Nguyên Hàm NC12

10/14/13 1 CHƯƠNG III CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ỨNG DỤNG Bài 1: NGUYÊN HÀM 10/14/13 2 1./ Khái niệm nguyên hàm 1./ Khái niệm nguyên hàm Bài 1: NGUYÊN HÀM Bài 1: NGUYÊN HÀM 2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp 2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp 3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm 3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm 10/14/13 3 VD: Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu a) f(x) = 2x b) f(x) = cosx Giải : a)Ta có nên F(x) = b) Ta thấy nên F(x) = sinx khi đó ta nói F(x) là nguyên hàm của f(x) khi đó ta nói F(x) là nguyên hàm của f(x) xx 2)( '2 = 2 x xx cos)(sin ' = 1./ Khái niệm nguyên hàm 1./ Khái niệm nguyên hàm 10/14/13 4 Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hay đoạn hay nửa khoảng. Cho hàm số f(x) xác định trên K . Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Câu hỏi : 1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số nào ? 2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số nào ? Trả lời : 1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số y= 2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số y = x 2 cos 1 10ln 1 x 1./ Khái niệm nguyên hàm 1./ Khái niệm nguyên hàm 10/14/13 5 Chú ý: Chú ý: • Trong trường hợp K = [a;b], các đẳng thức F’(a) = f(a), F’(b) = f(b) được hiểu là hay • Cho hai hàm số f và F liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu F là nguyên hàm của f trên (a;b) thì có thể chứng minh được rằng F’(a) = f(a) và F’(b) = f(b) Do đó F cũng là nguyên hàm của f trên đoạn [a;b]. )( )()( lim af ax aFxF ax = − − + → )( )()( lim bf bx bFxF bx = − − − → 1./ Khái niệm nguyên hàm 1./ Khái niệm nguyên hàm 10/14/13 6 ĐỊNH LÝ 1 ĐỊNH LÝ 1 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K. Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G(x) của hàm số f trên cũng tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K. 1./ Khái niệm nguyên hàm 1./ Khái niệm nguyên hàm 10/14/13 7 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì họ nguyên hàm của f(x) là F(x) + C và kí hiệu là trong đó f(x)dx là vi phân của F(x). Ký hiệu trên còn dùng chỉ một nguyên hàm bất kỳ của hàm số f f ( x )dx F( x ) C ,C .= + ∈ ∫ ¡ 1./ Khái niệm nguyên hàm 1./ Khái niệm nguyên hàm ( f ( x )dx )' f ( x )= ∫ Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 10/14/13 8 2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp 2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp Cdx = ∫ 0 Cxdxdx ∫∫ +== 1 Cxdx x += ∫ ln 1 )1( 1 1 −≠+ + = + ∫ α α α α C x dxx 10/14/13 9 cos( kx b ) sin( kx b )dx C ,k 0. k + + = − + ≠ ∫ x x a a dx C( 0 1 ) ln a α = + < ≠ ∫ kx kx e e dx C k = + ∫ sin( kx b ) cos( kx b )dx C k + + = + ∫ 2 1 dx tan x C cos x = + ∫ 2 1 dx cot x C sin x = − + ∫ 2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp 2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp 10/14/13 10 [f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx af ( x )dx a f ( x )dx + = + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Định lý 2: Nếu f,g là hai hàm số liên tục trên K , với a là số thực khác 0 thì: f ( x )dx ' f ( x ) f ( t )dt F ( t ) C f [u( x )]u'( x )dx F [u( x )] C f ( u )du F ( u ) C [ ] = = + ⇒ = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ 3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm 3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm Chú ý: [...]... C ∫ 2 x D ∫ xdx = +C 2 C 10/14/13 12 Ví dụ 1: tìm nguyên hàm của hàm số: f(x)= Giải x + 3 3x + 3 5x 1 3 1 2 f ( x) = x + 3 3 x + 3 5 x = x + (3 x) + (5 x) ∫ f ( x)dx = ∫ [ x 3 2 1 2 1 3 1 3 + (3 x) + (5 x) ]dx 1 3 4 3 1 3 4 3 2x 3 3 = +3 ⋅ x +5 ⋅ x +C 3 4 4 3 4 3 2 3 3 3 4 5 3 4 = x + ⋅ x + 3⋅ ⋅ x +C 3 4 4 10/14/13 13 1 3 Ví dụ 2: tìm nguyên hàm của hàm số: f( x)=(3 +2 ) x Giải x 2 f ( x) = (3 + 2 )... 10/14/13 x 2 x x 2 x x x 9 6 4 f ( x)dx = + 2 + +C ln 9 ln 6 ln 4 14 x x 2 Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số: sin x − 2 f( x)= 2 3 sin x 3 Giải sin x − 2 sin x 2  1  f ( x) = = −  2  2 3 sin x 3 3  sin x  3 Vậy 2  1 2  sin x ∫  3 − 3 sin 2 x dx = − 3 cos x + 3 cot x + C   10/14/13 15 Ví dụ 3: tìm nguyên hàm của hàm số: x x f ( x ) = 8 sin − 6 sin 3 3 Giải x 3 x f ( x) = 8 sin − 6 sin 3 3 3 Vậy... 2 + C ] 5 1 x −1 = ln +C 10/14/13 18 5 x + 3/ 2 Ví dụ 5: tìm nguyên hàm của hàm số: f( x)= Giải 1 2 + sin x − cos x 1 1 f ( x) = = π 2 + sin x − cos x 2 − 2 cos( x + ) 4 1 1 = = π π 2 x 2[1 − cos( x + )] 2 2 sin ( + ) 4 2 8 Vậy ∫ 10/14/13 dx −1 x π f ( x)dx = ∫ 2 x π = 2 cot( 2 + 8 ) + C 2 2 sin ( + ) 2 8 1 19 Ví dụ 6: tìm nguyên hàm của hàm số: f( x)= e +e x Giải −x x 2 − 2dx −x 2 2 x 2 f ( x) = e... + C 10/14/13 16 Bảng các nguyên hàm mở rộng ∀a ≠ 0 1 ∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C dx 1 ∫ ax + b = a ln ax + b + C 1 ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C 1 1 ∫ cos 2 (ax + b) dx = a tan(ax + b) + C ∫e ax + b 1 ax +b dx = e +C a 1 (ax + b)α +1 (ax + b)α dx = ⋅ + C (α ≠ −1) ∫ a α +1 1 1 ∫ sin 2 (ax + b) dx = − a cot(ax + b) + C 10/14/13 17 Ví dụ 4: tìm nguyên hàm của hàm số: Giải 1 f(x)= 2 x2... = e − e ⇒ ∫ f ( x)dx = ∫ (e − e )dx = 2(e + e ) + C Xét x 2 e −e x 2 f ( x) = − e + e 10/14/13 −x 2 −x 2 . NGUYÊN HÀM Bài 1: NGUYÊN HÀM 2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp 2./ Nguyên hàm của một số hàm thường gặp 3./ Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm. hàm của hàm số nào ? 2. Hàm số y = logx là nguyên hàm của hàm số nào ? Trả lời : 1. Hàm số y = tanx là nguyên hàm của hàm số y= 2. Hàm số y = logx là nguyên