Ăn chắc 9+ Vật lý Chủ đề 3: con lắc đơn

CHỦ ĐỀ CON LẮC ĐƠN Bài toán liên quan đến cơng thức tính Phương pháp giải  l ∆t1 = π T1 2= g n1   l + ∆l ∆t2 T 2= π =  g n2   l l = π ; T2 2π T1 2= T= g g T12 + T22  + ⇒  T12 − T22 l1 + l2 l1 − l2 T=   − = π ; T− 2π T+ 2= g g  Ví dụ 1: Khi chiều dài dây treo tăng 20% chu kì dao động điều hịa lắc đơn A giảm 9,54% B tăng 20% C tăng 9,54% D giảm 20% Hướng dẫn: Chọn đáp án C l + 0, 21 2π g T2 = == 1, 1, 0954 = + 0, 0954 =+ 100% 9,54% T1 l 2π g Ví dụ 2: Một lắc đơn, khoảng thời gian Δt thực 12 dao động Khi giảm độ dài bớt 16cm, khoảng thời gian Δt trên, lắc thực 20 dao động Tính độ dài ban đầu A 60 cm B 50 cm C 40cm D 25 cm Hướng dẫn: Chọn đáp án D  l ∆t = π T1 2= g 12 l − 0,16 12  ⇒ = ⇒ l= 0, 25 ( m )  l 20 l − 0,16 ∆t  = π T2 2= g 20  Ví dụ 3: Một lắc đơn, khoảng thời gian Δt = 10 phút thực 299 dao động Khi giảm độ dài bớt 40 cm, khoảng thời gian Δt trên, lắc thực 386 dao động Gia tốc rơi tự nơi thí nghiệm A 9,80 m / s B 9,81 m / s C 9,82 m / s D 9,83 m / s Hướng dẫn: Chọn đáp án A  l 600 = π T1 2= g 299   l − 0, 600 T 2= = π  g 386  0, T12 = − T22 4π 2= 6002 ( 200−2 − 386−2 ) ⇒ g ≈ 9,8 ( m / s ) g Chú ý: Công thức độc lập với thời gian lắc đơn suy từ cơng thức lắc đơn: A2 = x2 + A = lamax v2 x= s= la g ω2 = l ω2 Ví dụ 4: Một lắc đơn gồm sợi dây có chiều dài 20 cm treo điểm cố định Kéo lắc khỏi phương thẳng đứng góc 0,1 (rad) phía bên phải, truyền cho lắc tốc độ 14 (cm/s) theo phương vng góc với với dây Coi lắc dao động điều hoà Cho gia tốc trọng trường 9,8 (m/s2) Biên độ dài lắc A 3,2 cm B 2,8 cm C cm D cm Hướng dẫn: Chọn đáp án C A= x2 + v2 = ω2 ( la ) + v 2l = g ( 0, 2.0,1) + 0,142.3.0, = 0, 04 ( m ) 9,8 Ví dụ 5: Một lắc đơn dao động điều hịa với biên độ góc 0,1 rad nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s2 Vào thời điểm ban đầu vật qua vị trí có li độ dài cm có vận tốc 20 cm / s Tốc độ cực đại vật dao động là: A 0,8 m/s B 0,2 m/s C 0,4 m/s D m/s Hướng dẫn: Chọn đáp án C A2 = x + v2 ω2 ⇔ ( lamax ) = s + ⇒ vmax =ω A = l.v l.0, 04.3 ⇔ ( l.0,1) = 0, 082 + ⇒ l = 1, ( m ) g 10 g lamax =0, ( m / s ) l Chú ý: 1) Công thức độc lập với thời gian: 2 x s a = = = q x  v  A A amax A= x + ⇒ = v= ω A − q →   +  ω  A ωA 2 v2 x= s= la 2) Với lắc đơn lực kéo tính Fkv = −mω x g ω = l  quanh vị trí cân O Gọi Ví dụ 6: Vật treo lắc đơn dao động điều hòa theo cung tròn MN  Biết vật có tốc độ cực đại m/s, tìm tốc độ vật  MP P Q trung điểm MO qua Q? A m/s B 5,29 m/s C 3,46 m/s D m/s Hướng dẫn: Chọn đáp án B = q= ωA x  v  A =   +  =  → v ω A = 1− q = ≈ 5, 29 ( m / s )  4  A ωA 2 x Ví dụ 7: Một lắc đơn gồm cầu có khối lượng 100 (g), nơi có gia tốc trọng trường 10 m/s2 Kéo lắc lệch khỏi vị trí cân góc 0,1 rad thả nhẹ Khi vật qua vị trí có tốc độ nửa tốc độ cực đại lực kéo có độ lớn A 0,087 N B 0,1 N C 0,025 N D 0,05 N Hướng dẫn: Chọn đáp án A v= vmax a a g ⇒ a= max ⇒ Fkv= m a.= l mg max ≈ 0, 087 ( N ) 2 l Ví dụ 8: Một lắc đơn dao động nhỏ xung quanh vị trí cân bằng, chọn trục Ox nằm ngang gốc O trùng với vị trí cân chiều dương hướng từ trái sang phải Ở thời điểm ban đầu vật bên trái vị trí cân dây treo hợp với phương thẳng đứng góc 0,01 rad, vật truyền tốc độ π cm/s với chiều từ phải sang trái Biết lượng dao động lắc 0,1 (mJ), khối lượng vật 100 g, lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2 π2 = 10 Viết phương trình dao động vật = A s 3π   cos  π t +  cm   3π  C s cos  2π t + =    cm  = B s π  cos  π t −  cm 4  π  D s cos  2π t −  cm = 4  Hướng dẫn: Chọn đáp án A = W mgl mv 0,1.10.1 0,1.0, 03142 −4 a + ⇒ 10 = 0, 012 + ⇒ ≈ 1( m ) 2 2 = ω g = π l −la = −0, 01( m ) =  s A cos (π t + ϕ )  s( 0) =A cos ϕ = t =0 →   s' = −π A sin (π t + ϕ ) −π A sin ϕ = −3,14.10−2 ( m / s ) v( 0) = v = 3π  3π  ϕ =  = ⇒ ⇒ s 0, 01 cos  π t +  ( m)    A = 0, 01 ( m )  Chú ý: Nếu lắc đơn gồm dây kim loại nhẹ, dao động điều hoà từ trường mà cảm ứng từ có hướng vng góc với mặt phẳng dao động lắc dây dẫn xuất suất điện cảm ứng: da B πl dF BdS Bl da e= − = − = − 2π = − dt dt dt dt = a amax cos(ωt +ϕ )  = →e Bl 2ω amax sin (ωt + ϕ ) Ví dụ 9: Một lắc đơn gồm dây kim loại nhẹ dài m, dao động điều hoà với biên độ góc 0,2 rad từ trường mà cảm ứng từ có hướng vng góc với mặt phẳng dao động lắc có độ lớn T lấy gia tốc trọng trường 10 m/s2 Tính suất điện động cực đại xuất treo lắc A 0,45 V B 0,63 V Hướng dẫn: Chọn đáp án C Bl 2ω amax g = E0 = Bl amax ≈ 0,32 (V ) 2 l C 0,32 V D 0,22 V Bài toán liên quan đến lượng dao động Phương pháp giải + Khi khơng có ma sát, bảo tồn, tổng động năng, cực đại, động cực đại: W = mgl (1 − cos a ) + mv 2 Wt mgh = = mgl (1 − cosa ) mvmax = mgl (1 − cos amax ) = Wd = mv 2 a a2  a + Khi lắc đơn dao động bé (1 − cos = nên dao động: a )  sin  ≈  =  2  2 W= mgl  Wt = a  mv  với Wd =  A  amax = l  mgl mv mvmax mgl mω A2 mgA2 a + = = amax = = 2 2 2l Ví dụ 1: Một lắc đơn có chiều dài m khối lượng 100 g dao động mặt phẳng thẳng đứng qua điểm treo nơi có g = 10 m/s2 Lấy mốc vị trí cân Bỏ qua ma sát Khi sợi dây treo hợp với phương thẳng đứng góc 300 tốc độ vật nặng 0,3 m/s Cơ lắc đơn A − 0,5 J B 0,13 J C 0,14 J D 0,5 J Hướng dẫn: Chọn đáp án C mv 0,1.0,32 = W mgl (1 − cos a ) + = 0,1.10.1 (1 − cos 30° ) + = 0,14 ( J ) 2 Ví dụ 2: Một lắc đơn gồm cầu có khối lượng 400 (g) sợi dây treo khơng dãn có trọng lượng khơng đáng kể, chiều dài 0,1 (m) treo thẳng đứng điểm A Biết lắc đơn dao động điều hoà, vị trí có li độ góc 0,075 (rad) có vận tốc 0, 075 Cho gia tốc trọng trường 10 (m/s2) Tính dao động A 4,7 mJ B 4,4 mJ C 4,5 mJ Hướng dẫn: Chọn đáp án C ( ) 0, 0, 075 mgl mv 0, 4.10.0,1 = = 4,5.10−3 ( J ) W= a + 0, 0752 + 2 2 D 4,8 mJ Ví dụ 3: Một lắc đơn gồm vật nặng có khối lượng kg, độ dài dây treo m, góc lệch cực đại dây so với đường thẳng đứng 0,175 rad Chọn mốc trọng trường ngang với vị trí thấp nhất, g = 9,8 m/s2 Cơ tốc độ vật nặng vị trí thấp A J m/s B 0,30 J 0,77 m/s C 0,30 J 7,7 m/s D J 7,7 m/s Hướng dẫn: Chọn đáp án B mgl 1.9,8.2  = amax = 0,1752 0,30 ( J ) W = 2  g v = ω= = 0, 77 ( m / s ) A lamax max  l Ví dụ 4: Một lắc đơn có khối lượng kg có độ dài m, dao động điều hịa nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2 Cơ dao động lắc 0,2205 J Biên độ góc lắc A 0,75 rad B 4,30° C 0,3 rad D 0,0750 Hướng dẫn: Chọn đáp án B mgl 2W 2.0, 2205 W= amax ⇒ amax = = =0, 075 ( rad ) =4,3° mgl 2.9,8.4 mgl  W = a t   mv  Chú ý: Wd =   mvmax mω A2 mgl W + W = W = = a =  d t max 2    mv W =  Cho v ⇒ d    W = W − Wd   t  mgl   Wt = a  Cho a ⇒   W= W − Wt d   n n ± amax Wt = W ⇒ a = n +1 n +1  = Wt nW ⇒  W = W ⇒ v =± v max  d n + n +1 Ví dụ 5: Một lắc đơn gồm viên bi nhỏ khối lượng 100 (g) treo đầu sợi dây dài 1,57 (m) địa điểm có gia tốc trọng trường 9,81 m/s2 Kéo lắc lệch khỏi vị trí cân góc 0,1 (rad) thả cho dao động điều hồ khơng có vận tốc ban đầu Tính động viên bi góc lệch 0,05 (rad) A Wd = 0,00195 J B Wd = 0,00585 J C Wd = 0,00591 J D Wd = 0,00577 J Hướng dẫn: Chọn đáp án D Wd = W − Wt = mgl mgl amax − a = 0, 00577 ( J ) 2 Ví dụ 6: (CĐ-2011)Một lắc đơn dao động điều hịa với biên độ góc α0 Lấy mốc vị trí cân Ở vị trí lắc có động li độ góc A ± α0 B ± Hướng dẫn: Chọn đáp án C α0 C ± α0 D ± α0 a W mga mga02 Wt = Wd = ⇔ = ⇒ a′ = ± 2 2 Ví dụ 7: Một lắc đơn có chiều dài dây treo 40 cm, dao động với biên độ góc 0,1 rad nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/s2 Vận tốc vật nặng vị trí ba lần động A ±0,3 m/s B ±0,2 m/s C ±0,1 m/s D ±0,4 m/s Hướng dẫn: Chọn đáp án C a W mv mglamax Wt =3Wd ⇒ Wd = ⇒ = ⇒ v = max 4 2 gl =±0,1( m / s ) Chú ý: Nhớ lại khoảng thời gian dao động điều hịa Ví dụ 8: (CĐ-2011)Một lắc đơn có chiều dài dây treo m dao động điều hịa với biên độ góc π/20 rad nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s2 Lấy π2 = 10 Thời gian ngắn để lắc từ vị trí cân đến vị trí có li độ góc A s B π 40 rad s C s D 2s Hướng dẫn: Chọn đáp án A = a1 0,= a2 amax  → = t 1 l 1 = T 2π = 2π = ( s ) 6 g 10 Ví dụ 9: Một lắc đơn dao động điều hịa nơi có gia tốc trọng trường 9,86 m/s2 Tốc vật qua vị trí cân 6,28 cm/s thời gian từ vị trí cân đến vị trí có li độ góc nửa biên độ góc là 1/6 s Chiều dài dây treo lắc biên độ dài A 0,8 m 0,1 m B 0,2 m 0,1 m C m cm Hướng dẫn: Chọn đáp án C Thời gian ngắn từ α = đến α = 0,5α max là: T l = ⇒ T = ( s ) = 2π ⇒ l = 1( m ) 12 g vmax = ω A = 2π 2π A ⇒ 6, 28 = A ⇒ A = ( cm ) T D m 1,5 m Chú ý: - Chuyển động từ hai biên VTCB chuyển động nhanh dần - Chuyển động từ VTCB biên chuyển động chậm dần Ví dụ 10: (ĐH-2010)Tại nơi có gia tốc trọng trường g, lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc α max nhỏ Lấy mốc vị trí cân Khi lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương đến vị trí có động li độ góc α lắc A − α max B α max C − α max D α max Hướng dẫn: Chọn đáp án C Đi theo chiều dương trị trí cân ⇒ α < α Wt = Wd =W ⇒ α = ± max 2 α= − α max Chú ý: Nếu lắc đơn dao động điều hòa lúc qua vị trí cân làm thay đổi chiều dài khơng đổi:  mω A′2 mgA2 mgl = = = α max W 2l ′ W= W ⇒  ′2 A′2 mgA′2 mgl ′ '2 W ′ mω= = = α max  2l ′ Ví dụ 11: Một lắc đơn lí tưởng dao động điều hịa, qua vị trí cân điểm I sợi dây giữ lại sau tiếp tục dao động điều hòa với chiều dài sợi dây phần tư lúc đầu A biên độ góc dao động sau gấp đơi biên độ góc ban đầu B biên độ góc dao động sau gấp bốn biên độ góc ban đầu C biên độ dài dao động sau gấp đơi biên độ dài ban đầu D dao động sau nửa ban đầu Hướng dẫn: Chọn đáp án A  mgA′2 mgA2 l′ A = ⇒ A=′ A =  2l l  2l ′ W=′ W ⇒  l  mgl ′ α ′2= mgl α ⇒ α ′ = α = 2α max max max max max  2 l′ Bài toán liên quan đến vận tốc, lực căng, gia tốc Phương pháp giải + Từ cơng thức tính năng: W = mgl (1 − cos α ) + mvmax mv = mgl (1 − cos α max ) = 2 v =2 gl ( cos α − cos α max ) ⇒ v =± gl ( cos α − cos α max )   vmax = gl (1 − cos α max ) ⇒ vmax = gl (1 − cos α max ) Nếu α max  cos a − cos α ≈ α max − α ) = ( ) ( max v gl (α max  −α ) nhỏ  nên  2 = = α max ωA vmax gl (1 − cos α ) ≈ α max max  + Lực đóng vai trị lực hướng tâm: mv m R − mg cos α = Fht == gl ( cos α − cos α max ) l l = ⇒ R mg ( 3cos α − cos α max ) Ví dụ 1: Một lắc đơn có chiều dài dây treo 100 cm, vật có khối lượng 50 g dao động nơi có gia tốc trọng trường g = 9,81 m/s2 với biên độ góc 300 Khi li độ góc 80 tốc độ vật lực căng sợi dây A 1,65 m/s 0,71 N B 1,56 m/s 0,61 N C 1,56 m/s 0,71 N D 1,65 m/s 0,61 N Hướng dẫn: Chọn đáp án B  v = − cos 30° ) 1,56 ( m / s ) gl ( cos α −= cos α max ) 2.9,8.1 ( cos8°=  cos α max ) 0, 05.9,81 ( 3cos8° −= cos 30° ) 0, 61( N ) =  R mg ( 3cos α − 2= Ví dụ 2: Con lắc đơn chiều dài m dao động nhỏ với chu kì 1,5 s biên độ góc 0,05 rad Độ lớn vận tốc vật có li độ góc 0,04 rad A 9π cm/s B 3π cm/s C 4π cm/s D 4π cm/s Hướng dẫn: Chọn đáp án C  l 4π 2l = T π ⇒ = g  g T2   4π 2l 2  2 = = v 0, 04π ( m / s ) ) T (α max − α ) ⇒= v gl (α max − α Ví dụ 3: Một lắc đơn gồm cầu nhỏ, khối lượng 0,05 kg treo vào đầu sợi dây dài m, nơi có gia tốc trọng trường 9,81 m/s2 Bỏ qua ma sát Con lắc dao động theo phương thẳng đứng với góc lệch cực đại so với phương thẳng đứng 300 Tốc độ vật lực căng dây qua vị trí cân A 1,62 m/s 0,62 N B 2,63 m/s 0,62 N C 4,12 m/s 1,34 N D 0,412 m/s 13,4 N Hướng dẫn: Chọn đáp án A vmax = gl (1 − cos α max ) = 1, 62 ( m / s )  mg ( − cos α max = ° ) 0, 62 ( N ) ) 0, 05.9,81 ( − cos 30=  R= max Chú ý: Tại vị trí biên (α = ±α max ) lực căng sợi dây có độ lớn cực tiểu ( Rmin = mg cos α max ) Tại vị trí Rmax mg ( − cos α max ) ) cân (α = ) lực căng sợi dây có độ lớn cực đại (= Ví dụ 4: Một lắc đơn gồm cầu có khối lượng 400 (g), nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2 Kích thích cho lắc dao động mặt phẳng thẳng đứng Biết sức căng dây lắc vị trí biên 0,99 N Xác định lực căng dây treo vật qua vị trí cân A 10,02 N B 9,78 N C 11,2 N D 8,888 N Hướng dẫn: Chọn đáp án B 0,99  mg ( 3cos α max − cos α max ) = 0,99 ⇒ cos α max =  Rmin = 0, 4.9,8   0,99   R = mg ( 3cos 0° − = cos α max ) 0, 4.9,8  − 2.= 9, 78 ( N ) max  0, 4.9,8   Chú ý: Nếu sợi dây chịu lực kéo tối đa F0 điều kiện để sợi dây không đứt Rmax ≤ F0 Ví dụ 5: Treo vật trọng lượng 10 N vào đầu sợi dây nhẹ, không co dãn kéo vật khỏi phương thẳng đứng góc α max thả nhẹ cho vật dao động Biết dây treo chịu kéo tối đa 20 N Để dây khơng bị đứt α max khơng thể vượt A 15° B 30° C 45° D 60° Hướng dẫn: Chọn đáp án D Rmax= mg ( − cos α max ) ≤ F0 ⇔ 10 ( − 2cο sα max ) ≤ 20 ( N ) ⇒ α max ≤ 60° Ví dụ 18: Một lắc đơn dao động điều hòa thang máy đứng yên nơi có gia tốc g = 9,8 m/s2 với lượng dao động 150 mJ Thang máy bắt đầu chuyển động chậm dần lên với gia tốc 2,5 m/s2 Biết thời điểm thang máy bắt đầu chuyển động lúc lắc có li độ nửa li độ cực đại Con lắc tiếp tục dao động thang máy với lượng A 140,4 mJ B 188 mJ C 112 mJ D 159,6 mJ Hướng dẫn: Chọn đáp án A g ' = g − a = 7,3 ( m / s ) m∆gl m ( g '− g ) l amax mgl  g '  25 ∆Wt = a = = amax −  − 1 = 2 392 g  W =′ W + ∆W= 150 − t 25 150= 140, ( mJ ) 392 Ví dụ 28: Con lắc đơn treo trần thang máy, dao động điều hoà Khi lắc tới vị trí cân thang máy bắt đầu chuyển động nhanh dần lên A biên độ dao động giảm B biên độ dao động không thay đổi C lực căng dây giảm D biên độ dao động tăng Hướng dẫn: Chọn đáp án A Lúc lắc qua VTCB (α = ) thang máy bắt đầu chuyển động nhanh dần lên ( g ' = g + a > g ) ′ = vmax ) nên không làm thay đổi động cực đại, tức khơng làm thay đổi tốc độ cực đại ( vmax không làm thay đổi dao động mg ′l mgl g ′= ′= amax < amax amax amax ⇒ amax 2 g'  2) Khi F hướng ngang  F  tan α = m     F F hướng ngang  P g ′= g +  →  P =' = P2 + F m cos α   P' g F2 = g2 +  g=' = m cos α m  Ví dụ 1: Một lắc đơn gồm cầu tích điện buộc vào sợi dây mảnh cách điện dài 1,4 (m) Con lắc treo điện trường tụ điện phẳng có đặt thẳng đứng, nơi có g = 9,8 (m/s2) Khi vật vị trí cân sợi dây lệch 300 so với phương thẳng đứng Bỏ qua ma sát lực cản Xác định chu kì dao động bé lắc đơn A 2,24 s B 2,35 s C 2,21 s Hướng dẫn: Chọn đáp án C g=' g l l cos α 1, 4.cos 30° ⇒ T=' 2π = 2π = 2π = 2, 21( s ) cos α g′ g 9,8 D 4,32 s Ví dụ 2: Một lắc đơn gồm cầu tích điện dương khối lượng ( g ) buộc vào sợi dây mảnh cách điện Con lắc treo điện trường tụ điện phẳng có đặt thẳng đứng với cường độ điện trường 10000 (V/m), nơi có g = 9,8 (m/s2) Khi vật vị trí cân sợi dây lệch 300 so với phương thẳng đứng Xác định điện tích cầu A 0,98 µ C B 0,97 µ C C 0,89 µ C D 0,72 µ C Hướng dẫn: Chọn đáp án A mg tan α = 0,98.10−6 ( C ) E = F P tan α ⇒= qE mg tan α ⇒ = q Ví dụ 3: Một lắc đơn dao động điều hòa với chu kỳ s Quả cầu lắc có khối lượng 100 g tích điện tích dương 3.10−5 C Người ta treo lắc điện trường có cường độ 105 V/m có phương nằm ngang Lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2 Chu kì dao động nhỏ lắc điện trường A 0,98 s B 1,00 s C 1,41 s D 2,12 s Hướng dẫn: Chọn đáp án C T′  qE  g +  ⇒ = T  m  g′ = g = g′  qE  1+    mg  = ⇒ T ′ = 1, 41( s ) Ví dụ 4: Một lắc đơn có chiều dài dây treo l, nặng có khối lượng m mang điện tích dương q dao động điều hịa nơi có gia tốc trọng trường g Khi khơng có điện trường lắc dao động điều hồ với chu kì T0 Nếu cho lắc dao động điều hoà điện trường hai tụ điện phẳng có véc tơ cường độ điện trường E (qE g a   tan β = g   g g '= g + a2 = >g  cos β Ví dụ 9: (CĐ-2010)Treo lắc đơn vào trần ơtơ nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8 m/s2 Khi ơtơ đứng n chu kì dao động điều hịa lắc s Nếu ôtô chuyển động thẳng nhanh dần đường nằm ngang với gia tốc m/s2 chu kì dao động điều hịa lắc xấp xỉ A 2,02 s B 1,82 s C 1,98 s D 2,00 s Hướng dẫn: Chọn đáp án C l g′ T′ g + a2 ⇒ = = T l 2π g 2π g =' g = g′ 9,8 9,82 + 22 ⇒ T= 1,98 ( s ) Ví dụ 10: Treo lắc đơn vào trần ôtô nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8 m/s2 Khi ơtơ chuyển động thẳng chu kì dao động điều hòa lắc 1,5 s Nếu ôtô chuyển động thẳng nhanh dần đường nằm ngang vị trí cân phương dây treo hợp với phương thẳng đứng góc 150 Gia tốc xe chu kì dao động điều hòa lắc xe chuyển động nhanh dần A 2,6 m/s2 1,47 s B 1,2 m/s2 1,37 s C 1,5 m/s2 1,27s D 2,5 m/s2 1,17s Hướng dẫn: Chọn đáp án A = a g= tan β 9,8.tan15 = ° 2, ( m / s ) l g′ T' = = T l 2π g 2π g = g′ cos15° ⇒= T 1, 47 ( s ) Ví dụ 11: Một tơ khởi hành đường nằm ngang đạt tốc độ 25 m/s sau chạy nhanh dần quãng đường 125 m Trần ô tô treo lắc đơn dài 1,5 m Cho gia tốc trọng trường g = 10 m/s2 Chu kì dao động nhỏ lắc đơn A 2,2 s B 1,6 s C 2,4 s Hướng dẫn: Chọn đáp án C v − v02= 2aS ⇒ 252 − 0= 2.a.125 ⇒ a= 2,5 ( m / s ) g =' g + a ⇒ T =' 2π l = 2π g′ 10 + 2,52 ⇒ T= 2, ( s ) D 2,8 s Ví dụ 12: Một lắc đơn treo vào trần xe ô tô chuyển động theo phương ngang Chu kì dao động điều hịa lắc đơn trường hợp xe chuyển thẳng T1, xe chuyển động nhanh dần với gia tốc a T2 xe chuyển động chậm dần với gia tốc a T3 Biểu thức sau đúng? A T= T= T3 B T2 < T1 < T3 C T= T3 < T1 D T2 > T1 > T3 Hướng dẫn: Chọn đáp án C T1 = 2π l ; T2 = 2π g g +a 2 ; T3 = 2π g + a2 ⇒ T3 = T2 < T1  3) Khi F hướng xiên    F F hướng xiên g ′= g +  → m  F F   g ' = g +   − g cos β  m m  F F  P′  sin β = sin α ⇒ sin α = mg ′ sin β  Ví dụ 1: Một lắc đơn gồm dây dài m vật nặng 100 g dao động điều hồ nơi có thêm trường ngoại lực có độ lớn N có hướng hợp với hướng trọng lực góc 1200 Lấy g = 10 m/s2 Khi vị trí cân sợi dây hợp với phương thẳng đứng góc A 30° chu kì dao động lắc đơn 1,99 s B 60° chu kì dao động lắc đơn 1,41 s C 30° chu kì dao động lắc đơn 1,41 s D 60° chu kì dao động lắc đơn 1,99 s Hướng dẫn: Chọn đáp án D  F F l   g +   − g cos β = 10 ( m / s ) ⇒ T '= 2π = 1,99 ( s )   F β= 60°  g ′= ′ m m g   g=′ g +  → m F F  P′  sin β= sin α ⇒ sin α= mg ′ sin β= 0,1.10 sin 60° ⇒ α= 60°  Ví dụ 2: Một lắc đơn dao động điều hịa với chu kì T nơi có thêm trường ngoại lực có độ lớn F có hướng ngang Nếu quay phương ngoại lực góc 300 chu kì dao động 1,987 s 1,147 s Tính T A 1,567 s B 1,405 s C 1,329 s Hướng dẫn: Chọn đáp án C  Khi F có phương nằm ngang chu kì dao động: D 1,510 s l = T 2= π 2π g′ l F g +  m 2  Khi F quay xuống góc 30° , quay lên góc 30° chu kì dao động là: l = T1 2= π 2π g′ l = T1 2= π 2π g′ l F F g +   − g cos120° m m l F F g +   − g cos 60° m m Từ rút hệ thức liên hệ: 1 + 4= ⇒ T= T1 T2 T T1T2 4 = 1,329 ( s ) T14 + T24 Ví dụ 3: Một lắc đơn gồm cầu tích điện dương 100 µ C , khối lượng 100 (g) buộc vào sợi dây mảnh cách điện dài 1,5 m Con lắc treo điện trường 10 kV/m tụ điện phẳng có đặt nghiêng so với phương thẳng đứng góc 300 (bản tích điện dương), nơi có g = 9,8 (m/s2) Chu kì dao động nhỏ lắc điện trường A 0,938 s B 1,99 s C 1,849 s D 1,51 s Hướng dẫn: Chọn đáp án C = F qE = 100.10−6.10.10= 1( N ) F F g ' = g +   − g cos β m m = 102 + 102 − 2.102.cos120 = ° 10 ( m / s ) l ⇒= T ′ 2π = 1,849 ( s ) g′ Chú ý: Nếu vật trượt không ma sát mặt phẳng nghiêng chuyển động chuyển động nhanh dần với gia tốc = a g= g sin α Khi lắc đơn treo vật vị trí cân bằng, phương sợi dây vng góc với mặt phẳng nghiêng có độ lớn g=′ g= g cos α Ví dụ 4: Một toa xe trượt khơng ma sát đường dốc xuống dưới, góc nghiêng dốc so với mặt phẳng nằm ngang 450 Lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2 Treo lên trần toa xe lắc đơn gồm dây treo chiều dài 1,5 (m) nối với cầu nhỏ Trong thời gian xe trượt xuống, chu kì dao động nhỏ lắc đơn A 2,89 s B 2,05 s C 2,135 s D 1,61 s Hướng dẫn: Chọn đáp án A a = g1 ⇒ g ′ = g = g cos α  l 1,5  = = 2,89 ( s ) π 2π = 2π T ' 2= g′ g cos α 10.cos 45°  Chú ý: Khi lắc đơn treo vật chuyển động nhanh dần xuống dốc gia tốc trọng trường hiệu dụng g '= g + a − ga cos β vị trí cân sợi dây hợp với phương thẳng đứng góc ϕ cho: a g' = sin ϕ sin β Ví dụ 5: Một xe xuống dốc nhanh dần gia tốc a = 0,5 m/s2, lấy g = 9,8 m/s2 Trong xe có lắc đơn, khối lượng vật nặng 200 g Dây treo dài m, dốc nghiêng 300 so với mặt phẳng nằm ngang Tìm chu kì dao động nhỏ lắc? A 1,6 s B 1,9 s Hướng dẫn: Chọn đáp án C C 2,03 s D 1,61 s = g' g + a − ga cos= β 9,82 + 0,52 − 2.9,8.0,5.cos 60 = ° 9,56 ( m / s )   l = π 2π = 2, 03 ( s ) T 2= g′ 9,56  Ví dụ 6: Một lắc đơn treo vào trần toa xe, lúc xe n dao động nhỏ với chu kỳ T Cho xe chuyển động thẳng mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α: xe xuống dốc dao động nhỏ với chu kì T1 xe lên dốc dao động nhỏ với chu kỳ T2 Kết luận đúng? A T= T2 > T B T= T= T C T1 < T < T2 D T1 > T > T2 Hướng dẫn: Chọn đáp án B Khi xe chuyển động thẳng lên hay xuống a = nên g ' = g Do đó: T= T= T Bài toán liên quan đến hệ lắc chuyển động sau dây đứt Phương pháp giải 1) Hệ lắc thay đổi * Con lắc vướng đinh l l = T1 2= π ; T2 2π g g W2 =⇒ W1 T= mgA12 mgA22 mgl2 mgl1 = ⇒ a2 = a1 2l1 2l2 2 T1 + T2 * Con lắc đơn va chạm đàn hồi với lắc lò xo (m1 = m2) mgl kA2 amax = 2  l T1 = 2π g   m  T2 = 2π k  T= T1 + T2  k2 A22 k1 A12 =  2  T = T1 + T2  * Con lắc đơn va chạm với mặt phẳng T1 = 2π l g T= T1 + 2tOC T= T1 b + arcsin ω amax Ví dụ 1: Một lắc đơn có chiều dài m dao động nơi có g = π2 = 10 m/s2 Biết vật qua vị trí cân bằng, dây treo vướng vào đinh nằm cách điểm treo khoảng 75 cm Chu kì dao động nhỏ hệ A + 0,5 ( s ) B (s) C + ( s ) D 1,5 (s) Hướng dẫn: Chọn đáp án D Dao động lắc gồm hai nửa nửa lắc có chu kì T1 = 2π kì T2 = 2π T= l1 ; nửa lắc có chu g l2 nên chu kì dao động hệ: g l l  1 (T1 + T2 ) =  2π + 2π  = 1,5 ( s ) 2 g g Ví dụ 2: Chiều dài lắc đơn m Phía điểm treo O phương thẳng đứng có đinh đóng vào điểm O’ cách O khoảng OO’ = 50 cm Kéo lắc lệch khỏi phương thẳng đứng góc α = 300 thả nhẹ Bỏ qua ma sát Biên độ cong trước sau vướng đinh A 5,2 mm 3,7 mm B 3,0 cm 2,1 cm C 5,2 cm 3,7 cm D 5,27 cm 3,76 cm Hướng dẫn: Chọn đáp án 3π Biên độ cong ban đầu: = A1 l1= amax1 100.= 5, ( cm ) 180 Dao động lắc gồm hai nửa nửa lắc có chiều dài l1 biên độ dài A1 nửa lắc có chiều dài l2 biên độ dài A2 Vì bảo toàn nên: W2 = W1 ⇒ l mg mg A1 = A2 ⇒ A2 = A1 = 3, ( cm ) 2l1 2l2 l1 Ví dụ 3: Một lắc dao động theo phương nằm ngang trùng với trục lò xo, lị xo có độ cứng 100 N/m cầu nhỏ dao động có khối lượng m1 = 100 g Con lắc đơn gồm sợi dây dài l = 25 cm cầu dao động m2 giống hệt m1 Ban đầu hệ vị trí cân phương dây treo thẳng đứng lị xo khơng biến dạng hai vật m1 m2 tiếp xúc Kéo m1 cho sợi dây lệch góc nhỏ bng nhẹ, biết qua vị trí cân m1 va chạm đàn hồi xuyên tâm với m2 Bỏ qua ma sát, lấy g = π2 = 10m/s2 Chu kì dao động hệ A 1,02 s B 0,60 s C 1,20 s D 0,81 s Hướng dẫn: Chọn đáp án Giả sử ban đầu kéo m1 đến A thả nhẹ, đến O đạt tốc độ cực đại sau va chạm đàn hồi với m2 Vì va chạm tuyệt đối đàn hồi hai vật giống hệt nên sau va chạm m1 đứng yên O truyền toàn vận tốc cho m2 làm cho m2 chuyển động chậm dần làm cho lò xo nén dần Đến B m2 dừng lại tức thời, sau đó, m2 chuyển động phía O, đến O đạt tốc độ cực đại, gặp m1 đứng n truyền tồn vận tốc cho m1 làm cho m1 chuyển động đến A Cứ vậy, hệ dao động gồm hai nửa trình hai lắc Do đó, chu kì dao động hệ: T= 1 l m (T1 + T2 ) =  2π + 2π  = 0, ( s ) 2 g k  Ví dụ 4: Một cầu nhỏ có khối lượng kg khoan lỗ nhỏ qua tâm xâu vừa khít vào nhỏ cứng thẳng đặt nằm ngang cho chuyển động không ma sát dọc theo Lúc đầu cầu đặt nằm thanh, lấy hai lị xo nhẹ có độ cứng 100 N/m 250 N/m lị xo có đầu chạm nhẹ với phía cầu đầu lại lò xo gắn cố định với đầu cho hai lị xo khơng biến dạng trục lị xo trùng với Đẩy m1 cho lò xo nén đoạn nhỏ bng nhẹ, chu kì dao động hệ A 0,16π s B 0,6π s C 0,51 s D 0,47 s Hướng dẫn: Chọn đáp án C Khi m chuyển động bên trái m liên kết với k1 nên chu kì dao động T1 = 2π m m k1 chuyển động bên phải m liên kết với k2 nên chu kì dao động T2 = 2π m Do đó, chu kì dao k2 động hệ: T=  1 1 m m  + 2π + (T1 + T2 ) =  2π  = π   = 0,51( s ) 2 k1 k2  250   100 Ví dụ 5: Một lắc đơn có chiều dài (m), khối lượng m Kéo lắc khỏi vị trí cân góc 0,1 (rad) thả cho dao động khơng vận tốc đầu Khi chuyển động qua vị trí cân sang phía bên lắc va chạm đàn hồi với mặt phẳng cố định qua điểm treo, góc nghiêng mặt phẳng phương thẳng đứng 0, 05 ( rad ) (rad) Lấy gia tốc trọng trường = g π= 9,85 ( m / s ) , bỏ qua ma sát Chu kì dao động lắc A 1,5 s B 1,33 s C 1,25 s Hướng dẫn: Chọn đáp án A l Chu kì lắc đơn: = T1 2= π 2(s) g Thời gian ngắn từ O đến C: tOC = = ω arcsin b amax 0, 05 = arcsin 0, 25 ( s ) p 0,1 Chu kì dao động hệ: T =t AO + tOC + tCO + tOA = T1 + 2tOC =1,5 ( s ) D 1,83 s 2) Chuyển động vật sau dây đứt 1) Đứt vật qua vị trí cân Tốc độ cầu dây đứt = v0 gl (1 − cos α max ) Phương trình chuyển động:  x = v0t   y = 0,5 gt Khi chạm đất:  2h  yC =h ⇒ 0,5 gt =h ⇒ tC = g  x = v t C  C Các thành phần vận tốc: v= x=′  x  y=′ v= y v y gt  β =  tan = vx v0 ⇒ v ( 0,5 gt =) gt = vx2 + v y2  ( v0t )=′ v0 2) Đứt vật lên qua vị trí có li độ góc α Cơ lúc đầu:= W0 mgH = mgl (1 − cos α max ) Tốc độ cầu dây đứt: v0 = gl ( cos α − cos α max ) Sau dây đứt vật chuyển động giống vật ném xiên, phân tích vec tơ vận tốc ban đầu:    v= v + v x y , với: = v0 x v0 cos 30° ⇒ Thành phần vận tốc bảo toàn v0 y = v0 sin 30° ⇒ v y = v0 y − gt ⇒ v y = lên đến vị trí cao Cơ vị trí vị trí cao lúc đầu: mv02x mv y mv02x + =mghmax + =W0 =mgH =mgl (1 − cos α max ) W =mgh + 2 Ví dụ 1: Một cầu A có kích thước nhỏ có khối lượng m = 50 (g), treo sợi dây mảnh, khơng dãn có chiều dài l = 6,4 (m), vị trí cân O cầu cách mặt đất nằm ngang khoảng h = 0,8 (m) Đưa cầu khỏi vị trí cân O cho sợi dây lập với phương thẳng đứng góc 600, bng nhẹ cho chuyển động Bỏ qua lực cản môi trường lấy gia tốc trọng lượng 10 (m/s2) Nếu qua O dây bị đứt vận tốc cầu chạm đất có phương hợp với mặt phẳng ngang góc A 38, 6° B 28, 6° C 36, 6° D 26, 6° Hướng dẫn: Chọn đáp án D Tốc độ cầu dây đứt: v0 = gl (1 − cos α max ) =8 ( m / s )  x = v0t Phương trình chuyển động:   y = 0,5 gt 2h 2.0,8 = =0, ( s ) g 10 Khi chạm đất: yC =h ⇒ 0,5 gt =h ⇒ tC = v= x=′  x Các thành phần vận tốc:  v= ′  y y= Tại vị trí chạm đất: tan βC = ( v0t )=′ v0 v gt ⇒ tan β =y = vx v0 ( 0,5 gt )=′ gt gt 10.0, = ⇒ βC = 26, 6° v0 Ví dụ 2: Một cầu A có kích thước nhỏ có khối lượng m = 50 (g), treo sợi dây mảnh, khơng dãn có chiều dài l = 6,4 (m), vị trí cân O cầu cách mặt đất nằm ngang khoảng h = 0,8 (m) Đưa cầu khỏi vị trí cân O cho sợi dây lập với phương thẳng đứng góc 600, bng nhẹ cho chuyển động Bỏ qua lực cản mơi trường lấy gia tốc trọng lượng 10 (m/s2) Nếu qua O dây bị đứt vận tốc cầu chạm đất có độ lớn A m/s B m/s C m/s Hướng dẫn: Chọn đáp án D Tốc độ cầu dây đứt: v0 = gl (1 − cos α max ) = 8(m / s)  x = v0t Phương trình chuyển động:   y = 0,5 gt Khi chạm đất: yC =h ⇒ 0,5 gt =h ⇒ tC = 2h 2.0,8 = =0, ( s ) g 10 Các thành phần vận tốc: v= x=′  x  v= ′  y y= ( v0t )=′ v0 ( 0,5gt )=′ ⇒ v= gt vx2 + v y2= ( v0 ) + ( gt ) 2 D m/s Khi chạm đất: v = ( v0 ) + ( gtC ) = ( ) + (10.0, ) =4 ( m / s ) 2 2 Ví dụ 3: Một lắc đơn gồm cầu nhỏ sợi dây nhẹ khơng dãn có chiều dài 1,5 (m) Kéo cầu lệnh khỏi vị trí cân O góc 600 bng nhẹ cho dao động mặt phẳng thẳng đứng Bỏ qua ma sát lấy gia tốc trọng trường 10 (m/s2) Khi cầu lên đến vị trí có li độ góc 300 dây bị tuột sau cầu chuyển đến độ cao cực đại so với O A 0,32 m B 0,14 m C 0,34 m D 0,75 m Hướng dẫn: Chọn đáp án C Cơ lúc đầu:= W0 mgH = mgl (1 − cos α max ) Tốc độ cầu dây đứt: v0= gl ( cos α − cos α max )= 3,31( m / s )    v0 x + v0 y Sau dây đứt vật chuyển động giống vật ném xiên, phân tích véctơ vận tốc ban đầu: v= = = 30° 2,86 m / s ⇒ Thành phần vận tốc bảo toaøn v0 x v0 cos  v0 y = v0 sin 30° = 1, 655 m / s ⇒ v y = v0 y − gt ⇒ v y = lên vị trí cao Tại vị trí cao năng lúc đầu: Wcn = mgh + mv02x = W0 = mgl (1 − cos α max ) 2,862 ⇒ 10.h + = 10.1,5 (1 − cos 60°= ) ⇒ h 0,34 ( m ) Ví dụ 4: Một lắc đơn gồm cầu nhỏ sợi dây nhẹ không dãn Lúc đầu người ta giữ cầu độ cao so với vị trí cân O H bng nhẹ cho dao động mặt phẳng thẳng đứng Khi cầu lên đến vị trí có tốc độ nửa tốc độ cực đại dây bị tuột sau cầu chuyển đến độ cao cực đại so với O h Nếu bỏ qua ma sát A h = H B h > H C h < H D H < h < H Hướng dẫn: Chọn đáp án C Cơ ln bảo tồn Sau dây đứt độ cao cực đại động năng, dây chưa đứt độ cao cực đại Vì cực đại sau dây đứt nhỏ cực đại trước dây đứt, nghĩa h < H ... phương thẳng đứng góc A 30° chu kì dao động lắc đơn 1,99 s B 60° chu kì dao động lắc đơn 1,41 s C 30° chu kì dao động lắc đơn 1,41 s D 60° chu kì dao động lắc đơn 1,99 s Hướng dẫn: Chọn đáp án D ... la 2) Với lắc đơn lực kéo tính Fkv = −mω x g ω = l  quanh vị trí cân O Gọi Ví dụ 6: Vật treo lắc đơn dao động điều hòa theo cung tròn MN  Biết vật có tốc độ cực đại m/s, tìm tốc độ vật  MP... động lắc đơn (bỏ qua lực cản)? A Khi vật nặng vị trí biên, lắc B Chuyển động lắc từ vị trí biên vị trí cân nhanh dần C Khi vật nặng qua vị trí cân bằng, trọng lực tác dụng lên cân với lực căng