CƠNG THỨC ĐƯỜNG TRỊN – ELIP – HYPEBOL – PARABOL Phương trình đường trịn Phương tích của điểm với đường tròn Cách 1: Tìm phương tích của điểm M với đường tròn (C) Cho đường trịn có tâm I a; b bán kính R : Cơng thức tính phương tích của điểm M x0 ; y0 với (C): 2 + Phương trình tổng quát của đường tròn: x y 2ax 2by c : x2 y 2ax 2by c là: PM / C x02 y02 2ax0 2by0 c Tâm I a;b Với Nếu PM/ C : Điểm A nằm đường tròn 2 A2 R a b c A1 Nếu : Điểm A nằm đường tròn P 2 M/ C + Phương trình chính tắc của đường tròn: x a y b R I Nếu PM/ C : Điểm A nằm đường tròn + Phương trình tham số của đường tròn: x a R.sin t ; t 0;2 Phương trình tham số dạng lượng giác: A3 Nói một cách đơn giản: y b R.cos t Ta thay tọa đợ điểm A vào phương trình đường tròn, nếu được kết quả 2Rt dương A nằm ngoài, = A nằm và âm A nằm x a t2 Cách 2: Phương trình tham số dạng đại sớ: ;t R Tính khoảng cách từ điểm M đến tâm I của đường tròn so sánh với R y b R 1 t Nếu MI R điểm M nằm ngồi đường trịn t2 Nếu MI R điểm M nằm đường tròn Điều kiện để x2 y 2ax 2by c phương trình đường tròn Nếu MI R điểm M nằm đường tròn 2 Chú ý: a b c 0 - Nếu A nằm đường tròn thì mọi đường thẳng qua A đều cắt đường tròn Tìm điểm cố định mà họ đường tròn qua tại điểm Đưa phương trình đường tròn về dạng: m f x; y g x; y 1 Gọi - Nếu A nằm đường tròn thì tồn tại nhất một đường thẳng qua A f x; y x tiếp xúc (C) M M x; y điểm cố định 1 đúng với mọi m Nếu A nằm đường tròn thì có đường thẳng qua A tiếp xúc với (C) g x; y y Lập phương trình đường trịn biết tâm bán kính Phương trình đường trịn biết tâm I a; b và qua điểm A Tâm I a; b bán kính R C : ( x a)2 ( y b)2 R2 Lập phương trình đường trịn biết tâm tiếp xúc với đường thẳng Tâm I a; b bán kính R d ( I , ) nên (C) : ( x a)2 ( y b)2 R2 Chú ý: Nếu đường tròn tâm I a; b tiếp xúc Ox thì R b , tiếp xúc Oy thì R a Tính bán kính R IA nên (C) : ( x a)2 ( y b)2 R2 Nếu đường tròn đồng thời tiếp xúc với trục Ox Oy a b a b C : x a Đường tròn qua điểm có tâm thuộc đường thẳng Cách 1: Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB Xác định tâm I giao điểm của d bán kính R IA Cách 2: Gọi phương trình đường tròn là: x2 y 2ax 2by c Thay tọa độ điểm A B vào phương trình đường tròn, kết hợp với đường thẳng d để giải hệ tìm a, b, c Lập phương trình đường tròn đường kính AB AB x xB y A y B ; + Tìm tọa đợ tâm I trung điểm AB I A R AI 2 Biết được tọa độ tâm I a; b bán kính R ta dùng công thức: y b R2 A d I(a;b) B HDedu - Page CÔNG THỨC ĐƯỜNG TRÒN – ELIP – HYPEBOL – PARABOL Đường trịn có tâm tḥc đường thẳng d giao với đường tròn Đường tròn qua điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng d C1 ; C2 mợt góc vng A Viết phương trình đường trung trực d của Bước 1: Tìm tọa độ tâm I1 ; R1 I ; R2 d đoạn AB dưới dạng tham số Suy tọa đợ Bước 2: Gọi đường trịn cần tìm có tâm tâm I theo tham sớ I a; b , bán kính R hệ phương trình ẩn: I R2 R Dùng công thức: I B I d I2 I d ( I , ) IA t C 2 II1 R R1 R IA R 2 II R R2 d Đường tròn qua A tiếp xúc với đường thẳng d B R1 I1 Bước 3: Giải hệ phương trình tìm được Viết phương trình đường trung trực d của a; b; R phương trình đường tròn đoạn AB Đường tròn biết tâm I a; b tiếp xúc với Ox; Oy Viết phương trình đường thẳng qua B A I vuông góc với Đường trịn tiếp xúc Ox R b Phương y Xác định tâm I giao điểm của d M 2 trình đường tròn: x a y b b d Bán kính R IA Từ viết phương trình B đường trịn biết tâm bán kính I(a;b) Đường trịn tiếp xúc Oy R a Phương ' trình đường tròn: x a y b a 2 Qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng + Nếu 1 cắt : Cách 1: Gọi tâm I a; b Sử dụng công thức: d ( I , 1 ) d ( I , ) để tìm a; b Bán kính R IA Từ viết đường trịn d ( I , 1 ) IA Cách 2: Viết phương trình phân giác d tạo 1 ( dưới dạng tham số) Suy điểm I d tọa độ điểm I dưới dạng tham số Sử dụng công thức d ( I , 1 ) IA t tâm I ; R đường tròn + Nếu 1 / / : Tính R d (1 , ) ( em sử dụng cơng thức tính khoảng cách đường thẳng song song) d ( I , 1 ) d ( I , ) Gọi tâm I a; b Sử dụng công thức: để tìm a; b d ( I , 1 ) R B M B I I x I(a;b) Đường tròn qua M x0 ; y0 tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox; Oy + Gọi tâm I a; b Đường trịn tiếp xúc hai y trục tọa đợ nên a b R : + Nếu a b phương trình đường tròn là: I(a;b) b a x a y a a Thay tọa độ M x0 ; y0 vào đường tròn để tìm a x + Nếu a b phương trình đường tròn là: x a y a a Thay tọa độ M x0 ; y0 vào đường tròn để tìm a 2 C A C A HDedu - Page CÔNG THỨC ĐƯỜNG TRỊN – ELIP – HYPEBOL – PARABOL Đường trịn có tâm nằm một đường thẳng tiếp xúc với Đường tròn qua điểm ( Đường tròn ngoại tiếp tam giác) đường thẳng Chuyển đường thẳng (d) về Cách 1: Phương trình của (C) có dạng: A tham số suy tọa độ tam I d x2 y 2ax 2by c (*) Lần lượt thay toạ độ của A, B theo tham số Tâm I của (C) B, C vào (*) ta được hệ phương trình Giải hệ phương trình d ( I , 1 ) d ( I , ) M ta tìm được a, b, c phương trình của (C) thoả mãn: I I d IA IB I Cách 2: Gọi tâm I a; b , dùng cơng thức để tìm IA IC B C C Bán kính R = d ( I , 1 ) I a, b C R IA IB Cách 3: Viết phương trình hai đường trung trực của hai cạnh Giao trung trực tâm I Đường trịn tiếp xúc đường thẳng ( đường trịn nợi tiếp tam giác) R IA Cách 4: Gọi tâm I a; b , M N trung điểm AB AC suy : 1 IM AB a I Từ viết phương trình đường trịn b R IA IN AC A A C I I Chú ý: Tam giác đều: Tâm I trọng tâm r B a (a cạnh tam giác đều) Tính tọa x A xB xC x độ trọng tâm I: y y A yB yC + Nếu đường thẳng cắt đôi một tại điểm A, B, C thì toán trở về viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC + Nếu có hai đường thẳng song song với thì bán kính bằng nửa khoảng cách hai đường thẳng song song tọa độ tâm I giao của hai phân giác góc A B Cách viết phương trình đường trịn nợi tiếp: A Phân giác góc B Phân giác ngoài góc A Cách 1: Viết phương trình của hai đường phân giác của hai góc Phương trình phân giác tạo bởi hai đường thẳng tam giác Xác định tâm I giao điểm của hai đường phân giác a1x + b1y + c1 = và a2x + b2y + c2 = là: | a1x + b1y + c1 | | a2x + b2y + c2 | Bán kính R d ( I , AB) = 2 a1 + b a22 + b22 Cách 2: C B Tính diện tích tam giác ABC từ suy bán kính đường tròn nội Phương tích của A(x0;y0) tới đường thẳng S ax + by + c = là: Phân giác góc A tiếp: r ; ( với P nửa chu vi) P(A/d)= a.x0 + b.y0 +c =0 P Gọi I a; b Khoảng cách từ I a; b đến cạnh bằng r từ tìm a,b HDedu - Page viết phương trình đường tròn B CƠNG THỨC ĐƯỜNG TRỊN – ELIP – HYPEBOL – PARABOL Đường tròn đối xứng đường tròn qua điểm Đường tròn đối xứng đường tròn qua đường thẳng Cách 1: Để ý rằng, đường trịn C1 có tâm I1 C + Gọi M x; y C ; M1 x1 ; y1 C1 bán kính R Ta tìm tâm I1 cho M M1 đối xứng qua E I của đường tròn C bằng cách: x x 2x E x 2x E x1 Ta có: y1 y 2y E y 2y E y1 Thay x, y vào (C) biến đổi ta được C1 M1 E I H I1 M I1 C1 Cách 2: x 2x E x I Tọa độ tâm I1 của đường trịn C1 đới xứng với I qua E nên y1 2y E y I Từ viết phương trình đường trịn C1 có tâm I1 bán kính R Vị trí tương đối của đường thẳng và đường trịn Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R Xác định tâm I bán kính R của (C) tính khoảng cách từ I đến d + d ( I , d ) R d cắt (C) tại hai điểm phân biệt + d ( I , d ) R d tiếp xúc với (C) + d ( I , d ) R d (C) khơng có điểm chung Cách 2: Toạ đợ giao điểm (nếu có) của d (C) nghiệm của hệ phương trình: Ax By C (*) 2 x y 2ax 2by c + Hệ (*) có nghiệm d cắt (C) tại hai điểm phân biệt + Hệ (*) có nghiệm d tiếp xúc với (C) + Hệ (*) vô nghiệm d (C) khơng có điểm chung Quỹ tích Tập hợp các tâm đường tròn: Để tìm tập hợp các tâm I của đường tròn (C), ta có thể thực sau: x f (m ) y g( m ) a) Tìm giá trị của m để tồn tại tâm I Sau tìm toạ độ tâm I Giả sử: I b) Khử m x y ta được phương trình F x; y c) Giới hạn: Dựa vào điều kiện của m a) để giới hạn miền của x y d) Phương trình tập hợp điểm F x; y với phần giới hạn c) Tập hợp điểm là đường tròn: Thực tương tự d C C1 - Viết phương trình đường thẳng qua I vng góc với (d) - Tìm tọa đợ chân đường vng góc H H trung điểm II1 từ tìm được tọa độ I1 viết phương trình C1 Chú ý: Nếu đường thẳng có dạng x a y b ta có thể làm sau: Lấy M x1 ; y1 thuộc (C) M1 x; y C1 cho M, M1 đối xứng qua y y1 y y Thay x1 ; y1 vào đường tròn (C) ta x a suy ra: x x1 a x1 a x tìm được C1 Vị trí tương đối hai đường tròn Để biện luận sớ giao điểm của hai đường trịn (C1): x2 y 2a1 x 2b1 y c1 , (C2): x2 y 2a2 x 2b2 y c2 ta có thể thực sau: Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I1 I với bán kính R1 , R2 + R1 R2 I1 I R1 R2 (C1) cắt (C2) tại điểm + I1 I R1 R2 (C1) tiếp xúc với (C2) + I1 I R1 R2 (C1) tiếp xúc với (C2) + I1 I R1 R2 (C1) (C2) + I1 I R1 R2 (C1) (C2) Cách 2: Toạ đợ các giao điểm (nếu có) của (C1) (C2) nghiệm của hệ 2 x y 2a1 x 2b1 y c1 phương trình: (*) x y 2a2 x 2b2 y c2 + Hệ (*) có hai nghiệm (C1) cắt (C2) tại điểm + Hệ (*) có một nghiệm (C1) tiếp xúc với (C2) + Hệ (*) vơ nghiệm (C1) (C2) khơng có điểm chung HDedu - Page CƠNG THỨC ĐƯỜNG TRỊN – ELIP – HYPEBOL – PARABOL Phương trình tiếp tuyến của đường tròn Elip d B M M Chuyển phương trình ban đầu của Elíp (E) về dạng tắc (E): y R I I y B2(0;b) I M F2(c;0) B2(0;b) A Tính phương tích của M với đường tròn (C) để kiểm tra M nằm trong, hay đường tròn - Nếu M nằm đường tròn: Không tồn tại tiếp tuyến - Nếu M nằm đường tròn: + Cách M tiếp điểm nên phương trình tiếp tún qua M vng góc MI Từ viết được tiếp tuyến + Cách 2: Sử dụng công thức: Tiếp tuyến với (C ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) (C ) có phương trình : (C ) : x0 a x a y0 b ( y b) R - Nếu M nằm ngoài: Ta chia các trường hợp + Xét các tiếp tún vng góc Ox có dạng: x a R + Xét các tiếp tuyến không vuông góc với Ox: Ta viết dạng tởng quát phương trình (d) qua M dạng tham số Dùng điều kiện tiếp xúc d I,d R để tìm tham số 2b X2 Y2 1 a b2 từ đó, tḥc tính của (E) hệ trục IXY suy tḥc tính của (E) hệ trục Oxy Ta được: (E): A2(a;0) A1(-a;0) F1(-c;0) F2(c;0) A2(a;0) A1(-a;0) x B1(0;-b) 2a x F1(0;-c) B1(0;-b) Trường hợp a > b Trường hợp a < b Nếu a b : Độ dài trục lớn: A1 A2 2a ; trục nhỏ: B1 B2 2b ; F1 c,0 , F2 c,0 c a Tiêu cự: F1 F2 2c với c a b ; Tâm sai: e ; đường chuẩn : x a e x a ; y b Phương trình cạnh cùa hình chữ nhật sở: (Đợ dài hai cạnh Chú ý: Trong trường hợp phương trình của (E) có dạng: ( x )2 ( y )2 (E): = a2 b2 ta thực phép tịnh tiến hệ trục Oxy theo vectơ OI với I(, ) thành hệ X x x X trục IXY với công thức đổi trục: Y y y Y x2 y 1 a b2 2a 2b), diện tích và chu vi HCS sở: S 4ab; *Trục đối xứng: Ox; Oy *Tâm đối xứng: O C 4 a b yM2 xM2 a b2 c Điểm M xM , yM E MF1 a e xM a xM a c MF2 a e xM a a xM Trường hợp 2: a b (E) có trục lớn tḥc Oy, độ dài bằng B1 B2 2b chứa hai tiêu điểm F1 0, c , F2 0, c với c b a F1 F2 2c (E) có trục nhỏ tḥc Ox với đợ dài bằng A1 A2 2a c Tâm sai e b HDedu - Page x2 y 1 a b2 (H) có trục thực thuộc Ox, độ dài bằng 2a chứa hai tiêu điểm F1 c, , F2 c, với c a b (H) có trục ảo tḥc Oy với đợ dài bằng 2b c Tâm sai e a Nếu P : CÔNG THỨC ĐƯỜNG TRÒN – ELIP – HYPEBOL – PARABOL x2 y Hypebol 1 a b x2 y Nếu 1 a b y (H) có trục thực tḥc Oy, đợ dài bằng 2b chứa hai tiêu điểm F1 0, c , F2 0, c với c a b A1 O A2 F2 x F1 (H) có trục ảo tḥc Ox với độ dài bằng 2a c Tâm sai e b PARABOL P : y 2 px HOẶC P : x 2 py P : y px p Đỉnh O 0;0 , p Tiêu điểm F ;0 2 p , Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị bên phải Ox P : x2 py p (d) (P) y L F -p/2 p/2 O Đường chuẩn d : x Đỉnh O 0;0 y p Tiêu điểm F 0; , 2 F p/2 p (d) Đường chuẩn d : y , Parabol, nhận Oy làm trục đới xứng, đồ thị có hướng lên Chú ý: Trong trường hợp phương trình của (P) có dạng: O -p/2 L P : x (P) x F2 B2 x O B1 F1 y 2 px p Đỉnh O 0;0 , p Tiêu điểm F ;0 , p , Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị bên trái Ox P : x2 2 py p 0 Đỉnh O(0 0), p Tiêu điểm F 0; , 2 p Đường chuẩn d : y , Parabol, nhận Ox làm trục đới xứng, đồ thị có hướng x́ng dưới y y (P) F - p/2 Đường chuẩn d : x (d) L O p/ x y L p/2 O (P) F (d) x -p/2 ( y )2 2 p( x ) P : ( x )2 2 p( y ) Ta thực phép tịnh tiến hệ trục Oxy X x x X theo vectơ OI với I(, ) thành hệ trục IXY với công thức đổi trục: ta được: P : Y 2 pX P : X 2 pY Y y y Y từ các tḥc tính của (P) hệ trục IXY suy các thuộc tính của (P) hệ trục Oxy HDedu - Page ... vào đường tròn để tìm a 2 C A C A HDedu - Page CÔNG THỨC ĐƯỜNG TRỊN – ELIP – HYPEBOL – PARABOL Đường trịn có tâm nằm mợt đường thẳng tiếp xúc với Đường tròn qua điểm ( Đường tròn ngoại... trình đường tròn B CƠNG THỨC ĐƯỜNG TRỊN – ELIP – HYPEBOL – PARABOL Đường tròn đối xứng đường tròn qua điểm Đường tròn đối xứng đường tròn qua đường thẳng Cách 1: Để ý rằng, đường trịn...CƠNG THỨC ĐƯỜNG TRỊN – ELIP – HYPEBOL – PARABOL Đường trịn có tâm tḥc đường thẳng d giao với đường tròn Đường tròn qua điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng d C1 ;