Khảo sát toán 9 đông anh 1920

ĐỒN HƯNG: ƠN LUYỆN TỐN THCS – THPT SĐT: 034 996 9893 Địa chỉ: 19/113, Ngọc Thụy, Long Biên, Hà Nội PHỊNG GD&ĐT HUYỆN ĐƠNG ANH ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (2 điểm) Cho biểu thức A  a) b) c) d) ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MƠN TỐN Năm học 2019 - 2020  15  x x   x 3 B    :  , với x  0, x  25 3 x x    x    x  25 Tính giá trị biểu thức A x = 49 Rút gọn biểu thức B Tìm x để A < B Cho P = A + B Tìm x để P nhận giá trị nguyên Bài 2: (2,5 điểm) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình: Nhà Bình nằm đường từ nhà An đến q, biết khoảng cách nhà Bình nhà An 30km Hơm qua, Bình xe đạp An xe máy xuất phát lúc theo hướng đến nhà Sau 40 phút hai cô cháu gặp Hôm nay, hai cô cháu xuất phát từ nhà để quê với phương tiện vận tốc hôm qua, sau họ gặp q Tính vận tốc người Tính thể tích bê tơng cần dùng để đổ cột hình trụ có đường kính đáy 40cm chiều cao 3,9m (coi thể tích cột sắt làm cột không đáng kể) Bài (2 điểm)  x  my  Cho hệ phương trình:   mx  y  a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn: x  y   Cho đường thẳng d : y  2(m  1) x  2m  Parabol P : y  x vẽ mặt phẳng tọa độ a) Chứng minh (d) (P) ln có điểm chung với giá trị m b) Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt có hồnh độ độ dài cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp (O,R), đường cao AH, BK cắt I, CI cắt AB M a) Chứng minh tứ giác AMIK nội tiếp b) Chứng minh điểm I cách đường thẳng KM KH c) Nếu góc BAC 60o diện tích tam giác ABC 50 cm2 diện tích tam giác AKM bao nhiêu? Bài (0,5 điểm) Cho số thực x,y thỏa mãn: x  x   y   y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + 2020 ĐỒN HƯNG: ƠN LUYỆN TOÁN THCS – THPT SĐT: 034 996 9893 Địa chỉ: 19/113, Ngọc Thụy, Long Biên, Hà Nội ĐÁP ÁN CHI TIẾT Bài (2 điểm) Cho biểu thức A  a b c d  15  x x   x 3 B     :   , với x  0, x  25 x  25 3 x x  x      Tính giá trị biểu thức A x = 49 Rút gọn biểu thức B Tìm x để A < B Cho P = A + B Tìm x để P nhận giá trị nguyên Lời giải a) Tính giá trị biểu thức A x = 49 Thay x = 49 (TMĐK) vào biểu thức A ta có: A  49 2.7 14     49  10 b) Rút gọn biểu thức B Vậy x = 49 A   15  x   x 3 B    :  x    x    x  25    x 3 15  x 2.( x  5) B     :    ( x  5).( x  5) ( x  5).( x  5)   x    15  x  x  10   x   B    :    ( x  5).( x  5)   x      x 3 x 5 B    :   ( x  5).( x  5)    x 5    x 5 x 5 B       x 3  ( x  5).( x  5)   x   c) Tìm x để A < B A B  x  3 x x 3  x  0 3 x x 3  x 1 0 3 x Do x  (với x thuộc ĐKXĐ) nên: Vậy:  x  x     x 1   x   thỏa mãn điều kiện tốn x 1  x ĐỒN HƯNG: ƠN LUYỆN TỐN THCS – THPT SĐT: 034 996 9893 Địa chỉ: 19/113, Ngọc Thụy, Long Biên, Hà Nội d) Cho P = A + B Tìm x để P nhận giá trị nguyên P  A B  P x x 1   3 x x 3 x 3 2( x  3)  5  2 x 3 x 3 x  (với x thuộc ĐKXĐ) nên: Ta có: 1 5    x 3 x 3   2 Mà: x    x 3 Mặt khác: P số nguyên nên P = x   3 P 1 5 5 1  2  2   P  3 3 x 3 2 P2 x 3 x 1   x 1  x   x  x  1 x 3  x   x  4(TMDK ) Vậy x = P số nguyên Bài 2: (2,5 điểm) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình: Nhà Bình nằm đường từ nhà An đến q, biết khoảng cách nhà Bình nhà An 30km Hơm qua, Bình xe đạp cô An xe máy xuất phát lúc theo hướng đến nhà Sau 40 phút hai cháu gặp Hơm nay, hai cháu xuất phát từ nhà để quê với phương tiện vận tốc hôm qua, sau họ gặp quê Tính vận tốc người Phân tích tốn: Quãng đường Vận tốc Cô An x x Bình y y Quá trình Thời gian Hai người đến nhà Phương trình (1): 40 phút = ( h) 2 x  y  30 3 Hai người quê Cô An 2x x Bình 2y y Phương trình (2): 2x – 2y = 30 ( h) ĐỒN HƯNG: ƠN LUYỆN TỐN THCS – THPT SĐT: 034 996 9893 Địa chỉ: 19/113, Ngọc Thụy, Long Biên, Hà Nội Lời giải ( h)  Gọi vận tốc Bình x (km/h); Gọi vận tốc cô An y (km/h); x > 0; y >  Khi Bình An đến nhà Do thời gian để hai cô cháu gặp ( h) nên: - Quãng đường Bình lúc gặp An là: x (km) - Quãng đường cô An lúc gặp Bình là: y (km)  Tính đến lúc gặp Tổng qng đường Bình cô An khoảng cách từ nhà Bình đến nhà 2 An, tương ứng 30km; nên ta có phương trình: x  y  30 (1) 3  Khi Bình An quê Do thời gian để hai cô cháu gặp quê nên: - Quãng đường Bình từ nhà đến quê là: 2x (km) - Quãng đường cô An từ nhà đến quê là: 2y (km)  Khi hai người gặp quê, khoảng cách từ nhà Bình quê gần nhà cô An 30km, nên quãng đường cô An quê dài quãng đường Bình 30km Vậy ta có phương trình: 2y – 2x = 30 (2) Đổi: 40 phút = Từ (1) (2) ta có hệ phương trình 2 2 2   x  y  30   x  y   30  x  y  30 :   3 3   2 y  x  30 2  y  x   30  y  x  30 :   x  y  45  x  y  45  x  30  45     y  x  15 2 y  45  15  60  y  60 :  30  x  15(TM )   y  30 (TM ) Vậy vận tốc Bình 15km/h Vận tốc An 30km/h Tính thể tích bê tơng cần dung để đổ cột hình trụ có đường kính đáy 40cm chiều cao 3,9m (coi thể tích cột sắt làm cột khơng đáng kể) Lời giải Đường kính đáy hình trụ 40 cm, nên bán kính đáy r = 20 (cm) = 0,2 (m) Chiều cao hình trụ 3,9 m nên h = 3,9 (m) Thể tích bê tơng cần dung thể tích hình trụ Nên ta tích bê tơng cần dùng là: V   r h   0, 22.3,9  0, 49 (m3 ) Bài (2 điểm)  x  my  Cho hệ phương trình:   mx  y  ĐOÀN HƯNG: ÔN LUYỆN TOÁN THCS – THPT SĐT: 034 996 9893 Địa chỉ: 19/113, Ngọc Thụy, Long Biên, Hà Nội a Giải hệ phương trình m = b Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn: x  y   Lời giải a) Giải hệ phương trình m = Với m = thay vào hệ phương trình ta được: x  y  x  y  x  y     1  y  x  y  3 y       x 2 x  2 x       3     y  1  y  1  y  1    3     1  Vậy với m=1 hệ phương trình có nghiệm ( x; y):  ;  3  b) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn: x  y   Giải hệ phương trình theo tham số m ta được:  x   my  x   my  x  my   x   my     2 mx  y  m.(2  my )  y  2m  m y  y   y.(m  2)   2m  2m  2(m  2)  m  2m  x   m  x   my x      m 2 m2  2    2m (do m   0m)    y  m   y   2m  y   2m  m 2  m2  m4  2m   m  2m  x  x    m 2 m 2    y   2m  y   2m  m2   m 2 Để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: x  y   thì: m4  2m 3m  12   4m  m      0 m2  m2  m2   m  m  12 m  m  12 m  m  12      0 m2  m2  m2   m  m  12  (do : m   m)    m    m  (tm)   m   m  4     m  3  m       4  m   m    m    ( Loai)  m    m  4 Vậy 4  m  thỏa mãn điều kiện tốn ĐỒN HƯNG: ƠN LUYỆN TỐN THCS – THPT SĐT: 034 996 9893 Địa chỉ: 19/113, Ngọc Thụy, Long Biên, Hà Nội Cho đường thẳng d : y  2(m  1) x  2m  Parabol P : y  x vẽ mặt phẳng tọa độ a Chứng minh (d) (P) ln có điểm chung với giá trị m b Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt có hồnh độ độ dài cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền Lời giải a) Chứng minh (d) (P) ln có điểm chung với giá trị m Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) ta có: x  2(m  1) x  2m   x  2(m  1) x  2m   (*)   '  (m  1)  1.(2m  1)  m  2m   2m   m  m Vậy phương trình ln có nghiệm với giá trị m, nên (d) (P) ln có điểm chung với giá trị m b) Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt có hồnh độ độ dài cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền Gọi hồnh độ giao điểm (d) (P) x1 x2 Để x1 x2 cạnh góc vng tam giác phương trình (*) có nghiệm dương phân biệt  m  m   '  m  m         S   2(m  1)   m    m  1   1 m P   2m   2m  1   1     m   Với m  0; m  1 theo Vi-et ta có:  x1  x2  2(m  1)   x1.x2  2m  Lại có x1 x2 độ dài cạnh tam giác vng có cạnh huyền x12  x2    x1  x2   x1 x2    2(m  1)   2.(2m  1)   4(m2  2m  1)  4m    4m2  8m   4m    m  (tm)   4m  4m      m  3 ( L)  Vậy m  thỏa mãn điều kiện toán nên áp dụng định lý Pytago ta có: ĐỒN HƯNG: ƠN LUYỆN TỐN THCS – THPT SĐT: 034 996 9893 Địa chỉ: 19/113, Ngọc Thụy, Long Biên, Hà Nội Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp (O,R), đường cao AH, BK cắt I, CI cắt AB M a Chứng minh tứ giác AMIK nội tiếp b Chứng minh điểm I cách đường thẳng KM KH c Nếu góc BAC 60o diện tích tam giác ABC 50 cm2 diện tích tam giác AKM bao nhiêu? Lời giải a) Chứng minh tứ giác AMIK nội tiếp Do AH, BK đường cao tam giác ABC cắt taị I Nên I trực tâm tam giác ABC Do CM vng góc với AB M Xét tứ giác AMIK có: AMI  900 (do CM  AB (cmt )) AKI  900 (do BK  AC ( gt ))  AMI  AKI  1800 Mà hai góc AMI AKI góc có hai đỉnh đối tứ giác AMIK Nên tứ giác AMIK nội tiếp (dấu hiệu nhận biết) b) Chứng minh I cách MK KH Xét tứ giác KIHC có: IKC  900 (do BK  AC ( gt )); IHC  900 (do AH  BC ( gt ))  IKC  IHC  1800 Do tứ giác AMIK nội tiếp (tổng hai góc đối 1800) Tương tự chứng minh tứ giác MIHB; AMHC; AKHB; BMKC tứ giác nội tiếp Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMIK có: MKI  MAK (góc nội tiếp chắn cung MI) (1) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác IKCH có: IKH  ICH (góc nội tiếp chắn cung IH) (2) ĐỒN HƯNG: ƠN LUYỆN TOÁN THCS – THPT SĐT: 034 996 9893 Địa chỉ: 19/113, Ngọc Thụy, Long Biên, Hà Nội Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHC có: MAH  ACH  MAI  ICH (góc nt chắn MH) (3) Từ (1), (2), (3) suy MKI  KIH nên KI phân giác góc MKH Tương tự chứng minh MI phân giác góc KMH Mà KI MI cắt taị I nên I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MKH Vậy I cách MK MH (điều phải chứng minh) c) Nếu góc BAC 60o diện tích tam giác ABC 50 cm2 diện tích tam giác AKM bao nhiêu? Xét đường tròn tròn ngoại tiếp tứ giác BMKC có: BCK  AMK  BCA  AMK (góc ngồi góc đối góc trong) Ta có: AMK đồng dạng ACB (do BAC chung ; AMK  ACB )    SAMK  AM    cos MAC  cos 60o  SACB  AC  S 50  SAMK  ACB   12,5 cm 4   Bài (0,5 điểm) Cho số thực x,y thỏa mãn: x  x   y   y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + 2020 Lời giải Điều kiện xác định: x  1; y  1 x  x 1  y 1  y  x  y  x 1  y 1  x  y    x  y   x 1  y 1    x  y   ( x   y  1)  x  y   ( x  y  2)  ( x   y  1)  ( x  y )  2( x  y )   ( x  y )  2( x  y )    ( x  y )  2( x  y )    ( x  y   5).( x  y   5)   1  x  y  1  GTLN ( x  y )   x  y  1 ĐOÀN HƯNG: ÔN LUYỆN TOÁN THCS – THPT SĐT: 034 996 9893 Địa chỉ: 19/113, Ngọc Thụy, Long Biên, Hà Nội   x  y   ( x   y  1)  x  y   x  y    ( x  y)2  ( x  y)   Lại có:  ( x  y  2).( x  y  1)   x  y  (do x  y   0)  x  3; y  1  GTNN ( x  y )    x  1; y  ... dùng là: V   r h   0, 22.3 ,9  0, 49 (m3 ) Bài (2 điểm)  x  my  Cho hệ phương trình:   mx  y  ĐỒN HƯNG: ƠN LUYỆN TỐN THCS – THPT SĐT: 034 99 6 98 93 Địa chỉ: 19/ 113, Ngọc Thụy, Long Biên,... nên: Vậy:  x  x     x 1   x   thỏa mãn điều kiện toán x 1  x ĐỒN HƯNG: ƠN LUYỆN TỐN THCS – THPT SĐT: 034 99 6 98 93 Địa chỉ: 19/ 113, Ngọc Thụy, Long Biên, Hà Nội d) Cho P = A + B Tìm... thỏa mãn điều kiện tốn nên áp dụng định lý Pytago ta có: ĐỒN HƯNG: ƠN LUYỆN TOÁN THCS – THPT SĐT: 034 99 6 98 93 Địa chỉ: 19/ 113, Ngọc Thụy, Long Biên, Hà Nội Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp