Toán 9 - Ôn thi vào lớp 10 - Chuyên đề toán quỹ tích

Chuyên đề 4: TẬP HỢP ĐIỂM (QUỸ TÍCH) I NHỮNG ĐIỀU LƯU Ý Định nghĩa tập hợp điểm (quỹ tích) Một hình H gọi tập hợp điểm (quỹ tích) điểm M thỏa mãn tính chất A chứa chứa điểm có tính chất A Phương pháp giải toán tập hợp điểm Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất A, ta thực bước sau : Bước Tìm cách giải – Xác định yếu tố cố định không đổi – Xác định điều kiện điểm M – Dự đoán tập hợp điểm Bước Trình bày giải a) Phần thuận Chứng minh M thuộc hình H Căn vào vị trí đặc biệt M, chứng tỏ điểm M thuộc phần B hình H (nếu được) Vẽ H, vẽ B b) Phần đảo Lấy điểm M thuộc H (hoặc B), giả sử tính chất A gồm n điều kiện (1, 2, , n) Dựng hình cho M’ thỏa mãn n – điều kiện n điều kiện Chứng minh điểm M’ thỏa mãn điều kiện lại c) Kết luận Tập hợp điểm M hình H (hoặc B) Nêu rõ hình dạng cách xác định hình H (hoặc B) Chú ý – Việc tìm mối liên hệ yếu tố cố định, không đổi với yếu tố chuyển động khâu chủ yếu giúp ta giải toán tập hợp điểm – Nếu toán yêu cầu “Điểm M chuyển động đường nào?” trình bày phần a), c) – Giải toán tập hợp điểm thường tìm cách đưa tập hợp điểm học – Để khỏi vẽ hình lại giải phần đảo, tên điểm phần đảo giữ nguyên phần thuận – Trong trường hợp tập hợp điểm cần tìm phần B hình H tập hợp điểm bản, cần xác định phần B tức rõ phần hình H thỏa mãn điều kiện toán Có hai phương pháp để tìm phần B hình H Phương pháp : Phương pháp phần giao Sau xác định điểm M phải thuộc hình H tập hợp điểm bản, dựa vào giả thiết toán xem điểm M phải thuộc miền mặt phẳng Phần giao hình H với miền cho ta tập hợp điểm M Phương pháp : Phương pháp vị trí giới hạn Trong toán ta có điểm A chuyển động kéo theo chuyển động điểm M cần tìm tập hợp điểm, từ vị trí giới hạn A ta tìm vị trí tương ứng M hình H Sau xác định được, tập hợp điểm M thuộc hình H tập hợp điểm Giải toán tập hợp điểm phương pháp đại số Một số toán tập hợp điểm, để tìm lời giải có phải sử dụng đến phương pháp đại số sau : Chọn hệ trục tọa độ vuông góc Oxy Gọi M(x; y) điểm thuộc tập hợp điểm cần tìm Tìm hệ thức liên hệ x y, hệ thức phương trình tập hợp điểm M cần tìm Giả sử hệ thức y = f(x) x = a – Nếu f(x) = ax + b (a, b số) x = a M thuộc đường thẳng – Nếu f(x)  ax + b x  a (a, b số) M thuộc đường cong Các tập hợp điểm a) Tập hợp điểm “đường trung trực” M Tập hợp điểm M cách hai điểm phân biệt A, B cố định đường trung trực đoạn thẳng AB Gọi tắt tập hợp điểm “đường trung trực” A B b) Tập hợp điểm “tia phân giác” y Định lí : M Tập hợp điểm M nằm góc O z x xOy, khác góc bẹt cách hai cạnh góc xOy tia phân giác góc xOy Gọi tắt tập hợp điểm “tia phân giác” y M x Hệ : Tập hợp điểm M cách hai đường thẳng cắt xOx yOy bốn tia phân giác góc xOy, xOy, xOy, xOy bốn tia tạo thành hai đường thẳng vuông góc với O x O y M c) Tập hợp điểm “hai đường thẳng song song” Định lí : Tập hợp điểm M cách đường thẳng d cho trước khoảng a (a > 0) cho trước hai đường thẳng song song với đường thẳng d cho cách đường thẳng d khoảng a M b a d a b M Gọi tắt tập hợp điểm “hai đường thẳng song song” d) Tập hợp điểm “đường tròn” M Định lí : Tập hợp điểm M cách điểm O cho trước khoảng cách không đổi (r > 0) đường tròn tâm O bán kính r r O Gọi tắt tập hợp điểm “đường tròn” e) Tập hợp điểm “cung chứa góc” Định lí : Tập hợp điểm M tạo thành với hai mút đoạn thẳng AB cho trước góc AM B có số đo không đổi  (0o <  < 180o) hai cung tròn đối xứng qua AB Gọi tắt tập hợp điểm “cung chứa góc” Chú ý : Khi  = 90o, tập hợp điểm M đường tròn đường kính AB M  A B  M II CÁC VÍ DỤ VÍ DỤ : Cho góc vuông xOy, điểm A cố định nằm góc xOy Một góc vuông quay xung quanh điểm A cắt tia Ox B, cắt tia Oy C Tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng BC Lời giải y a) Phần thuận : OBC có BOC = 90o, OM đường trung tuyến nên OM = C BC M1 A M ABC có BAC = 90o, AM đường trung tuyến nên AM = BC O x B M2 Suy OM = AM OM = AM O, A cố định, M thuộc đường cố định đường trung trực đoạn thẳng OA Khi B  O M  M1 (M1 giao điểm đường trung trực OA với tia Oy) Khi C  O M  M2 (M2 giao điểm đường trung trực OA với tia Ox) Vậy M chuyển động đoạn thẳng M1M2 đường trung trực đoạn thẳng OA nằm góc vuông xOy b) Phần đảo : Lấy M thuộc đoạn thẳng M1M2 ta có MO = MA Vẽ đường tròn (M, MO), đường tròn qua A cắt Ox B, cắt Oy C BOC = 90o  BC đường kính (M)  M trung điểm đoạn thẳng BC c) Kết luận : Tập hợp trung điểm M đoạn thẳng BC đoạn thẳng M1M2 thuộc đường trung trực đoạn thẳng OA nằm góc vuông xOy (M1 M2 giao điểm đường trung trực đoạn thẳng OA với tia Oy Ox) VÍ DỤ : Cho góc vuông xOy, tia Ox có điểm A cố định B điểm chuyển động tia Oy Tìm tập hợp điểm C cho tam giác ABC vuông cân C Lời giải a) Phần thuận : y Vẽ CH  Ox (H  Ox), CK  Oy (K  Oy) Xét CAH ( AH C = 90o) CBK ( BKC = 90o) có CA = BC (ABC vuông cân C) ACH  BCK (hai góc phụ với góc ACK) Do CAH = CBK (cạnh huyền – góc nhọn) Suy CH = CK z B K C C1 O A H x CH = CK xOy cố định C thuộc đường cố định tia phân giác Oz góc vuông xOy Khi B  O C  C1; C1 thuộc tia phân giác Oz C1OA vuông cân C1 Khi B chạy xa vô tận tia Oy C chạy xa vô tận tia Oz Vậy C chuyển động tia C1z tia phân giác Oz góc xOy b) Phần đảo : Lấy C thuộc tia C1z Vẽ đường thẳng vuông góc với CA C cắt tia Oy B Vẽ CH  Ox (H  Ox), CK  Oy (K  Oy), ta có : CH = CK, KCH = 90o Xét CAH CBK có : CHA  BKC (= 90o), CH = CK, ACH  BCK (hai góc phụ với góc ACK) Do CAH = CBK (g.c.g) Suy : CA = CB ABC vuông C có CA = CB  ABC vuông cân C c) Kết luận : Tập hợp điểm C tia C1z tia phân giác Oz góc xOy VÍ DỤ : Cho đường thẳng xy Tìm tập hợp tâm đường tròn có bán kính 2cm tiếp xúc với đường thẳng xy Lời giải a) Phần thuận : Gọi O tâm đường tròn bán kính 2cm tiếp xúc với đường thẳng xy Ta có khoảng cách từ O đến xy 2cm Do O thuộc hai đường thẳng d d song song với xy cách xy khoảng 2cm O d 2cm x H y 2cm d O điểm tùy ý hai đường thẳng d, d vẽ đường tròn (O ; 2cm) tiếp xúc với đường thẳng xy b) Phần đảo : Lấy O thuộc đường thẳng d d Vẽ OH  xy (H  xy), ta có : OH = 2cm Vẽ đường tròn (O ; OH) Đường tròn (O ; OH) có bán kính 2cm tiếp xúc với đường thẳng xy c) Kết luận : Tập hợp tâm O đường tròn tiếp xúc với đường thẳng xy hai đường thẳng d d song song với xy cách xy khoảng 2cm VÍ DỤ : Cho đường tròn (O ; R) đướng kính AB C điểm chuyển động đường tròn (O ; R) Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = CB Tìm tập hợp điểm D D Lời giải C a) Phần thuận : ACB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) B A  AC  BD, CD = CB (gt) O  ABD cân A  AD = AB = 2R (không đổi) AD = AB = 2R (không đổi) A cố định Do D thuộc đường tròn cố định (A ; 2R) Điểm C chuyển động (O ; R) nên D chuyển động (A ; 2R) b) Phần đảo : Lấy điểm D thuộc đường tròn (A ; 2R), ta có AD = 2R DB cắt (O ; R) C Ta có : AD = AB = 2R  ABD cân A Mặt khác : ACB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ABD cân A, AC  BD  AC đường trung tuyến ABD Vậy C trung điểm BD c) Kết luận : Tập hợp điểm D đường tròn (A ; 2R) VÍ DỤ : Cho nửa đường tròn (O ; R) đường kính AB CD dây cung chuyển động nửa đường tròn cho CD = R AD cắt BC N, AC cắt BD M Tìm tập hợp điểm N M Tìm tập hợp điểm M Lời giải M1 M2 Tìm tập hợp điểm N a) Phần thuận : OCD có OC2 + OD2 = CD2 (2R2)  OCD vuông O D1 D C  COD = 90o  sđ CD = 90o N A O B 1 (sđ CD + sđ AB ) = (90o + 180o) = 135o ; AB cố định Do 2 N thuộc cung chứa góc 135o dựng đoạn thẳng AB sđ ANB =  Khi C  A D  I (I điểm cung AB) N  A  Khi D  B C  I N  B Vậy N chuyển động cung chứa góc 135o dựng đoạn thẳng AB b) Phần đảo : Lấy điểm N thuộc cung chứa góc 135o dựng đoạn thẳng Vẽ AN cắt (O) D, BN cắt (O) C Ta có : ANB = 135o ; ANB = Suy : 135o = (sđ CD + sđ AB ) (sđ CD + 180o)  sđ CD = 2.135o – 180o = 90o Ta có OC = OD (= R)  OCD cân O OCD vuông cân O  CD = R c) Kết luận : Tập hợp điểm N cung chứa góc 135o dựng đoạn thẳng AB Tìm tập hợp điểm M a) Phần thuận : Ta có sđ CD = 90o (chứng minh trên) sđ AMB = 1 (sđ AB - sđ CD ) = (180o – 90o) = 45o ; 2 AB cố định Do M thuộc cung chứa góc 45o dựng đoạn thẳng AB  Khi C  A D  D1 (D1 điểm cung AB) M  M1 (M1 giao điểm BD1 cung chứa góc nói trên)  Khi D  B C  D1 M  M2 (M2 giao điểm cung CD1 cung chứa góc nói trên) Vậy M chuyển động cung M1M2 cung chứa góc 45o dựng đoạn thẳng AB b) Phần đảo : Lấy điểm M thuộc cung M1M2 MA, MB cắt nửa đường tròn (O ; R) đường kính AB C, D Ta có : AM B = 45o ; AMB = Suy : 45o = (sđ AB - sđ CD ) (180o – sđ CD )  sđ CD = 180o – 2.45o = 90o  COD = 90o OCD vuông O có OC = OD (= R)  OCD vuông cân O Do CD2 = OC2 + OD2 = R2 + R2 = 2R2  CD = R c) Kết luận : Tập hợp điểm M cung M1M2 phần cung chứa góc 45o dựng đoạn thẳng AB III BÀI TẬP Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB Gọi (d) tiếp tuyến (O) A C điểm chuyển động đường thẳng (d) BC cắt (O) D (D  B) Gọi E trung điểm BD Tìm tập hợp tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC Cho tam giác cân ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) có AB = AC = R M điểm chuyển động cung nhỏ AC, đường thẳng AM cắt đường thẳng BC D Tìm tập hợp điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD Cho đoạn thẳng AB cố định M điểm cho MA > MB MA2 – MB2 = a2 (không đổi) Tìm tập hợp điểm M Cho đường tròn (O ; R) ; A điểm cố định nằm đường tròn (O) ; B điểm chuyển động đường tròn (O) Gọi C (C  B) giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB tiếp tuyến (O) B Tìm tập hợp điểm C Cho đường tròn (O ; R) điểm A cố định nằm đường tròn (A  O) B điểm chuyển động (O) Qua O dựng đường thẳng vuông góc với AB, cắt AB M, cắt tiếp tuyến Bx đường tròn (O) D Tìm tập hợp điểm D Cho đường tròn (O ; R) điểm A cố định đường tròn B điểm chuyển động (O) Qua O dựng đường thẳng vuông góc với AB, cắt AB M, cắt tiếp tuyến Bx đường tròn (O) D Tìm tập hợp điểm D Cho đường tròn (O ; R) điểm A cố định đường tròn (A  0), BC dây cung di động quay quanh A Các tiếp tuyến B C với đường tròn (O) cắt D Tìm tập hợp điểm D Cho góc vuông xOy điểm A cố định nằm góc Một góc vuông đỉnh A có hai cạnh thay đổi cắt Ox, Oy B, C M điểm đối xứng A qua BC Tìm tập hợp điểm M Tam giác ABC cân A cố định nội tiếp đường tròn (O ; R) Điểm M di động cạnh BC Gọi D tâm đường tròn qua M tiếp xúc với AB B Gọi E tâm đường tròn qua M tiếp xúc với AC C Tìm tập hợp điểm I trung điểm DE 10 Cho A B hai điểm di động hai cạnh Ox Oy góc vuông xOy cố định Tìm tập hợp trung điểm M AB có OA + OB = 2m (m độ dài cho trước, m > 0) 11 Cho đường tròn (O ; R) điểm A cố định nằm đường tròn (O) Đường tròn tâm I di động qua A cắt (O) B, C Gọi M giao điểm BC tiếp tuyến A đường tròn (I) Tìm tập hợp điểm M 12 Cho đoạn thẳng AB cố định, C điểm chuyển động đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng hình vuông ACDE, CBFG có tâm O1, O2 Tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng O1O2 13 Cho đường tròn (O ; R), đường kính cố định AB đường kính CD di động AC AD cắt tiếp tuyến (a) với (O) B M N Tìm tập hợp tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN 14 Cho đoạn thẳng AB cố định, C di động tia đối tia BA Vẽ đường tròn (O) đường kính BC Vẽ tiếp tuyến AD, AE đường tròn (O) (D, E tiếp điểm), BD cắt CE M Tìm tập hợp điểm M 15 Cho nửa đường tròn đường kính AB tâm O bán kính R C điểm cung AB M điểm chuyển động cung BC, AM cắt CO N Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN Tìm tập hợp điểm I 16 Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BA, CA có hai điểm di động theo thứ tự M, N cho BM = CN Tìm tập hợp trung điểm I MN 17 Cho tam giác ABC, M điểm chuyển động cạnh BC Dựng hình chữ nhật MNPQ (N  AB, P  AB, Q  AC) Khi điểm M chuyển động cạnh BC tâm I hình chữ nhật MNPQ chuyển động đường nào? 18 Cho tam giác ABC cân A, đường thẳng d quay quanh A cắt đoạn thẳng BC Trên đường thẳng d lấy điểm M cho MB + MC nhỏ Tìm tập hợp điểm M 19 Cho hai điểm A, B cố định C điểm di động cho tam giác ABC có ba góc nhọn H trực tâm tam giác ABC, D chân đường vuông góc vẽ từ C tam giác ABC Tìm tập hợp điểm C để tích DH.DC đạt giá trị lớn 20 Cho đoạn thẳng AB = a cố định, M điểm chuyển động cho MA : MB = m (0 < m < 1) Tìm tập hợp điểm M 21 Cho góc xOy cố định có số đo 30o Các điểm A, B chuyển động tia Ox, Oy cho AB = a (a không đổi) Tìm tập hợp tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB 22 Cho đường tròn (O ; R) ; A điểm cố định (O) Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) Đường thẳng (d) quay quanh A cắt đường tròn (O) hai điểm C, D Tìm tập hợp trọng tâm G tam giác BCD 23 Cho AB dây cung cố định đường tròn cố định (O ; R) ; C điểm chuyển động (O) ; M trung điểm dây BC H hình chiếu M đường thẳng AC Tìm tập hợp điểm H 24 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho khoảng cách từ M đến A tổng khoảng cách từ M đến B C 25 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho tứ giác ABMC có AM.BC = AB.CM + AC.BM 26 Cho BC dây cung cố định đường tròn (O ; R) (BC  2R) A điểm chuyển động cung lớn BC Đường tròn (I) qua A tiếp xúc với BC B M trung điểm BC AM cắt đường tròn (I) M D Tìm tập hợp điểm D 27 Cho đường tròn (O ; R) điểm P cố định đường tròn, vẽ tiếp tuyến PA cát tuyến PBC (A, B, C (O ; R)) Gọi H trực tâm tam giác ABC Khi cát tuyến PBC quay quanh P a) Tìm quỹ tích (tập hợp) điểm đối xứng O qua BC b) Tìm quỹ tích (tập hợp điểm) H 28 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho SMAB = SMBC = SAMC 29 Cho tam giác ABC nhọn, với điểm M nằm tam giác ABC (M không thuộc cạnh tam giác) gọi a, b, c độ dài khoảng cách từ M đến cạnh BC, AC, AB Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn hệ thức a < b < c 30 Cho đường tròn (O ; R), hai đường kính AB CD vuông góc E điểm chuyển động đường tròn (O) Trên tia OE lấy M cho OM tổng khoảng cách từ E đến đường thẳng AB CD Tìm tập hợp điểm M GỢI Ý – HƯỚNG DẪN C E trung điểm BC suy OE  BD Tứ giác OECA có OEC  OAC = 180o nên nội tiếp đường tròn, suy tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OECA Do IO = IA D I E B A O IO = IA O, A cố định nên I thuộc đường trung trực đoạn thẳng OA (d) Tập hợp tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC đường trung trực đoạn thẳng OA OAB có OA2 + OB2 = AB2 (= 2R2)  OAB vuông O (định lí Py-ta-go đảo)  OA  OB Tương tự OA  OC Ta có B, O, C thẳng hàng ABC vuông cân A Ta có : CMD = ABC = 45o  CMD nhọn, : CM D  CI D  CI D  2CMD = 90o x A ICD có IC = ID (= R)  ICD cân I mà CI D = 90 nên ICD vuông cân I, suy I CD  I DC = 45o Ngoài M I o B O C D ACB = 45o ACI = 90o ACI = 90o AC cố định, I thuộc đường thẳng cố định Cx vuông góc với AC C Tập hợp tâm I đường tròn ngoại tiếp MCD tia Cx vuông góc với AC C Vẽ MH vuông góc AB (H  AB) R2 ) OA Tập hợp điểm D đường thẳng (d) vuông góc với OA H (với OH = x Vẽ DH  OA (H  OA) D Xét OMA OHD có : M OA chung  o OM A  OH D ( 90 ) Do OMA ~ OHD d D1 B M A OA OM    OA.OH = OM.OD OD OH H O OBD có OBD = 90o, BM  OD D2 nên : OM.OD = OB2 = R2 R2 (không đổi)  H cố định OA Vậy D thuộc đường thẳng cố định (d) vuông góc với đường thẳng OA H Tập hợp điểm D phần đường thẳng (d) trừ đoạn thẳng D1D2 (D1, D2 giao R2 điểm (d) với đường tròn (O)), d vuông góc với OA H (với OH = ) OA Gọi M giao điểm OD BC Vẽ DH  OA (H  OA) DB = DC (định lí tiếp tuyến), OB = OC (= R) suy DO trung trực BC  DO  BC Suy : OA.OH = R2  OH = Xét OMA OHD có M OA chung, OMA  OHD (= 90o) Do OMA OA OM  ~ OHD  OD OH H D B M  OA.OH = OM.OD A O OBD có B = 90o, BM  OD nên OM.OD = OB2 = R2 C R2 (không đổi)  H cố định OA Vậy D thuộc đường thẳng cố định (d) vuông góc với đường thẳng OA H Suy OA.OH = R2  OH = Tập hợp điểm D đường thẳng (d) vuông góc với OA H (với OH = R2 ) OA CAB  COB  CMB = 90o  C, A, B, M, O thuộc đường tròn AB = MB (A, M đối xứng qua BC) y A A2 C  AB  M B  AOB  BOM M thuộc đường thẳng đối xứng với B O đường thẳng OA qua Ox Tập hợp điểm M đoạn thẳng A1A2 (A1, A2 điểm đối xứng A qua Ox, Oy) x M A1 Vẽ đường kính AF đường tròn (O) ABF = 90o A (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ; ABD = 90o (AB tiếp xúc (D) B) Suy B, D, F thẳng hàng Tương tự C, E, F thẳng hàng Tương tự C, E, F thẳng hàng ABC cân A  AF  BC  BF  CF  BF = CF  B1  C1 BD = DM  B1  DMB ; B MK H D I1 I2 I C E F EM = EC  C1  EMC Suy : B1  DMB  EMC  C1 B1  EMC  BF // ME C1  DMB  MD // CF BF // M E  DMEF hình bình hành mà I trung điểm DE   M D // CF  I trung điểm MF Vẽ IK  BC FMH có IK // FH (IK  BC, FH  BC) ; I trung điểm MF  IK đường trung bình FMH  IK = FH (không đổi) Vậy I thuộc đường thẳng (d) song song với BC cách BC khoảng FH Tập hợp điểm I đường trung bình tam giác FBC (với F điểm cung BC) y 10 Cách : a) Phần thuận : Giả sử có mặt phẳng tọa độ Oxy (như hình vẽ) Vẽ MH  Ox, MK  Oy M1 B A(xA = OA ; yA = O), B(xB = O, yB = OB), M(x, y) K BO  OA  BO // MH   M H  OA O M H M2 A x AOB có BO // MH, MA = MB nên suy MH đường trung bình OB OA AOB Do : MH = Tương tự : MK = 2 Ta có : MH + MK = OB OA + 2 y+x=m y = –x + m Vậy M thuộc đường thẳng (d) có phương trình y = –x + m Tập hợp điểm M đoạn thẳng M1M2 đường thẳng (d) y Cách Trên cạnh Ox lấy điểm M2, M1 cạnh Oy lấy điểm M1 cho OM1 = OM2 = m M1M2 cắt AB M Từ B kẻ đường thẳng C song song với Ox cắt M1M2 B C OM1 = OM2  OM1M2 cân O M  OM 1M  OM M BCM  OM M (BC // Ox), O M2 A x OM 1M  BCM  M1B = BC (1) Mặt khác : OA + OB = OM1 + OM2 (= 2m) OM2 + M2A + OM1 – M1B = OM1 + OM2 Suy : M2A – M1B =  M1B = M2A (2) Từ (1) (2) suy : BC = M2A BC  M A  Tứ giác BCAM2 hình bình hành  M trung điểm AB  BC // M A Do M  M Ta có M  M1M2 Vậy M thuộc đoạn thẳng cố định M1M2 Tập hợp điểm M đoạn thẳng M1M2 (với M1 tia Oy OM1 = m, M2 tia Ox OM2 = m) Chú ý : Cách trình bày ngắn gọn hơn, nhiên cách giúp giải toán tổng quát, trường hợp xOy  90o) 11 Vẽ tiếp tuyến MD với (O) (D  (O)) Xét MAC MBA có : B AMC chung, MAC  MBA (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung AC (I)) MA MC  Do : MAC ~ MBA  MB MA I A  MA2 = MB.MC K C M Tương tự : MD = MB.MC d Vẽ MH  OA H Mặt khác MOD có D = 90o nên theo định lí Py-ta-go, ta có : MD2 = MO2 – R2, suy MO2 – MA2 = R2 HMA( M H A = 90o)  MA2 = MH2 + AH2 HMO( MHO = 90o)  MO2 = MH2 + HO2 Do : (MH2 + OH2) – (MH2 + AH2) = R2  OH2 – AH2 = R2  R2 OH  AH   Do : (OH + AH)(OH – AH) = R2   OA OH  AH  OA   OH =   R2  OA  (không đổi)   OA  O H D  H cố định H cố định, OA cố định, MH  AO H Vậy M thuộc đường thẳng (d) vuông góc với OA H Tập hợp điểm M đường thẳng (d) vuông góc với OA H (với OH =   R2  OA    OA  12 Vẽ tam giác ABI vuông cân I nửa mặt phẳng bờ AB có chứa D, E E D I O1 AC = 45o (ACDE hình vuông) I AC = 45 (ABI vuông cân I) o Suy A, O1, I thẳng hàng  O1 thuộc đường thẳng cố định AI Tương tự, O2 thuộc đường thẳng cố định BI O1 M1 d G M F M2 O2 A K H C B Vẽ MH  AB, IK  AB (H, K  AB)  MH // IK Tứ giác O1IO2C hình chữ nhật ( O1  I  O2 = 90o)  M trung điểm IC IKC có MH // IK, M trung điểm IC  MH đường trung bình IKC  MH = IK (không đổi), mà đường thẳng AB cố định Do M thuộc đường thẳng (d) cố định song song với đường thẳng AB cách AB khoảng IK Tập hợp điểm M đường trung bình M1M2 tam giác ABI vuông cân I 13 ACD = sđ AD ; DNM = 1 (sđ AB - sđ BD ) = ( 180 - sđ BD ) = sđ AD 2 Suy ACD  DNM  tứ giác DCMN nội tiếp đường tròn (I) DAC = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AMN có A = 90o, AE trung tuyến suy EA = EM  EAM  AM E M Do : ACF  FAC  ANM  AMN C Mà ANM  AMN = 90o  ACF  FAC = 90o O A B hay AE  DC F I tâm đường tròn qua D, C, M, N D  OI  DC, AE  DC  AE // OI E I AO  a, EI  a  AO // EI Suy AOIE hình bình hành  EI = AO = R N Đường thẳng a cố định a Vậy I thuộc đường thẳng cố định d song song với đường thẳng a cách a khoảng R Tập hợp điểm I đường thẳng d, song song với a, d cách a khoảng R, d nằm nửa mặt phẳng bờ a không chứa điểm A 14 AD = AE (tính chất tiếp tuyến), OD = OE (= R)  A, O thuộc đường trung trực đoạn thẳng DE  AO  DE  BD  BE  DCA  ACM Mà DCA  ADM (= sđ BD ), D A : ADM  ACM  Tứ giác ADCM nội tiếp đường tròn  MAC  MDC mà MDC = 90o nên MAC = 90o Đường thẳng AB cố định 15 CMN = sđ AC = 45o CMN nhọn suy CMN = C O B E M CI N  CI N = 90o ICN cân (IC = IN = r) có CI N = 90o  ICN vuông cân I C Mà NCB = 45o (OBC vuông cân O) suy C, I, B thẳng hàng Do I thuộc đường thẳng BC M I  NCI = 45o N A I1 O B 16 Gọi O trung điểm BC  O cố định Vẽ hai tia Ox // AB, Oy // AC Từ M, N vẽ hai đường thẳng song song với BC cắt Ox D Oy E Ta có MBOD, EOCN hình bình hành, suy MD // BO, MD = BO ; EN // OC, EN = OC BM = CN mà BO = OC nên MD // EN MD = EN, suy MDNE hình bình hành, I trung điểm MN  I trung điểm DE A B O C E N M I D x z y BM = OD ; CN = OE ; BM = CN  OD = OE ODE cân có OI đường trung tuyến  OI tia phân giác xOy Vậy I thuộc tia phân giác Oz góc xOy cố định Tập hợp điểm I tia phân giác Oz góc xOy (với O trung điểm BC Ox // AB, Oy // AC) 17 Cách Gọi CO đường cao tam giác ABC C H, K, E, F trung điểm đoạn thẳng CO, AB, MN, PQ H Ta có H, B, E thẳng hàng ; H, F, A thẳng hàng Thật vậy, BE cắt CO H ta có : NE BE  (EN // HO) ; OH  BH  EM BE  (ME // CH) CH  BH  Q M I E B N O F K P A Mà EM = NE, OH = CH Vậy H  H Suy H, I, K thẳng hàng Vậy I thuộc đường thẳng cố định HK Tập hợp điểm I đoạn thẳng HK (H trung điểm đoạn thẳng CO, K trung điểm cạnh AB, CO đường cao tam giác ABC) y Cách Giả sử có mặt phẳng tọa độ Oxy hình bên A(a ; 0), B(b ; 0), C(0 ; c) C M Phương trình đường thẳng MQ có dạng y = m (0  m  c) Phương trình đường thẳng AC y = – Q H c x + c a I Phương trình đường thẳng BC y = – c x + c b B N O K P A x a b   Suy : Q  (c  m) ; m  , M  (c  m) ; m  c c   c c m a  b I trung điểm MP nên : I  (c  m) ;  ; I(x, y) ; y = a  b x  2  2c c c x Do I thuộc đường thẳng có phương trình y = ab Khi M  B I  K (K trung điểm AB) Khi M  C I  H (H trung điểm OC) Vậy I chuyển động đoạn thẳng HK (H, K trung điểm đoạn thẳng OC, AB) d 18 Xét ba điểm M, B, C có MB + MC  BC, BC không đổi Dấu “=” xảy M nằm B C MB + MC nhỏ M nằm B C A Vậy M thuộc đoạn thẳng BC Tập hợp điểm M đoạn thẳng BC B I C M 19 Xét DAH DCB có DAH  DCB (cùng phụ với góc ABC) DA DH  ADH  CDB (= 90o) Do DAH ~ DCB, suy DC DB  DH.DC = DA.DB C Nhưng DA.DB = DA(AB – DA) = DA.AB – DA2 = E  AB  AB   DA.AB  DA    A AB  AB AB    DA   = 4   nên DH.DC  H B D AB AB , không đổi Dấu “=” xảy 4 F  DA = DB  C thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB d Tam giác ABC nhọn nên C nằm đường tròn đường kính AB Do C thuộc đường trung trực d đoạn thẳng AB trừ đoạn thẳng EF (E, F giao điểm d đường tròn đường kính AB) Chú ý : Có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương DA DB, ta có : AB  DA  DB  DA.DB       20 Vẽ MC, MD đường phân giác tam giác AMB (C, D  AB) Ta có MC, MD hai tia phân giác hai góc kề bù, suy x DMC = 90o MA =m MB Mà Nên  M CA m  CA  CB m  CA m  AB m   CA = m a không đổi m 1 CA DA M A   CB DB M B K H D O A C B  C cố định DA m DA m m     DA = a không đổi  D cố định DB  DA  m AB  m 1m DMC = 90o, DC cố định nên M thuộc đường tròn cố định đường kính DC Tập hợp điểm M đường tròn đường kính DC Chú ý : Đường tròn đường kính DC gọi đường tròn A-pô-lô-ni-út 21 AOB  AI B y I1  AI B  2.AOB = 60o IAB nên R = AB Do OI = a không đổi, O cố định Vậy I thuộc đường tròn cố định (O ; a)  Khi A  O B  B1 cho OB1 = a, I B B1 O A1 ta có I  I1, I1  (O ; a) AOI = 90o A x I2 Khi B  O A  A1 cho OA1 = a, ta có I  I2, I2  (O ; a) BOI = 90o Do I thuộc cung I1I2 đường tròn (O ; a) Tập hợp điểm I cung I 1I đường tròn (O ; a) Chú ý : Thay “30o” “” tập hợp điểm I cung tròn I 1I đường tròn a   O ;  2sin    22 Gọi E, F trung điểm CD, OA, ta có F cố định (vì OA cố định) ; K điểm BK  đoạn thẳng BF cho BF suy K cố định (vì BF cố định) B BG BK   BEF có : BE BF K Suy GK // EF GK   EF O F G C E G1 D B1 EF 1 mà EF = OA, GK = OA (không đổi) K cố định  GK = A OA   Tập hợp điểm G cung BG đường tròn  K ; OA  (với K thuộc đoạn     BF, BK = BF, G1 giao điểm BB1 đường tròn  K ; OA  (trừ B 3   G1)) Vậy G thuộc đường tròn cố định tâm K bán kính C 23 Vẽ đường kính AOD (O)  D cố định ; HM cắt BD N H Ta có ACD = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), NH  AC, DC  AC  NH // DC BDC có NH // DC, MB = MC suy ND = NB Mà BD cố định  N cố định D O M N A B AHN = 90o, AN cố định Do H thuộc đường tròn cố định đường kính AN Tập hợp điểm H đường tròn đường kính AN (trừ A, B) (với D điểm đối xứng A qua O, N trung điểm BD) 24 Vẽ tam giác AMD, (D C nửa mặt phẳng bờ AM) Xét ABM ACD có : AB = AC (ABC đều) ; BAM  CAD ; (BAM  M AC  CAD  M AC = 60o) AM = AD (AMD đều) A Do ABM = ACD (c.g.c) suy MB = CD Xét ba điểm M, C, D có MD  CD + MC Mà MA = AD nên MA  AB + MC MA = MB + MC  C nằm M D Mặt khác, ABM  ACD (ABM = ACD)  tứ giác BACM nội tiếp Vậy M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D B C M Tập hợp điểm M cung tròn BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A 25 Vẽ tia Mx góc BMC cho CMx  AMB , vẽ Cy M Cy  BAM , Mx cắt Cy I x cho Xét BAM = ICM có : BAM  I CM , BMA  I MC Do BAM ~ ICM, B C y I M AB AM BM   IC CM MI  AB.CM = AM.IC suy Xét BMI AMC có : BMI  AMC ( BMA  I MC ), Do BMI ~ AMC, suy BM AM  MI CM BI BM   AC.BM = AM.BI AC AM Ta có AB.CM + AC.BM = AM.IC + AM.BI  AM.BC = AM(IC + BI)  BC = IC + BI  B, I, C thẳng hàng Do BAM  BCM  tứ giác ABMC nội tiếp 26 Hai tam giác MBD MAB có :   BM D (chung), MBD  MAB   sñBD    A Do MBD ~ MAB, suy : MB MD   MB2 = MD.MA MA MB I O D Xét MBA MEC có : BMA  EMC (đối đỉnh) ; MBA  MEC (hai góc nội tiếp chắn cung AC) B Do MBA = MEC, suy : C M E MB MA  ME MC  MB.MC = ME.MA Mà MB = MC nên : MD.MA = ME.MA  MD = ME Vậy tứ giác BDCE hình bình hành  BDC  BEC BC cố định nên sđ BEC không đổi Đặt sđ BEC =  BDC = , BC cố định Do D thuộc cung tròn cố định cung chứa góc  dựng đoạn BC Chú ý : Từ kết cho ta toán hay khó sau : Cho BC dây cung cố định đường tròn (O ; R) (BC  2R) A điểm chuyển động cung lớn BC Đường tròn (I) qua A tiếp xúc BC B M trung điểm BC AM cắt đường tròn (I) M D P, G, H tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm, trực tâm tam giác ABC a) Tìm tập hợp điểm D b) Tìm tập hợp điểm G c) Tìm tập hợp điểm H 27 a) O K đối xứng qua BC nên PK = PO PO không đổi, P cố định Do K thuộc đường tròn (P ; PO) Quỹ tích điểm K cung K1K2 đường tròn tâm P bán kính PO (K1 điểm đối xứng O qua PA, K2 điểm đối xứng O qua PA) b) Vẽ đường kính AD đường tròn (O ; R), ta có ACD = 90o  DC  AC Mà BH  AC (H trực tâm ABC) suy DC // BH Tương tự : CH // DB Do tứ giác BHCD hình bình hành Gọi J trung điểm BC, ta có J trung điểm HD OJ đường trung bình AHD  OJ = AH Do AH = OK mà AH // OK (vì vuông góc với BC)  tứ giác HAOK hình bình hành  OA // KH OA = KH Vẽ hình bình hành AOPI  I cố định (vì A, O, P cố định) OA // PI, OA = PI Suy KH // PI KH = PI Do tứ giác PIHK hình bình hành  IH = PK Ta có IH = PO, PO không đổi, I cố định Vậy H thuộc đường tròn (I ; PO) H1 K1 A I Quỹ tích điểm H cung H1H2 đường tròn I bán kính PO (H1 thuộc đường tròn (I, PO) AOK1H1 hình bình hành, H2 thuộc đường tròn (I, PO) cho AOK2H2 hình bình hành) O H P B H2 C A J K K2 D 28 SMAB = SMBC suy M thuộc đường thẳng (d) qua B song song với AC thuộc đường thẳng (d) đường trung tuyến BI tam giác ABC d1 d d2 A M1 M2 d1 F G SMAB = SMAC suy M d B thuộc đường thẳng (d1) qua A song song với BC thuộc đường thẳng (d1) đường trung tuyến AE d2 tam giác ABC SMAB = SMBC suy M thuộc đường thẳng (d2) qua C song song với AB thuộc đường thẳng (d2) đường trung tuyến CF I E C M3 Gọi giao điểm đường (d), (d), (d1), (d1), (d2), (d2) G ; M1 ; M2 ; M3 Tập hợp điểm M cần tìm tập hợp A gồm điểm G ; M ; M2 ; M3 (với G trọng tâm tam giác ABC ; A, B, C trung điểm cạnh M 1M2 ; M1M3 ; M2M3 tam giác M1M2M3) 29 Tam giác ABC có AD, BE, CF đường phân giác cắt O Vẽ MA  BC, MB  AC, MC  AB, A (A  BC, B  AC, C  AB) MA < MB < MC (gt) F C MA < MB  M thuộc miền BCF E O Thật M thuộc miền BCF , MB cắt CF K Ta có : MA < MI < MK + KI = MK + KB = MB M B D B K A I C Vậy a < b Nếu M thuộc CF thuộc miền ACF a < b sai Tóm lại, a < b nên M nằm tam giác BCF Tương tự, b < c nên M nằm tam giác ACD Vậy M thỏa mãn điều kiện a < b < c  M nằm tam giác OCD không kể cạnh 30 Xét E thuộc cung AC đường tròn (O ; R) Gọi H, K hình chiếu E AB, AC N hình chiếu C OE Ta có ON = EH, CN = EK Nếu M tia OE thỏa mãn M C E N OM = EH + EK = EH + HO > OE A Suy M nằm đường tròn (O ; R) H K B O MN = OM – ON = EH + EK – ON = ON + CN – ON = CN MCN vuông cân N suy : OMC = 45  OMC  OAC = 45 o D o  tứ giác OAMC nội tiếp  AMC  AOC = 180o  AMC = 90o  M thuộc nửa đường tròn đường kính AC nằm đường tròn (O ; R) Tương tự kết luận E chạy đường tròn (O ; R) M chạy nửa đường tròn có đường kính AC, BC, BD, AD nằm đường tròn (O ; R) Tập hợp điểm M nửa đường tròn đường kính AC, BC, BD, AD nằm đường tròn (O ; R) Thực : - Nhà giáo : NGUYỄN ĐỨC TẤN - Nhà giáo : NGUYỄN ANH HOÀNG - Nhà giáo : NGUYỄN ĐOÀN VŨ