SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SƠN LA TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2015 - 2016 (LẦN 3) Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y =x − x − 2x + Câu (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = giao điểm đồ thị x −1 hàm số với trục tung Câu (1,0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn: ( + i ) z = − 3i Tìm mơ đun số phức w= iz + z b) Giải bất phương trình: 25 x − 6.5 x + ≤ Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ Câu (1,0 điểm) dx 2x + + π a) Cho sin α = < α < π Tính sin α + 3 n n + 2Cn2 b) Tìm số hạng chứa x khai triển x − , biết n số tự nhiên thỏa mãn C= n x (trong Cn số tổ hợp chập k n) k Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( −3; 0; ) , B (1; 0; ) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB tìm điểm M trục tung cho MA = MB 13 Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác có cạnh a AB ' = a Tính thể tích khối lăng trụ khoảng cách hai đường thẳng AB CB’ Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: x + + y − x + xy − + x + = y + y − ; ( x, y ∈ ) xy + x − y − = − + − y x ) ( x − 4x + 2 Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I): ( x − 1) + ( y + ) = 25 Điểm H(2; −5) K(−1; −1) theo thứ tự chân đường cao hạ từ đỉnh B C đến cạnh tam giác Tìm tọa độ đỉnh A,B,C tam giác biết điểm A có hồnh độ dương ( ) Tìm giá trị lớn Câu 10 (1,0 điểm) Cho x, y số thực dương thỏa mãn xy + x + y = biểu thức: P= 3x 3y xy + + − ( x2 + y ) y +1 x +1 x + y Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: .; Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2015 - 2016 (LẦN 3) Mơn: TỐN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SƠN LA TRƯỜNG THPT CHUYÊN CÂU Câu Đáp án Điểm Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: y =x − x − • • Tập xác định: Sự biến thiên: +) Giới hạn tiệm cận lim y =+ ∞; lim y =+ ∞ Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận x →−∞ 0,25 x →+∞ +) Bảng biến thiên: = y ' x3 − x ; y ' = ⇔ x x − = ⇔ x = 0∀x = ±1 ( ) Hàm số đồng biến khoảng: ( −1; ) (1; + ∞ ) Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; − 1) ( 0; + 1) 0,25 Hàm số đạt cực đại x = 0; yCĐ = -1 Hàm số đạt cực tiểu x = ± 1; yCT = -2 x −∞ y’ y -1 - 0 + +∞ +∞ - +∞ -1 -2 0,25 + -2 • Đồ thị Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng 0,25 Câu Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = 2x + giao điểm đồ thị x −1 hàm số với trục tung Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có hồnh độ x = 0; y = -3 −5 y' = ( x − 1) ⇒ y '( 0) = −5 PT tiếp tuyến điểm M(0; -3) là: y = -5(x – 0) -3 hay y = -5x -3 Câu a) Cho số phức z thỏa mãn: ( + i ) z = − 3i Tìm mô đun số phức w= iz + z 0,25 0,25 0,5 ( + i ) z = − 3i ⇔ z = ⇔ z =1 − 2i − 3i 2+i 0,25 w =iz + z ⇒ w =i (1 − 2i ) + 2(1 + 2i ) =4 + 5i Vậy w = 41 0,25 b) Giải bất phương trình: 25 x − 6.5 x + ≤ 25 x − 6.5 x + ≤ ⇔ ( x ) − 6.5 x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ 0,25 ⇔ ≤ x ≤1 Câu 4 Tính tích phân I = dx 2x + + ∫ Đặt x + = t ⇒ x + = t ⇒ dx = tdt Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 3 tdt = I ∫ = t +1 t ∫ 1 − t + dt 0,25 0,25 3 = t − ln x + = − ln 1 Câu 0,25 0,5 a) Cho sin α = < α < π Tính sin α + π 3 2 cos 2α = − sin α = ⇒ cosα = ± Do < α < π 2 ⇒ cosα > nên ⇒ cosα = 0,25 π π π 1 2 1+ = sin α + = sin α.cos + cosα.sin = + 3 3 3 0,25 n b) Tìm số hạng chứa x khai triển x − 22 , biết n số tự nhiên thỏa mãn x C= n + 2Cn2 n Điều kiện n ≥ n ( n − 1)( n − ) 4 n! n! C3n = n + 2C2n ⇔ = n+2 ⇔ = n + n ( n − 1) 3!( n − 3) ! 2!( n − ) ! 0,25 n − 9n = ⇒ n = (do n ≥ ) 9 k k − k −2 k −3k Khi ta có x − = = C x ( −2 ) ∑ ∑ C9 x x k 0= x = k − 3k = Số hạng chứa x tương ứng giá trị k thoả mãn ⇔k= k ∈{0,1,2 ,9} k Suy số hạng chứa x là: C92 x ( −2 ) = 144x 0,25 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( −3;0; ) , B (1;0;0 ) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB tìm điểm M tục tung cho MA = MB 13 + Gọi ( S ) mặt cầu có đường kính AB I trung điểm AB Ta có I ( −1;0; ) , AB = R Khi mặt cầu ( S ) có tâm I có bán kính= ( x + 1) AB = 2 nên có phương trình 0,25 0,25 + y2 + ( z − 2) = + M ∈ Oy ⇒ M ( 0; t ;0 ) MA= MB 13 ⇔ ( −3) + ( −t ) 2 + 42= 12 + ( −t ) + 02 13 0,25 ⇔ 25 + t =13 (1 + t ) ⇔ t =±1 Với t = ⇒ M ( 0;1;0 ) t =−1 ⇒ M ( 0; −1;0 ) Câu 0,25 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác có cạnh a AB ' = a Tính thể tích lăng trụ khoảng cách hai đường thẳng AB CB’ AA’ đường cao lăng trụ Trong tam giác AA’B’: AA ' = a S A ' B ' C ' = a 0,25 a2 a ( đv TT) = a 4 Gọi I, J trung điểm AB A’B’ Vì AB//A’B’ nên AB//(SA’B’) Do d (AB, CB’) = d(AB,(CA’B’)) = d(I,(CA’B’)) IJ ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( CIJ ) ⇒ A ' B ' ⊥ ( CIJ ) CJ ⊥ AB ⇒ ( A ' B ' C ) ⊥ ( CIJ ) theo giao tuyến CJ Do mặt phẳng (CIJ) kẻ IH ⊥ CJ ( H ∈ CJ ) ⇒ IH ⊥ ( A ' B ' C ) ⇒ d ( I ,( A ' B ' C )) = IH Vậy thể tích lăng trụ: V S= = A ' B ' C ' AA ' 1 1 11 a 66 = + = + = ⇒ IH = 2 IH IJ IC 2a 3a 6a 11 0,25 0,25 0,25 Vậy d ( AB, CB ') = a 66 11 Chú ý: Có thể dùng phương pháp thể tích Câu Giải hệ phương trình: x + + y − x + xy − + x + = y + y − xy + x − y − = ( y − 2) x + − x − 4x + ( ) Điều kiện x ≥ −1; y ≥ x + + ( x + 1)( y − 2) + x + = y + y − (1) HPT ⇔ ( x − )( y + 1) = ( y − 2) x + − (2) x − 4x + ( ) 0,25 x += a; y −= b ( a, b ≥ ) , từ (1) ta có: Đặt a + ab + a − + 5= ( b + ) + b ⇔ a − b + ab − b + a − b 2= ⇔ ( a − b )(1 + 2a + b ) = ⇔a= b (do a, b ≥ ⇒ + 2a + b > ⇒ x +1 = y−2 ⇔ y = x+3 Thế vào (2) ta được: ( x − 8)( x + ) ( x − 8)( x + ) = + + − ⇔ = x x 1 ( ) x2 − 4x + x2 − 4x + x = ⇔ x+4 x +1 = ( *) x − x + x +1 + + x =8 ⇒ y =11; ( + ( *) ⇔ ⇔ ( ( ) ) x + + ( x + 4) = )( x +1 + x +1 ) ( x + 1)( x − 8) x +1 + 0,25 ( x + 1) ( x − x + ) + 3= ( x − ) + 3 ( x − ) + 3 (**) ( ) 0,25 Xét hàm số f ( t ) = ( t + 3) t + với t ∈ có f ' ( t=) ( t + 1) ≥ ∀t ∈ nên f ( t ) đồng biến Do (**) ⇔ f ( ) x + = f ( x − 2) ⇔ x ≥ x +1 = x − ⇔ x + 1= x − 4x + x ≥ + 13 (T/M) ⇔ ⇔x= x − 5x + = = x 0,25 + 13 11 + 13 ⇒ = y 2 + 13 11 + 13 ; Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) ( 8;11) 2 Câu Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I): ( x − 1) + ( y + ) = 25 Điểm 2 H(2; −5) K(−1; −1) chân đường cao hạ từ đỉnh B C đến cạnh tam giác Tìm tọa độ đỉnh A,B,C tam giác biết A có hồnh độ dương = Gọi Ax tiếp tuyến đường tròn A KAx ACB Tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn nên AKH = ACB Câu 10 = Từ suy KAx AKH nên Ax//HK Vậy KH ⊥ AI Điểm I(1;-2) Đường thẳng AI ⊥ HK nên AI có PT: 3x - 4y -11=0 3 x − y − 11 = AI ∩ (C ) = I nên tọa độ A nghiệm hệ 2 25 ( x − 1) + ( y + ) = Điểm A có hồnh độ dương nên A(5;1) PT đường thẳng AC qua A H là: 2x – y – = AC ∩ (C ) = {C; A} nên tọa độ C nghiệm hệ 2 x − y − = ⇒ C (1; −7) 2 25 ( x − 1) + ( y + ) = PT đường thẳng AB qua A K là: x – 3y –2 = AB ∩ (C ) = {B; A} nên tọa độ B(-4;-2) Vậy: A(5;1); B(-4;-2); C(1; -7) Tìm giá trị lớn Cho x, y số thực dương thỏa mãn xy + x + y = biểu thức P= 3x 3y xy + + − ( x2 + y ) y +1 x +1 x + y Đặt t = x + y ⇒ xy = − t ; x + y = ( x + y ) − xy = t − ( − t ) = t + 2t − x+ y Ta có xy ≤ ⇒ 3−t ≤ t ⇔ t ≥ Suy P = ( x2 + y ) + ( x + y ) xy + x + y + + xy 12 − ( x2 + y ) = (−t + t + ) + x+ y t 12 (−t + t + ) + với t ≥ t 12 (−2t + − ) < 0, ∀t ≥ Suy hàm số f ( t ) nghịch biến với Ta có f ' ( t )= t t≥2 ⇒ P= f ( t ) ≤ f ( 2= ) t = x= y= Vậy giá trị lớn P x= y= -Xét hàm số f ( t ) = 0,25 0,25 0,25 0,25 ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2015 - 2016 (LẦN 3) Mơn: TỐN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO SƠN LA TRƯỜNG THPT CHUYÊN CÂU Câu Đáp án Điểm Khảo sát vẽ đồ thị... = f ( x − 2) ⇔ x ≥ x +1 = x − ⇔ x + 1= x − 4x + x ≥ + 13 (T/M) ⇔ ⇔x= x − 5x + = = x 0,25 + 13 11 + 13 ⇒ = y 2 + 13 11 + 13 ; Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) ( 8;11) 2 Câu... y = -5(x – 0) -3 hay y = -5x -3 Câu a) Cho số phức z thỏa mãn: ( + i ) z = − 3i Tìm mơ đun số phức w= iz + z 0,25 0,25 0,5 ( + i ) z = − 3i ⇔ z = ⇔ z =1 − 2i − 3i 2+i 0,25 w =iz + z ⇒ w =i (1