọng chương trình tốn phổ thơng, thường gặp đề thi tuyển sinh vào đại học- cao đẳng chuyên đề hay gặp đề thi học sinh giỏi phổ thông Các giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức đa dạng phong phú Cả lý luận thực tiễn dạy học chứng tỏ chúng có hiệu việc phát triển tư cho học sinh Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức, việc vận dụng nhìn chung phụ thuộc nhiều vào đặc thù tốn Đứng trước tốn này, học sinh phổ thơng thường lúng túng phương pháp giải, nên sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng thức Côsi hay sử dụng Bunhiacopski Các tài liệu, sách tham khảo trình bày đầy đủ vấn đề này, viết tập trung vào vấn đề: “ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ” Nói đến phương pháp toạ độ, học sinh thường hay nghĩ đến toán khảo sát hàm số, vẽ đồ thị tốn hình học giải tích mà học sinh nghĩ đến cịn ứng dụng phương pháp tọa độ để làm tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức II Mục đích nghiên cứu Xây dựng hệ thống tập theo độ khó tăng dần nhằm cung cấp cho học sinh cách ứng dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức III Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tài liệu liên quan khác,… - Phương pháp quan sát: Quan sát trình dạy học trường THPT Triệu Sơn - Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểm tra thử với lớp đối chứng IV Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm - Mục lục - Mở đầu - Nội dung - Thực nghiệm sư phạm - Tài liệu tham khảo PHẦN 2: NỢI DUNG I Cơ sở lí thuyết Sử dụng phương pháp tọa độ để chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ cần phải khai thác tốt số bất đẳng thức thường dùng bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski số bất đẳng thức vectơ, bất đẳng thức hình học sơ cấp Một số tốn thường dùng: 1) Bất đẳng thức Cơsi: Cho n số không âm a1,a2 , an ( n ³ 2) , ta ln có: a1 + a2 + + an ³ n a a a n 2n Dấu “=” xảy Û a1 = a2 = = an 2) Bất đẳng thức Bunhiacopski Cho n số a1,a2 , ,an n số b1,b2 , ,bn tùy ý, ta có: ( a12 + a22 + an )(b12 + b22 + bn ) ³ (a1b1 + a2b2 + anbn )2 Dấu “=” xảy Û a1 =a2 b b = =an b n 3) Bất đẳng thức vectơ: i) a - b £ a + b £ a + b - Dấu “=” bên trái xảy a ngược hướng với bhoặc a = b = - Dấu “=” bên phải xảy a hướng với b a = b =0 n Tổng quát: å a i =1 u r i u r Ê (n ẻ Â n * + ) i =1 ii) - a b £ a.b £ a b - Dấu “=” bên trái xảy a ngược hướng với b a = b=0 - Dấu “=” bên phải xảy a hướng với b a = AB +BC ³ AC b =0 4) Bất đẳng thức tam giác: Với điểm A, B, C ta ln có Dấu xảy A, B, C theo thứ tự thẳng hàng Tổng quát: Trong tất đường gấp khúc nối điểm A, B cho trước đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ 5) Cho điểm M nằm đường thẳng d(hoặc mặt phẳng (P)) Khi đường thẳng vng góc kẻ từ M xuống đường thẳng d(hoặc mặt phẳng (P)) ngắn đường xiên kẻ từ M xuống đường thẳng (hoặc mặt phẳng (P)) 6) GTLN hàm liên tục đạt biên 7) Trong tam giác nội tiếp đường trịn bán kính R, tam giác có chu vi lớn (có giá trị 3R ) có diện tích lớn 8) Cho DABC có ba góc nhọn điểm M tùy ý mặt phẳng ( ABC ) tổng MA + MB +MC nhỏ M nhìn cạnh AB, BC, CA góc 1200 II Bài tập Phương pháp: + Biến đổi hàm số (hoặc biểu thức) cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ dạng tọa độ để xác định vectơ, điểm, đường có tọa độ từ điều kiện biểu thức cần tìm + Chuyển tốn từ dạng đại số dạng hình học tọa độ, giải tốn phương pháp hình học từ suy kết dạng đại số Bài 1: Tìm giá trị nhỏ hàm số: f( x) = x2 - x + + x2 - Giải : Viết lại hàm số dạng: f( x) = ( x - +( ) + ( x - )2 2 Hàm xác định ¡ Xét hệ trục tọa độ Oxy r r +(1 )2 )2 +( + )2 = 2 2 Khi f( x) =| u | + | v | ³ |u + v|= Đẳng thức r xảy r - vectơ u,v ïk= ïx= ỵï Vậy minf( x) = x = -1 y 3-1 Khi đó: Theo bất đẳng thức tam giác ta có: AB= ( : f(x) ³ " x Ỵ ¡ - ) +(- - ) 2 x C0 B = Nên Vậy f( x)min =2 C giao điểm AB trục Ox, từ x = Bình luận: O C 2 A A( , ); B( ,- );C( x,0) AC = ( x - )2 +( )2 CB = ( x )2 +( )2 2 2 Nên ta có: f(x) = AC + BC AC +BC ³ hướng hay: ì u = kv( k > 0) Û í Cách 2: Gọi )2 ;2 ) Cách 1: Chọn u = ( - x + ; ) , v = ( x r r |u + v|= ( - ¡ 3x + với x Ỵ 3-1 - Nếu áp dụng phương pháp hàm số việc xét biến thiên gặp khó khăn để tìm nghiệm phương trình f '( x ) dẫn tới việc giải phương trình bậc - Về cách chọn điểm chọn vectơ 1: + Cách 1: Việc chọn vectơ u,v cần phải khéo léo để cho AC, BC |u +v| số đồng thời dấu “=” phải xảy + Cách 2: Câu hỏi đặt lại chọn cặp điểm 3 mà cặp điểm khác, biểu thức A(2, ); B( ,- ) 3 tính khoảng cách AC, BC khơng đổi Ta chọn A( , ) ; B( , ) có f(x) = AC + BC Lúc A B nằm phía so với trục Ox Khi để tìm giá trị nhỏ AC + BC toán dài cách lấy điểm B’ đối xứng với B qua Ox, tức B'( ,- ) M giao điểm AB ' trục Ox Nên ta chọn điểm B( ,- ) - Mở rộng toán: + Thứ nhất: liệu hệ số biểu thức có phải khơng? Nếu thay x - x + biểu thức x2 - x hay x2 - x - sao? Trả lời: Do áp dụng cơng thức khoảng cách độ dài vectơ nên biểu thức dấu phải dương + Thứ hai: Hệ số x2 hai biểu thức hàm số có thiết phải khơng? Nếu khơng sao? Ví dụ: f( x) = x2 - x + + 2x2 - x +1 Trả lời: Do áp dụng: “Trong tất đường gấp khúc nối điểm A, B cho trước đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất” cần khoảng cách điểm đầu cuối không đổi, nên cặp điểm A, B phải có dạng A( m;n),B( p;q) A( x +m;n), B( x +n;q) A(m;y + n),B( p;y +q) A( x;y), B( x + m;y +q) (trong m, n, p, q giá trị không đổi) Và với điểm C thay đổi áp dụng cơng thức khoảng cách để tính ta ln hệ số x2 + Thứ ba: Khi thay hàm số f( x) = x2 - x + 1- x2 - 3x +1 đạt giá trị lớn nhỏ hay không? Trả lời: Do cách chọn điểm mà hàm số f( x) đạt giá trị lớn Nếu muốn tìm tìm giá trị lớn hàm số ta chọn 3 A( , ) ; B( , ) cho phía so với trục Ox ta có f(x) = AC - BC £ AB Từ ta tìm giá trị lớn hàm số p + q = ( p = q = 0) f (x) = x Û f( x)min = x =0 f( x) = x2 - x + - x2 - 3x +1 + Thứ tư: Ta tìm thêm giá trị lớn hàm số khơng? Trả lời: Nếu giới hạn giá trị biến x lại tập D ta tìm giá trị lớn hàm số Các vấn đề áp dụng trình bày qua tốn Bài 2: Tìm giá trị lớn hàm số: f( x) = x2 - 2px + 2p2 + x2 - 2qx +2q2 (p, q hai số cho trước) Giải : y Xét p +q > : A y=|p| Trên mặt phẳng toạ độ Oxy xét điểm A( x - p; p) vàB( x - q; - q) ) Khi đó: f ( x ) = ( x - p)2 + p + ( x - q)2 + q O x =OA +OB Rõ ràng có: OA + OB AB p + q)2 khơng đổi Mà AB = ( p- q)2 +( B y= -|q| với vị trí A B ( ) Vậy ta ln có f x ³ ( p- q)2 +( p +q)2 (1) Dấu “=” xảy Û A, O, B theo thứ tự thẳng hàng Ta có: OA = ( x - p; p); BO = (q- x; q) Khi A, O, B theo thứ tự thẳng hàng Û x- p = p Ûx= qp +p q q- x q p + q Do độ dài đoạn AB khơng đổi với vị trí A, B nờn ta cú: ổ fỗ ố qp+pq + p q ÷= AB = ( p- q)2 +( p + q)2 ø Xét Lúc (3) Tóm lại, với trường hợp ta có: f( x)min = ( p- q)2 +( p + q)2 (2) M( x; x),A( 1;0),B( - ; - ),C( ;-2 ) Khi đó: f( x) = MA + MB +MC Nên f( x) nhỏ M nhìn cạnh AB, AC, BC tam giác ABC góc 1200 Dễ thấy tam giác ABC đều, tâm O nên đề f( x) nhỏ M º O hay x = Và ta f ( x )min f ( ) Bất đẳng thức cho chứng minh Chứng minh tốn phụ: Cho DABC có ba góc nhọn điểm M tùy ý nằm mặt phẳng ( ABC ) tổng MA + MB +MC nhỏ M nhìn cạnh AB, BC, CA góc 1200 Hướng dẫn: P Xét phép quay tâm A góc quay 600: - Biến điểm M thành điểm N A - Biến điểm C thành điểm P Khi đó, theo tính chất phép N quay góc quay 600 ta được: AM = MN; CM = NP Vậy tổng MA + MB + MC nhỏ M Û tổng (BM + MN + NP) nhỏ Û B, M, N, P thẳng hàng C Nói riêng, B, M, N thẳng hàng mà B · · AMN = 600 nên AMB = 1200 Tương · · tự ta BMC = CMA = 1200 Từ ta điều phải chứng minh Bài 7: Tìm giá trị nhỏ hàm số: f( x; y) = ( x + 1) +( y - 1) + ( x - 1) +( y + 1) + ( x + 2) +( y +2)2 Trong x, y số thực (Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 1998) Phân tích: Trong hàm số f( x; y) xuất bậc hai, gợi nghĩ đến công thức khoảng cách hai điểm Giải: Xét điểm A ( - 1,1) ; B ( 1, - 1) ;C ( - 2, - 2) điểm M ( x;y) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Ta có: MA = ( x + 1) +( y - 1)2 y MB = ( x - 1) +( y + 1)2 MC = ( x + 2) +( y +2) Suy f ( x; y) = MA + MB +MC Nên hàm số f( x; y) đạt giá trị nhỏ tổng MA + MB +MC đạt giá trị nhỏ A(-1;1) -2 O -1 M x -1 C(-2;-2) -2 B(1;-1) M nhìn cạnh AB, AC, BC tam giác ABC góc 1200 Với ý VABC cân C nên Ta tính f( x; y) : M Ỵ [OC] · Xét tam giác vng OMA có AMO = 60 , OA = Khi x =y M Suy f( - OA nên OM = tan600 = =OM = Tức x = y = M ) = +2 1,3 Vậy f(x; y) = +2 2 P = a 1+ b + b 1+a Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn u =(a;b) v = ( 1+ b; 1+a) a2 + b2 = 1; v = Khi ta u = 2+a+b Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: = (1+ 1)(a2 + b2 ) ³ (a +b)2 ta được: v £ + u v £ Từ suy ra:P = a 1+ b + b 1+ a = u.v £ ì a = ï ï Dấu “=” xảy Û í ï ï +b ỵï b a=b + a=b a+b=1 Kết hợp với điều kiện ban đầu Vậy P = + a = b = 2+ 2 ta a=b=2 2 Bài 9: Cho x, y, z ba số dương x + y + z £ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= r r x +x 2 + y +y Giải: 1 u r Gọi u =( x; ) , v =(y; ) , w =( z; ) x y z r r ur 1 + + ) Khi u + v + w = ( x + y + z; x y z 2 + z +z2 r = x2 + r = y2 + Ta có: u , v x2 Khi A = x + x + r r ur = z2 + , w y z2 y + y2 + z r r ur +z2 =u + v + w u 1 r Và u + v + w = ( x + y + z) +( x + y +z ) 1 81( x + y + z) +( x + y + z) - 80( x + y +z)2 = Áp dụng bất đẳng thức Côsi, kết hợp x + y + z £ ta được: é ê 81( x + y + z) ê +( + ù + 2ú ) - 80( x + y + z) ú y z ë û ³ 81( x +y +z)( +1 +1 ) - 80.1³ 2.9.3 xyz 3 - 80 =162- 80 =82 x xy y z z Áp dụng bất đẳng thức u +v + w ³ u + v + w ta A 82 x Dấu “=” xảy vectơ u,v,w hướng x + y + z = hay: r r ur ì ï u = kv = lw ( k >0;l í ï ì ì ï x = ky = lz k l Û í Ûí ïx ï = = y z îï ïî ï ï x +y +z = l = ï ï ỵï Vậy Amin = ïk >0) ï = ïx=y=z 82 đạt x y z Bình luận: Đây dạng đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A, năm 2003 Bài 10: Cho số thực dương a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= a2 +2b2 + b2 +2c2 + c2 +2a2 ab bc ca Giải: Ta có a2 +2b2 + b2 +2c2 ab Û + b2 + c2 +2a2 b c + +2 + c2 a2 Khi ta có ³ ca +2 ³ a2 c2 r ỉ ỉ ur ỉ 2ư r ;v= ; ; w = 1; Trong hệ trục tọa độ Oxy, xét ba vectơ u = ; a÷ bữ ỗb ỗc ỗa r a + b2 2b r è b + ø 2c ur è c ø + 2a è ö c ÷ø r r ur ỉ 1 2 r r ur ỉ 1 ç a +b +c ÷ = u + v + w = a +b +c ; a + b + c ;| u + v + w |= è ứ ỗ ữ 1 ử2 ố ứ Vì ab + bc + ca = abc Û a + b + c = Áp dụng bất đẳng thức | u | + | v | + | w |³ | u + v + w | ta được: P ³ Vì ba vectơ ta xét khác vectơ nên dấu “=” xảy vectơ u,v,w hướng ab + bc + ca = abc ì =k = l c a ïï b ï k l Ûí = = b c ïa ï ï ì hay í >0) ï u = kv = lw( k > 0;l ì ï1 ï ab + bc + ca = abc ỵï ï ï ï ï ï ỵï + + b a Ûí ï ïk=l=1 ïa=b=c=3 ỵ =1 c Vậy Pmin a b c Bình luận: Đây dạng đề thi đại học Quốc Gia Hà Nội, năm 2000 Bài 11: Tìm giá trị nhỏ hàm số: 2x +2+ f( x) = 16 32 2 x - x + + x - 4x +10 + Giải: Ta có: f( x) = 16 ( x +2 2 + ( x - ) +( ) + ( x - 2) x - 5x+ 42 + + ( x - ) +( ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét vectơ: r Ta có: |a |= r |c |= Khi đó: x r r 16 r r a(x, 2); b(x- , ); c(4-x, 2); d( -x, ) r 16 82 +2; ( x - 2) f( x) = ³ r |b|= ( x - ) + ;|d |= uur r +( 5) ( x - ) +( ) r uuur ( |a | + |b| + |c | +|d | ) r r r r 1 ( |a + c | + |b+ d |) = 2 ( +4) =4+2 Dấu xảy a , c hướng b, d hướng, tức là: ì ï x = k( - x) ï ï ì íï r ï ï ï a = kc ï = 2k ï r Û í ï ï ï ï ï =l=1 ïk = l( - x) ïx- b = ld ỵï ì Ûí 16 ïx=2 ï î 8l = îï x = Vậy f( x)min = + n n Bài 12: Cho xi, yj (i = 1,2, , n) 2n số thực thoả mãn: å xi + å yi = i=1 i=1 n Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = å i=1 Giải : Xét mặt phẳng tọa độ Oxy: ö Gọi Mk điểm có toạ độ k= 1, 2, , n Núi riờng im Mn ổn ỗ n x å n +å i i=1 ; å xi y x ; å i å yi ÷ å y i i=1 èi =1 ö i=1 èi =1 =1 n xi +yi y k M k ổk ỗ ữ, ø Mn H Mk Mn-1 Mk-1 thỏa mãn x+y=1 M1 O ø nên Mn nằm đường i i=1 thẳng x + y = Dễ thấy: M M k- = k k- æk x å ổk y x -ồ i ữ +ồ i ỗ i=1 ối =1 Mn H ử2 k- i ỗ ứ èi =1 ư2 y -å i ÷ i=1 = x2 +y2 (k= 1, 2, , n) k k ø Từ ta được: P = OM1 + M1M2 + M2M3 + + Mn- 1Mn Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng x + y = 1, OH= 2 Khi ta ln có: OM1 + M1M2 + + Mn- 1Mn ³ OH, hay P ³ 2 Dấu “=” xảy Û O, M1, M2, , Mn theo thứ tự thẳng hàng Mn º H Û y x1 = y = = x2xn y n = tan 450 = Û x1=x2 = = xn=y1 = y2 = = yn = 2n 1 x Vậy Pmin = Û x1=x2 = = xn=y1 = y2 = = yn = 2n Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: f( x;y) = x2 +y2 Trên miền D = {( x;y) \ x - 2y + ³ 0;x + y + ³ 0;2x - y + £ 0} Giải: Miền D miền VABC tính biên y Với A(0; 4) , B( - 4;2), C( - 2;0) Gọi M( x;y) Ỵ D x - 2y +8 = M nằm A VABC (cả biên) Ta có OM = x2 +y2 Suy ra: B f(x; y) = OM ³ OH H H chân đường cao hạ từ O xuống AC OH = d(O,AC ) = 2.0- 0+4 -4 = 45 x = - x 2x - y + = x+y+2=0 f(x;y) £ max(OA; OB; OC)=max(4; Vậy: f( x;y) CO =45 22 +12 x = - 4; y = ;y= 20;2) = 20 MºB hay Bài 14: Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = c2 + d2 = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = - a - 2b + - c - 2d + - ac - bd Giải: Nếu gọi M(a;b),N(c;d),P(1;2) từ điều kiện a2 + b2 = c2 + d2 = ta thấy M ,N ,P điểm nằm đường trịn tâm O bán kính Và vế trái bất đẳng thức viết dạng: + a2 + b2 - a - 2b + +c2 + d2 - c - 2d + 2 2 2 = (a - 1) +(b- 2) + (c - 1)2 +(d - 2)2 + ( a2 + b2 + c2 + d2 - 2ac - 2bd (a - c)2 +(b- d)2 ) = y (MP +NP +MN ) P Vế trái giá trị chu vi tam giác MNP Sử dụng tính chất: “Trong tam giác nội tiếp đường trịn, tam giác có chu vi diện tích lớn nhất” Nên vế trái đạt giá trị lớn M(a;b) O 2 -2+ 23; 3),N(- 1+2 ;- 2- 3) 2 2 3 -2+ -1+23 Tức là: a = - ,b = ,c = ,d = - 2 2 30 ,c = Vậy Pm ax - + ,d = a = - - ,b = - + Dấu “=” xảy M( 2 2 Bài 15: Cho a,b,c,d bốn số thực thỏa mãn điều kiện sau: ì 2 ï a + b + = 2( a + b) ïí c2 + d + 73 = 14( c + d) ï ì í ỵï - 7) ( d + - 7) N O2 Giải: ( a - 1) +(b - 1) = ï (c H Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Từ điều kiện ta có -2- y ỵï P = ( a - c) +(b - d)2 x N(c;d) tam giác MNP nội tiếp đường trịn bán kính Khi ta chu vi tam giác MNP 15 30 - c - 2d + - ac - bd £ Vậy: - a - 2b + 15= -1- = F 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ta xét E G O1 M O điểm M( a;b),N( c;d) , từ điều kiện ta thấy M ,N hai điểm nằm hai đường trịn tâm O1( 1;1) bán kính đường trịn tâm O2(7;7) bán kính Và ta có: MN = (a - c) +(b - d)2 Nối O1 với O2 cắt đường tròn bé G, E cắt đường tròn lớn F, H Khi tính tọa độ điểm: x G(1- ;1 - ),E(1+ ;1 + ) 2 2 F(7 - ;7 - ),H(7 + ;7 + ) 2 2 Ta có O1O2 £ O1M + MN +O2N Û O1E +EF +FO2 £ O1M +MN +O2N (1) (2) Û EF £ MN (do O1E = O1M ,FO2 =O2N ) Và MN £ O1M +O1O2 +O2N =GO1 +O1O2 +O2H =GH Từ (1) (2) suy raEF £ MN £ GH nên ta có EF £ MN £ GH Lại có EF = 2(6 - 2) = 36( - 2) ; GH2 = 2(6 +3 2)2 =36(3 +2 2) Từ ta được: 36(3- 2) £ P £ 36(3+2 2) Dấu “=” vế trái xảy M º E ,N º F hay a=b=7- 2 ,c = d = 1+ Dấu “=” vế phải xảy M º G,N º H hay a=b=1- ,c = d = + 52 III Bài tập áp dụng Xin đưa số tập áp dụng phương pháp tọa độ để q thầy tham khảo, tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ số tốn bất đẳng thức Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: f( x) = x2 - 2x + + x2 + 4x + - 1£ x £ Bài 2: Cho a, b, c > a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a2 + ab + b2 + b2 + bc + c2 + c2 + ca + a2 Bài 3: Tìm giá trị lớn hàm số: y = f( x) = x2 - 4x + 29 - x2 - 4x + ¡ Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y = f( x) = x + - - x miền D = { x \ - £ x £ 4} Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y = f( x) = x + + - x miền D = { x \ - £ x £ 4} Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: f( x) = + x + - x - ( + x)(6 - x) miền D = Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: { x \ - £ x £ 6} f( x) = x + x - x2 miền Bài 8: Cho hàm số f( x) = Asinx + B cosx D = { x \ £ x £ 1} (A2 +B2 ¹ 0) a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số b) Chứng minh cos3x + acos3x + £ 1+ 1+3a2 2cos3x " x,a Ỵ ¡ Bài 9: Tìm giá trị lớn biểu thức A = f( x,y) = x2 + y2 + 2x + 12y + 37 + x2 + y2 - 6x + 6y +18 Bài 10: Tìm giá trị lớn hàm số f( x) = ( x + 6)2 + 100 + ( x + 1)2 +4 PHẦN 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Mục đích thực nghiệm Mục đích thực nghiệm để kiểm chứng khả ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải số tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức toán chứng minh bất đẳng thức Tổ chức thực nghiệm 2.1 Hình thức thực nghiệm Tổ chức dạy học theo chuyên đề biên soạn theo phần nội dung đề cập phần nội dung (phần II) Sau cho học sinh làm thực nghiệm, đối chiếu kết thực nghiệm 2.2 Đối tượng thực nghiệm Chọn lớp thử nghiệm: Chọn 20 em học sinh lớp 10C (gọi nhóm 1) 20 em học sinh lớp 10C (gọi nhóm 2) năm học 2018- 2019 trường THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa Trong nhóm nhóm thực nghiệm nhóm nhóm đối chứng Chọn học sinh hai nhóm có lực học tốn tương đương Nội dung thực nghiệm Dạy thực nghiệm bao gồm nội dung: + Ứng dụng phương pháp tọa độ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ + Ứng dụng phương pháp tọa độ chứng minh bất đẳng thức Đánh giá kết thực nghiệm 4.1 Đề kiểm tra Phát phiếu kiểm tra khả giải tập học sinh, thời gian làm 30’: A Phiếu Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y = f( x) = x + + - x miền D = Bài 2: Cho x,y , chứng minh rẳng: { x \ - £ x £ 4} cos x.cos y sin ( x y ) sin x.sin y sin 2( x y ) B Phiếu Bài 1: Cho số thực bất kì, chứng minh rằng: 17 cos cos cos 2 cos Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: 5x +2 D = f( x) = x2 + x + + x2 - 11 { x \ - £ x £ 4} - Nhận xét: Trong phiếu tập làm theo số cách khác Phiếu số tăng độ khó yêu cầu cao phiếu số Kết kiểm tra a) Kết kiểm tra theo phiếu học tập số 1: Lớp Điểm 10 Số Nhóm Nhóm thực nghiệm Nhóm 2 Nhóm đối chứng - Điểm trung bình: 0 20 4 0 20 Số k nx nx x Trong đó: 1 n nx n x 2 i k k i i1 n n n k xi : điểm kiểm tra ni : tần số giá trị xi n: số học sinh tham gia ( n 20 ) Kết thu được: xTN 6,95 xDC 5,00 b) Kết kiểm tra theo phiếu học tập số 2: Điểm Lớp Nhóm Nhóm thực nghiệm Nhóm Nhóm đối chứng - Điểm trung bình: xTN 5,85 xDC 4,15 10 4 2 20 2 0 20 Kết kuận Dựa kết thực nghiệm thấy kết nhóm thực nghiệm cao lớp đối chứng Số học sinh đạt điểm cao nhóm thực nghiệm vượt trội so với nhóm đối chứng Trong thực tế giảng dạy thấy phương pháp dạy cho học sinh lớp 10, học xong phần bất đẳng thức (phần đại số) phương pháp tọa độ mặt phẳng mức độ PHẦN 4: KẾT LUẬN VÀÀ̀ ĐỀ XUẤẤ́T Thực mục đích đề tài, giải số vấn đề sau: Học sinh biết áp dụng điều giới thiệu để áp dụng vào giải số tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức chứng minh bất đẳng thức: Học sinh trung bình trở lên nắm vững phương pháp biết vận dụng dạng tập bản; số đề thi đại học thi học sinh giỏi học sinh giỏi sử dụng phương pháp để giải tốn Ngồi ứng dụng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức chứng minh bất đẳng thức ra, phương pháp tọa độ cịn có nhiều áp dụng nữa: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình… Tơi khuyến khích em nhà tìm tịi thêm Thực nghiệm cho thấy: kết ứng dụng phương pháp tương đối khả quan Học sinh tiếp thu trình bày chặt chẽ Thực tế áp dụng cho thấy, học sinh hào hứng tiếp thu vận dụng ý tưởng đề tài, học sinh khơng cịn sợ tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức hay toán chứng minh bất đẳng thức Có thể, có cách giải chưa thật ngắn gọn, xúc tích tơi ln trân trọng mà em làm Khuyến khích, động viên em tìm tịi cách làm ngắn gọn, hay Khơng phải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức đưa dùng phương pháp tọa độ Ngoài phương pháp tọa độ nêu cịn nhiều kĩ thuật, phương pháp để giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức nói riêng dạng tốn nói chung Thơng qua sáng kiến kinh nghiệm này, mong muốn đóng góp phần nhỏ bé cơng sức việc hướng dẫn học sinh ứng dụng khai thác phương pháp tọa độ cách hiệu làm toán, rèn luyện tính tích cực, phát triển tư sáng tạo cho học sinh, gây hứng thú cho em học tốn Qua nội dung đề tài, tơi mong muốn có tìm hiểu sâu tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức hay toán chứng minh bất đẳng thức muốn nghiên cứu mối quan hệ “Giải tích” “Hình học” Tuy nhiên, thời gian có hạn, trình độ thân cịn hạn chế, nên tơi mong đóng góp bổ sung Hội đồng khoa học cấp bạn đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm tơi hồn chỉnh hơn, đồng thời giúp đỡ tiến giảng dạy Tôi xin trân trọng cảm ơn! TÀÀ̀I LIỆU THAM KHẢO [1] Tuyển tập 200 tốn vơ địch – Tập 3: Giải tích; PGS TS Nguyễn Quý Dy; ThS.Nguyễn Văn Nho; TS Vũ Văn Thỏa NXB Giáo dục năm 2001 [2] Căn số tốn vơ tỉ; Hồng Kỳ NXB Giáo dục năm 2001 [3] Đại số sơ cấp; Hoàng Kỳ, Nguyễn Văn Bàng, Nguyễn Đức Thuần NXB Giáo dục năm 1979 [4] Sai lầm phổ biến giải toán; Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang NXB Giáo dục năm 1997 [5] Giới thiệu thi chọn học sinh giỏi Tốn PTTH tồn quốc; Lê Hải Châu NXB trẻ năm 2001 [6] Tuyển chọn theo chuyên đề “Toán học& Tuổi trẻ”- Quyển 1- NXB Giáo Dục Việt Nam năm 2009 [7] Chun đề tốn hình học tọa độ phẳng không gian, PGS TS Nguyễn Văn Lộc, NXB Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 2009 MỤC LỤC Phần Phần Phần Phần Mở đầu Nội dung I Cơ sở lí thuyết II Bài tập III Bài tập áp dụng 26 Thực nghiệm sư phạm 30 Kết luận đề xuất……………… ……….……………… 33 Tài liệu tham khảo ... phải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức đưa dùng phương pháp tọa độ Ngoài phương pháp tọa độ nêu cịn nhiều kĩ thuật, phương pháp để giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức... III Bài tập áp dụng Xin đưa số tập áp dụng phương pháp tọa độ để quý thầy cô tham khảo, tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ số toán bất đẳng thức Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: f( x) = x2... Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y = f( x) = x + + - x miền D = { x - £ x £ 4} Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: f( x) = + x + - x - ( + x)(6 - x) miền D = Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất,