Trường hữu hạn

Đề Cương Một Số Tính Chất Trường Hữu Hạn Phần mở đầu . Phần nội dung . Chương I. Kiến thức chuẩn bị . Chương II. Một Số Tính Chất Của Trường Hữu Hạn . 1.Định Nghĩa Định nghĩa trường hữu hạn: Trường hữu hạn là trường có hữu hạn phần tử. Tính chất: Nếu F là trường hữu hạn thì đặc số của F khác 0 . 2.Nhóm nhân của trường hữu hạn . Định lí 2.2.1: Cho q F là trường hữu hạn thì với mọi q a F ∈ ta đều có q a a = Định lí 2.2.2: Cho trường hữu hạn q F . Khi đó, F q là trường phân rã của đa thức q x x− trên trường con nguyên tố của F q Định lí 2.2.3: Nhóm nhân của trường hữu hạn là nhóm cyclic Định nghĩa: Cho trường hữu hạn q F , với mỗi số nguyên dương r , ta định nghĩa: { } * *r r q q F x x F= ∈ Định lí 2.2.4: Cho trường hữu hạn q F . Khi đó, *r q F là nhóm con của * q F và *r q F có cấp là ( 1) / gcd( , 1)q r q− − Định lí 2.2.5: Cho trường hữu hạn q F và r là một số nguyên dương. Khi đó, * *r d q q F F= và * * * 2 * 1 * . d d d d d q q q q q F F F F F ξ ξ ξ − = ∪ ∪ ∪ ∪ , trong đó gcd( 1, )d q r= − , ξ là phần tử nguyên thủy của q F và * * , ,0 , 1 i d j d q q F F i j i j d ξ ξ ∩ = ∅ ∀ ≠ ≤ ≤ − 3.Số phần tử của trường hữu hạn. Định lí 2.3.1: F là trường hữu hạn có đặc số là p thì số phần tử của F là một lũy thừa của p Định lí 2.3.2 : Nếu F q là trường hữu hạn có q phần tử và p(x) là đa thức có bậc n bất khả quy trên F q [x] thì F q [x]/(p(x)) là trường hữu hạn có p n phần tử. 1 Định lí 2.3.3:( sự tồn tại và duy nhất của trường hữu hạn p n phần tử)Cho p là số nguyên tố và n là số nguyên dương thì tồn tại trường hữu hạn chứa đúng p n phần tử. Hơn nữa, hai trường hữu hạn có cùng số phần tử thì đẳng cấu với nhau. 4 Trường con của trường hữu hạn Định lí 2.4.1: Cho trường hữu hạn n q F thì mọi trường con của n q F có p m phần tử, trong đó m là ước của n. Ngược lại, nếu m là ước của n thì n q F có duy nhất trường con chứa p m phần tử. Chương III. 1. Nghiệm của đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn Định lí 3.1.1: Mọi trường hữu hạn F q và với mọi số nguyên dương luôn tồn tại đa thức f(x) bất khả quy trong F q [x] có bậc n. Định lí 3.1.2: Cho [ ] ( ) q f x F x∈ là đa thức bất khả quy bậc m trên q F và n là một số nguyên dương. Khi đó, ( )f x chia hết n q x x− nếu và chỉ nếu m chia hết n Định lí 3.1.3: Cho [ ] ( ) q f x F x∈ là đa thức bất khả quy bậc m trên q F . Khi đó . ( )f x phân rã trên m q F và tách được trên q F . Hơn nữa nếu α là nghiệm của f(x) thì . 2 1 , , , ., m q q q α α α α − là tập hợp tất cả các nghiệm của f(x). 2.Đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn Định lí 3.2.1: Giả sử [ ] ( ) q f x F x∈ là đa thức có bậc n thì f(x) là đa thức bất khả quy trên q F nếu và chỉ nếu : ( ) ( 1) n q f x x − và gcd( ( ), ) 1 i q f x x x− = với 1,2,3 [ / 2]i n= Định lí 3.2.2: Cho [ ] ( ) q f x F x∈ là đa thức bậc 1n > . Khi đó các điều kiện sau là tương đương: i) ( )f x bất khả quy trên q F ii) d g f ( ) ax ( ) e x b cx d f cx d +   +  ÷ +   bất khả quy, trong đó , , , q a b c d F∈ sao cho 0ad bc− ≠ 2 Định lí 3.2.3: Cho [ ] ( ) q f x F x∈ là đa thức bậc 1n > . Nếu ( )f x bất khả quy trên q F thì: a) Tổng các hệ số của ( )f x khác 0 b) gcd( ( ), '( )) 1f x f x = Định nghĩa :Hàm ( )d µ Bổ Đề: . Định lí: Gọi ( ) q N n là số các đa thức bất khả quy có bậc n thì: 1 ( ) ( ). n d q d n N n d q n µ = ∑ 3. Phân tích đa thức trên trường hữu hạn Bổ đề: Định lí: Cho f(x) là đa thức có hệ số của bậc cao nhất là 1 của [ ] q F x và g(x) là đa thức của [ ] q F x sao cho ( ) ( )(mod ( )) q g x g x f x≡ thì ( ) gcd( ( ), ( ) ) q s F f x f x g x s ∈ = − ∏ Định lí: Cho f(x) là đa thức có hệ số của bậc cao nhất là 1 và deg(f(x)) ≥ 1 trên [ ] q F x thì số nghiệm của phương trình q x x− trên vành F q [x]/(f(x)) là lũy thừa p r nếu và chỉ nếu f(x) phân tích thành 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) . ( ) r e e e r f x P x P x P x= trong đó: 1 2 ( ), ( ), ., ( ) r P x P x P x là r đa thức phân biệt có hệ số của bậc cao nhất bằng 1 của [ ] q F x và 1, 2 , r e e e là r số nguyên dương. Định lí: Cho f(x) ∈ [ ] q F x , trong đó q là lũy thừa của số nguyên tố p và f'(x)=0 thì: ( ) ( ) p f x h x= với [ ] ( ) q h x F x∈ Định lí: Cho f(x) là lũy thừa của đa thức có hệ số của bậc cao nhất bằng 1 bất khả quy trên F q và '( ) 0f x ≠ . Nếu gcd( ( ), '( )) 1f x f x = thì f(x) bất khả quy. Nếu . gcd( ( ), '( )) 1f x f x ≠ thì ( ) / gcd( ( ), '( ))f x f x f x bất khả quy. Kí hiệu: ( ) ( ) / gcd( ( ), '( ))p x f x f x f x= thì ( ) ( ) e f x p x= Trong đó: d gf( ) / deg ( )e e x p x= 4. Ứng dụng sự phân tích đa thức để tìm nghiệm trên trường hữu hạn Nêu lên thuật toán tìm nghiệm của một đa thức f(x) trên trường hữu hạn 3 Ví dụ minh họa : Tìm nghiệm của đa thức: 6 5 4 3 2 7 3 7 4 2x x x x x x− + − + − − trên 17 ( ) [ ]g x F x∈ Chương III. Bài tập Giải một số bài tập dể làm rõ phần lí thuyết (chọn 20 bài) Phần kết luận Tài liệu tham khảo 4 . Trường Hữu Hạn. 1.Định Nghĩa Định nghĩa trường hữu hạn: Trường hữu hạn là trường có hữu hạn. tồn tại trường hữu hạn chứa đúng p n phần tử. Hơn nữa, hai trường hữu hạn có cùng số phần tử thì đẳng cấu với nhau. 4 Trường con của trường hữu hạn Định