Toán hình 12 - bài tập nâng cao về tỉ lệ THỂ TÍCH

Khối Đa Diện Nâng Cao TỈ LỆ THỂ TÍCH A- LÝ THUYẾT CHUNG Hai khối chóp S A1 A2 An S B1 B2 Bm có chung đỉnh S hai mặt đáy nằm mặt VS A1 A2 An S A1 A2 An phẳng, ta có: = VS B1B2 Bm S B1B2 Bm Hai khối chóp tam giác S ABC có A′ ∈ SA, B′ ∈ SB, C ' ∈ SC ta có: VS A ' B ' C ' SA′ SB′ SC ′ = vS ABC SA SB SC Kiến thức cần nhớ khối lăng trụ tam giác khối hộp  VA′ ABC = V 2V , VA′ BCC ′B′ = 3  VA′ ABD = V V , VBDA′C ′ = Một số công thức nhanh cho trường hợp hay gặp 2 BH  AB  CH  AC  = =  Tam giác ABC vng A có đường cao AH có  ,  BC  BC  CB  BC   Mặt phẳng (α ) song song với mặt đáy khối chóp S A1 A2 An cắt SAk điểm M k thỏa mãn VS M1M M n SM k = p3 = p, ta có SAk VS A1 A2 An  Hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có AM BN CP x+ y+z = x, = y, = z có VABC MNP = V AA′ BB′ CC ′ AM BN CP = x, = y, = z Mặt phẳng ( MNP ) cắt DD ' Q ta ′ ′ AA BB CC ′ DQ x+ y + z +t có đẳng thức x + z = y + t với t = VABCD MNPQ = V DD′  Hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có SM SN SP = x, = y, = z Mặt phẳng SA SB SC 1 1 SQ thức + = + với t = x z y t SD  Hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành ( MNP ) VS MNPQ = cắt SD Q ta có  1 1 xyzt  + + + V x y z t  Định lí Meneleus cho điểm thẳng hàng đường thẳng AB, BC , CA M , N , P 57 đẳng MA NB PC = với MNP đường thẳng cắt ba MB NC PA Khối Đa Diện Nâng Cao B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho hình chóp S ABC Trên cạnh SA lấy điểm M , N cho SM = MN = NA Gọi (α ) , ( β ) mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ABC ) qua M , N Khi hai mặt phẳng (α ) , ( β ) chia khối chóp cho thành phần.Nếu phần tích 10 dm3 tích hai phần lại là? Câu 2: A 80 dm3 190 dm3 B 70 dm3 190 dm3 C 70 dm3 200 dm3 D 80 dm3 180 dm3 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Gọi SM SN SP M , N , P điểm cạnh SA, SB, SC cho = , = , = SA SB SC Mặt phẳng ( MNP ) cắt cạnh SD điểm Q Tính thể tích khối đa diện ABCD.MNPQ A Câu 3: V 63 B 10 V 63 C 53 V 63 D 58 V 63 Cho khối chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = 3a , AD = a , SA vng góc với đáy SA = a Mặt phẳng (α ) qua A vng góc với SC cắt SB , SC , SD M , N , P Tính thể tích khối chóp S AMNP A Câu 4: 3a 40 B 3a 40 C 3a 10 D 3a 30 Cho khối chóp S ABCD tích V đáy hình bình hành Điểm S ′ thỏa mãn SS ′ = k DC ( k > ) Biết thể tích phần chung hai khối chóp S ABCD S ′ ABCD V Tìm k 25 A k = Câu 5: B k = C k = 11 D k = Cho hình chóp S ABC có tất cạnh a Một mặt phẳng ( P ) song song với mặt đáy ( ABC ) cắt cạnh SA , SB , SC M , N , P Tính diện tích tam giác MNP biết ( P ) chia khối chóp cho thành hai khối đa diện tích A S ∆MNP = Câu 6: a2 B S ∆MNP = a3 16 C S∆MNP = a2 43 D S∆MNP = a2 43 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a , AD = b cạnh bên SA = c vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Gọi M điểm cạnh SA cho AM = x ( < x < c ) Tìm x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp thành hai khối đa diện tích 58 Khối Đa Diện Nâng Cao A x = Câu 7: SM −3 + 13 = SA ( − ) ab 2c C x = (3 − ) c D x = ( ) − ab 2c B SM −4 + 26 = SA C SM −3 + 17 = SA D SM −3 + 23 = SA Cho điểm M cạnh SA , điểm N cạnh SB hình chóp tam giác S ABC tích SM SN V cho = , = x Mặt phẳng ( P ) qua MN song song với SC chia khối SA SB chóp S ABC thành hai khối đa diện tích Tính x A x = Câu 9: B x = Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang với AB / /CD CD = AB Gọi M SM điểm cạnh SA cho < AM < SA Tìm tỉ số cho mặt phẳng ( CDM ) SA chia khối chóp cho thành hai khối đa diện tích nhau: A Câu 8: (3 − ) c 4− B x = − 10 C x = 4− D x = − 10 Cho khối tứ diện ABCD cạnh a , Gọi M , N trung điểm cạnh AB , BC svà BD E điểm thuộc tia đối DB cho = k Tìm k để mặt phẳng ( MNE ) chia khối tứ BE diện thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh B tích A k = B k = C k = 11 2a 294 D V = Câu 10: Cho khối tứ diện ABCD cạnh 2cm Gọi M , N , P trọng tâm ba tam giác ABC , ABD, ACD Tính thể tích V khối chóp AMNP A V = cm3 162 B V = 2 cm 81 C V = cm 81 D V = cm3 144 Câu 11: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên hợp với đáy góc 60° Gọi M điểm đối xứng C qua D , N trung điểm SC Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp S ABCD thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần (phần lớn phần bé) bằng: A B C D Câu 12: (Hình học khơng gian) Cho tứ diện ABCD M , N , P thuộc BC , BD, AC cho BC = BM , BD = BN , AC = AP Mặt phẳng ( MNP ) cắt AD Q Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia mặt phẳng ( MNP ) A 59 B 13 C 13 D Khối Đa Diện Nâng Cao Câu 13: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ', có cạnh đáy a cạnh bên a Lấy M, N cạnh AB ', A ' C cho AM A ' N = = Tính thể tích V khối AB ' A ' C BMNC ' C A a3 108 B 2a 27 C 3a 108 D a3 27 Câu 14: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, góc mặt bên phẳng đáy α thỏa mãn cosα = Mặt phẳng ( P ) qua AC vng góc với mặt phẳng ( SAD ) chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện gần với giá trị giá trị sau: A 0,11 B 0,13 C 0, D 0,9 Câu 15: Cho tứ diện S ABC , M N điểm thuộc cạnh SA SB cho MA = 2SM , SN = NB , (α ) mặt phẳng qua MN song song với SC Kí hiệu ( H1 ) ( H ) khối đa diện có chia khối tứ diện S ABC mặt phẳng (α ) , đó, ( H1 ) chứa điểm S , ( H ) chứa điểm A ; V1 V2 thể tích ( H1 ) ( H ) Tính tỉ số A B C D V1 V2 Câu 16: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng (P) qua điểm A vng góc với SC cắt SB, SC , SD B’, C’, D’ Tính thể tích khối chóp S AB’C’D’ theo a A 3a 20 3a 20 B C 3a 10 D 5a 10 Câu 17: Cho tứ diện ABCD cạnh a Mặt phẳng (P) chứa cạnh BC cắt cạnh AD E Biết góc hai mặt phẳng (P) (BCD) có số đo α thỏa mãn tan α = tứ diện ABCE tứ diện BCDE V1 V2 Tính tỷ số A B C 5 Gọi thể tích hai V1 V2 D Câu 18: Cho khối chóp S ABC có SA = 6, SB = 2, SC = 4, AB = 10 ∠SBC = 90° , ∠ASC = 120° Mặt phẳng ( P ) qua B trung điểm N SC vng góc với mặt phẳng ( SAC ) cắt cạnh SA M Tính tỉ số thể tích A 60 B VS MBN VS ABC C D Khối Đa Diện Nâng Cao Câu 19: Khối tứ diện ABCD tích V , khối tứ diện A1B1C1 D1 tích V1 , đỉnh A1 , B1 , C1 , D1 trọng tâm tam giác BCD, CDA, DAB,ABC Khối tứ diện A2 B2C2 D2 tích V2 , đỉnh A2 , B2 , C2 , D2 trọng tâm tam giác B1C1D1 , C1D1 A1 , D1 A1B1 , A1B1C1 Cứ tiếp tục ta khối tứ diện An BnCn Dn tích Vn , đỉnh An , Bn , Cn , Dn trọng tâm tam giác Bn−1Cn −1 Dn −1 , Cn −1 Dn −1 An −1 , Dn −1 An −1 Bn −1 , An−1 Bn −1Cn −1 Tính S = V1 + V2 + + V2018 ? (3 − 1) V 2018 A S = C S = 2018 2.3 ( 27 2018 − 1)V 26.27 2018 B S = ( 27 2019 26.27 2019 (3 − 1) V 2019 D S = − 1) V 2019 2.3 Câu 20: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ Gọi M , N thuộc cạnh bên AA′, CC ′ cho MA = MA′; NC = NC ′ Gọi G trọng tâm tam giác ABC Hỏi bốn khối tứ diện GA′B′C ′, BB′MN , ABB′C ′ A′BCN , khối tứ diện tích nhỏ nhất? A Khối A′BCN B Khối GA′B′C ′ C Khối ABB′C ′ D Khối BB′MN Câu 21: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ , có cạnh đáy a cạnh bên a Lấy M , N cạnh AB’, A’C cho AM A'N = = Tính thể tích V khối AB ' A 'C BMNC’C A a3 108 B 2a 27 C 3a 108 D a3 27 Câu 22: Cho khối lập phương ABCD A′B′C ′D′ cạnh a Các điểm E F trung điểm C ′B′ C ′D′ Mặt phẳng ( AEF ) cắt khối lập phương cho thành hai phần, gọi V1 thể tich khối chứa điểm A′ V2 thể tich khối chứa điểm C ' Khi A 25 47 B C 17 25 V1 V2 D 17 Câu 23: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi M , N trung điểm A ' B ' BC Mặt phẳng ( DMN ) chia khối lập phương cho thành hai khối đa diện Gọi (H ) A 61 khối đa diện chứa đỉnh A, ( H ') khối đa diện cịn lại Tính tỉ số V( H ) V( H ') = 37 48 B V( H ) V( H ') = 55 89 C V( H ) V( H ') = V( H ) V( H ') D V( H ) V( H ') = Khối Đa Diện Nâng Cao Câu 24: Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh A′B′ BC Mặt phẳng ( DMN ) chia hình lập phương thành phần Gọi V1 thể tích phần chứa đỉnh A, V2 thể tích phần cịn lại Tính tỉ số A B 55 89 C 37 48 V1 V2 D Câu 25: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ Gọi M trung điểm A’B’ Mặt phẳng (P) qua BM đồng thời song song với B’D’ Biết mặt phẳng (P) chia khối hộp thành hai khối tích V V1 , V2 (Trong V1 thể tích khối chứa A) Tính tỉ số F = V2 A 17 B C 17 25 D 17 Câu 26: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ Gọi I, J, K trung điểm cạnh AB, AA’ B’C’ Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần A 25 47 B C 49 95 D 17 CỰC TRỊ TỈ LỆ THỂ TÍCH Câu 27: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Các điểm A′ , C ′ thỏa 1 mãn SA′ = S A, SC ′ = SC Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng A′C ′ cắt cạnh SB, SD V B′, D′ đặt k = S A′B′C ′D′ Giá trị nhỏ k bao nhiêu? VS ABCD A 60 B 30 C 15 D 15 16 Câu 28: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi C ′ trung điểm cạnh SC V Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng AC ′ cắt cạnh SB, SD B′, D′ Đặt m = S B′C ′D′ VS ABCD Giá trị nhỏ m : A 27 B 27 C D Câu 29: Cho khối tứ diện S ABC cạnh a Mặt phẳng ( P ) qua S trọng tâm tam giác ABC cắt cạnh AB, AC M , N Đặt m = VS AMN Giá trị nhỏ m VS ABC A 62 B C D Khối Đa Diện Nâng Cao Câu 30: Cho hình chóp S ABCD tích V đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng qua A trung điểm N cạnh SC cắt cạnh SB, SD M , P Tính thể tích nhỏ khối chóp S AMNP A V B 3V C V D V Câu 31: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình hình hành Các điểm A′ , C ′ thỏa 1 mãn SA′ = SA, SC ′ = SC Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng A′C ′ cắt cạnh SB, SD V B′, D′ đặt k = S A′B′C ′D′ Tính giá trị lớn k bao nhiêu? VS ABCD A 105 B 30 C 15 D 27 Câu 32: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành tích V Gọi M , N thứ tự điểm di động cạnh AB, AD cho AB AD + = Gọi V ' thể tích khối AM AN chóp S AMN Tìm giá trị nhỏ V ' A V B V C V D V Câu 33: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành tích V Gọi M , N thứ tự điểm di động cạnh AB, AD cho AB AD + = Gọi V ' thể tích khối AM AN chóp S MBCDN Tìm giá trị lớn V ' A V B V C V D V Câu 34: Cho hình chóp S ABCD tích V , đáy hình bình hành Mặt phẳng (α ) qua A , trung điểm I SO cắt cạnh SB, SC , SD M , N , P Tính thể tích nhỏ khối chóp S AMNP A V 18 B V C V D 3V Câu 35: Cho hình chóp S ABCD, SA đường cao, đáy hình chữ nhật với SA = a, AB = b, AD = c Trong mặt phẳng ( SDB ) lấy G trọng tâm tam giác SDB , qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS M, cắt cạnh SD N, mp ( AMN ) cắt SC K Xác định M thuộc SB cho VSAMKN đạt giá trị lớn nhỏ Hãy tìm giá trị lớn nhỏ 63 A VSAMKN → max = abc abc ,VSAMKN → = B VSAMKN → max = abc abc , VSAMKN → = 10 C VSAMKN → max = abc abc ,VSAMKN → = 10 D VSAMKN → max = abc abc ,VSAMKN → = 10 11 Khối Đa Diện Nâng Cao Câu 36: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Các điểm A ', C ' thỏa mãn 1 SA ' = SA , SC ' = SC Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng A ' C ' cắt cạnh SB, SD lần V lượt B ', D ' đặt k = S A ' B 'C ' D ' Giá trị lớn k là? VS ABCD A 105 B 30 C 15 D 27 Câu 37: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Một mặt phẳng song song với đáy cắt cạnh bên SA , SB , SC , SD M , N , P , Q Gọi M ′ , N ′ , P ′ , Q′ hình chiếu M , N , P , Q mặt phẳng đáy Tìm tỉ số SM để thể tích khối đa diện SA MNPQ.M ′N ′P′Q′ đạt giá trị lớn A B C D Câu 38: Cho khối chóp S ABC Một mặt phẳng song song với đáy cắt cạnh bên SA , SB , SC M , N , P Gọi M ′ , N ′ , P ′ hình chiếu M , N , P mặt phẳng SM đáy Tìm tỉ số để thể tích khối đa diện MNP M ′N ′P ′ đạt giá trị lớn SA A B C D Câu 39: Cho hình chóp S ABC D có đáy hình bình hành tích V Điểm P trung điểm SC , mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD SB M N Gọi V1 thể tích khối chóp S AM PN Tìm giá trị nhỏ A B C V1 ? V D ° Câu 40: Cho hình chóp S ABC có ∠ASB = ∠BSC = ∠CSA = 30 SA = SB = SC = a Mặt phẳng ( P ) qua A cắt hai cạnh SB, SC B′, C ′ cho chu vi tam giác AB′C ′ nhỏ Gọi V1 ,V2 lầ lượt thể tích khối chóp S AB′C ′, S ABC Tính tỉ số A V1 = 3− 2 V2 B V1 = −1 V2 C V1 = 4−2 V2 V1 V2 D V1 = −1 V2 Câu 41: Cho khối chóp S ABC có SA = SB = SC = a ASB = 60° , BSC = 90° , ASC = 120° Gọi CN AM Khi khoảng cách = M , N điểm cạnh AB SC cho SC AB M N nhỏ nhất, tính thể tích V khối chóp S AMN 64 Khối Đa Diện Nâng Cao A 65 2a 72 B 2a 72 C 2a 432 D 2a 432 Khối Đa Diện Nâng Cao C – HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Cho hình chóp S ABC Trên cạnh SA lấy điểm M , N cho SM = MN = NA Gọi (α ) , ( β ) mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ABC ) qua M , N Khi hai mặt phẳng (α ) , ( β ) chia khối chóp cho thành phần.Nếu phần tích 10 dm3 tích hai phần cịn lại là? A 80 dm3 190dm3 B 70 dm3 190dm3 C 70 dm3 200 dm3 D 80 dm3 180dm3 Hướng dẫn giải: Chọn B S Đặt V = VS ABC , V1 = S S MNP ta có: M Q V1 = SM SP SQ 1 V =   V = V ⇒ V = 270 dm3 SA SB SC 27  3 N F P C Tương tự ta có : E V1 + V2 = SN SE SF 2 V =   V = V = 80 dm3 27 SA SB SC 3 B Do đó: V2 = 80 − V1 = 70 dm3 , V3 = V − V1 − V2 = 190 dm3 Chọn B Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tích V Gọi SM SN SP M , N , P điểm cạnh SA, SB, SC cho = , = , = SA SB SC Mặt phẳng ( MNP ) cắt cạnh SD điểm Q Tính thể tích khối đa diện ABCD.MNPQ A V 63 B 10 V 63 Hướng dẫn giải: Chọn D Đặt x = t= SQ SD Ta có Do 66 SM SN SP = , y= = , z= = , SA SB SC 1 1 + = + ⇒ 2+3= + ⇔ t = x z y t t C 53 V 63 D 58 V 63 Khối Đa Diện Nâng Cao Câu 21: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ , có cạnh đáy a cạnh bên a Lấy M , N cạnh AB’, A’C cho AM A'N = = Tính thể tích V khối AB ' A 'C BMNC’C A a3 108 B 2a 27 C 3a 108 D a3 27 Hướng dẫn giải: Gọi G, K tâm hình chữ nhật ABB’A’ AA’C’C C' A' AM AM = ⇒ = (Do G trung điểm AB’) Ta có: AB ' AG AM = AG Suy M trọng tâm tam giác ABA’ Do BM qua trung điểm I AA’ N Xét tam giác ABA’ có AG trung tuyến Ta có: A'N A'N = ⇒ = (Do K trung điểm A 'C A'K A’C) K I M B' G C A A'N = A'K Suy N trọng tâm tam giác AA’C’ Do C’N qua trung điểm I AA’ Xét tam giác AA’C’ có A’K trung tuyến H B Từ M trọng tâm tam giác ABA’ N trọng tâm tam giác AA’C’ Suy ra: IM IN = = IB IC ' Gọi V1 ; V2 thể tích khối chóp IMNC; IBCC’ Ta có: V1 V2 = IM IN IC = Mà V1 + V = V2 Suy V = V2 9 IB IC ' IC Hạ AH vng góc với BC H thuộc BC Ta AH vng góc với mặt phẳng (BB’C’C) AA’ song song với mặt phẳng (BB 'C 'C ) nên khoẳng cách từ I đến mặt phẳng (BB’C’C) khoẳng cách từ A đến (BB’C’C) AH Ta có: AH = V2 =  a a2 a 2a Suy V = V2 = = d I ; (BB 'C 'C ) S ∆BCC ' =   2 12 27 Chọn B 81 a Khối Đa Diện Nâng Cao Câu 22: Cho khối lập phương ABCD A′B′C ′D′ cạnh a Các điểm E F trung điểm C ′B′ C ′D′ Mặt phẳng ( AEF ) cắt khối lập phương cho thành hai phần, gọi V1 thể tich khối chứa điểm A′ V2 thể tich khối chứa điểm C ' Khi A 25 47 B C 17 25 V1 V2 D 17 Hướng dẫn giải: Đường thẳng EF cắt A′D′ N , cắt A′B ′ M , AN cắt DD ′ P , AM cắt BB ′ Q Từ mặt phẳng ( AEF ) cắt khối lăng trụ thành hai khối ABCDC ′QEFP AQEFPB′A′D′ Gọi V = VABCD A′B′C ′D′ , V3 = VA A′MN , V4 = VPFD′N , V4 = VQMB′E Do tính đối xứng hình lập phương nên ta có V4 = V5 V3 = 1 3a 3a 3a AA′ A′M A′N = a = , 6 2 V4 = 1 a a a a3 PD′.D′F D′N = = 6 2 72 V1 = V3 − 2V4 = V2 = V − V1 = 25a , 72 47 a V 25 Vậy = 72 V2 47 Chọn A Câu 23: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi M , N trung điểm A ' B ' BC Mặt phẳng ( DMN ) chia khối lập phương cho thành hai khối đa diện Gọi (H ) A khối đa diện chứa đỉnh A, ( H ') khối đa diện cịn lại Tính tỉ số V( H ) V( H ') = 37 48 B V( H ) V( H ') = 55 89 C V( H ) V( H ') = Hướng dẫn giải: AN ∩ ND = J , JM ∩ BB ' = K Ta có: BK = B ' K ; I ∈ A ' D ' Ta có: A ' I = 82 D ' D ' Suy thiết diện KMIDN V( H ) V( H ') D V( H ) V( H ') = Khối Đa Diện Nâng Cao V( H ) = VABA ' KMIDN = VD ABKMA ' + VD BKN + VD.MA ' I A' M B' I  a a  1 a 2a 1 a a 55a = a  a −  + a + a =   2 3 2 144 ⇒ V( H ') K C' D' 55a 89a 55 V =a − = ⇒ H = 144 144 VH ' 89 A B J N Chọn B D C Câu 24: Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ cạnh a Gọi M , N trung điểm cạnh A′B′ BC Mặt phẳng ( DMN ) chia hình lập phương thành phần Gọi V1 thể tích phần chứa đỉnh A, V2 thể tích phần cịn lại Tính tỉ số A B 55 89 C V1 V2 37 48 D S M A' E B' M A' B' K D' D' C' C' A A B B N N D C D C Hướng dẫn giải Gọi H = AB ∩ DN ; MH cắt B ' B K , cắt A ' A S ; SD cắt A ' D ' E Thiết diện tương ứng ngũ giác DNKME Phần đa diện chứa A tích là: V1 = VS ADH − VS A ' EM − VK BNH Dùng tam giác đồng dạng kiểm tra được: BA = BH ; AH = A ' M ; AD = A ' E SA ' = B ' K = A ' A Đặt độ dài cạnh hình lập phương 1thì: SA ' = ; KB = 3 Ta có: VS ADH = 83 1 1 SA AD AH = 1 +  1.2 = 6 3 H Khối Đa Diện Nâng Cao VS A ' EM = 1 1 ; VK BNH = VS ADH = VS ADH = 64 144 18 Vậy phần đa diện chứa A tích là: 1 55 − − = 144 18 144 Suy phần đa diện không chứa A tích là: 13 − 55 89 = 144 144 Chọn B Câu 25: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ Gọi M trung điểm A’B’ Mặt phẳng (P) qua BM đồng thời song song với B’D’ Biết mặt phẳng (P) chia khối hộp thành hai khối tích V V1 , V2 (Trong V1 thể tích khối chứa A) Tính tỉ số F = V2 A 17 B C 17 25 D 17 Hướng dẫn giải: *Gọi N trung điể A’D’ Khi ( P ) ≡ BDNM ) Thấy BM∩DN∩AA’=I Khi đó: V1=V(A’MNABD); V2=V-V1 (Với V thể tích hình hộp) * Ta có: * Mà: V ( IA ' MN ) S ( AMN ) = = V ( AA'B'D') S ( A ' B ' D ') V (AA'B'D') 1 = nên có: V ( IA ' MN ) = V V 24 * Lại có: I V ( IA ' MN ) IA '.IM IN = = V ( IABD) IA.IB.ID D' C' N *Vậy: V ( IABD) = V M A' B' 1 17 * Do đó: V1 = V − V = V nên V2 = V − V1 = V 24 24 24 V1 Vậy: = V2 17 D C A B Chọn A Câu 26: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ Gọi I, J, K trung điểm cạnh AB, AA’ B’C’ Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần A 25 47 B Hướng dẫn giải: Chứng minh EI = IJ = JF Từ suy 84 C 49 95 D 17 Khối Đa Diện Nâng Cao EB EM FA ' FN = = = Lại từ suy = EB ' EK FB ' FK E Ta có: d(K, A'B') = (1/2)d(C', A'B'), FB' = (3/2)A'B' Suy SKFB’ = (3/4)SA’B’C’ EB = nên suy d(E, (KFB’)) = (3/2)h (h EB ' chiều cao lăng trụ) I A B M C Mặt khác J A' F Do VEKFB’ = (3/8)V (V thể tích lăng trụ) B' N K C' VEBIM EI EM EB 1 1 nên VEBIM = = = = VEB ' FK EF EK EB ' 3 27 V = V 27 72 VFA ' JN FJ FA ' FN 1 1 nên VFA’JN = V = V = = = VFB ' EK FE FB ' FK 3 18 18 48 Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần Gọi V1 thể tích phần chứa điểm B' V2 thể tích phần chứa điểm C Ta có V1 = (3/8 – 1/72 – 1/48)V = (49/144)V nên V2 = (95/144)V Do V1 49 = V2 95 Chọn C CỰC TRỊ TỈ LỆ THỂ TÍCH Câu 27: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Các điểm A′ , C ′ thỏa 1 mãn SA′ = S A, SC ′ = SC Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng A′C ′ cắt cạnh SB, SD V B′, D′ đặt k = S A′B′C ′D′ Giá trị nhỏ k bao nhiêu? VS ABCD A 60 B 30 C 15 Hướng dẫn giải: Chọn A Đặt V = VS ABCD , ta có: Đặt x = 85 SB SD SA SC + = + = 3+5 = SB′ SD′ SA′ SC ′ 1 1 SB′ SD′ > 0, y = > ⇒ ( x + y) +  ≥ SB SD x y D 15 16 Khối Đa Diện Nâng Cao VS A′B′C ′ SA′ SB′ SC ′ 1 = = x ⇒ VS A′B′C ′ = xV 15 30 SA SB SC V VS A′D′C ′ SA′ SD′ SC ′ 1 = = y ⇒ VS A′D′C ′ = yV 30 SA SD SC 15 V Do k = VS A′B′C ′D′ VS ABCD = ( x + y) ⇒ x + y ≥ = ⇒ k ≥ 30 60 Câu 28: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi C ′ trung điểm cạnh SC V Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng AC ′ cắt cạnh SB, SD B′, D′ Đặt m = S B′C ′D′ VS ABCD Giá trị nhỏ m : A 27 B 27 C D Hướng dẫn giải: Chọn C VS B′C ′D′ SB′ SC ′ SD′ = = xy SB SC SD V  SB′ SD′  1 SA′ SC ′ + = 1+ = m = xy  x = ;y =  ; + =  SB SD  x y SA SC 1 Sử dụng bất đẳng thức AM − GM ta có + ≥ ⇒ xy ≥ ⇒ m ≥ x y 9 xy Đặt V = VS ABCD ⇒ Câu 29: Cho khối tứ diện S ABC cạnh a Mặt phẳng ( P ) qua S trọng tâm tam giác ABC cắt cạnh AB, AC M , N Đặt m = VS AMN Giá trị nhỏ m VS ABC A B C D Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có m = S AMN AM AN = = xy S ABC AB AC A Gọi O trọng tâm tam giác ABC , đặt AM AN x= ;y= ( x, y ∈ [ 0;1]) AB AC Ta có D trung điểm AB , giả sử AM > AD đặt AB = a 86 D M B O N C Khối Đa Diện Nâng Cao Áp dụng định lí Meneleuys cho tam giác ACD có ⇒ MD OC NA = MA OD NC a 2 ya = ⇔ ( x − 1) y = x (1 − y ) ⇔ xy = x + y ≥ xy ⇒ m = xy ≥ xa a − ya xa − Câu 30: Cho hình chóp S ABCD tích V đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng qua A trung điểm N cạnh SC cắt cạnh SB, SD M , P Tính thể tích nhỏ khối chóp S AMNP A V B 3V C V D V Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có x = Và SA SM SN SP ,z = = 1, y = = ,t = SA SB SC SD 1 1 1 + = + ⇒ + = 1+ = x z y t y t Do VS AMNP = Mặt khác yt = xyzt  1 1  V  + + + V = ( + 3) yt.1 = ytV x y z t 4 y + t yt V ≥ ⇒ yt ≥ ⇒ VS AMNP ≥ 3 Câu 31: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình hình hành Các điểm A′ , C ′ thỏa 1 mãn SA′ = SA, SC ′ = SC Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng A′C ′ cắt cạnh SB, SD V B′, D′ đặt k = S A′B′C ′D′ Tính giá trị lớn k bao nhiêu? VS ABCD A 105 B 30 C 15 Hướng dẫn giải: Chọn A Đặt V = VS ABCD , ta có: Đặt x = SB SD SA SC + = + = 3+5 = SB′ SD′ SA′ SC ′ SB′ SD′ > 0, y = >0 SB SD VS A′B′C ′ SA′ SB′ SC ′ 1 = = x ⇒ VS A′B′C ′ = xV 15 30 SA SB SC V 87 D 27 Khối Đa Diện Nâng Cao VS A′D′C ′ SA′ SD′ SC ′ 1 = = y ⇒ VS A′D′C ′ = yV 15 30 SA SD SC V Do k = VS A′B′C ′D′ VS ABCD = 1 ( x + y ) + = 30 x y Không tính tổng quát, giả sử x ≤ ⇒k = k′ = 1 y 1 ⇒ y ≥ , từ + = ⇒ x = 8− y 4 x y  1  y + y  với ≤ y ≤ Ta có ( x + y) =  30 30  − y    1  +   > 0, ∀ y ∈  ;1   30  ( − y ) 4   Vậy kmax = k (1) = 1   + 1 = 30   105 Câu 32: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành tích V Gọi M , N thứ tự điểm di động cạnh AB, AD cho AB AD + = Gọi V ' thể tích khối AM AN chóp S AMN Tìm giá trị nhỏ V ' A V B V C V D V Hướng dẫn giải: Chọn A S Đặt 2x AB AD = ; = ⇒ + =4⇒ y = ⇒ < x