Mẫu bài tập nguyên hàm

Gi ải tích 12 Chương trình chuẩn TT DẠNG CƠ BẢN BÀI TẬP ÁP DỤNG 1 I = ( ) m ax b dx+ ∫ .Đặt t = ax + b =>dt = adx => dx = dt a ( ) 3 1) 1 2x dx+ ∫ 2 I = ( ) 1 p n n ax b x dx − + ∫ .Đặt t = ax n + b => dt = anx n – 1 dx => 1n dt x dx na − = ( ) 4 3 2 2) ) 2 1a x x dx+ ∫ b) ( ) 5 3 4 3 1x x dx− + ∫ c) 2 2 x e xdx ∫ ; d) 3 2 x dx x + ∫ e) ( ) 3 2 2 5 x x e e dx+ ∫ ;f) ( ) 2 1x x dx− ∫ g) 4 ln x dx x ∫ ; h) 3cos sin x e xdx ∫ 3 I = 1 dx ax b+ ∫ .Đặt 2 t ax b t ax b= + ⇒ = + => 2tdt = adx => dx = 2tdt a 3)a) 1 3 1 dx x + ∫ ; b) 2 1 2x dx+ ∫ 4 I = px q a dx + ∫ .Đặt t = px + q => dt = pdx => dt dx p = 4) 2 3 5 x dx + ∫ 5 ax b e dx + ∫ .Đặt t = ax + b => dt = adx => dx = dt a 5) ln2 3 0 1 x x e dx e + ∫ 6 I = sin cos m x xdx ∫ .Đặt t = sinx => dt = cosxdx => cosxdx = dt 6) 2 sin cosx xdx ∫ 7 I = cos sin m x xdx ∫ .Đặt t = cosx => dt = -sinxdx => sinxdx = -dt 7) 2 3 0 cos sinx xdx π ∫ 8 ( ) ( ) 2 1 1 sin 1 cos 2 1 cos 2 2 2 1 1 sin 2 2 2 I axdx ax dx ax dx x ax C a = = − = −   = − +  ÷   ∫ ∫ ∫ 8) 2 2 sin 3 sin 2 x x dx   +  ÷   ∫ L ưu Lâm Quốc ( 1 ) CÁC DẠNG CƠ BẢN VỀ NGUYÊN HÀM Gi ải tích 12 Chương trình chuẩn 9 ( ) ( ) 2 1 1 cos 1 cos2 1 cos2 2 2 1 1 sin 2 2 2 I axdx ax dx ax dx x ax C a = = + = +   = + +  ÷   ∫ ∫ ∫ 9) 2 cos 5xdx ∫ 10 2 2 1 tan 1 cos I xdx dx x   = = −  ÷   ∫ ∫ 10) 2 tan 3 x dx ∫ 11 2 2 1 cot 1 sin I xdx dx x   = = −  ÷   ∫ ∫ 11) ( ) 2 tan cotx x dx+ ∫ 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 cos .cos cos cos 2 1 sin .sin cos cos 2 1 sin .cos sin sin 2 I ax bxdx ax bx ax bx dx M ax bxdx ax bx ax bx dx N ax bxdx ax bx ax bx dx = = − + +    = = − − +    = = − + +     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 12)a) cos3 .cosx xdx ∫ b) sin 2 .cos3x xdx ∫ c) sin 2 .sin 7x xdx ∫ 13 ( ) sinI ax b mxdx= + ∫ .Đặt: 1 sin cos du adx u ax b dv mxdx v mx m =  = +   ⇒ −   = =    13) sin 2x xdx ∫ 14 ( ) cosI ax b mxdx= + ∫ .Đặt: 1 cos sin du adx u ax b dv mxdx v mx m =  = +   ⇒   = =    14) ( ) 4 0 1 cosx xdx π − ∫ 15 ( ) mx I ax b e dx= + ∫ .Đặt: 1 mx mx du adx u ax b v e dv e dx m =  = +   ⇒   = =    15) ( ) 2 3 1 2 x x x e dx+ − ∫ L ưu Lâm Quốc ( 2 ) Gi ải tích 12 Chương trình chuẩn 16 ( ) lnI ax b xdx= + ∫ .Đặt: ( ) 2 1 ln 2 du dx u x x dv ax b dx ax v bx  =  =    ⇒   = +    = +   16) 2 1 ln e x xdx ∫ 17 ( ) sinI ax b dx= + ∫ .Đặt t = ax + b=> dt = adx => dx = dt a 17) 2 0 sin 4 x dx π π   −  ÷   ∫ 18 ( ) cosI ax b dx= + ∫ .Đặt t = ax + b=> dt = adx => dx = dt a 18) cos 2 3 x dx π   −  ÷   ∫ 19 ( ) ( ) ( ) sin tan cos ax b I ax b dx dx ax b + = + = + ∫ ∫ .Đặt : t = cos(ax+b) => dt = - asin(ax+b)dx => ( ) sin dt ax b dx a − + = 19) 2 tan xdx ∫ 20 ( ) ( ) ( ) cos cot sin ax b I ax b dx dx ax b + = + = + ∫ ∫ t = sin(ax+b) => dt = acos(ax+b)dx => ( ) cos dt ax b dx a + = 20) cot xdx ∫ 21 I = dx ax b+ ∫ . Đặt t = ax+ b => dt = adx => dx = dt a => I = 1 1 1 ln ln dt t C ax b C a t a a = + = + + ∫ 21)a) 2 1 dx x− + ∫ ; b) 7 6 5 dx x − ∫ 22 ( ) ( ) ( ) 1 1 m m dx I dx m ax b ax b = = ≠ + + ∫ ∫ . Đặt t = ax + b => dt = adx => dx = dt a I = ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 m m m m dt t t dt C C a t a a m a m ax b − + − −   = = + = +  ÷ − + − +   ∫ ∫ 22) ( ) 4 1 2 dx x− ∫ L ưu Lâm Quốc ( 3 ) Gi ải tích 12 Chương trình chuẩn 23 ( ) ( ) ( ) ( ) 1dx dx x a x b x a x b = + + + + ∫ ∫ = 1 1 1 dx a b x b x a   −  ÷ − + +   ∫ 1 1 ln ln ln x b x b x a C C a b a b x a + =  + − +  + = +   − − + 23)a) 2 4 dx x − ∫ ; b) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 dx x x − − + ∫ ; c) 0 2 1 3 2 dx x x − − + ∫ 24 2 2ax b I dx ax bx c + = + + ∫ .Đặt t = ax 2 + bx + c => dt = (2ax+b)dx => I = 2 ln ln dt t C ax bx c C t = + = + + + ∫ 24)a) 2 2 1 1 x dx x x + + + ∫ ; b) 2 1 2 2 x dx x x + + + ∫ 25 Nguyên hàm có chứa 2 2 a x− , đặt x = asint => dx = acostdt (Lưu ý: sin 2 x + cos 2 x = 1 <=> 1 – sin 2 x = cos 2 x ) 25)a) 1 2 0 1 x dx− ∫ ; b) 1 2 2 0 1 dx x− ∫ 26 Nguyên hàm có chứa 2 2 1 a x+ . Đặt: x = atant => dx = a 2 1 cos t    ÷   dt = a(1 + tan 2 t)dt (Lưu ý: 2 2 1 1 tan cos t t + = ) 26)a) 1 2 0 1 1 dx x+ ∫ b) ( ) 1 3 2 3 1 dx x − + ∫ BÀI TẬP ÔN TẬP 1)Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) f(x) = xcos2x ; b) f(x) = (e 3x – 1)e 3x ; c) f(x) = xsinxcosx; d) f(x) = 1 2 5x− ; e) f(x) = cos 2 2 x + tan 2 x; f) f(x) = 2 1 x x + 2) Tìm nguyên hàm F(x) của các hàm số: a) f(x) = 3x 2 – 1 x + 4e x biết F(0) = 1 ; b) f(x) = sin2xcos3x + 3tan 2 x biết F( π ) = 0 3) Tìm: a) ( ) 5 1 3x dx− ∫ ; b) 4 sin cosx xdx ∫ ; c) 2 cos sinx xdx ∫ ; d) ( ) 1 2 sinx xdx− ∫ ; e) ( ) 2 2 1 x x e dx− ∫ ; f) 2 16 dx x − ∫ ; g) 1 2 0 1 2 2 x dx x x + + + ∫ ; h) 1 3 1 2 x dx x − + ∫ ; 4) Tính: a) 2 3 1 1x dx x − ∫ ; b) 2 2 cos 2 .cos 7x xdx π π − ∫ ; c) ( ) ( ) 1 1 2 3 e dx x x − + + ∫ ; d) 0 2 2 xdx − − ∫ ; e) 2 0 cos 4 x dx π π   −  ÷   ∫ ; f) ( ) 1 3 0 1x x dx− ∫ ; g) 3 0 2 xdx− ∫ ; h) 5 3 2 xdx− ∫ ; k) 0 1 2 xdx − − ∫ ; L ưu Lâm Quốc ( 4 ) Gi ải tích 12 Chương trình chuẩn l) 4 0 cosx xdx π ∫ ; m) ln2 2 0 1 x x e dx e + ∫ ; n) 1 2 0 3 2 dx x x+ + ∫ ; o) 0 sin 2 .cos 4x xdx π ∫ ; p) 2 0 2 1 x dx x − + ∫ 5) Tính: a) 3 1 2 0 .3 x e x dx ∫ ; b) 3 2 3 9 x dx − − ∫ (HD: Đặt x = 3sint , KQ: 9 2 π ); c) 3 1 ln e x xdx ∫ ; d) 3 3 2 0 1x x dx+ ∫ ; 6) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y = 2 – x 2 , x + y = 0 ; b) x = 3 , x = -1, y = 0 , y = x 4 + 2x 2 + 3 ; c) y = x 2 – 2 , y = -3x + 2; d) y = x 2 – 12x + 36 , y = 6x – x 2 7) Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và para bol có phương trình y = x(4 – x) quay quanh trục hoành 8) Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox: a) y = -x 2 + 1 , y = 0 ; b) y = sin 2 x , y = 0 , x = 0 , x = 4 π ; c) y = lnx , y = 0 , x = e TRÍCH MỘT SỐ ĐỀ THI 1) Cho y = 1 3 x 3 – x 2 có đồ thị (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(3;0) c) Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường y = 0 , x = 0 , x = 3 quay quanh trục Ox. (TN-2004, KQ: c) V = 81 35 π (đvtt)) 2) Tính: I = ( ) 2 2 0 sin cosx x xdx π + ∫ (TN-2005, KQ: I = 2 2 3 π − ) 3) Tính: a) I = ( ) ln5 ln2 1 1 x x x e e dx e + − ∫ (TN PB – 2006, Ban KHTN, KQ: I = 26 3 ); b) I = ( ) 1 0 2 1 x x e dx+ ∫ (TN PB – 2006, Ban KHXHNV, KQ: I = e + 1) 4) a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e x , y = 2 , x = 1 b) Tính I = 2 2 0 sin 2 4 cos x dx x π − ∫ (TN-2006, KQ: a) S = e + 2ln2 – 4 ; b) I = ln 4 3 5) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = - x 3 + 3x 2 b) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình – x 3 + 3x 2 – m = 0 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành (TN PB – 2006, KQ: c) S = 27 4 (đvdt)) 6) Tính: 2 2 1 2 1 xdx J x = + ∫ (TN-2007 PB – Ban KHTN, KQ: J = ( ) 2 5 2− L ưu Lâm Quốc ( 5 ) Gi ải tích 12 Chương trình chuẩn 7) Tính: 3 1 2 lnJ x xdx= ∫ (TN-2007 PB – Ban KHXHNV, KQ: J = 9ln3 – 4) 8) Tính ( ) 1 4 2 3 1 1I x x dx − = − ∫ (TN 2008 PB- Ban KHTN , KQ: I = 32 15 ) 9) Tính: ( ) 2 0 2 1 cosJ x xdx π = − ∫ ( TN 2008 PB – Ban KHXHNV , KQ: J = π - 3) 10) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (e + 1)x , y = (1 + e x )x (ĐH Khối A 2007, KQ: S = 1 2 e − ) 11) Tính 3 2 1 ln e I x xdx= ∫ (ĐH-CĐ Khối D 2007, KQ: 4 5 1 32 e I − = ) 12) Tính 2 3 1 ln x I dx x = ∫ ( ĐH-CĐ Khối D 2008, KQ: 3 2ln 2 16 I − = ) 13) Tính: ( ) 0 1 cosI x x dx π = + ∫ (TN 2009, KQ: 2 4 2 I π − = ) L ưu Lâm Quốc ( 6 ) . 2 2 1 1 tan cos t t + = ) 26)a) 1 2 0 1 1 dx x+ ∫ b) ( ) 1 3 2 3 1 dx x − + ∫ BÀI TẬP ÔN TẬP 1)Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) f(x) = xcos2x ; b) f(x) = (e 3x – 1)e 3x ; c) f(x) = xsinxcosx;. + ∫ 25 Nguyên hàm có chứa 2 2 a x− , đặt x = asint => dx = acostdt (Lưu ý: sin 2 x + cos 2 x = 1 <=> 1 – sin 2 x = cos 2 x ) 25)a) 1 2 0 1 x dx− ∫ ; b) 1 2 2 0 1 dx x− ∫ 26 Nguyên hàm. xsinxcosx; d) f(x) = 1 2 5x− ; e) f(x) = cos 2 2 x + tan 2 x; f) f(x) = 2 1 x x + 2) Tìm nguyên hàm F(x) của các hàm số: a) f(x) = 3x 2 – 1 x + 4e x biết F(0) = 1 ; b) f(x) = sin2xcos3x + 3tan 2 x