chuyen de on thi

11a 1 thpt tien lu A. Kiến thức cơ bản 1. Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N* là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được, ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học (hay gọi tắc là phương pháp quy nạp) như sau: - Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. - Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1 bất kì (gọi là giả thiết quy nạp) - Bước 3: Chứng minh rằng nó cũng đúng vớii n = k + 1. 2. Các kiến thức cần nhớ: * Cách viết số tự nhiên:  Các số tự nhiên liên tiếp: n ; n + 1 ; n + 2 ; …  Các số tự nhiên chẵn liên tiếp: 2n ; 2n + 2 ; n + 4 ; …  Các số tự nhiên lẻ liên tiếp: 2n + 1 ; 2n + 3 ; n + 5 ; … * Tính chất chia hết:  Các số chẵn thí chia hết cho 2.  Các số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.  Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.  Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.  Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.  Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì chia hết cho 25.  Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8.  Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125 thì chia hết cho 125.  Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6.  Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2.  Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3 và 6.  Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3, 4, 6, 8. * Tính chất lũy thừa:  a m . a n = a m+n  a m :a n = a m – n  (ab) n = a n . b n  (a m ) n = a m.n  n n n b a b a =        n m n m aa = * Phân tích đa thức ax 2 + bx + c thành nhân tử : Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiện phân biệt x 1 , x 2 thì: ax 2 + bx + c = a(x – x 1 )(x – x 2 ) I. Chứng minh rằng * Nn ∈∀ ta luôn có các đẳng thức sau : 1. 2 )1( .21 + =+++ nn n 2. 6 )12)(1( .21 222 ++ =+++ nnn n 3. 4 )1( .21 22 333 + =+++ nn n 4. 3 )14( )12( .31 2 222 − =−+++ nn n 5. 2 )12( .531 nn =−++++ 6. 2 )1()13.( .7.24.1 +=++++ nnnn 7. 1)1( 1 . 3.2 1 2.1 1 + = + +++ n n nn 8. )1()13( .8.35.22.1 2 +=−++++ nnnn 9. 1)12(2 .4321 +=++−+−+− nnn 10. nn nnn n 2).1( 1 1 2).1(( 2 . 2.3.2 4 2.2.1 3 2 + −= + + +++ 11. 3 )12).(1(2 )2( .42 222 ++ =+++ nnn n II. Chứng minh rằng * Nn ∈∀ ta luôn có : 1. nn 2 3 + chia hết cho 3 2. 113 − n chia hết cho 6 3. nn 11 3 + chia hết cho 6 4. 149 2 + n chia hết cho 5 5. 410 − n chia hết cho 3 6. 11516 −− n n chia hết cho 225 7. 1154 −+ n n chia hết cho 9 8. 281810 −+ n n chia hết cho 27 9. nnn 336 22 ++ + chia hết cho 11 10. 1222 32.7 −− + nn chia hết cho 5 11. 1323 32.5 −− + nn chia hết cho 19 12. nnnn 6116 234 +++ chia hết cho 24 13. 36323.4 22 −+ + n n chia hết cho 64 14. 16 2 − n chia hết cho 35 15. 453.2 2 −+ + n nn chia hết cho 25 16. 1412 225 +++ ++ nnn chia hết cho 23 17. 137 −+ n n chia hết cho 9 18. 67403 12 −+ + n n chia hết cho 64 19. nnnnnn 25763 23456 −+−+− chia hết cho 24 20. )132.( 2 +− nnn chia hết cho 6 21. 121 1211 −+ + nn chia hết cho 133 III. Cho số thực Zkkx ∈≠ ,2 π . Chứng minh rằng * Nn ∈∀ , ta luôn có : 1. 2 sin 2 )1( sin. 2 sin .sin .2sinsin x xnnx nxxx + =+++ 2. 2 sin 2 cos. 2 )1( sin .cos .2coscos1 x nxxn nxxx + =++++ IV. Cho số thực 1 −> x . Chứng minh rắng : nxx n +≥+ 1)1( , * Nn ∈∀ V. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có bđt : 1. n n 2 1 . 2 1 1 <+++ 2. 1 13 1 . 2 1 1 1 > + ++ + + + nnn 3. 43 1 22 12 . 6 5 . 4 3 . 2 1 + < + + n n n VI. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương 2 ≥ n , ta luôn có : n n n 2 11 1 . 9 1 1. 4 1 1 2 + =       −       −       − VII. Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bđt : 24 13 2 1 . 2 1 1 1 >++ + + + nnn IX. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 2 ≥ n , ta luôn có đẳng thức : ( ) 1221 ).( −−−− ++++−=− nnnn bbabaababa X. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 3 ≥ n , ta có : 122 +> n n BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ : I. Tìm 5 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số sau : 1. Dãy số ( ) n u với n n u n 32 2 − = 2. Dãy số ( ) n u với 4 sin π n u n = 3. Dãy số ( ) n u với nn n u 4.)1( −= II. Tìm 6 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số sau : 1. Dãy số )( n u với nn n u 23 −= 2. Dãy số )( n u với 3 3 n u n n = III. Cho dãy số )( n u với 3 2 cos 4 sin 2 ππ nn u n += . Hãy điền các số thích hợp vào các ô trống sau đây : n 1 2 3 4 5 u n IV. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hàm số 12 12 2 + − = x x y có đồ thị (C). Với mỗi số nguyên dương n, gọi n A là giao điểm của (C) với đường thẳng d : nx = . Xét dãy số )( n u với n u là tung độ của điểm n A . Hãy tìm công thức xác định công thức tổng quát của dãy số đó . V. Hãy xét tính đơn điệu của các dãy số sau : 1. Dãy số ( ) n u với 152 3 +−= nnu n 2. Dãy số )( n u với nu n n −= 3 3. Dãy số )( n u với 1 2 + = n n u n 4. Dãy số )( n u với 1 2 3 + = n n n u 5. Dãy số )( n u với 1 123 2 + +− = n nn u n 6. Dãy số )( n u với 1 2 −−= nnu n Bai tap luyen BÀI 2 : Tìm số hạng thứ ba và thứ năm của mỗi dãy số sau: a) Dãy số (u n ) xác định bởi: u 1 = 0 và 2 1 2 1 n n u u + = + với mọi 2n ≥ b) Dãy số (u n ) xác định bởi: u 1 = 1, u 2 = -2 và 1 2 2 n n n u u u − − = − với mọi 3n ≥ BÀI 3 : Cho dãy số 1 1 1 2 1; 1 n n u u u n n + =   = + + ≥  a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số b) Dự đoán công thức u n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp BÀI 4 : Cho dãy số 1 1 1 3; 1 n n u u u n + = −   = + ≥  a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: u n = 3n – 4 BÀI 5 : Cho dãy số 1 2 1 3 1 ; 1 n n u u u n + =    = + ≥   a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số b) Dự đoán công thức u n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp BÀI 6 : Cho dãy số (u n ) xác định bởi công thức 1 2 1 1 3 5 1; 1 2 2 n n n u u u u n + =    = − + + ≥   a) Tính u 2 , u 3 , u 4 Chứng minh rằng u n + 3 = u n với mọi * n∈ ¥ BÀI 7 :Xét tính tăng , giảm của các dãy số (U n ) biết : a) U n = 2n + 3 g) U n = 2 n n b) U n = 2n 3 – 5n + 1 f) U n = 2 3 n n c) U n = 3 n – n h) U n = 2 3 2 1 1 n n n − + + d) U n = 2 1 n n + i) U n = 2 2 1 2 1 n n n + + + e) U n = 2 1 2 n n − + j) U n = n - 2 1n − f) U n = 1 3 2 n n+ k) U n = 1n n n + − l) 1 2 n u n = − m) 1 1 n n u n − = + BÀI 8 : Với giá trị nào của a thì dãy số (u n ), với 2 1 n na u n + = + , a) là dãy số tăng ? b) Là dãy số giảm ? BÀI 9 :Cho dãy số (U n ) được xác định bởi : U 1 = 1 và U n+1 = U n +7 , n ∗ ∀ ∈Ν a) Tính U 2 ; U 4 ; U 6 b) Cmr : U n = 7n - 6 , n ∗ ∀ ∈Ν BÀI 10 : Cho dãy số (U n ) được xác định bởi : U 2 = 2 và U n+1 = 5.U n , n ∗ ∀ ∈Ν a) Tính U 2 ; U 4 ; U 6 b) Cmr : U n = 2.5 n-1 , n ∗ ∀ ∈Ν BÀI 11 : Cho dãy số (U n ) được xác định bởi : U 1 = 1 và U n+1 = 3U n +10 , n ∗ ∀ ∈Ν Cmr : U n = 2.3 n – 5 , n ∗ ∀ ∈Ν BÀI 12: Cho dãy số (U n ) được xác định bởi : U 1 = 2 và U n+1 = 3U n +2n-1 , n ∗ ∀ ∈Ν Cmr: U n = 3 n - n , n ∗ ∀ ∈Ν BÀI 13 : Cho dãy số (U n ) được xác định bởi : a) 1 1 2 1 2 n n U U U + =    = −   , n ∗ ∀ ∈Ν b) 1 1 2 1 n n U U U + =   = −  , n ∗ ∀ ∈Ν c) 1 1 1 2 3 n n U U U +  =    =  , n ∗ ∀ ∈Ν Tìm số hạng tổng quát của các dãy số trên BÀI 14 :Xét tính bị chặn của các dãy số (U n ) được xác định bởi : a) 2 2 1 2 3 n n U n + = − , n ∗ ∀ ∈Ν b) U n = 7 5 5 7 n n + + , n ∗ ∀ ∈Ν c) U n = 2n 2 + 2 , n ∗ ∀ ∈Ν d) U n = 1 ( 1)n n + , n ∗ ∀ ∈Ν e) U n = 2 1 2 3n − , n ∗ ∀ ∈Ν f) u n = 2n 2 – 1 g) 2 1 2 1 n u n = − h) sin cos n u n n= + BÀI 15 : Ch ng minh r ng day sô (ú ̀ ̃ ́ư ă n ) v i ́ơ 2 3 3 2 n n u n + = + la day sô giam va bi ch n.̀ ̃ ́ ̀̉ ̣ ặ BÀI 16 : Cho day sô (ũ ́ n )v i úơ n = 1 + (n – 1).2 n a) Viêt n m sô hang đâu cua day số ́ ̀ ̃ ́ă ̣ ̉ b) Tim công th c truy hôì ́ ̀ư c) Ch ng minh day sô t ng va bi ch n d í ̃ ́ ̀ ́ư ă ̣ ặ ươ BÀI 17 : Cho day sô (s̃ ́ n ) v i ́ơ sin(4 1) 6 n s n π = − a) Ch ng minh r ng ś ̀ư ă n = s n + 3 Hay tinh tông cua 15 sô hang đâu tiên cua day sô đa cho.̃ ́ ́ ̀ ̃ ́ ̃̉ ̉ ̣ ̉ BÀI 18 : Cho day sô (ũ ́ n ) xac đinh b i công th c ́ ̣́ ở ư 1 3 1 1 ; 1 n n u u u n n + =    = + ≥   a) Tim công th c cua sô hang tông quat̀ ́ ́ ́ư ̉ ̣ ̉ Tinh sô hang th 100 cua day số ́ ́ ̃ ̣́ ư ̉ Bài 3 :CẤP SỐ CỘNG A/ LÝ THUYẾT : 1/ Định nghĩa : Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn ) , trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi ,mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d . Số d được gọi là công sai của cấp số cộng . Như vậy : (U n )là cấp số cộng ⇔ U n+1 = U n + d , n ∗ ∀ ∈Ν . 2/ Số hạng tổng quát : Nếu cấp số cộng (U n ) có số hạng đầu U 1 và công sai d thì số hạng tổng quát U n được xác định bởi công thức : U n = U 1 + (n-1)d , n ∗ ∀ ∈Ν và n 2≥ . 3/ tính chất các số hạng của cấp số cộng : Trong một cấp số cộng ,mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối ) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó ,nghĩa là : 1 1 2 k k k U U U − + + = , n ∗ ∀ ∈Ν và n 2≥ . 4/ tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng : Cho cấp số cộng (U n ) .đặt 1 2 3 . n n S U U U U= + + + + .khi đó 1 ( ) 2 n n n u u S + = hay [ ] 1 2 ( 1) 2 n n u n d S + − = . B/BÀI TẬP : Bài 1 : trong các dãy số (U n ) được xác định như sau ,dãy nào là CSC : a) U n = 3n-1 b) U n = 2 n + 1 c) U n = (n+1) 2 – n 2 d) 1 1 3 1 n n U U U + =   = −  e) U n = 2n + 3 f) u n = 3n – 1 g) u n = 2 n + 1 h) 1 1 1 1 n n u u u + =   = −  i) u n = 3 n j) 1 2 n n u = − k) 7 3 2 n n u − = l) u n = 5 – 2n bài 2 : trong các dãy số (U n ) được xác định như sau ,dãy nào là CSC ,xác định công sai của CSC đó : a) dãy (U n ) được xác định bởi U 1 = 1 và U n+1 = 3 + U n với 1n∀ ≥ b) dãy (U n ) được xác định bởi U 1 = 3 và U n+1 = U n –n với 1n ∀ ≥ c) dãy (U n ) được xác định bởi U n+1 = U n + 2 với 1n∀ ≥ bài 3 : cho dãy số (U n ) với U n = 9 - 5n a) viết 5 số hạng đầu của dãy b) cmr : dãy số (U n ) là CSC .chỉ rõ U 1 và d c) tính tổng của 100 số hạng đầu bài 4 : tính số hạng đầu U 1 và công sai d của 1 CSC (U n ) biết : a) 1 5 4 2 0 14 U U S + =   =  b) 4 7 10 19 U U =   =  c) 1 5 3 1 6 10 7 U U U U U + − =   + =  d) 7 3 2 7 8 . 75 U U U U − =   =  e) f) g) h) i) j) k) l) bài 5 : CSC (U n ) có S 6 = 18 và S 10 = 110 a) lập công thức số hạng tổng quát U n b) tính S 20 bài 6: tìm CSC (U n ) biết : a) 1 2 3 2 2 2 1 2 3 27 275 U U U U U U + + =    + + =   b) 1 2 3 2 2 2 2 2 1 2 3 . n n U U U U a U U U U b + + + + =    + + + + =   bài 7 : tính số các số hạng của CSC (U n ) biết : 2 4 2 2 2 . 126 42 n n U U U U U + + + =   + =  Bài 8: tìm x từ phương trình : a ) 2 +7 +12 + +x = 245 biết 2 , 7 , 12 , … , x là CSC b) (2x +1) +(2x+6) + (2x+11) +… +(2x+96) =1010 biết 1,6,11 … là CSC Bài9ặt giữa -6 và 8 sáu số nữa để được một CSC bài 10 : cho (U n ) là 1 CSC có U 3 +U 13 = 80 Tìm tổng S 15 của 15 số hạng đầu của cấp số đó Bài 11 :cho (U n ) là 1 CSC có U 4 + U 11 = 20 Tìm tổng S 14 của 14số hạng đầu của cấp số đó Bài 4: CẤP SỐ NHÂN A/lý thuyết : 1/định nghĩa : Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn),trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi ,mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q . Số q được gọi là công bội của CSN . Nếu (u n ) là CSN với công bội q ,ta có công thức truy hồi : u n+1 = u n . q , n ∗ ∀ ∈Ν . 2 ) Số hạng tổng quát của một CSN : Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u 1 và công bội q thì số hạng tổng quát u n được xác định bởi công thức : U n = u 1 . q n-1 , 2n∀ ≥ . 3) Tính chất các số hạng của CSN : Trong một CSN ,bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối ) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó ,nghĩa là : 2 1 1 . k k k u u u − + = , 2k∀ ≥ . 4/ Tổng n số hạng đầu của một CSN : Cho cấp số nhân (u n ) với công bội q ≠ 1.đặt S n = u 1 + u 2 + … +u n . Khi đó : s n = 1 (1 ) 1 n u q q − − B/Bài tập : Bài 1 : Cho dãy số (u n ) với u n =2 2n+1 a) Cmr dãy số (u n ) là một CSN b) Số 2048 là số hạng thứ mấy của dãy số này ? Bài 2 : Viết năm số xen giữa các số 1 và 729 để được một CSN có 7 số hạng .Tính tổng các số hạng của cấp số này . Bài 3 : Viết 6 số xen giữa các số -2 và 256 để được một CSN có 8 số hạng .Số hạng thứ 15 là bao nhiêu ? Bài 4 : Một CSC và một csn đều là các dãy tăng . các số hạng thứ nhất đều bằng 3 ,các số hạng thứ 2 bằng nhau .Tỉ số giữa các số hạng thứ 3 của csn và csc là 9 5 . Tìm hai cấp số ấy Bài 5 : Cho 4 số nguyên dương ,trong đó 3 số đầu lập thành một csc ,3 số sau lập thành một csn .biết rằng tổng của số hạng đầu và cuối là 37 ,tổng của hai số hạng giữa là 36 .Tìm 4 số đó . Bài 5 : Các dãy số (u n ) sau đây ,dãy số nào là csn ? a) u n =(-5) 2n+1 ; b) u n =(-1) n .3 3n+1 ; c) 1 2 1 2 n n u u u + =   =  d) 1 1 1 2 5 n n n u u u u + =    = +   [...]... 10 ,còn các số hạng thứ 3 bằng nhau Tìm các cấp số ấy BÀI TẬP luyen VỀ CẤP SỐ NHÂN : I Cho cấp số nhân (un ) có u1 = 3 & u2 = 2 1 Hãy tìm công bội q của cấp số nhân 2 Hãy tính u3 ; u4 ; u5 và u6 II Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công bội của mổi cấp số nhân đó an ∀ ≥1 n 1 Dãy số (an) xác định bởi a1=1 và an+1 = 7 bn ∀ ≥1 n 2 Dãy số (bn) xác định bởi b1=3 và bn+1... n Chứng minh rằng dãy số (v n) xác định bởi : vn = un + 3 ∀ ≥ 1 là một cấp số nhân Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó IV Xét dãy số (un)xác định bởi u1= a và un+1 = 12 un ∀ ≥ 1 trong đó a là một số n thực khác 0 Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dảy số (u n) là một cấp số nhân V Cho một cấp số nhân có 5 số hạng với công bội dương Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3 và số hạng . đúng với n = 1. - Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1 bất kì (gọi là giả thi t quy nạp) - Bước 3: Chứng minh rằng nó cũng đúng vớii n = k + 1. 2. Các. . Hãy điền các số thích hợp vào các ô trống sau đây : n 1 2 3 4 5 u n IV. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hàm số 12 12 2 + − = x x y có đồ thị (C). Với