Toán 9 các chuyên đề bài PTB2

CHUYÊN ĐỀ 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI BẰNG CÁCH SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGHIỆM Phương pháp: Để giải phương trình bậc hai ax  bx  c  Cách 1: Sử dụng cơng thức nghiệm Tính   b2  4ac  Nếu   phương trình có nghiệm phân biệt x1   Nếu   phương trình có nghiệm kép x1  x2   b   b   ; x2  2a 2a b 2a  Nếu   phương trình vơ nghiệm * Nếu em tính  '  b '2  ac với b '  b  Nếu  '  phương trình có nghiệm phân biệt x1   Nếu  '  phương trình có nghiệm kép x1  x2   b '  ' b '  ' ; x2  a a b' a  Nếu  '  phương trình vơ nghiệm  x  x  m  n  x1  m  Cách 2: Nhẩm nghiệm Vi-Et: Nếu   x1.x2  m.n  x2  n  x1  1  x1    Cách 3: Nếu a  b  c   c ; Nếu a  b  c   c x2     x2  a a  Cách 4: Đưa dạng a  b2  a  b BÀI TẬP MẪU Bài Giải phương trình a) x2  x     b)  x2  3.x    Hướng dẫn a) x2  x   Cách 1: Sử dụng công thức nghiệm: Δ   6   4.1  7   64  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: HDedu - Page x1    6   64  7; x2    6   64  1  x  x   x1   Cách 2: Áp dụng định lí Vi-Ét ta có:   x1.x2  7  x2  1  x  1 Cách 3: Vì a  b  c    6    nên   x2  x   x    x   4  x  1 Cách 4: Ta có: x  x    x  x   16   x  3  16   b) 2  3 x  3.x    a   3; b  3; c  2  Các em giải tương tự theo cách Bài Giải phương trình sau cách sử dụng công thức nghiệm : a) x2  5x   b) x  x  10  c) x2  x   Hướng dẫn a) Ta có: Δ  52  4.1  6   49  Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  5  49 5  49  1; x2   6 2 b) Ta có: Δ  42  4.1.10  24  Phương trình vơ nghiệm c) Ta có: Δ  62  4.1.9  Phương trình có nghiệm kép: x1  x2  3 Bài Giải phương trình sau: a) ( x  1)2  4( x  x  1)  b) 9( x  2)2  4( x  1)  c) x  3(2 x  3)2  d) x  x   e) x  x  16  f) x2  12 x   Hướng dẫn Khai triển đưa phương trình bậc giải a)  x  x  1   x  x  1   3x  10 x     b2  4ac  102   3 3  64  0;   Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1  b  Δ 10  b  Δ 10    ; x2   3 2a 6 2a 6 b) x1,2  4; c) x1,2  18  10 d) x1,2  1;3 HDedu - Page e) x1,2  2; 8 Bài f) x1,2  1; 5 Giải phương trình sau: a) 3x  x   b) x  3x  15  d) 3x  x   e) 5x  c) x  x   f)    x2  10 x    10 x 0 49 Hướng dẫn Các em tính Δ nghiệm a) Vơ nghiệm e) nghiệm kép x  c)  b) Vô nghiệm f) 1; d) 1 ; 2 27  10 23 BÀI TẬP TỰ GIẢI: Bài Giải phương trình sau: a) 10 x  17 x 3  2(2 x  1) –15 b) x  x   x( x  1)  c) x  x   ( x  1)( x  1)  d) x  x   x( x  1)   x e) 6 x  x   3x( x  1) –11 f)  x  x( x  1)   x( x  3)  g) x  x  3(2 x  3)   x( x  2) –1 h)  x  x  3(2 x 7)  2 x( x  2)  i) x  x  3x(2 x  3)   x( x  2) k) 3(2 x 3)   x( x  2)  Hướng dẫn Khai triển, phá ngoặc đưa phương trình bậc Tính Δ tìm nghiệm a) 10 x  13x  20  : Vô nghiệm c) x  5x   : x1,2  b) x  53 e) 3x  x   : x1,2  2; g) x  x   : x1,2  d) x  x   : x1,2   17 f) 5 x  x   : Vô nghiệm  145 h) x  x  28  : Vô nghiệm k) x  x  10  : Vô nghiệm i) x  x  : x1,2  0; Bài Giải phương trình: a) 3x  x  10  b) x  3x   d) 3x  3.x   e) x2   x      c) x  x   f)   3.x2   x    g)  x2  3.x    HDedu - Page CHUYÊN ĐỀ 2: NHẨM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương pháp:  x1  x2  m  n  Nếu nhẩm được:  phương trình có nghiệm x1  m, x2  n ( Vi-Ét)  x1 x2  mn c  Nếu a  b  c  phương trình có nghiệm x1  1, x2  a c  Nếu a  b  c  phương trình có nghiệm x1  1, x2   a Chú ý: Nếu hệ số a có chứa tham số m , em phải xét a  BÀI TẬP MẪU Bài Không giải phương trình, nhẩm nghiệm phương trình sau: a) x  10 x  16  b) x  x   c) x  3x   Hướng dẫn  x 8  x  x  10 a) Áp dụng định lí Vi-Et ta có:  Vậy: …………  x x  16 x   2    x 1 b) Ta có: a  b  c     nên  Vậy: ………………………  x2   x  1 c) Ta có: a – b  c     nên  Vậy: ……………  x2  Bài Khơng giải phương trình, nhẩm nghiệm a x2  b    x  15  (1) 1 2m  x2  x  (với m  2; m  3, x ẩn) (2) m2 m3   m  m  3 c  m  3 x –  m  1 x – 2m   ( m tham số, x ẩn) (3) Hướng dẫn   x  x    x  a Áp dụng hệ thức Viét có:   x x   15   x       Vậy phương trình có nghiệm là:  HDedu - Page b Ta có: a  b  c  1 2m     (Với m  2; m  ) m  m    m  m  3 Nên phương trình cho có nghiệm phân biệt x1  1; x2  2m  3 m c Chú ý: Các em thường gặp sai lầm: a – b  c  m –  m  1– 2m   Nên x1  1; x2  2m  m3 mà không xét điều kiện + Nếu m –   m  phương trình (3) trở thành 4 x –   x  1 + Nếu m –   m  phương trình (3) có a – b  c  m –  m  1– 2m   nên có nghiệm x1  1; x2  2m  m3 Bài Nhẩm nghiệm phương trình 5x  x  5x   (4) Hướng dẫn PT (4) có tổng hệ số là:  1– –1  , nên PT (4) có nghiệm x  Khi ta đưa PT (4) dạng:  x    x  x    , nhẩm tiếp nghiệm: x  x   Kết phương trình (4) có nghiệm: x1  1; x2  1; x3   BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài Khơng giải phương trình, nhẩm nghiệm phương trình sau: a) x    2019  x  2019  b)    x  3.x   2.x     x   d) x  2x    c) Bài Khơng giải phương trình, nhẩm nghiệm phương trình sau: a) x  15x  50  b) x  x  10  c) x  x  20  d) x  5x   e) x  5x   f) x  5x   Hướng dẫn  x 5 a)   x2  10 x  b)   x2   x 1 d) a  b  c  nên   x2  6  x 5 c)   x2  4  x  2 e)   x2  3 x 3 f)   x2  HDedu - Page CHUYÊN ĐỀ 3: TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH Phương pháp: a  b  S Nếu  a b nghiệm phương trình: x  Sx  P  Giải phương trình để tìm a, b a b  P  BÀI TẬP MẪU Bài Tìm hai số u v biết: u  v  42 u.v  441 Hướng dẫn Cách 1: Do u  v  42 u.v  441 nên u v nghiệm phương trình: x – 42 x  441  (*) Ta có:  '    21   441  Phương trình (*) có nghiệm kép: x1  x2  21 Vậy u  v  21 Cách 2: Từ u  v  42  u  42  v Thay vào u.v  441 ta được:  42  v  v  441  v2  42v  441  Từ tính u  v  21 Bài Tìm hai số a b biết: a  b  ab  Hướng dẫn Vì a  b  ab  nên a, b nghiệm phương trình: x  x   Ta có: ’  nên phương trình có hai nghiệm là: x1  2; x2  Vậy  a; b    2;  ;  a; b    4;  Bài Tìm hai số a b biết a – b  ab  14 Hướng dẫn a  c  Đặt b  c    a, c nghiệm phương trình:  a.c  14 x  5x  14  Giải phương trình ta được: x1  7; x2  2 suy  a; c    7; 2  ;  a; c    2;  Vậy  a; b    7;  ;  a; b    2; 7  Bài Tìm a b biết: a) a  b  10 a  b2  68 b) a  b2  13 a.b  Hướng dẫn a) a  b  68  a  b  – 2ab  68  2ab  100  68  32  ab  16 HDedu - Page Bài toán đưa dạng: a  b  10 a.b  16 Các em tự giải a  b  b) a  b  13   a  b 2 – 2ab  13   a  b 2  25    a  b  5 Các em giải hai trường hợp: TH1: a  b  a.b  TH2: a  b  5 a.b  Các em tự giải Bài Tìm a b biết: a  b2  29 a  b – ab  3 Hướng dẫn Ta có: a  b  29   a  b   2ab  29 Đặt a  b  x; ab  y , điều kiện x  y , suy ra: x2  y  29   x – y  3   x  Từ (2) suy y  x  Thay vào (1) ta được: x –  x    29  x  x  35     x  5 a  b  Với x   y  10(tm)   Các em giải  a.b  10 suy  a; b    5;  ;  a; b    2;5   a  b  5 Với x  5  y  2(tm)   Các em giải  a.b  2  5  33 5  33   5  33 5  33  ; ;  ;  a; b     2 2      a; b    BÀI TẬP TỰ GIẢI: Bài Tìm hai số u v biết: a) u  v  42 u.v   400 b) u  v  u.v  24 c) u  v  u.v   d) u  v  5 u.v  10 Bài Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi 22m diện tích 30m2 Bài Tìm số a,b biết a) a  b  10 a.b  32 b) a  b  a  b2  13 c) a – b  ab  80 d) a  b2  29 ab  10 Bài Tìm số biết : a Tổng 18 tích 45 b Tổng tích 12 c Tổng 10 tích 16 d.Tổng  tích e.Tổng tích 17 Bài Tìm số x,y biết: a x – y  x y  90 b x  y  625 x  y  35 HDedu - Page c x  y  164 x  y  d x  y  208 x y  96 e x  y  xy  52 x  y  Bài Tìm số x,y biết: a x  y  34 x y  15 b x  y  10 x  y – xy  c x  y  xy   d x  y  xy  66 e x3  y  177 xy  10 HDedu - Page CHUYÊN ĐỀ 4: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp: Ta đưa biểu thức chưa  x1  x2   x1.x2  dùng định lí Vi Ét để thay vào b  x1  x2     a Nếu x1, x2 nghiệm phương trình ax  bx  c  (a  0) thì:   x x  c  a Chú ý: x12  x22   x1  x2   x1 x2  x1  x2  x13  x23   x1  x2   3x1 x2  x1  x2  x14  x24  x12  x22 1 x1  x2   x1 x2 x1.x2 x1  x2   x12  x22   x1  x2  x1  x2  x13  x23   x1  x2  x12  x22  x1 x2  x14  x24  x12  x22  x  x22   x1  x2   x1 x2    x12 x22  x1  x2   x1 x2    x16  x26  x12  x22  x   x12 x22  x24  Nếu phương trình: ax  bx  c  có hai nghiệm x1 ; x2 S  x1  x2 ; P  x1 x2 thì: x12   x1  x2  x1  x1.x2  S x1  P   x13  S  P x1  S P    x14  S  SP x1  P S  P  Với biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, em bình phương biểu thức tính BÀI TẬP MẪU: Bài Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  3x   Không giải phương trình tính giá trị biểu thức sau : a, A  x12  x22 b, B  x1  x2 c, C   3x1  x2  x1  3x2  d, D  x13  x23 e, E  x13  3x12 x2  x23  3x22 x1 f, F  x14  x24 g) G  x15  x25 Hướng dẫn b  x  x  3  a Áp dụng định lí Viet ta có:   x x  c  4  a HDedu - Page a) A  x12  x22   x1  x2   x1 x2  32   4   17 b) B   x1  x2   x12  x22  x1 x2   x1  x2   x1 x2  32   4   25  B  ( B  ) c) C   3x1  x2  x1  3x2    x12  x22   10 x1 x2 =3.17+10  4   11 d) D  x13  x23   x1  x2   x12  x22  x1 x2   17    63 e) E  x13  3x12 x2  x23  3x22 x1   x13  x23   3x1 x2  x1  x2   2.63   4   162 f) F  x14  x24   x12  x22    x1 x2   172   4   257 2 g) G  x15  x25   x12  x22  x13  x23   x12 x22  x1  x2   17.63   4   1023 Bài Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x  3x   Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức: A  x1  x2 Hướng dẫn b   x1  x2  a  Áp dụng định lí Viet ta có:   x x  c  4  a A2   x1  x2   x12  x22  x1 x2   x1  x2   x1 x2  25 nên D  5 2 Bài Giả sử x1 , x2 nghiệm phương trình sau: x  mx   Tính giá trị biểu thức: C B  x13  x23 ; A  x12  x22 ; 1 x2 x2  ; D  12  22 x2 x1 x1 x2 Hướng dẫn Áp dụng định lí Viet cho phương trình: x  mx   Ta có: b   x1  x2  a  m   x x  c  1  a A  x12  x22   x1  x2   x1 x1  m – 2    B   x1  x2  x12  x1 x2  x22  m m  C  x1  x2  m x1 x2 x D  x22   x12 x22 2 x x    m2   HDedu - Page 10 CHUYÊN ĐỀ 5: LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHI BIẾT CÁC NGHIỆM 1) Lập phương trình bậc hai với nghiệm số số cụ thể: Phương pháp: Dạng cần sử dụng định lý đảo định lý Viét dễ dàng giải Ta có : Nếu số có tổng S tích P mà S  P  hai số hai nghiệm phương trình : x  Sx  P  , Điều kiện để phương trình có hai nghiệm : S  P  BÀI TẬP MẪU: Bài 1: Lập phương trình bậc hai có nghiệm 10 Hướng dẫn  x1  10  S  x1  x2  18  Ta có:   P  x1.x2  80  x2  Vì 182  4.80 nên x1 , x2 nghiệm phương trình: x  18 x  80  Bài 2: Cho x1  ; x2  lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm Hướng dẫn  S  x1  x2  Theo hệ thức VI-ÉT ta có   P  x1 x2  Vì 52  4.6 nên x1 ; x2 nghiệm phương trình x  5x   Bài 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm : 10  72 10  Hướng dẫn Theo định lí Viét ta có: S  x1  x2  P  x1 x2  1 10  72  10  72 20    102  72 28 10  72 10  72 1  10  72 10  72 28 Vì S  P nên x1 , x2 nghiệm phương trình x  20 x   28 x  20 x   28 28 BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Lập phương trình bậc hai có nghiệm cặp số sau: HDedu - Page 18 a) 10 –8 c)  b) và  4  d) 2 Hướng dẫn a) x  x  80  c) x2  b) x  17 x 0 2 13 x  4 d) x2  2 x 1  Bài 2: Lập phương trình bậc hai có nghiệm cặp số sau: a)   b) 1 2 2 Bài 3: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm : a 1 d  a b e a  b m a  b m b   c a  b f m  m2  m  m2  1 3 2) Lập phương trình bậc hai với nghiệm số biểu thức chứa nghiệm phương trình bậc cho trước: Phương pháp: Tính: S  X  X  f  x1   f  x2  ; P  X X  f  x1  f  x2  b c Thay x1  x2   ; x1.x2  vào S P Suy X ; X nghiệm phương trình: x  SX  P  a a BÀI TẬP MẪU Bài 1: Giả sử PT x  5x   có nghiệm x1 , x2 Khơng giải phương trình tìm phương trình bậc hai mà nghiệm trường hợp sau: a)  x1  x2 d) x1 x2 b) x1  x2 x1.x2 c) x1 2x2 e) x12 x22 f) Lớn nghiệm phương trình cho lượng n g) Gấp n lần nghiệm phương trình cho Hướng dẫn x  x  Áp dụng định lí Vi Ét ta có:   x1.x2  a) Gọi hai nghiệm phương trình bậc cần tìm : X1   x1; X   x2 HDedu - Page 19 Ta có: X  X    x1  x2   5 X X    x1    x2   x1.x2  Vì S  P nên phương trình bậc cần tìm là: x  x   b) Gọi hai nghiệm phương trình bậc cần tìm : X1  x1  x2 ; X  x1 x2 Ta có: X1  X  x1  x2  x1.x2    11 X X   x1  x2  x1.x2  5.6  30 Vì S  4P nên phương trình bậc là: x  11x  30  c) Ta có: x1  x2   x1  x2   2.5  10 x1.2 x2  x1 x2  24 Vì S  P nên phương trình bậc cần tìm là: x  10 x  24  d) Ta có: 1 x1  x2 1     x1 x2 x1.x2 x1 x2 nên phương trình bậc cần tìm là: x  x   6 e) Ta có: x12  x22   x1  x2   x1 x2  25  12  13 x12 x22  36 nên phương trình bậc cần tìm là: x  13x  36  f) Gọi hai nghiệm phương trình bậc cần tìm : X1  x1  n ; X  x2  n Ta có: X1  X  x1  x2  2n   2n X1 X   x1  n   x2  n   x1 x2  n  x1  x2   n2   5n  n Vậy phương trình bậc là: x2   2n   x  n2  5n  g) Phương trình bậc là: x – 5nx  6n2 Bài 2: Cho phương trình a.x  bx  c  0,  a  0; c   với nghiệm   Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm   ,   0;      Hướng dẫn b       a Vì phương trình có hai nghiệm  ,  nên áp dụng định lí Vi Ét ta có:      c  a           2  b  2ac     Ta có:          ac   Vậy b2  2ac   nghiệm phương trình : x  x    ac.x   b2  2ac  x  ac  ; ac   Bài 2: Lập phương trình bậc hai mà nghiệm tổng tích nghiệm phương trình a.x  bx  c  0,  a   HDedu - Page 20 Hướng dẫn Gọi hai nghiệm phương trình ax  bx  c  x1 , x2 b   x1  x2   a Áp dụng định lí Vi Ét ta có:   x x  c  a b   y1  x1  x2   a Gọi hai nghiệm phương trình bậc hai cần lập y1 , y2 Ta có:   y  x x  c  a b c c b  y  y      a a a Do  b c bc  y y      a a a2 Vậy y1 , y2 nghiệm phương trình : y  c b bc y    a y  a  b  c  y  bc  a a Bài 3: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình bậc hai a.x  bx  c  0,  a   Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm x12 x22 Hướng dẫn b   x1  x2   a Áp dụng hệ thức Vi Ét ta có:   x x  c  a Ta có: x  x   x1  x2  2 2 b2 c b2  2ac c2 2 x1 x2   x1 x2    x1.x2    a a a a2 b2  2ac c2 Vậy x ; x nghiệm phương trình : x  x    a x   b2  2ac  x  c  a a 2 2 Bài 4: Cho phương trình x  5mx   (1) có hai nghiệm x1 , x2 Lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 , y2 thoả mãn: a) Là số đối nghiệm phương trình (1) b) Là nghịch đảo nghiệm phương trình (1) Hướng dẫn  x  x  5m Áp dụng hệ thức Vi Ét ta có:   x1.x2  a) y1  y2    x1     x2     x1  x2   5m HDedu - Page 21 y1 y2    x1    x2   x1.x2  Phương trình bậc hai cần tìm là: y  5m y   b) y1  y2  1  x1  x2  1    5m y1 y2   x1 x2 x1.x2 x1 x2 Phương trình bậc hai cần tìm là: y  5my   Bài 5: Cho phương trình bậc hai ax  bx  c   a   (1) , có hai nghiệm khác Tìm phương trình bậc hai mà nghiệm : a) Khác dấu với nghiệm phương trình (1) b) Bằng nghịch đảo nghiệm phương trình (1) c) Lớn nghiệm phương trình (1) lượng n d) Gấp k lần nghiệm phương trình (1) Hướng dẫn a) a.x  bx  c  c) a.x   b  2a.n  x  a.n  bn  C  b) c.x  bx  a  d) a.x  k.bx  k 2c  Bài 6: Cho phương trình x  3ax   b  1  , ( a, b số nguyên) Gọi nghiệm phương trình x1 x2 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm x13 x23 Hướng dẫn   x1  x2  3a Áp dụng định lí Vi Ét ta có:    x1.x2  3  b  1 Ta có: x13  x23   x1  x2   3x1 x2  x1  x2   27  a3  ab  a  3 x13 x23   x1.x2   3  b2  1  27  b2  1 3 * Phương trình cần tìm là: x2  27  a3  ab2  a  x  27  b2  1  Bài 7: Cho phương trình x  px  q  (1) có hai nghiệm x1 x khơng phải phương trình lập phương trình bậc hai theo y mà nghiệm số : y1  x1  x 1 ; y2  x1  x2  Hướng dẫn HDedu - Page 22 x  x   p Theo Viét ta có :   x1.x2  q S  y1  y2  p  y1 y2  x1  x2  x1 x2  2q     x1  x2  x1 x2   x1  x2   p  q  x1.x2   x1  x2   q  p   x1.x2   x1  x2   q  p  Với S  P y1 , y hai nghiệm phương trình y2  2q  q  p 1 y     p  q  1 y   q  1 y   q   p   p  q 1 q  p 1 Vì p  4q ( phương trình (1) có hai nghiệm nên 2q  q  p 1  0 p  q 1 q  p 1 hay S  p Bài 8: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 , x2 mà x1 x2  x1 x2 a2    x1  x  a  Hướng dẫn Vì x1 x2  nên để lập phương trình bậc hai ta cần tìm x1  x Ta có : x1 x2   x1  x2  2.4  x1  x    x1  x2  a  x1 x x x  x  x x  x   1 2    x1  x2  x1 x2   x1  x2    x1  x    x1  x2  a   x1  1  x2  1  8  x1  x .a  4  5  x1  x .a  7  x1  x2  a  Với điều kiện S  P  (a  1)  4.4 a    (a   4)  a      a      a  Khi x1 , x2 nghiệm phương trình : X  a  1 X   Bài 9: Biết x1 ;  nghiệm phương trình x  px  q  Còn x ;  nghiệm phương trình x  p1 x  q1  biết x1  x Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x Hướng dẫn Theo ta có   p  q    p1  q1   p  q1    q1  q Vì x1  x nên p  p1     q1  q p  p1 Ta có : x1     p ; x2     p1 (1)  x1  x2    p  p1   2 HDedu - Page 23 * Nếu    x1.  q ; x2   q1  x1.x2  q.q1 2  q p1   Do S  x1  x    p  p1  p  p   P  x1.x2  qq1  p  p1   q  q1  2 Với giá trị p , q S  P x1 , x2 nghiệm phương  q q  qp  p  p1  .x  0 trình x   p  p1  p  p1  (q  q1 )  * Nếu   từ (1)  x1   p ; x2   p1  Ta có phương trình : x   p  p1 x  p p1  BÀI TẬP TỰ GIẢI: Bài 1: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình 3x  5x   Khơng tính x1 , x2 lập phương trình bậc hai ẩn y mà nghiệm y1  x1  1 ; y  x2  x2 x1 Bài : Cho x1 , x2 nghiệm ( có ) phương trình x  x   Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm : 2x1  x2 2x2  x1 Bài : Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x  x   a, Hãy lập phương tình bậc hai có hai nghiệm x1 − x2 x2 − x1 b, Hãy tính giá trị biểu thức : A  x1  x2  x2  x1 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x12  x2 x22  x1 Bài : Cho phương trình x2   m   x  m2   ( với m tham số ) có hai nghiệm x1, x2 Lập phương trình bậc hai có nghiệm : y1  x12 1 ; y2  x22  Bài 5: Cho phương trình x  2mx   , có nghiệm x1 , x2 tìm phương trình bậc hai có hai nghiệm là: X  x1  3 ; X  x2  x1 x2 Bài 6: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x  x   Không tính x1 , x2 lập phương trình bậc hai ẩn số y mà nghiệm y1  x1  x 1 ; y2  x1  x2  Bài 7: Gọi p, q hai nghiệm phương trình bậc hai 3x  x   Khơng giải phương trình lập phương trình bậc hai mà nghiệm là: a p q q 1 p 1 b  p  q   p – q  2 HDedu - Page 24 Bài 8: Giả sử PT ax  bx  c  (a khác 0) có nghiệm x1 , x2 khác Tìm PT bậc hai mà nghiệm trường hợp sau: a)  x1 – x2 d) x1 x2 b) x1  x2 x1.x2 c) 2x1 2x2 e) x12 x22 f) Lớn nghiệm phương trình cho lượng n g) Gấp n lần nghiệm phương trình cho 4 x1 x  5( x1  x )    Bài 8: Lập PT bậc hai có hai nghiệm x1 , x2 cho:  ( x1  1)( x  1)  (m  1)  m 1  HDedu - Page 25 CHUYÊN ĐỀ 6: TÌM M ĐỂ PHƯƠ TRÌNH CĨ NGHIỆM X Phương pháp: Thay x0 vào phương trình để tìm m Thay m tìm vào phương trình để giải phương trình bậc 2, tìm nghiệm cịn lại BÀI TẬP MẪU Bài Tìm m để phương trình x –  m   x  3m   có nghiệm x0  Tìm nghiệm cịn lại Hướng dẫn Thay x0  vào phương trình ta được: 12 –  m  1  3m    m  Với m  phương trình có dạng: x  x     b  4ac   4   4.1.3   x1  b    b      3  1; x2  2a 2a 2 Vậy nghiệm lại x  Hoặc em giải sau: Với m  phương trình có dạng: x  x   Áp dụng định lí Vi-Et ta có: x1  x2  mà x1   x2  Bài Với phương trình sau, tìm m để phương trình có nghiệm x0 Tìm nghiệm cịn lại: a) 3x2  x  m  0; x0  b) 15x2  mx   0; x0  c) x   3m  1 x  2m  2m   0; x0  1 d) x   m  1 x  m2  5m   0; x0  Hướng dẫn a) Thay x0  vào phương trình ta được: 3.12  7.1  m   m  10 Thay m  10 vào phương trình ta được: 3x  x  10  Vì a  b  c  nên phương trình có nghiệm x  1; x   b) m  2; x   10 c) Thay x0  1 vào phương trình ta được:  1   3m  1  2m  2m    2m  4m    m  1  Với m  1  thay vào phương trình ta được: HDedu - Page 26   6   x  3 1   1 x  1     x2     1      x 36  Vì a – b  c  nên phương trình có nghiệm x  1; x   Với m  1  thay vào phương trình ta được:   6   x  3 1   1 x  1     x2     1      x  3  Vì a – b  c  nên phương trình có nghiệm x  1 x  6  d) m  3  21 Các em thay m lại phương trình tìm x Bài a) Phương trình x  px   Có nghiệm 2, tìm p nghiệm thứ hai b) Phương trình x  x  q  có nghiệm 5, tìm q nghiệm thứ hai c) Cho phương trình : x  x  q  , biết hiệu nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình d) Tìm q hai nghiệm phương trình : x  qx  50  , biết phương trình có nghiệm có nghiệm lần nghiệm Hướng dẫn a) Thay x1  vào phương trình ban đầu ta : 5  p    p  Từ x1 x2  suy x2   x1 b) Thay x1  vào phương trình ban đầu ta được: 25  25  q   q  50 Từ x1 x2  50 suy x2  50 50   10 x1 c) Vì vai trị x1 ; x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1  x2  11 theo VI-ÉT ta có x1  x2  ,  x1  x2  11  x1   ta giải hệ sau:   x1  x2   x2  2 Suy q  x1 x2  18 d) Vì vai trị x1 ; x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1  x2 theo VI-ÉT ta có x1 x2  50 Suy  x  5 x22  50  x22  52    x2  Với x2  5 x1  10 Với x2  x1  10 HDedu - Page 27 Bài Cho phương trình  2m   x2  4mx   (1) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm m Hướng dẫn + Xét m  1  phương trình (1) có nghiệm x    m  không thoả mãn 2   2m   Để phương trình có nghiệm  m 2    '   2m    Cách 1: Phương trình có nghiệm x  m nên :  2m   m2  4m.m    2m3  5m2    m    17   m    2m  m      m  Vậy: ……………    17 m    2m   2m   x  2  2m  Cách 2: Vì  '   2m     2m   2m      x2  2m  2m    m   m   17  Để phương trình có nghiệm x  m    m  m   2m    m   17  Bài Cho phương trình x2   2m   x  3n  Xác định m n để phương trình có nghiệm 2 Hướng dẫn 6m  3n  m   Thay x  3; x  2 vào phương trình được:  4m  3n  14 n  Bài Tìm m, n để phương trình bậc hai mx2   mn   x  n  có nghiệm x  Hướng dẫn HDedu - Page 28  m  m  2   Phương trình có nghiệm x  :    n m      m.n  1  n  4 Bài Xác định số m, n phương trình: x  mx  n  cho nghiệm phương trình m n Hướng dẫn *   m2  4n   m  4n  m    PT : x   x1  x2  m  n  m n  *    m  PT : x  x    x1 x2  m.n  n    n  2 BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài Tìm m để: a) Phương trình x  3mx  m   có nghiệm x  Tìm nghiệm cịn lại b) Phương trình x   m  1 x  2m   có nghiệm x  Tìm nghiệm cịn lại c) m2 x   m  1 x  4m   có nghiệm x  Tìm nghiệm cịn lại Bài Cho biết nghiệm phương trình tìm nghiệm cịn lại: a x  mx  m   0; x   b x  3m2 x  m  0; x  c  m   x2   m   x  m   0; x  Hướng dẫn a) m   13 ; x 10 c) m  6; x  b) m  1; x  m   ; x   3 Bài Xác định giá trị tham số m để phương trình : a)  3m   x2   5m   x  m   nhận làm nghiệm b)  m2   x   3m   x  m  11 nhận 2 làm nghiệm Hướng dẫn a) m   36 13 b) m  1; m   Bài Tìm giá trị m để phương trình : HDedu - Page 29 a) mx2  3x   có nghiệm 1 b) x2   m   x  m   có nghiệm Hướng dẫn a) m  b) m  Bài Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại : b) 3x2  x  m  a) x2  3x  m  Hướng dẫn a) m  1; x2  b) m  10; x2   10 Bài Với giá trị k phương trình : a) x  kx  10  có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b) k x  15x 7  có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại c)  k   x2  2kx  k   có nghiệm Tìm nghiệm lại Hướng dẫn a) k  8; x2  1 b) k   7 ; x2   16 c) k     ; x2  14  47 HDedu - Page 30 CHUYÊN ĐỀ 7: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN ax  bx  c  Phương pháp: + Xét a   m , với m tìm thay vào phương trình để kiểm tra xem có nghiệm khơng + Xét a  0, tính   b2  4ac ( tính ' ) - Nếu   , suy điều kiện m, suy phương trình vơ nghiệm; - Nếu   , suy m, suy phương trình có nghiệm kép x   - Nếu   , suy m, suy phương trình có hai nghiệm x1  b ; 2a b   b   ; x2  2a 2a BÀI TẬP MẪU Bài Giải biện luận phương trình: mx2   m   x  m   Hướng dẫn + Xét m  Phương trình có dạng: 0.x     x     6 x    x  Vậy m  phương trình có nghiệm x  + Xét m  : Ta có:   b  4ac   m  3  4m  m  1  20m  36 - Nếu    20m  36   m   : Phương trình vơ nghiệm  m  3 2 - Nếu    20m  36   m   : Phương trình có nghiệm kép x   2m - Nếu    20m  36   m   ; m  : Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  2m   20m  36 2m   20m  36 ; x2  2m 2m Kết luận: Các em tự kết luận Bài Giải biện luận phương trình: (m  2) x  2(m  1) x  m   Hướng dẫn * Xét m    m  : Pt  6 x    x   * Xét m    m  :  '  (m  1)  (m  2)(m  5)  9m   9(m  1) +  '   9(m  1)   m  : Phương trình vơ nghiệm HDedu - Page 31 +  '   9(m  1)   m  : Phương trình có nghiệm kép x  m 1  2 m2 +  '   9(m  1)   m  : Phương trình có nghiệm phân biệt  m   m 1  x1  m2   m   m 1  x2  m2  Kết luận: + m  : Phương trình vơ nghiệm + m  1: phương trình có nghiệm x  2 + m  : phương trình có nghiệm x    m   m 1 x  m2 +  m  : phương trình có nghiệm phân biệt   m 1 m 1 x  m2  Bài Giải biện luận phương trình: x2   m   x  m   Hướng dẫn Ta có:  '   m  3   m    m  m   Xét  '   m  m     5  m   phương trình vơ nghiệm m   phương trình có nghiệm kép Xét  '   m  m       m  5 m   phương trình có hai nghiệm phân biệt: Xét  '   m  m       m  5 x1  m   m  5m ; x2  m   m  5m BÀI TẬP TỰ GIẢI: Bài Giải biện luận: a x  x  3m   b  m   x2   m   x  m   c x  12 x  15m  d x2   m   x  m2  e  m   x2   m   x   Bài Giải biện luận: a) (m  1) x  (2m  3) x  m   b) (m  1) x  2(m  2) x  m   c) (m  1) x  2(m  1) x  3m   d) (m  1) x  (2  m) x   HDedu - Page 32 ...  2  Các em giải tương tự theo cách Bài Giải phương trình sau cách sử dụng công thức nghiệm : a) x2  5x   b) x  x  10  c) x2  x   Hướng dẫn a) Ta có: Δ  52  4.1  6   49  Phương... x2  1; x3   BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài Khơng giải phương trình, nhẩm nghiệm phương trình sau: a) x    20 19  x  20 19  b)    x  3.x   2.x     x   d) x  2x    c) Bài Khơng giải... phân biệt x1  5  49 5  49  1; x2   6 2 b) Ta có: Δ  42  4.1.10  24  Phương trình vơ nghiệm c) Ta có: Δ  62  4.1 .9  Phương trình có nghiệm kép: x1  x2  3 Bài Giải phương trình