TR NG THPT CHUYÊN THI TH THPT QU C GIA – N M H C 2015 - 2016 AMSTERDAM – HÀ N I MƠN TỐN WWW.TOANMATH.COM Th i gian làm bài: 180 phút (khơng tính th i gian phát đ ) Câu (1,0 m) Kh o sát s bi n thiên v đ th hàm s y = x + x−2 Câu (1,0 m) Tìm s th c a, b cho hàm s f ( x ) = a ln x + bx + x đ t c c ti u t i m x = f(1) = Câu (1,0 m) e 2x − a) Tìm gi i h n L = lim x →0 x+4 −2 b) Gi i ph 5.2 x − = − x x +2 ng trình log x − 2e x dx e 2x x Câu (1,0 m) Tính tích phân = I +∫ x Câu (1,0 m) Trong không gian v i h t a đ Oxyz cho m A(1;1;1); B(3;–1;1) C(–2;0;2) G i (P) m t ph ng qua m C vng góc v i đ ng th ng AB Vi t ph ng trình m t c u (S) có tâm O ti p xúc v i m t ph ng (P) Câu (1,0 m) a) Gi i ph ng trình cos 2x − 3sin x + ( sin x + cos x ) = b) Có túi đ ng bút Túi th nh t ch a bút đ bút xanh Túi th hai ch a 16 bút đ m t s bút xanh Ch n ng u nhiên t m i túi m t chi c bút Bi t xác su t đ hai bút ch n có màu 0,44 Xác đ nh s bút xanh có túi th hai = 30° ; m t Câu (1,0 m) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cân t i A v i ABC (SAB) (SAC) vng góc v i m t ph ng (ABC) Bi t đ dài trung n AM c a tam giác ABC b ng a góc gi a đ ng th ng SC v i m t ph ng (SAB) b ng 300 Tính th tích c a kh i chóp S.ABC kho ng cách gi a đ ng th ng AM, SC theo a Câu (1,0 m) Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho tam giác ABC có đ ng trịn n i ti p tâm I ti p xúc v i c nh AB, AC l n l t t i M N ng th ng BI c t đ ng th ng MN t i E Bi t I(–1;–1); E(3;1) đ ng th ng AC có ph ng trình x + 2y – = Xác đ nh t a đ m C Câu (1,0 m) Gi i h ph 4 + ( x + y ) y − 4x + 8= 2y − y + 6x ng trình 4 y + x + 1= 9y x − ( ) ( x, y ∈ ) Câu 10 (1,0 m) Cho a, b, c s th c không nh h n Ch ng minh r ng a b c 18 + + ≥ 2a − 2b − 2c − + ab + bc + ca ÁP ÁN – L I GI I CHI TI T Câu + T p xác đ nh: D = \ {2} + S bi n thiên Chi u bi n thiên: y ' =− ( x − 2) < 0, ∀x ∈ D Hàm s ngh ch bi n m i kho ng (–∞;2) (2;+∞) Gi i h n ti m c n: lim− y = −∞; lim+ y = +∞ ⇒ x = ti m c n đ ng x →2 x →2 lim y = lim y =1 ⇒ y =1 ti m c n ngang x →−∞ x →+∞ B ng bi n thiên: x –∞ y’ +∞ – – +∞ y 1 –∞ + th 1 Giao v i Ox t i (–1;0), giao Oy t i 0; − i m I(2;1) tâm đ i x ng đ th 2 Câu T p xác đ nh (0;+∞) Ta có f (1) = ⇔ a.ln1 + b.1 + = ⇔ b = a a Khi f ( x ) = a ln x + 2x + x;f ' ( x ) =+ 4x + 1;f '' ( x ) = − +4 x x Hàm s f(x) đ t c c ti u t i x = a + 4.1 + =0 f ' (1) = ⇔ ⇔ a =−5 − a + > f '' (1) > V y a = –5, b = Câu e 2x − a) Xét hàm s f ( x ) = có t p xác đ nh: D = (–4;+∞) \ {0} x+4 −2 D, f ( x ) Ta có ∀x ∈= ( e 2x − Vì lim ⇒2x = lim =1 x →0 x →0 2x lim x →0 ( ) x+4+2 = ⇒ L = lim f ( x ) = 1.8 = x →0 5.2 x − b) log x = − x (1) +2 i u ki n: 5.2 x − > Ta có 2x + 5.2 x − 5.2 x − 8 3− x = ⇔ = 2x + 2x + 2x ⇔ x ( 5.2 x − )= ( x + ) (1) ⇔ ⇔ 5.22x − 16.2 x − 16 = ⇔ ( x − )( 5.2 x + ) = = ⇔ x ( 5.2 x + > 0, ∀ x ) ⇔x= (th a mãn u ki n) V y t p nghi m c a ph ng trình cho {2} Câu 4 = I ∫ ) e 2x − e 2x − 2x x + + e 2x − = = + + 2x x+4−4 2x x+4 −2 x − 2e x + 2x dx x e x Xét f ( x= ) e x − x [1;4] f(x) liên t c [1;4] Ta có ( x ) f ' ( x ) = ex − x ≥ e1 − > 0, ∀x ∈ [1; 4] ⇒ f ( x ) ≥ f (1) = e1 − > 0, ∀x ∈ [1; 4] 1 ⇒ ex > x > ⇒ − x > 0, ∀x ∈ [1; 4] x e Suy I =∫ 1 ( x) Câu Có AB = − e x ( 1 dx =∫ + − x dx =∫ − e − x dx = x + e − x x ( ex ) x x e 1 ( 2; −2;0 ) Vì (P) 4 AB nên nh n n= AB = (1; −1;0 ) =2 + 1 − e4 e làm VTPT ng th ng qua O(0;0;0) vng góc v i (P) Suy d nh n n= AB = x = t ph ng trình d: y = − t z = G i d đ G i H giao m c a d (P) H d H ( t; − t;0 ) H ∈ ( P ) ⇒ t − ( − t ) + =0 ⇒ t =−1 ⇒ H ( −1;1;0 ) Bán kính c a m t c u (S) R = OH = Suy ph ng trình (P): ( x + ) − y = ⇔ x − y + = Suy ph VTCP ) 12 + 12 = ng trình (S): x + y + z = Câu a) cos 2x − 3sin x + ( sin x + cos x ) = ⇔ ( cos x − sin x ) + ( sin x + cos x ) = (1 + sin 2x ) ⇔ ( sin x + cos x )( cos x − sin x = + ) ( sin x + 2sin x cos x + cos x ) ⇔ ( sin x + cos x )( cos x − sin x += ) ( sin x + cos x ) ⇔ ( sin x + cos x )( −2 cos x − 4sin x + ) = 0 sin x + cos x = ⇔ cos x + 4sin x = π π Có sin x + cos x = ⇔ sin x + = ⇔ x = − + kπ 4 Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki cho b s , ta có (1; −1;0 ) làm ( cos x + 4sin x ) ≤ ( 22 + 42 )( cos x + sin x ) =20 ⇒ cos x + 4sin x < V y nghi m c a ph ng trình cho x = − π + kπ , k ∈ b) G i s bút xanh túi th x A bi n c “Hai bút ch n có màu” Tính s ph n t c a khơng gian m u: Có 10 cách ch n bút túi th nh t, (16 + x) cách ch n bút th 2, theo quy t c nhân s ph n t c a không gian m u 10(16 + x) túi Tính s k t qu thu n l i cho A: TH1: bút l y có màu đ : S cách ch n bút màu đ t túi th nh t túi th hai l n l 16, có 4.16 cách ch n bút màu đ TH2: bút l y có màu xanh: T ng t có 6.x cách ch n bút màu xanh Theo quy t c c ng s k t qu thu n l i cho A 4.16 + 6x Xác su t c a A 4.16 + 6.x = 0, 44 ⇔ 1, x = 6, ⇔ x = 10 (16 + x ) V y có bút màu xanh túi th Câu V CH AB t i H ∆ ABC cân t i A CH AM = 30° (SAB) Góc gi a SC (SAB) ( SC;SH= ) HSC BC AC = AB = AM = 2a sin 30° = AM.cot= = 2a BM 30° a 3;= BC 2BM = SABC = AM.BC a ∆BAM ∆BCH ⇒ SC = AM BA AM.BC = ⇒ CH = =a CH BC BA HC = 2a 3,SA = sin 30° SC2 − AC2 = 2a t Th tích kh i chóp = VS.ABC V CK // AM (K AB) 2a = SA.SABC 3 AM // (SKC) d(AM; SC) = d(AM; (SKC)) = d(A;(SKC)) V AN KC t i N AI Vì CK // AM SN t i I AI (SKC) = AKC BAM ° = 60 = , ACK ° = CAM AKC tam giác đ u 60 Suy= AN AC.sin = 60° a 1 2a 66 = + ⇒ AI = 2 AI AS AN 11 V y kho ng cách gi a SC AM 2a 66 11 Câu ng th ng AC nh n (2;–1) làm VTCP Vì IN AC nên đ Suy ph ng th ng IN nh n (2;–1) làm VTPT ng trình IN: 2(x + 1) – (y + 1) = 2x – y + = x + 2y = 3 T a đ N nghi m c a h ⇒ N− ; 5 2x − y =−1 Theo tính ch t góc ngồi tam giác ta có B 180° − A −B A − MBE MEB = AMN = 90° − − = = 2 = ⇒ NEI NCI C INEC t giác n i ti p G i (C) đ ng tròn ngo i ti p t giác INEC, có ph Thay t a đ c a I, N, E vào ta có h : ng trình x + y + ax + by + c = 10 = − a −a − b + c =−2 ⇔ b = 3a + b + c =−10 − a + b + c =− 5 c = − Ph 5 4 65 ng trình (C): x − + y + = 3 3 5 4 (C) có tâm J ; − trung m IC 3 3 13 C ;− 3 Câu 4 + ( x + y ) y − 4x + 8= 2y − y + 6x (1) ( I) 4 y + x + 1= 9y x − ( ) x ≥ −1 i u ki n: y ≥ y − 4x + ≥ V i u ki n ta có: (1) ⇔ ( x + y2 ) ( ) y − 4x + − =− y + 4x − ( y − 4x + − 2) =4 − ( y − 4x + 8) ⇔ ( x + y ) ( y − 4x + − ) = ( − y − 4x + )( + y − 4x + ) ⇔ ( y − 4x + − )( x + y + + y − 4x + ) = ⇔ y − 4x = + ( x + y + + y − 4x + 8, ∀x ≥ −1, y ≥ 0, y − 4x + ≥ ) ⇔ ( x + y2 ) 2 ⇔ y = 4x − Khi y 4x − = ( I ) ⇔ ( ) 36 ( x − 1) x − ( ) 4 x − + x += ( ) ⇔ x − + x + 1= ( x − 1) ( x + 1) − 16 ( x − 1) ⇔ = ( 9x − 15) x − ⇔ x + − x − 1= ( 9x − 15) x −1 −12x + 20 = ( 9x − 15 ) −x x +1 + x −1 x +1 + x −1 ⇔ ( 3x − ) x − + = 0⇔x= 3⇒y= x +1 + x −1 (th a u ki n) x −⇔ 5 8 V y h có nghi m nh t ; 3 Câu 10 V i s d ng x, y, z b t kì, áp d ng b t đ ng th c Cô–si cho ba s d 1 1 + + ( x + y + z) ≥ x y z ng, ta có: 1 (*) 3 xyz = ⇒ + + ≥ x y z x+y+z xyz Áp d ng (*) ta có: a b c 1 1 1 + + = + + + + + 2a − 2b − 2c − 4a − 4b − 4c − += + 4a − + 4b − ≥ + 4c − 3t = ( a + b + c ) − 2t − V i t = a + b + c, t ≥ M t khác a, b ≥ nên ( a − 1)( b − 1) ≥ ⇔ ab + ≥ a + b T Suy (1) ng t bc + ≥ b + c, ca + ≥ c + a 18 18 9 ≤ = = + ab + bc + ca ( a + b + c ) a + b + c t Ta ch ng minh 3t ≥ ⇔ 3t − 18t + 27 ≥ ⇔ ( t − 3) ≥ 2t − t T (1), (2), (3) ta có đpcm (2) (3) ... →2 lim y = lim y =1 ⇒ y =1 ti m c n ngang x →−∞ x →+∞ B ng bi n thi? ?n: x –∞ y’ +∞ – – +∞ y 1 –∞ + th 1 Giao v i Ox t i (–1;0), giao Oy t i 0; − i m I(2;1) tâm đ i x ng đ th 2 Câu T p...ÁP ÁN – L I GI I CHI TI T Câu + T p xác đ nh: D = {2} + S bi n thi? ?n Chi u bi n thi? ?n: y ' =− ( x − 2) < 0, ∀x ∈ D Hàm s ngh ch bi n m i kho ng (–∞;2) (2;+∞) Gi i h n... bút ch n có màu” Tính s ph n t c a khơng gian m u: Có 10 cách ch n bút túi th nh t, (16 + x) cách ch n bút th 2, theo quy t c nhân s ph n t c a không gian m u 10(16 + x) túi Tính s k t qu thu