Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song nguyễn chín em

MỤC LỤC CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Mở đầu hình học khơng gian Các tính chất thừa nhận Điều kiện xác định mặt phẳng Hình chóp tứ diện B CÁC DẠNG TOÁN Dạng Xác định giao tuyến hai mặt phẳng Dạng Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳ đồng quy Dạng Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Dạng Xác định thiết diện mặt phẳng với hình chóp Dạng Dựng đường thẳng qua điểm cắt hai đường thẳng chéo Dạng Tìm tập hợp giao điểm hai đường thẳng toán chứng minh giao tuyến qua điểm cố định C CÁC VÍ DỤ MINH HỌA D BÀI TẬP RÈN LUYỆN E CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 11 Câu hỏi lý thuyết 11 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng 14 Thiết diện 19 Ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy 21 ĐÁP ÁN 52 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 53 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 53 Vị trí tương đối hai đường thẳng khơng gian 53 Các định lí tính chất 53 B CÁC DẠNG TỐN 53 Dạng Tìm giao tuyến hai mặt phẳng quan hệ song song 53 Dạng Chứng minh hai đường thẳng song song 55 Dạng Chứng minh bốn điểm đồng phẳng ba đường thẳng đồng qui 58 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 59 D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 65 ĐÁP ÁN 94 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 95 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 95 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng 95 Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng 95 B CÁC DẠNG TOÁN 96 Dạng Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 96 Ví dụ minh họa 96 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 98 Dạng Tìm giao tuyến hai mặt phẳng biết mặt phẳng song song với đường thẳng cho trước 101 Các ví dụ minh họa 101 Dạng Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng 103 Các ví dụ minh họa 104 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 105 ĐÁP ÁN 146 Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 147 A Tóm tắt lí thuyết 147 Định nghĩa 147 Tính chất 147 Định lý Ta-lét (Thalès) 148 Hình lăng trụ hình hộp 148 Hình chóp cụt 149 B CÁC DẠNG TOÁN 150 Dạng Chứng minh hai mặt phẳng song song 150 Các ví dụ minh họa 150 Dạng Tìm giao tuyến mặt phẳng (α) với mặt phẳng (β) biết (α) qua điểm A; song song với mặt phẳng (γ) 151 Các ví dụ minh họa 152 Dạng Xác định thiết diện cắt mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước 154 Các ví dụ minh họa 154 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 156 D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 163 ĐÁP ÁN 204 PHÉP CHIẾU SONG SONG - HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHƠNG GIAN 205 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 205 B CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 205 C BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN 206 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 207 ĐÁP ÁN 213 ÔN TẬP CHƯƠNG II 213 ĐÁP ÁN 221 CHƯƠNG BÀI ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT MỞ ĐẦU VỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Hình học khơng gian có đối tượng điểm, đường thẳng mặt phẳng Quan hệ thuộc: Trong không gian: Với điểm A đường thẳng d xảy hai trường hợp: Điểm A thuộc đường thẳng d, kí hiệu A ∈ d Điểm A khơng thuộc đường thẳng, kí hiệu A ∈ / d Với điểm A mặt phẳng (P ) xảy hai trường hợp: Điểm A thuộc mặt thẳng (P ), kí hiệu A ∈ (P ) Điểm A khơng thuộc đường thẳng, kí hiệu A ∈ / (P ) CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN Tính chất thừa nhận 1: Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước Tính chất thừa nhận 2: Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước Tính chất thừa nhận 3: Tồn bốn điểm khơng nằm mặt phẳng Tính chất thừa nhận 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng Tính chất thừa nhận 5: Trong mặt phẳng, kết biết hình học phẳng Định lí Nếu đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG Có bốn cách xác định mặt phẳng: Cách 1: Một mặt phẳng xác định biết qua ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng mặt phẳng, kí hiệu (ABC) A P B C Cách 2: Một mặt phẳng xác định biết qua đường thẳng d điểm A khơng thuộc d, kí hiệu (A, d) https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 A d P Cách 3: Một mặt phẳng xác định biết qua hai đường thẳng a, b cắt nhau, kí hiệu (a, b) b a P Cách 4: Một mặt phẳng xác định biết qua hai đường thẳng a, b song song, kí hiệu (a, b) HÌNH CHĨP VÀ TỨ DIỆN Định nghĩa Cho đa giác A1 A2 An cho điểm S nằm mặt phẳng chứa đa giác Nối S với đỉnh A1 , A2 , , An ta n miền đa giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn−1 An Hình gồm n tam giác đa giác A1 A2 A3 An gọi hình chóp S.A1 A2 A3 An S A6 A1 A2 P A5 A3 A4 Trong đó: Điểm S gọi đỉnh hình chóp Đa giác A1 A2 An gọi mặt đáy hình chóp Các đoạn thẳng A1 A2 , A2 A3 , , An−1 An gọi cạnh đáy hình chóp Các đoạn thẳng SA1 , SA2 , , SAn gọi cạnh bên hình chóp Các miền tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn−1 An gọi mặt bên hình chóp Nếu đáy hình chóp miền tam giác, tứ giác, ngũ giác, hình chóp tương ứng gọi hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác, ! Hình chóp tam giác cịn gọi hình tứ diện Hình tứ diện có bốn mặt tam giác hay có tất cạnh gọi hình tứ diện Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ B Chương - Hình học 11 CÁC DẠNG TỐN Dạng Xác định giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp giải: Để xác định giao tuyến hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung chúng Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến ! Điểm chung hai mặt phẳng (α) (β) thường tìm sau γ β b Tìm hai đường thẳng a, b thuộc (α) (β), đồng thời chúng nằm mặt phẳng (γ) Giao điểm A = a ∩ b điểm chung (α) (β) a A α Dạng Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳ đồng quy Phương pháp giải: Để chứng minh ba điểm (hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng điểm chung hai mặt phẳng phân biệt, chúng nằm đường thẳng giao tuyên hai mặt phẳng nên thẳng hàng Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm hai đường thẳng thuộc đường đường thẳng cịn lại Dạng Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Phương pháp giải: Tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P ) ta cần lưu ý số trường hợp sau Nếu (P ) có sẵn đường thẳng ∆ cắt d M M = d ∩ (P ) Nếu (P ) chưa có sẵn đường thẳng ∆ cắt d ta thực theo bước sau Bước Chọn mặt phẳng (Q) chứa d Bước Tìm giao tuyến ∆ = (Q) ∩ (P ) Bước Trong (Q) gọi M = d ∩ ∆ Khi đó, M giao điểm d (P ) Q Q Q d d d ∆ P ∆ P M P Dạng Xác định thiết diện mặt phẳng với hình chóp Phương pháp giải: Để xác định thiết diện hình chóp S.A1 A2 An cắt mặt phẳng (α), ta tìm giao điểm mặt phẳng (α) với đường thẳng chứa cạnh hình chóp Thiết diện đa giác có đỉnh giao điểm (α) với hình chóp (và cạnh thiết diện phải đoạn giao tuyến với mặt Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 hình chóp) Trong phần xét thiết diện mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng Dạng Dựng đường thẳng qua điểm cắt hai đường thẳng chéo Phương pháp giải: Để dựng đường thẳng d qua O cắt d1 ; d2 , ta dựng giao tuyến hai mặt phẳng (O, d1 ) (O, d2 ), d = (O, d1 ) ∩ (O, d2 ) d O d2 d1 Dạng Tìm tập hợp giao điểm hai đường thẳng toán chứng minh giao tuyến qua điểm cố định Phương pháp giải: Để tìm tập hợp giao điểm I hai đường thẳng thay đổi a, b ta chọn hai mặt phẳng cố định (α) (β) cắt chứa a, b Khi ® I ∈ a ⊂ (α) I =a∩b⇒ ⇒ I ∈ d = (α) ∩ (β) I ∈ b ⊂ (β) β a d b I Vậy điểm I thuộc giao tuyến hai mặt phẳng (α) (β) α Để chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định ta thực theo bước sau: - Chọn điểm cố định J thuộc hai mặt phẳng (δ) (γ) - Chứng minh d giao tuyến hai mặt phẳng (δ) (γ), d qua điểm cố định J C CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD tứ giác có cặp cạnh đối khơng song song, điểm M thuộc cạnh SA Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng (SAC) (SBD) (SAC) (M BD) (M BC) (SAD) (SAB) (SCD) ✍Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD Khi đó, ® O ∈ AC ⊂ (SAC) O ∈ BD ⊂ (SBD) ⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD) S Lại có S ∈ (SAC) ∩ (SBD) Vậy SO = (SAC) ∩ (SBD) M Vì O = AC ∩ BD nên ® O ∈ AC ⊂ (SAC) O ∈ BD ⊂ (M BD) ⇒ O ∈ (SAC) ∩ (M BD) A D O Dễ thấy, M ∈ (SAC) ∩ (M BD) Vậy OM = (SAC) ∩ (M BD) F C B E c) Trong (ABCD), gọi F = BC ∩ AD Khi đó, ® F ∈ BC ⊂ (M BC) F ∈ AD ⊂ (SAD) ⇒ F ∈ (M BC) ∩ (SAD) Mặt khác, M ∈ (M BC) ∩ (SAD) Vậy F M = (M BC) ∩ (SAD) d) Trong (ABCD) gọi E = AB ∩ CD, ta có ® E ∈ AB ⊂ (SAB) E ∈ CD ⊂ (SCD) ⇒ E ∈ (SAB) ∩ (SCD) Dễ thấy, S ∈ (SAB) ∩ (SCD) Vậy SE = (SAB) ∩ (SCD) Ví dụ Cho tứ diện SABC Trên SA, SB SC lấy điểm D, E F cho DE cắt AB I,EF cắt BC J, F D cắt CA K Chứng minh I, J, K thẳng hàng ✍Lời giải Ta  có  I = DE ∩ AB DE ⊂ (DEF ) ⇒ I ∈ (DEF ) ∩ (ABC)   AB ⊂ (ABC) Tương ® tự J = EF ∩ BC J ∈ EF ∈ (DEF ) ⇒ J ∈ BC ⊂ (ABC) ⇒ J ∈ (DEF ) ∩ (ABC) ® K ∈ DF ⊂ (DEF ) K = DF ∩ AC ⇒ K ∈ AC ⊂ (ABC) ⇒ K ∈ (DEF ) ∩ (ABC) S (1) D F (2) A C K E (3) B I J Từ (1), (2) (3) ta có I, J, K điểm chung hai mặt phẳng (ABC) (DEF ) nên chúng thẳng hàng Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có cạnh đối diện không song song với M điểm cạnh SA Tìm giao điểm đường thẳng SB với mặt phẳng (M CD) Tìm giao điểm đường thẳng M C mặt phẳng (SBD) ✍Lời giải S Tìm giao điểm đường thẳng SB với mặt phẳng (M CD) Ta có SB ⊂ (SAB) Trong (ABCD) gọi E = AB ∩ CD Khi đó, (SAB) ∩ (M CD) = M E Trong (SAB), gọi N = SB ∩ M E Vậy N = SB ∩ (M CD) M D Tìm giao điểm đường thẳng M C mặt phẳng (SBD) A N Ta có M C ⊂ (M DE) Dễ thấy (M DE) ∩ (SBD) = DN Trong (M DE), gọi K = M C ∩ DN Vậy M C ∩ (SBD) = K K B C E Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy hình thang với AD đáy lớn P điểm cạnh SD a) Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P AB) hình gì? b) Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Thiết diện hình chóp cắt (M N P ) hình gì? ✍Lời giải a) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E = AB ∩ CD Trong mặt phẳng (SCD) gọi Q = SC ∩ EP Ta có E ∈ AB nên EP ⊂ (ABP ) ⇒ Q ∈ (ABP ), Q = SC ∩ (ABP ) Thiết diện tứ giác ABQP S P A D Q B C E Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Hình học 11 b) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi F, G giao điểm M N với AD CD Trong mặt phẳng (SAD) gọi H = SA ∩ F P Trong mặt phẳng (SCD) gọi K = SC ∩ P G Ta có®F ∈ M N , F ∈ (M N P ) nên F P ⊂ (M N P ) ⇒ H ∈ (M N P ) H ∈ SA Vậy ⇒ H = SA ∩ (M N P ) H ∈ (M N P ) Tương tự K = SC ∩ (M N P ) Nên thiết diện ngũ giác QM N KP H S P F A Q M B N G Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB Một mặt phẳng (P ) quay quanh AB cắt cạnh SC, SD điểm tương ứng E, F Tìm tập hợp giao điểm I AF BE Tìm tập hợp giao điểm J AE BF ✍Lời giải Phần thuận S ® I ∈ AF Ta có I = AF ∩ BE ⇒ I ∈ BE ® AF ⊂ (SAD) Lại có ⇒ F ∈ (SAD) ∩ (SBC) BE ⊂ (SBC) Trong (ABCD) gọi H = AD ∩ BC ® ® H ∈ AD H ∈ (SAD) ⇒ ⇒ H ∈ BC H ∈ (SBC) ⇒ SH = (SAD) ∩ (SBC) ⇒ I ∈ SH Giới hạn Khi E chạy đến C F chạy đến D I chạy đến H Khi E chạy đến S F chạy đến S I chạy đến S I E F J A B O D C H Phần đảo Lấy điểm I thuộc đoạn SH, (SAH) gọi F = SD ∩ AI Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra ... khơng cắt khơng song song chéo ✍Lời giải Hai đường thẳng khơng có điểm chung chéo song song Hai đường thẳng không song song chéo cắt trùng Hai đường thẳng không cắt không song song chéo trùng... thẳng song song mặt phẳng cắt đường thẳng lại B Hai mặt phẳng qua hai đường thẳng song song cắt theo giao tuyến song song với hai đường thẳng C Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song đường... a b nằm hai mặt phẳng phân biệt ✍Lời giải B sai a b song song C sai a b cắt D sai a b song song Chọn đáp án A Th.s Nguyễn Chín Em 36 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/