Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2017 2018 môn toán trường THPT chuyên quốc học TT huế (chuyên tin)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC NĂM HỌC 2017-2018 Khóa ngày 02 tháng năm 2017 Mơn thi: TỐN (CHUN TIN) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (1,5 điểm) a 1 a a 1 a2  a a  a 1 Cho biểu thức: M    với a > 0, a  a a a a a a a) Chứng minh M  b) Tìm tất giá trị a để biểu thức N  nhận giá trị nguyên M Câu 2: (1,5 điểm) Cho parabol (P) : y  2x đường thẳng (d) : y  ax  b a) Tìm điều kiện b cho với số thực a, parabol (P) cắt đường thẳng (d) hai điểm phân biệt b) Gọi A giao điểm (P) (d) có hồnh độ 1, B giao điểm (d) trục tung Biết tam giác OAB có diện tích 2, tìm a b Câu 3: (2,0 điểm) a) Cho phương trình x  2(m  3)x  2m   (x ẩn số) Tìm tất giá trị tham 1 số m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2 thỏa mãn   x1 x2 b) Giải phương trình:   x  x  x  3x  x Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn  O;R  hai đường kính AB,CD vng góc với nhau, M điểm thuộc cung CD không chứa A  O; R  (M không trùng với hai điểm C D) Đường thẳng AM cắt CD N Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN Đường thẳng IM cắt đường tròn  O; R  K a) Chứng minh tam giác INC vuông cân I Từ suy ba điểm I, B,C thẳng hàng R  OI IM.IK c) Tìm vị trí điểm cho tích IM.IK có giá trị lớn Câu 5: (2,0 điểm) a) Tìm tất số nguyên x, y, z không âm thỏa mãn xyz  xy  yz  zx  x  y  z  2017 b) Bên hình vng cạnh 1, lấy điểm phân biệt tùy ý cho khơng có điểm chúng thẳng hàng Chứng minh tồn điểm số tạo thành tam giác có diện tích khơng vượt q - Hết - b) Tính tỉ số Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………………………… Chữ ký giám thị 1:…………………………Chữ ký giám thị :…………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC NĂM HỌC 2017-2018 Khóa ngày 02 tháng năm 2017 Mơn thi: TỐN (CHUYÊN TIN) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM (Nội dung có 04 trang) Câu Điểm Đáp án Cho biểu thức: M  a 1 a a 1 a2  a a  a 1   với a > 0, a  a a a a a a 0,75 a) Chứng minh M  a 1 a a 1 a2  a a  a 1   Ta có M  a a a a a a a a  ( a  1)(a  a  1) a  a  Do a > 0, a  nên:   a a a ( a  1) a 0,25 a  a a  a  (a  1)(a  1)  a (a  1) (a  1)(a  a  1) a  a     a a a a (1  a) a (1  a) a 0,25 a  a  a  a  a  a  a  a       (1,5 Nên M  a a a a a điểm) a Do a  0, a  nên: ( a  1)2   a   a  M    a b) Với giá trị a biểu thức N  Ta có  N  0,25 nhận giá trị nguyên? M 0,75  N nhận giá trị nguyên M Khi N   0,25 a   a  a    a   hay a   a 1 a  a   a   0,25 0,25 Cho parabol (P) : y  2x đường thẳng (d) : y  ax  b a) Tìm điều kiện b cho với số thực a , parabol (P) cắt đường thẳng (d) hai điểm phân biệt Phương trình hồnh độ giao điểm (P) d là: 2x  ax  b  2x  ax  b  (1) (1) phương trình bậc có   a  8b (1,5 Với a   , parabol (P) cắt đường thẳng (d) hai điểm phân biệt điểm)    với a   a2 với a    b  Điều kiện b để với a   , parabol (P) cắt đường thẳng (d) hai điểm phân biệt b   a  8b  với a    b   Trang 1/4 0,5 0,25 0,25 b) Gọi A giao điểm (P) (d), B giao điểm (d) trục tung Biết điểm A có hồnh độ tam giác OAB có diện tích Tìm a, b Ta có A(1;2) Hồnh độ điểm A thỏa phương trình (1), tức  a  b  0(2) (d) cắt trục tung điểm B(0; b) Gọi H(0; 2) chân đường cao kẻ từ A tam giác AOB Ký hiệu SOAB diện tích tam giác OAB Khi 1 SOAB   OB.AH  b   b   b  b  4 2 Với b  4, từ (2) ta có a  2 Với b  4, từ (2) ta có a  a  2 a  Vậy   b   b  4 0,25 a) Cho phương trình x  2(m  3)x  2m   (x ẩn số) Xác định tất giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2 thỏa 1 mãn   x1 x2 1,0 Phương trình x  2(m  3)x  2m   có a  b  c   2(m  3)  2m   nên có nghiệm x1  1, x  2m  0,25 m  2  2m    Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt    2m   m   0,25 1    x1 x2 1  2m  0,25 0,25 0,25 0,25  2m    2m    m  (thỏa mãn) 0,25   2 x x  x  x  3x  (2,0 điểm) Điều kiện: x  1, x  2, x  0, x  3  17 Phương trình trở thành  1 2 x  1 x   x x Đặt t  x  , ta có phương trình  1 x t 1 t   t  1  t   3(t  1)  (t  1)(t  3)  t  2t     t  3 1,0 1,0 b) Giải phương trình: 0,25 0,25 x   1  x  x     (thỏa điều kiện) x   x   17 (thỏa điều kiện) Với t  ta có x    x  3x    x  x  17 Vậy phương trình cho có nghiệm x  1; x  2; x  Với t  1 ta có x  0,25 0,25 Trang 1/4 Cho đường trịn  O; R  hai đường kính AB,CD vng góc với nhau, M điểm thuộc cung CD khơng chứa A  O; R  (M không trùng với hai điểm C D) Đường thẳng AM cắt CD N Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN Đường thẳng IM cắt đường tròn  O; R  K a) Chứng minh tam giác INC vng cân I Từ suy ba điểm I, B,C thẳng hàng   AOC  (cùng chắn Ta lại có: AMC K A  (O) ) AC C H N O E M D (3,0 điểm) F I 0,25    NIC  (cùng chắn NC NMC (I) )   AOC   90o Suy Do NIC NIC vng cân I Vì NIC vuông cân I nên   45o NCI   450 hai điểm B, I nằm Mà OCB phía đường thẳng OC nên hai tia CB CI trùng Vậy B, I,C thẳng hàng B 1,0 R  OI2 IM.IK Gọi E, F giao điểm đường thẳng OI với đường tròn (O)   MIE  (đối đỉnh), Ta có: KIF 0,25 0,25 0,25 1,0 b) Tính tỉ số 0,25   MKF  (hai góc nội tiếp chắn cung FM  ), FEM Do IEM đồng dạng với IKF (g-g) IE IK   IM IF  IM.IK  IE.IF   OE  OI  OE  OI   R  OI 0,25 0,25 R  OI  IM.IK c) Tìm vị trí điểm cho tích IM.IK có giá trị lớn Vậy 0,25 Theo câu b) ta có: IM.IK  R  OI Do đó: IM.IK lớn  R  OI2 lớn  OI nhỏ Kẻ OH  BC H Ta có OI  OH ( OH khơng đổi) 1,0 0,25 0,25 0,25 Do OI nhỏ OH I  H Lúc N  O M  B 0,25 2 a) Tìm tất số nguyên x, y, z không âm thỏa mãn xyz  xy  yz  zx  x  y  z  2017 (2,0 Ta có điểm) xyz  xy  yz  zx  x  y  z  2017  xy  z  1 +y  z  1  x  z  1   z  1  2018 Trang 1/4 0,5 0,25  (x  1)(y  1)(z  1)  2018  2018.1.1  1009.2.1 Không tổng quát, giả sử x  y  z  nên x   y   z   Do có hai trường hợp xảy  x   2018  x  2017    y  y   z   z     x   1009  x  1008    y    y  z   z    Vậy số (x; y;z) thỏa yêu cầu toán là: (2017;0;0), (0;2017;0), (0;0;2017), (1008;1;0), (1008;0;1), (1;1008;0), (1;0;1008), (0;1;1008), (0;1008;1) a) Bên hình vng cạnh 1, lấy điểm phân biệt tùy ý cho khơng có điểm chúng thẳng hàng Chứng minh tồn điểm số tạo thành tam giác có diện tích khơng vượt q Chia hình vng cho thành hình M N vuông nhỏ cạnh A H B D K Q 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 C P Trong điểm cho, có điểm nằm hình vng nhỏ (có thể biên) Giả sử có điểm A, B, C hình vng nhỏ MNPQ Khơng tổng qt, giả sử A, B, C xem theo hàng ngang từ trái sang phải, A B C (hình vẽ) Qua A vẽ đường thẳng vng góc với MN cắt BC D Vẽ BH CK vuông góc với AD (H, K thuộc AD) Ta có 1 1 SABC  SABD  SACD  BH.AD  CK.AD  (BH  CK)AD  MN.MQ  2 2 0,25 0,25 0,25 - Hết - Trang 1/4 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THI? ?N HUẾ ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC NĂM HỌC 2017- 2018 Khóa ngày 02 tháng năm 2017 Mơn thi: TỐN (CHUN TIN) Thời gian làm bài: 150...   2018  x  2017    y  y   z   z     x   100 9  x  100 8    y    y  z   z    Vậy số (x; y;z) thỏa yêu cầu toán là: (2017; 0;0), (0 ;2017; 0), (0;0 ;2017) , (100 8;1;0),...  z  2017 (2,0 Ta có điểm) xyz  xy  yz  zx  x  y  z  2017  xy  z  1 +y  z  1  x  z  1   z  1  2018 Trang 1/4 0,5 0,25  (x  1)(y  1)(z  1)  2018  2018. 1.1  100 9.2.1