Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ 2: GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG 0 P x với P x , Q x đa thức thỏa mãn P x0 Q x0 x x0 Q x Dạng 1: Tính lim Phương pháp: Phân tích tử số mẫu số xuất x x0 , sau triệt tiêu x x0 để khử dạng 0 BÀI TẬP MẪU Bài 1: Tính giới hạn lim x 3 x2 x 3x Hướng dẫn lim x 3 x 3 x 3 lim x 3 x2 lim x 3 x 3x x3 x x 3 x Bài 2: Tính giới hạn : x3 1) lim1 x x x 2) lim x 1 x100 x x50 x Hướng dẫn x x 1 x 1 x x 1 x3 lim1 lim1 6 1) lim x 1 3x 1 3x 1 x x x x x 2 x100 x x 1 x 1 x99 x98 x 1 98 49 x100 x 2) lim 50 lim lim x 1 x x x1 x50 x x 1 x1 x 1 x 49 x 48 x 1 48 24 Bài 3: Tìm giới hạn sau: a) lim x2 x2 x2 x2 5x x2 x3 d) lim x 3x x 2 x2 b) lim c) lim x 1 x3 3x x2 x x4 8x x 2 x x x e) lim Hướng dẫn x x lim x x2 lim a) lim x 2 x x 2 x 2 x2 x 1 x lim x 2. 2 x 3x b) lim lim x 2 x 2 x x x 2 x x 4 2 x 1 x x x3 3x x x 12 2.1 c) lim lim lim x 1 x x x 1 x 1 x3 1 x 1 x 3 HDedu - Page x 1 x lim x 2.2 x2 5x lim x 2 x 2 x x 8 x x x2 x x 22 2.2 4 d) lim x x 2 x2 2x 4 x x2 2x 4 x4 8x 24 e) lim lim lim 2 x 2 x x x x 2 x 2 x x 1 x 1 x a 3 x a 1 Bài 4: Tính giới hạn hàm số f x x theo a x2 Hướng dẫn Phương trình x a 3 x a 1 có nghiệm x mà tổng hai nghiệm S a nên nghiệm thứ hai phương trình x a Do x2 a 3 x a 1 x x a 1 x a 3 x a 1 x 2 x a 1 lim x a a Vậy lim lim x 2 x 2 x x x 2 x 4 x2 BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Tính giới hạn sau: 1) lim x2 ĐS: x 1 1 2) lim x ĐS: 1 x 0 x 3) lim x3 ĐS: x2 4) lim x 1 x 2 x 3x ĐS: x 2 x2 5) lim 7) lim x 0 3x x ĐS: x 1 x 1 x 16 ĐS: 8 x 2 x3 x 6) lim 1 5x 1 x ĐS: 14 x Bài 2: Tính giới hạn sau: 2) lim x3 3x x ĐS: x2 1 x x x3 ĐS: x 1 1 x 4) lim x x 3x ĐS: x4 8x2 5) lim x x5 x ĐS: x 1 x2 1 1 6) lim ĐS: x 1 x x 1 7) lim ĐS: 1 x 1 x x3 x2 x4 ĐS: 8) lim 2 x 1 x x x x 1) lim x 1 x3 x x ĐS: x 3x 3) lim x 1 x 3 Bài 3: Tính giới hạn sau: HDedu - Page x 3 2) lim ;ĐS: x 9 x x 54 3 1) lim x ;ĐS: 3 x 0 x x ;ĐS: 1 3) lim x 0 1 x 1 4) x2 x ; ĐS: x 3x 7) lim x 3 x 1 10) 11) lim x3 x x ; ĐS: x 1 13) lim x3 x ; ĐS: 5 x2 x x 1 x 6 x3 x x 2 8) lim x2 x 9) lim ; ĐS: x 1 x x x 1 x lim ;ĐS: x2 x x 1 1 x lim x 0 12) lim x 1 1 x ; ĐS: x3 x 3x 1 ; ĐS: x 8x Bài Tính giới hạn sau x2 x ; x 2 x3 1) lim x3 x x ; x 3x 2) lim 3) lim x x 72 x2 x 4) lim x 1 x 3 x 3 x x 3x ; x4 8x2 Bài Tính giới hạn sau a) x h lim h 0 x3 h x a 1 x a 2) lim ; x a x3 a3 ; x h x3 4) lim ; h 0 h x4 a4 3) lim ; x a x a e) Bài Tính giới hạn sau 1) lim ; x 1 x x 1 2) lim ; x 1 x x3 x2 x4 3) lim 2 x 1 x x x x Bài 7*: Tính giới hạn sau: 1 x 1 x 1 3x ĐS: 1) lim x 0 3) lim x 1 x x n nx n x 1 ĐS: n n 1 n n 1 x x x n n 2) lim ĐS: x 1 x 1 x5 ĐS x 1 x 4) lim HDedu - Page 5) lim x x5 x 1 x x 1 ĐS:10 6) lim x 1 x 1 m ,(tổng CSN ĐS: ) n n x 1 x1992 x 1993 ĐS: 1990 1992 x x2 x m 7) lim x 1 1 mx 9) lim n x 0 x 11) lim n 1 nx x2 8) lim x2 m 10) lim x a x 2 12) lim 20 12 x 16 10 x n 1 n 1 x n x 1 x 1 a n n.a n 1 x a x a x 2 1 x 1 x 1 3x 1 n.x x 0 x P x với P x , Q x chứa thức thức bậc thỏa mãn x x0 Q x Dạng 2: Tính giới hạn lim P x0 Q x0 Phương pháp: Sử dụng đẳng thức để nhân liên hợp Các đẳng thức hay dùng: 1) 3) 5) a b a3b n 1 a 1 2) a ab b2 a b 4) n a b a b a3b a 1 a ab b2 a b a 1 n a n 1 n a n n a a 1 n 1 a n n1 a n 1 n1 a BÀI TẬP MẪU Bài 1: Tính giới hạn sau: x2 x b) lim x2 2 x 2 x7 d) lim a) lim x 0 x 1 x5 x 5 c) lim x 0 1 x 1 x x Hướng dẫn x2 lim a) lim x 0 x 0 x b) lim x 5 x 1 lim x 5 x5 x2 x x 0 x2 x 1 x 5 lim x2 x 1 x 1 lim x 5 x x2 x2 lim x5 x 5 x 1 x 0 x x 1 1 lim x 5 x 1 0 HDedu - Page x 2 3 x 3 x lim lim x22 x x 2 x x 3 x x2 2 lim x 2 x x 2 x x x c) lim x 2 x 2 d) lim x 0 x 0 x 1 x 1 x x 1 x x x 3 x 0 x 1 x x x 3 3 1 x x x 3 3 1 x 1 x 1 x 1 x x x 1 x 1 x x x 2x lim x 0 x 1 x lim lim 1 x 1 x lim x 0 x 3 1 x 2 1 x2 2 x6 2 Bài 2: Tính giới hạn sau: lim x2 Hướng dẫn x2 2 lim lim x 2 x x 2 x 2 x 6 x 2 23 x x22 lim x 6 x 4 12 3 x 2 x22 Bài 3: Tìm giới hạn sau: a) lim x 2 x2 2 x2 b) lim x 2 4x x2 c) lim x 5 3x 3 x Hướng dẫn a) lim x2 2 lim x 2 x2 b) lim 4x lim x 2 x2 x 2 x 2 x2 2 x 2 x22 4x x 4 x2 2 lim x 2 4x 4x x2 x 2 lim x 2 x22 lim x 2 1 x22 4x x x 4x HDedu - Page lim x 2 x 2 x x 4x lim x 2 x 2 4x 3x 1 16 x 3 x 3x 18 lim lim x 5 x x5 9 x 3x 3x c) lim x 5 Bài 4: Tìm giới hạn sau: a) lim x 1 1 1 x x 2 x2 x 1 x 1 b) lim c) lim x 1 4x 5x Hướng dẫn x 1 lim a) lim x 1 x x 1 x 2 1 lim x2 x x 1 x x 1 1 1 x lim b) lim x 2 x 2 x2 lim x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 lim x 1 x x 1 x 1 x 1 x x2 lim x 2 2 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 3 x x 3 x 4x c) lim lim lim x 1 x 1 5 x x1 x 1 x 4x Bài 5: Tính giới hạn sau: x 1 x 1 3 1) lim x 1 2) lim x 1 x x2 x x 1 3) lim x 1 2x x x 1 Hướng dẫn 1) Ta có: [ ( x 2)2 x 1]( x 1) ( x 2) x x 1 lim lim lim 1 x 1 x 1 x x1 ( x x 1)( x 1) x x 1 2) Ta có: HDedu - Page x x2 x x 1 x2 x lim lim x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 lim lim x lim 1 2 3 x 1 x 1 ( x x 1)( x 1) x1 x x 1 lim 2x 1 x x 1 1 lim lim x x x 1 ( x 1)( x x ) 2x 1 x 3) lim x 1 Bài 6*: Tính giới hạn sau: ax x n 1) lim x 0 2) lim x 0 5x 1 x 3) lim x 1 x x 3x x x2 x Hướng dẫn 1) Đặt n ax t x lim t 1 tn 1 giới hạn trở thành: a a t 1 a t 1 a lim n t 1 t t n 1 t n t t 1 n 2) Đặt 5x t x t 1 giới hạn trở thành: 5 t 1 t 1 lim lim 1 t 1 t t 1 t t t t t t 1 t t t t lim x x 3x x x 3x x 1 3) lim lim x 1 x x x x 1 x x2 x x 1 2x 2 x x 3x x2 ( x 1)( x 1) x x lim lim x 1 x 1 x 1 x x2 x x 3 [ ( x 2) x 1]( x 1) x 1 x 1 x2 2x 1 1 lim x 1 ( x 2) x 0 x Bài 7: Tính giới hạn sau: 1) lim x 2 4x x2 2) lim xa x a xa x2 a2 ,a HDedu - Page x 1 3) lim 4) lim x x3 3x x 1 x 0 x 1 x 1 2x x Hướng dẫn 1) Ta có: lim x 2 4x 4x lim lim x 2 [( x ) x 4]( x 2) x 2 ( x ) x x2 2) Ta có: x a xa lim x2 a2 x a lim x a lim x a xa ( x a) x a 2 x a x2 a2 lim x a xa lim x2 a2 x a xa 1 lim x a xa ( x a) x a 2a 2a 3) Ta có : x 1 lim x x3 3x lim x x3 3x x 1 x 1 1 lim lim 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 x2 x2 ( x 2)( x 1) x 1 x 1 x 1 x 1 x( x x 1) lim 4) lim x 0 x 2x x x[ ( x 1) ( x 1)( x 1) ( x 1) ] lim x 0 2( x x 1) ( x 1)2 ( x 1)( x 1) ( x 1) Bài 8: Biết A lim x 0 ax Tìm giá trị a để A x Hướng dẫn A lim ax lim x 0 x x Theo đề a 3 a 6 x 0 ax ax lim x 0 a a ax HDedu - Page Bài 9: Tìm giá trị a; b; c để lim x 1 ax b cx x 2x x Hướng dẫn Ta có ax b cx (cx ax b) lim lim (*) x 1 x x x x 2 x x 1 ax b cx Để xảy (*) điều kiện cần k a 2k , b k ab c 0 (c x ax b) k (x 1) (k 0) c k a 2k b k 1 a.1 b c k (PTVN) k k k k c k a.1 b c c k k 2k k k k 1 Thử lại: với a 2, b 1, c thỏa mãn yêu cầu toán BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Tìm giới hạn sau: 1) lim 4x 1 ĐS: x 4 2) lim 3) lim x 5 3 ĐS: 4 x 4) lim x 2 x 4 x 0 x2 ĐS: x x 3 ĐS: x 9 x x 54 2 x 3 ĐS: x 7 x 49 56 6) lim 2x x 4 ĐS: x 4x 15 x3 3x ĐS: x 1 8) lim x x3 3x ĐS: x 1 5) lim 7) lim x 1 x 1 x 1 Bài 2: Tìm giới hạn sau lim 1 x 1 x ĐS: x lim lim x 1 ĐS: x3 2 lim x 0 x 1 3 5 x ĐS: x4 x x 1 x 3x 1 ĐS: x 1 HDedu - Page lim 2x x ĐS: 3x lim x2 1 x 1 ĐS: x 1 lim x2x 3 ĐS: 4x 1 lim x2 2 ĐS: x7 3 10 lim 2x 4 ĐS: 2 x3 11 lim lim x2 x ĐS: x 1 12 lim lim lim 4x ĐS: 1/3 x2 lim x2 ĐS: 1/3 x2 x 1 ĐS: 4x x2 x2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 ĐS: x 0 x x 2x ĐS: x 1 x x2 Bài 3: Tìm giới hạn sau: x2 1 lim x 16 x 0 lim x 3 ĐS: x 2x ĐS: x 3x x a xa x a x a x 1 x x3 3x x 1 với a 0, ĐS: 2 2a ĐS: x x 16 7 ĐS: 24 x lim x 0 Bài 4: Tìm giới hạn sau: 3 lim lim 2x 1 1 ĐS: 2/3 x 1 lim lim x ĐS: x 1 x5 x3 ĐS: 24 x 1 x 1 x 2 x 1 x 0 x 0 x 1 lim Bài 5: Tìm giới hạn sau: 1) lim x 1 x2 x 1 2) lim x b a b x2 a2 x a Bài 6: Tính giới hạn sau: 1) lim x2 ; ĐS: 24 x 7 3 2) lim x2 ; ĐS: 24 x 7 3 3) lim x 5 ; ĐS: x 4) lim x4 x4 2 ; ĐS: x 5 x 2 x 5 5) lim x 5 7) lim x 0 x x2 ; ĐS: 4x 1 x3 ;ĐS: x x 2 x 2 x2 ; ĐS: 16 x 2 3 x 6) lim 8) lim x 1 x 1 ;ĐS: x 1 HDedu - Page 10 x x2 x x2 ; ĐS: 1 x2 x 9) lim x 0 10) lim x x 16 7 ; ĐS: x 24 x x2 x x x 0 11) lim x 1 ; ĐS: x 1 2 12) lim 13) lim x 3 2 49 x 14) lim 15) lim 4x 1 x2 16) lim 17) lim x x 16 x x 1 x 7 x 2 x 0 x 0 x 2 x 0 2 x2 x 3x x 1 x x Bài 7*: Tìm giới hạn sau: 1) lim x 7 x9 2 x7 n 2) lim m x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 4) lim xa n a 3) lim x 0 x n n 1 x x 1 n 1 P x với P x , Q x chứa thức KHÔNG bậc thỏa mãn x x0 Q x Dạng 3: Tính giới hạn lim P x0 Q x0 Phương pháp: Ta thêm bớt thừa số - thêm bớt biểu thức chứa biến x , đưa dạng Ta thường thêm bớt biểu thức chứa biến x biểu thức mẫu chứa nghiệm bội x0 (thường nghiệm kép) BÀI TẬP MẪU Bài 1: Tìm giới hạn sau: 1) A lim x 1 x 3 x x 3x 2 1 x x x 0 x 2) B lim 3) lim x 3 x 1 x x3 Hướng dẫn x 3 x 1) A lim lim x 1 x 1 x 3x x 2 3 x x 3x 7 x 2 lim x 3x x1 x 1 x Ta có: lim x 1 lim x 1 7 x 2 2 3 x lim x x 3x x 3x x 1 7 x x HDedu - Page 11 lim x 2 x x 1 Và lim x 1 23 x 12 1 x 2 3 x 1 lim lim x 1 x 3x x 1 x 1 x x x 2 x Do A 1 12 1 x x 1 x x 1 x 2 8 x 2) B lim lim lim lim x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x Ta có: lim x 0 lim x 1 x 0 x x 2x 1 x 1 lim x 0 1 x 1 1 2 8 x x 1 lim lim x 0 x 0 x 0 2 x 12 x x 8 x x 8 x lim Nên B x 3 lim x 3 13 12 12 x 1 x 3) lim lim x 3 x 3 x 3 lim x 1 x 3 x 1 lim x x3 x 1 x5 2 x 3 x 58 x 3 x x5 x 3 lim x Bài 2: Tìm giới hạn sau: C lim x 0 x 1 12 x 3x x2 Hướng dẫn Các em để ý, dạng , biểu thức mẫu có nghiệm kép x , ta nghĩ tới việc thêm bớt biểu thức chứa biến, phải đảm bảo giữ nguyên dạng Ta có: C lim x 0 x 1 x 1 x 3x x 3x lim x 0 x2 x2 HDedu - Page 12 x 1 x x 3x lim lim x 0 x 0 x2 x2 x 1 x x 1 x x2 Tính lim lim lim x 0 x x x x x 1 x x x 1 x x 3x Tính lim lim x 0 2 x 1 x 1 x 3x 1 3x x 0 x 0 x2 x3 3x lim lim 1 x 1 3x x 0 2 x 1 x 1 x 3x 1 3x x3 1 x 2 1 x 3x 1 3x 2 1 1 Suy C 2 Bài 3: Tính giới hạn sau: 1) lim x 1 2x x x 1 3) (ĐHQG - 98): lim x 1 ( x 2004) x 2004 x 0 x 2) lim x3 3x x 1 Hướng dẫn 1) Ta có: lim x 1 4 2x 1 x 2x x 2x x 1 lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 u4 1 u x x Đặt: x v5 v x Khi đó: x 2(u 1) ; x u x 1 u (u 1)(u 1) x 1 v 1 x v 1 x 1 v 1 v v v v 1 Vậy, ta được: lim x 1 2x 1 x 2 lim lim u v x 1 (u 1)(u 1) v v v v 10 HDedu - Page 13 2) Ta có: ( x 2004) x 2004 ( x 2004) x x 2004 x lim lim x 0 x 0 x x 2x 1 4008 lim ( x 2004) x x 0 x 3) lim x 1 x 3x x 3x x3 1 3x lim lim lim x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 lim x x 1 lim x 1 x 1 3x ( x 1) 3x 3 3 x 1 x 2 lim x x x.3 x Bài 4: Tính giới hạn: lim x 1 x x 1 x Hướng dẫn Gọi tử thức T, ta có: x x x x x x x x T x.3 x 3 3 x x x x x x 1 1 3 x 1 Gọi mẫu thức M, ta có: x x x x M x 1 1 x x x.3 x T Ta có: lim lim lim x 1 x 1 M x 1 3 4 x x 1 x x 1 1 T x 24 M 5 x 24 BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Tìm giới hạn sau: 1 x 1 x lim ĐS: 1/6 x 0 x lim x 0 x 1 x ĐS: 4/3 2x 1 x 1 12 x3 x lim ĐS: 11/ 24 x 1 x2 1 13 lim x 2 x6 x2 ĐS: 1/ 24 x2 HDedu - Page 14 14 lim 4x 6x 1 ĐS: x 15 lim 2x.3 4x 1 ĐS: / x 16 1 x lim x 10 x lim ĐS: x 3 72 x 9 17 1 x 1 x 1 x 1 x ĐS: 1/120 lim lim 1 4x 1 6x ĐS: x 18 lim x 1 1 x ĐS: 5/6 x 10 x x ĐS: x2 19 lim x ĐS: 8 x 8 x 20 x x 3x lim ĐS: x 1 x x2 x 21 lim x 1 ĐS: / x 1 lim lim x4 x lim ĐS: 1/18 x 4 x x x 0 1 x x ĐS: 13/12 x 0 x lim x 11 x lim x 2 x 3x x 2 x 0 n x 0 x 0 x 1 1 x n 1 x x 1 3 8x2 x2 10 lim ĐS: x 0 x2 ĐS: x 0 x 0 x 2 4 x 11 x 7 ĐS: 162 x 5x HD câu 16: 1 x 1 n xn n x 1 n x n x n x n 1 Bài 2: Tìm giới hạn sau: 1 x 1 x 1) lim ; ĐS: x 0 x x x2 2) lim ; ĐS: x 1 x 1 12 1 x x 11 3) lim ; ĐS: x 0 12 x 4) lim x x2 ; ĐS: x 1 12 5) lim x 1 x x 6) lim x 1 x 1 x 7) lim x 3x x2 8) lim x 0 x 1 x 0 x 0 x 1 x 11 x x 3x Bài 3*: Tìm giới hạn sau: ( cách thêm bớt hàm chứa biến x ) 1) lim x 0 3) lim x 1 1 4x 1 6x x2 3x x x 1 x2 x , ĐS: x x x 1 3x x x x x 1 2) lim x 1 4) lim x 0 HDedu - Page 15 x.3 2x x 5) lim x 0 6) lim 8) lim x2 x 0 x 1 x 1 1 4x 1 6x 7) lim 6x 4x 3 x x x 1 x2 x2 HD: 1) Thêm bớt x 2) Thêm bớt x đưa dạng: lim x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 lim trục tử giới hạn 3t 9t 3t 3) Đặt x t t , giới hạn trở thành lim thêm bớt t 0 t 4 4) Đưa lim 3x 1 x x x x x 1 x 0 5) Thêm bớt 4 x lim lim x 0 x 1 1 x 3x 1 x lim x 0 x x 1 x x 1 4 x 2x 1 x 0 4 x 2 lim x x x x 0 x lim x 0 x 4 x 2 x Sau trụ thức từ giới hạn 6) Đặt x t x t I lim t 0 7) Trục thức lim 1 4x 1 6x x 0 Giới hạn lim x 0 8) lim lim x2 x 2 lim x 2 lim x2 x2 x 2 x2 x x3 x 1 x3 x 1 x3 x 1 3x x 3x 1 x 3x 1 x 1 4x 1 6x x2 1 4x 1 6x tính ý x2 x 2 lim x 4 2 lim x 0 3x x3 3x 1 x 2 6t 4t thêm bớt 2t 1 t2 3x 1 3x x 4 x x2 x 2 lim x x 2 3x 1 x lim x 3x 1 x x 3x 3x 1 x2 x x 1 lim x 2 x x 3x HDedu - Page 16 ... 1) v v v v 10 HDedu - Page 13 2) Ta có: ( x 20 04) x 20 04 ( x 20 04) x x 20 04 x lim lim x ? ?0 x ? ?0 x x 2x 1 400 8 lim ( x 20 04) x x ? ?0 x 3) lim x 1... lim x? ?2 ? ?2 lim x ? ?2 x? ?2 b) lim 4x lim x ? ?2 x2 x ? ?2 x ? ?2 x? ?2 ? ?2 x 2? ?? x? ?2? ? ?2 4x x 4 x? ?2 ? ?2 lim x ? ?2 4x 4x x? ?2 x 2? ?? lim x ? ?2 x? ?2? ? ?2 ... lim x 2. 2 x2 5x lim x ? ?2 x ? ?2 x x 8 x x x? ?2 x x 22 2. 2 4 d) lim x x 2? ?? x2 2x 4 x x2 2x 4 x4 8x 24 e) lim lim lim 2 x ? ?2 x x
Ngày đăng: 10/07/2020, 08:40
Xem thêm:
