CHUYÊN ĐỀ 1: GIỚI HẠN XÁC ĐỊNH Phương pháp: + lim c c x x0 + Nếu f x có tập xác định D x0 D lim f x f x0 x x0 Nói đơn giản, để tính giới hạn hàm số dạng này, ta thay x0 vào hàm số f x Khi dùng dạng này: Khi em thấy giá trị x0 thuộc TXĐ hàm số BÀI TẬP MẪU Bài 1: Cho f x x3 x Tính lim f x ? x 2 Hướng dẫn Ta có: lim f x f 2.23 18 x2 Bài 2: Tính giới hạn sau: x4 x 1 a) lim x 0 b) lim x 1 x 5 c) lim x 3x x 1 d) lim x 2 x 1 x2 Hướng dẫn a) Ta có: lim x 0 x4 04 4 x 1 1 b) lim x 1 52 24 x 5 c) lim x 3x 12 3.1 x 1 d) lim x 2 x 1 x 1 1 1 15 3 BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Tính giới hạn sau: 1) lim x x x 1 x x sin 3) lim x x ĐS: 12 x 3 x ĐS: 2) lim x x x tan arcsin x ĐS: 2 x x x3 ĐS: x 0 1 x 4) lim HDedu - Page sin x 4 6) lim ĐS: x x 3x x ĐS: x 1 2 5) lim x 1 x 1 ĐS: x 1 x x 3 8) lim 7) lim x2 x 2x ĐS: x 1 9) lim x 1 11) lim x2 10) lim x 1 3x 3x ĐS: x 1 x2 x ĐS: x 1 x8 3 ĐS: x2 12) lim x sin ĐS: x 0 CHUYÊN ĐỀ 2: GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG 0 P x với P x , Q x đa thức thỏa mãn P x0 Q x0 x x0 Q x Dạng 1: Tính lim Phương pháp: Phân tích tử số mẫu số xuất x x0 , sau triệt tiêu x x0 để khử dạng 0 BÀI TẬP MẪU x2 Bài 1: Tính giới hạn lim x 3 x x Hướng dẫn x 3 x 3 lim x 3 x2 lim lim x 3 x x x 3 x 3 x x 3 x Bài 2: Tính giới hạn : 1) lim1 x x3 x2 5x 2) lim x 1 x100 x x50 x Hướng dẫn x x 1 x 1 x x 1 x3 lim1 lim1 6 1) lim1 x 1 3x 1 3x 1 x x x x x 2 x100 x x 1 x 1 x99 x98 x 1 98 49 x100 x 2) lim 50 lim lim x 1 x x x1 x50 x x 1 x1 x 1 x 49 x 48 x 1 48 24 HDedu - Page BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Tính giới hạn sau: 1) lim x 1 x2 ĐS: x 1 1 2) lim x ĐS: 1 x 0 x x3 3) lim ĐS: x 2 x 3x x 4) lim ĐS: x 1 x 1 x 3x 5) lim ĐS: x 2 x2 x 16 6) lim ĐS: 8 x 2 x x 7) lim 1 5x 1 x x 0 x ĐS: 14 Bài 2: Tính giới hạn sau: 2) lim x3 3x x ĐS: x2 1 x x x3 ĐS: x 1 1 x 4) lim x x 3x ĐS: x4 8x2 5) lim x x5 x ĐS: x 1 x2 1 6) lim ĐS: x 1 x x 1 7) lim ĐS: 1 x 1 x x3 x2 x4 ĐS: 8) lim 2 x 1 x x x x 1) lim x 1 x3 x x ĐS: x 3x x 1 3) lim x 3 Bài 2*: Tính giới hạn sau: 1) lim x 0 3) lim x 1 5) lim x 1 1 x 1 x 1 3x ĐS: x x n nx n x 1 x x5 x 1 x ĐS: n n 1 ĐS:10 m xm 1 7) lim n ,(tổng CSN ĐS: ) x 1 x n 1 mx 9) lim x 0 n 1 nx x2 2) lim x 1 n n 1 x x x n n ĐS: x 1 x5 ĐS x 1 x 4) lim 1993 x1992 x 6) lim 1990 ĐS: x 1 x 1992 x2 8) lim x2 x x m 10) lim x 1 x 2 20 12 x 16 10 x n 1 n 1 x n x 1 HDedu - Page x 11) lim n a n n.a n 1 x a x a x a 12) lim 1 x 1 x 1 3x 1 n.x x 0 x P x với P x , Q x chứa thức bậc thỏa mãn P x0 Q x0 x x0 Q x Dạng 2: Tính giới hạn lim Phương pháp: Sử dụng đẳng thức để nhân liên hợp Các đẳng thức hay dùng: 1) 3) 5) a b a3b n 1 a 1 a b a b 2) a ab b2 a b 4) n a3b a 1 a ab b2 a b a 1 n a n 1 a n n a n a 1 n 1 a n n1 a n 1 n1 a BÀI TẬP MẪU Bài 1: Tính giới hạn sau: x2 x b) lim x2 2 x 2 x7 d) lim a) lim x 0 x 1 x5 x 5 c) lim x 0 1 x 1 x x Hướng dẫn x2 a) lim lim x 0 x 0 x b) lim x 5 x 1 lim x 5 x5 x2 x x 0 x2 x 1 x 5 lim x2 x 1 x 1 lim x 5 x 2 3 x 3 x lim lim x 2 x x x x2 x2 lim x5 x 5 x 1 x 0 x x 1 1 lim x 5 x 1 0 x x 3 x x2 2 lim x 2 x x 2 x x x c) lim x 2 x 2 HDedu - Page 1 x 1 x lim d) lim x 0 x 0 x x 0 x lim x 0 x 0 1 x 1 x x x 1 x x x 3 1 x 1 x 2 x x 1 x 2x 3 x x 3 1 x 1 x 1 x x x 1 x 1 x x x x 1 x lim lim 3 1 x 1 x2 2 x6 2 Bài 2: Tính giới hạn sau: lim x2 Hướng dẫn x2 2 lim lim x 2 x x 2 x 2 x 6 x 2 23 x x22 lim x 6 2 x 2 x6 4 x22 12 Bài 3*: Tính giới hạn sau: n 1) lim x 0 ax x 2) lim x 0 5x 1 x 3) lim x 1 x x 3x x x2 x Hướng dẫn tn 1 1) Đặt ax t x giới hạn trở thành: a n lim t 1 a t 1 a t 1 a lim n n n t 1 t t t 1 t t 1 n 2) Đặt lim t 1 t 1 5x t x giới hạn trở thành: 5 t 1 t 1 lim lim 1 t 1 t t t t t t 1 t 1 t t t t HDedu - Page x x 3x x x 3x x 1 lim 3) lim x 1 x x x x 1 x x2 x x 1 2x 2 x x 3x x2 ( x 1)( x 1) x x lim lim x 1 x 1 x 1 x x2 x x [ ( x 2) x 1]( x 1) x 1 x 1 x2 2x 1 1 lim x 1 ( x 2) x 0 x BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Tìm giới hạn sau: 1) lim 4x 1 ĐS: x 4 2) lim x2 ĐS: x 3) lim x 5 3 ĐS: 4 x 4) lim x 3 ĐS: 9x x 54 x 2 x 4 x 0 x 9 2 x 3 ĐS: x 7 x 49 56 2x x ĐS: 15 x 4x 5) lim 6) lim x3 3x 7) lim ĐS: x 1 x 1 x x3 3x 8) lim ĐS: x 1 x 1 x 1 Bài 2: Tìm giới hạn sau 3 5 x ĐS: 1 x lim 1 x 1 x ĐS: x lim lim x 1 ĐS: x3 2 lim x 3x 1 ĐS: x 1 lim x2x 3 ĐS: 4x 1 lim 2x x ĐS: 3x lim x2 2 ĐS: x7 3 10 lim x2 1 x 1 ĐS: x 1 x 0 x 1 x2 x2 x4 x 1 x 1 x 1 HDedu - Page x 1 1 ĐS: x 0 x lim 2x 4 ĐS: 2 x3 11 lim lim x2 x ĐS: x 1 12 lim lim lim 4x ĐS: 1/3 x2 lim x2 ĐS: 1/3 x2 x 1 ĐS: 4x x 1 x 1 x 2x ĐS: x 1 x x2 Bài 3: Tìm giới hạn sau: x2 1 lim x 16 x 0 lim x 3 ĐS: x 2x ĐS: x 3x x a xa x a x a x 1 x x3 3x x 1 với a 0, ĐS: 2a ĐS: x x 16 ĐS: 24 x lim x 0 Bài 4: Tìm giới hạn sau: 3 lim lim 2x 1 1 ĐS: 2/3 x 1 lim lim x ĐS: x 1 x5 x3 ĐS: 24 x 1 x 1 x 2 x 1 x 0 x 0 x 1 lim Bài 5: Tìm giới hạn sau: x2 x 1 1) lim x 1 x b a b x2 a2 2) lim x a Bài 6*: Tìm giới hạn sau: 1) lim x 7 x9 2 x7 n 2) lim m x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 4) lim xa n a 3) lim x 0 x n x 1 1 x n n 1 P x với P x , Q x chứa thức KHÔNG bậc thỏa mãn x x0 Q x Dạng 3: Tính giới hạn lim P x0 Q x0 Phương pháp: HDedu - Page Ta thêm bớt thừa số - thêm bớt biểu thức chứa biến x , đưa dạng Ta thường thêm bớt biểu thức chứa biến x biểu thức mẫu chứa nghiệm bội x0 (thường nghiệm kép) BÀI TẬP MẪU Bài 1: Tìm giới hạn sau: 1) A lim x 1 x 3 x x 3x 2 1 x x x 0 x 2) B lim Hướng dẫn x 3 x lim 1) A lim x 1 x 1 x 3x x 2 3 x x 3x 2 7 x 2 lim x 3x x1 x 1 x Ta có: lim x 1 lim x 1 x 2 x Và lim x 1 23 x lim x 1 7 x 2 2 3 x lim x x 3x x 3x x 1 7 x x 12 1 x 2 3 x 1 lim lim x 1 x 3x x 1 x 1 x x x 2 x Do A 1 12 1 x x 1 x x 1 x 2 8 x lim lim lim 2) B lim x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x Ta có: lim x 0 lim x 1 x x 0 x 2x 1 x 1 lim x 0 1 x 1 1 2 8 x x 1 lim lim x 0 x 0 x 0 2 x 12 x x 8 x x 8 x lim Nên B 13 12 12 Bài 2: Tìm giới hạn sau: C lim x 0 x 3x x2 HDedu - Page Hướng dẫn Các em để ý, dạng , biểu thức mẫu có nghiệm kép x , ta nghĩ tới việc thêm bớt biểu thức chứa biến, phải đảm bảo giữ nguyên dạng x 1 x 1 x 3x x 3x lim Ta có: C lim x 0 x 0 x2 x2 lim x 0 x 1 x 1 x 3x lim x 0 x2 x2 x 1 x x 1 x x2 Tính lim lim lim x 0 x x x x x 1 x x x 1 x x 3x lim lim Tính x2 x 0 lim x 0 lim x 0 1 x 1 3x x 0 2 x 1 x 1 x 3x 1 3x x3 3x 2 x 1 x 1 x 3x 1 3x x3 1 x 2 1 x 3x 1 3x 2 1 1 Suy C 2 BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Tìm giới hạn sau: 12 x3 x lim ĐS: 11/ 24 x 1 x2 1 x 1 x ĐS: 4/3 2x 1 x 1 13 lim x6 x2 ĐS: 1/ 24 x2 x 1 ĐS: / x 1 14 lim 4x 6x 1 ĐS: x 15 2x.3 4x 1 lim ĐS: / x 0 x 1 x 1 x lim ĐS: 1/6 x 0 x lim lim 1 x x lim ĐS: 13/12 x 0 x x 0 x 0 3 x 2 x 0 HDedu - Page 16 1 x lim 17 1 x 1 x 1 x 1 x ĐS: 1/120 lim 1 4x 1 6x ĐS: x 18 lim x 1 1 x ĐS: 5/6 x 10 x x ĐS: x2 19 lim x ĐS: 8 x 8 x 20 x x 3x lim ĐS: x 1 x x2 x 21 lim n x4 x ĐS: 1/18 lim x 4 x x x 10 x ĐS: 72 x 9 lim x 3 lim lim x 11 x lim x 2 x 3x x 0 x 2 x 1 1 x n 1 x x 1 3 8x2 x2 10 lim ĐS: x 0 x2 ĐS: x 0 x 0 x 2 4 x 11 x ĐS: 162 x 5x HD câu 16: 1 x 1 n xn n x 1 n x n x n x n 1 Bài 2*: Tìm giới hạn sau: ( cách thêm bớt hàm chứa biến x ) 1) lim x 0 1 4x 1 6x x2 2) lim x 0 1 x 3x , ĐS: x HD: 1) Thêm bớt x 2) Thêm bớt x HDedu - Page 10 ... x 2x ĐS: x 1 9) lim x 1 11) lim x2 10) lim x 1 3x 3x ĐS: x 1 x2 x ĐS: x 1 x8 3 ĐS: x2 12) lim x sin ĐS: x 0 CHUYÊN ĐỀ 2: GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG 0 P x với P x ... BÀI TẬP MẪU x2 Bài 1: Tính giới hạn lim x 3 x x Hướng dẫn x 3 x 3 lim x 3 x2 lim lim x 3 x x x 3 x 3 x x 3 x Bài 2: Tính giới hạn : 1) lim1 x x3 x2 5x... Tính giới hạn sau: lim x2 Hướng dẫn x2 2 lim lim x 2 x x 2 x 2 x 6 x 2 23 x x22 lim x 6 2 x 2 x6 4 x22 12 Bài 3*: Tính giới hạn