Mẫu bài tập nguyên hàm

Gi ải tích 12 Chương trình chuẩn

1

I = ( )m

ax b dx+

∫ Đặt t = ax + b =>dt = adx => dx = dt

1) 1 2x dx∫ +

2 I = ∫ (ax n+b x dx)p n− 1 Đặt t = axn + b => dt = anxn – 1dx

=> x dx n 1 dt

na

( 3 )4 2 2) ) 2a ∫ x +1 x dx

b) 3( 4 )5

∫

c)∫e x22xdx; d)

3

2

x dx

x+

∫

e) ( 2 )3 2

5

1

x x− dx

∫

g)

4

ln x

dx x

∫ ; h)∫e3cosxsinxdx

3

I = 1 dx

ax b+

∫ Đặt t= ax b+ ⇒ =t2 ax b+ => 2tdt = adx

=> dx = 2tdt

a

3)a) 1

3x+1dx

2

1 2

x+ dx

∫

4

I = ∫a px q+ dx.Đặt t = px + q => dt = pdx => dx dt

p

5 e ax b+ dx

∫ Đặt t = ax + b => dt = adx => dx = dt

ln 2 3

0

1

x x

e dx e

+

∫

6 I = sin∫ m xcosxdx.Đặt t = sinx => dt = cosxdx => cosxdx = dt 6)∫sin2xcosxdx

7 I = cosm sin

∫ Đặt t = cosx => dt = -sinxdx => sinxdx = -dt

7)2 3 0 cos xsinxdx

π

∫

sin 2

a

2

x

∫

CÁC DẠNG CƠ BẢN VỀ NGUYÊN HÀM

Gi ải tích 12 Chương trình chuẩn

sin 2

a

2

1

cos

x

2 tan 3

x dx

∫

2

1

sin

x

tanx+cotx dx

∫

1

2 1

2 1

2

12)a) cos3 cos∫ x xdx

b) sin 2 cos3∫ x xdx

c) sin 2 sin 7∫ x xdx

13 I =∫ (ax b+ )sinmxdx.Đặt:

1

du adx

u ax b

m

=



−

13)∫xsin 2xdx

14 I =∫ (ax b+ )cosmxdx.Đặt:

1

du adx

u ax b

m

=



14)4( ) 0

1 x cosxdx

π

−

∫

I =∫ ax b e dx+ Đặt:

1 mx mx

du adx

u ax b

dv e dx

m

=



⇒

15) ( 2) 3

x x e dx

∫

Gi ải tích 12 Chương trình chuẩn

16 I =∫ (ax b+ )lnxdx.Đặt:

1 ln

2

 =



=



16) 2 1 ln

e

∫

17 I =∫sin(ax b dx+ ) Đặt t = ax + b=> dt = adx => dx = dt

0

sin

4 x dx

π

π

∫

18 I =∫cos(ax b dx+ ) Đặt t = ax + b=> dt = adx => dx = dt

a 18) cos 3 2x dx

π

∫

19

tan

cos

ax b

ax b

+

+

t = cos(ax+b) => dt = - asin(ax+b)dx => sin(ax b dx) dt

a

−

19) 2 tan xdx∫

20

cot

sin

ax b

ax b

+

+

t = sin(ax+b) => dt = acos(ax+b)dx => cos(ax b dx) dt

a

20) cot xdx∫

21

I = dx

ax b+

∫ Đặt t = ax+ b => dt = adx => dx = dt

a

=> I = 1 dt 1lnt C 1ln ax b C

21)a)

2 1

dx x

− +

7

6 5

dx

x−

∫

22

1

1

dx

Đặt t = ax + b => dt = adx => dx = dt

a

I =

1

1

m m

m m

− +

−

−

22) ( )4

1 2

dx x

−

∫

Gi ải tích 12 Chương trình chuẩn

23

(x a x b dx) ( ) = (x a x b) (1 )dx

ln x b ln x a C ln x b C

+

23)a) 2

4

dx

x −

b) ( ) ( )

1

1

2

2 3 dx

c) 0

2

dx

24

2

2ax b

+

=

+ +

∫ Đặt t = ax2 + bx + c => dt = (2ax+b)dx

=> I = dt lnt C ln ax2 bx c C

∫

24)a) 22 1

1

x dx

+ + +

b) 2 1

2 2

x

dx

+

∫

25 Nguyên hàm có chứa 2 2

a −x , đặt x = asint => dx = acostdt (Lưu ý: sin2x + cos2x = 1 <=> 1 – sin2x = cos2x ) 25)a)

1

2

0

1 x dx−

1 2

2

0 1

dx x

−

∫

26

Nguyên hàm có chứa 21 2

a +x .

Đặt: x = atant => dx = a 12

cos t

 dt = a(1 + tan

2t)dt (Lưu ý: 2

2

1

1 tan

cos

t

t

26)a) 1

2 0

1

1+x dx

∫

b)

( )

1

3 2

3 1

dx x

BÀI TẬP ÔN TẬP

1)Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = xcos2x ; b) f(x) = (e3x – 1)e3x ; c) f(x) = xsinxcosx; d) f(x) = 1

2 5x− ;

e) f(x) = cos2

2

x

+ tan2x; f) f(x) =

2

1 x

x

+

2) Tìm nguyên hàm F(x) của các hàm số:

a) f(x) = 3x2 – 1

x + 4e

x biết F(0) = 1 ; b) f(x) = sin2xcos3x + 3tan2x biết F(π) = 0

3) Tìm:

a) ( )5

1 3x dx−

∫ ; b) ∫sin4xcosxdx; c) ∫cos2xsinxdx; d) ∫ (1 2 sin− x) xdx;

e) ∫ (1−x e dx2) 2x ; f) 2

16

dx

x −

1

2 0

1

2 2

x

dx

+

1 3

1 2

x dx x

4) Tính:

a)

2

3

1

1

x

dx

x

−

2

2 cos 2 cos 7x xdx

π

π

1

e

dx

0

2

2 xdx

−

−

e) 2cos

4 x dx

π

π

0

1

x x− dx

3

0

2 x dx−

∫ ; h)

5

3

2 x dx−

∫ ; k)

0

1

2 x dx

−

−

Gi ải tích 12 Chương trình chuẩn

l) 4

0

cos

π

ln 2 2

0

1

x x

e dx e

+

1

2

dx

x + x+

0 sin 2 cos 4x xdx

π

2

0

2 1

x dx x

− +

∫

5) Tính:

a) 3

1

2

0

.3

x

e x dx

3

2

3

9 x dx

−

−

∫ (HD: Đặt x = 3sint , KQ: 9

2

π

); c) 3

1 ln

e

∫ ; d)

3

3 2

0

1

x x + dx

6) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y = 2 – x2 , x + y = 0 ; b) x = 3 , x = -1, y = 0 , y = x4 + 2x2 + 3 ;

c) y = x2 – 2 , y = -3x + 2; d) y = x2 – 12x + 36 , y = 6x – x2

7) Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và para bol có phương trình

y = x(4 – x) quay quanh trục hoành

8) Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:

a) y = -x2 + 1 , y = 0 ; b) y = sin

2

x

, y = 0 , x = 0 , x =

4

π

; c) y = lnx , y = 0 , x = e

TRÍCH MỘT SỐ ĐỀ THI

1) Cho y = 1

3x

3 – x2 có đồ thị (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(3;0)

c) Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường y = 0 , x = 0 ,

x = 3 quay quanh trục Ox (TN-2004, KQ: c) V = 81

35

π

(đvtt))

2) Tính: I = 2( )

2

0 sin cos

π

+

2 3

3) Tính:

a) I = ln 5( )

ln 2

1 1

x

dx e

+

−

∫ (TN PB – 2006, Ban KHTN, KQ: I = 26

3 );

b) I = 1( )

0

2x+1 e dx x

∫ (TN PB – 2006, Ban KHXHNV, KQ: I = e + 1)

4) a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ex , y = 2 , x = 1

b) Tính I = 2

2 0

sin 2

4 cos

x dx x

π

−

∫ (TN-2006, KQ: a) S = e + 2ln2 – 4 ; b) I = ln4

3 5) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = - x3 + 3x2

b) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình – x3 + 3x2 – m = 0

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành

(TN PB – 2006, KQ: c) S = 27

4 (đvdt)) 6) Tính:

2

2 1

2 1

xdx J

x

=

+

∫ (TN-2007 PB – Ban KHTN, KQ: J = 2( 5− 2)

Gi ải tích 12 Chương trình chuẩn

7) Tính:

3

1

2 ln

J =∫ x xdx (TN-2007 PB – Ban KHXHNV, KQ: J = 9ln3 – 4)

8) Tính 1 2( 3)4

1 1

−

=∫ − (TN 2008 PB- Ban KHTN , KQ: I = 32

15)

9) Tính: 2( )

0

2 1 cos

π

=∫ − ( TN 2008 PB – Ban KHXHNV , KQ: J = π - 3) 10) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (e + 1)x , y = (1 + ex)x

(ĐH Khối A 2007, KQ: S = 1

2

e− )

11) Tính 3 2

1 ln

e

I =∫x xdx (ĐH-CĐ Khối D 2007, KQ:

4

5 1 32

e

12) Tính

2

3 1

ln x

x

=∫ ( ĐH-CĐ Khối D 2008, KQ: 3 2ln 2

16

I = −

)

13) Tính: ( )

0

1 cos

π

=∫ + (TN 2009, KQ:

2 4 2

I =π − )