Tư duy giải nhanh các câu hỏi khó trong đề chính thức THPTQG 2018 môn toán

HƯỚNG DẪN TƯ DUY GIẢI NHANH CÁC CÂU HỎI KHÓ TRONG ĐỀ CHÍNH THỨC THPTQG 2018 MƠN TỐN Nhận xét chung: Trong 16 câu hỏi vận dụng (từ câu 35 đến câu 50) trình bày đây, khơng cần phải tính tốn nhiều Các câu hỏi trải qua nhiều khoảng bước tính tốn đơn giản (cộng - trừ - nhân - chia) Chủ yếu 16 câu kiểm tra tư toán học, việc nắm kiến thức học sinh có chắn chắn, sâu sắc đủ rộng không So với đề thi năm 2017, mức độ tính tốn 16 câu cuối giảm 50% mức độ tư nặng gấp đơi Điều có lợi cho học sinh nắm kiến thức sâu sắc tư tốt, lại gây khó khăn cho học sinh học theo hình thức thuộc thiên tính tốn Câu 35 Có giá trị nguyên m để hàm số y  LG Ta có y '  5m   x  5m  x2 đồng biến  ; 10  ? x  5m Từ dáng điệu hàm phân thức ta thấy 5m   ycbt     m   m  1; 10  5m Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Nhận xét Đây câu mức vận dụng thấp, cho nhẹ nhàng đẹp, học sinh không vững kiến thức nhận biết đồ thị không làm Câu 36 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  x8   m   x5   m2   x  đạt cực tiểu x  0? LG Ta có y '  8x7   m   x   m2   x3 Vậy  4(m2  4)  2  m  ycbt     m  1; ; 2  m      4( m 4) m   Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Nhận xét Ở phải nhận thấy hàm đạt cực tiểu x  tương đương với y '    y '  x  đổi dấu từ âm sang dương x chạy qua điểm (từ âm sang dương), điều lại tương đương với số hạng chứa lũy thừa thấp x có hệ số khác không biểu thức y ' phải lũy thừa bậc lẻ hệ số dương Đây bước tư không tầm thường, học sinh phải hiểu thật sâu sắc kiến thức Câu 37 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có tâm O Gọi I tâm hình vng A ' B ' C ' D ' M điểm thuộc đoạn OI cho MO  2MI Khi cosin góc tạo mặt phẳng  MC ' D '  MAB  ? LG Ta coi cạnh hình vng Lấy P, Q trung điểm AB C ' D ' Góc cần tính góc tạo véctơ MP MQ Xét mặt phẳng tọa độ gốc I , trục IQ, IO Khi 9  14 85  85 10 34 32  32  52 Nhận xét: Đây hình khơng gian bản, nhiên: học sinh có tư tốt làm ngắn gọn khơng nhiều thời gian, ngược lại, phải tính toán nhiều MQ   3; 1 , MP   3;5  ;cos    Câu 38 Có số phức z thỏa mãn z  z   i   2i    i  z ? LG Dễ thấy phương trình cho tương đương với z  16 z   z   z   z  5 z   z  2 i (*) Lấy môđun vế ta z 5i  z  10 z  z  z   1 Học sinh bấm máy để thấy phương trình cuối có nghiệm dương, tách nhân tử  z  1 khảo sát nhân tử bậc cịn lại có hai nghiệm dương khác Thay vào (*) số phức Nhận xét: Bài toán học sinh nắm kiến thức nhận thấy nghiệm z  phương trình cuối cho nghiệm z phương trình đầu thơng qua mối liên hệ (*) Ngược lại học sinh đặt z  x  yi khó khăn để làm Câu 39 Trong không gian Oxyz, cho  S  :  x  1   y  1   z  1  điểm A  2;3; 1 Xét 2 điểm M  S  cho AM tiếp xúc với  S  Khi M ln thuộc mặt phẳng ? LG Tâm mặt cầu I  1; 1; 1 AI  25, AM  AI   16 Vậy M thuộc vào mặt cầu  S ' :  x  2   y  3   z  1  16  S  trừ phương trình  S ' (tương ứng vế với vế) ta phương trình Lấy phương trình của mặt phẳng chứa M 2 x  y 11  7  3x  y   Nhận xét Tọa độ không gian phần dễ nhất, yêu cầu học sinh tư tưởng tượng hình, việc tính tốn gần khơng đáng kể x  x Có điểm A thuộc đồ thị hàm số cho tiếp tuyến A cắt lại đồ thị hai điểm khác A M  x1; y1  , N  x2 ; y2  thỏa mãn y1  y2   x1  x2  Câu 40 Cho hàm số y  LG Chú ý y '  x3  x   x   7;0; 7; y "  3x  Ta thấy hàm số cho hàm trùng phương bậc hướng lên trên, điểm A  x0 ; y0  mà tiếp tuyến có điểm chung với đồ thị xCT  x0  xCT x0 khơng nghiệm kép phương trình tương giao, hay y ''( x0 )  Còn điều kiện cịn lại tương đương với hệ số góc tiếp tuyến y '( x0 )  Vậy   x0     x0    ycbt  3x02     x0  1; x   1;  2;      x0  x0  Vậy có điểm A Nhận xét Thực tế điều kiện y "  x0   không cần kiểm tra phương trình hệ số góc Do học sinh quên điều kiện làm Bài tốn trở lên khó nhiều em làm sai nghiệm phương trình y '  thỏa mãn phương trình y "  khơng có nghiệm  g  x   dx  ex  Biết đồ thị hàm số y  f  x  ; y  g  x  cắt điểm có hồnh độ 3; 1;1 Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số ? LG Ta có f  x   g  x   m  x  3 x  1 x  1 , với 3m  f    g     Vậy 1 1 dtich    x  3  x  1 dx    x  3  x  1 dx  2 3 1 Nhận xét Bài học sinh sử dụng cách thay nghiệm vào để tìm hệ số f  g Tuy nhiên nhiều thời gian Học sinh giỏi tư không công tính tốn (bước tích phân học sinh bấm máy) Việc cho hình minh họa điểm khơng hay, hướng học sinh đến việc dựng lại hàm f g Câu 41 Cho hàm số f  x   ax3  bx  cx  Câu 42 Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ', khoảng cách từ C đến đường thẳng BB ' 2, khoảng cách từ A đến BB ' CC ' 3, hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng Thể tích khối lăng trụ cho ? LG Mặt phẳng qua M vng góc với cạnh bên khối lăng trụ cắt AA ', BB ', CC ' A1 , B1 , C1 Khi  A ' B ' C ' trung điểm M B ' C ', A ' M  tam giác A1B1C1 thiết diện ngang khối lăng trụ tam giác vng có hai cạnh bên 1; cạnh đáy 2, đường trung tuyến A1M  (một nửa cạnh đáy) Do AA '  A' M  A1 A ' A' M  4/3 4  ;V  AA '.S A1B1C1   / 1 3 A ' M  A1M Nhận xét Đây tính thể tích dựa ý tưởng nguyên thủy: số đo thể tích số đo diện tích thiết diện ngang nhân với độ dài đường sinh Tuy nhiên học sinh khơng nhìn ý tưởng (từ việc cho khoảng cách đường sinh) mà dựng hình, tính chiều cao phức tạp Câu 43 Ba bạn A;B;C viết ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc đoạn [1;17] Xác xuất để tổng số viết chia hết cho LG Chia tập hợp số tự nhiên [1;17] thành nhóm đồng dư theo modun Có nhóm phần tử, nhóm phần tử Ba số viết có tổng chia hết cho 17 thuộc nhóm thuộc nhóm khác Vậy xác xuất 2.63  53  3!.6.6.5 1637  173 4913 Nhận xét Đây xác xuất nhẹ nhàng đơn giản, khơng phải tính toán Tuy nhiên kết hợp với chút số học nên gây lúng túng cho khơng học sinh Học sinh có tư tốt nhận Việc chia lớp đồng dư mang hướng toán cao cấp Câu 44 Cho a  0, b  thỏa mãn log3a 2b1  9a  b2  1  log6 ab1  3a  2b  1  Giá trị a  2b ? LG Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho số ta dễ thấy VP  log3a 2b1  6ab  1  log6ab  3a  2b  1  log3a 2b1  6ab  1 log ab 3a  2b  1  3a  b Dấu xẩy tương đương với   a  ; b   a  2b  2 3a  2b  6ab Nhận xét Mặc dù câu số 44, câu dễ mức vận dụng cao bất đẳng thức Cauchy bị lộ từ đầu xuất  3a  2b  1 hai số hạng Nhưng phần lớn học sinh không nghĩ đến việc dung bất đẳng thức Cauchy nằm chương trình lớp 10 THPT x 1 có đồ thị  C  Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận  C  x2 Xét tam giác ABI có hai đỉnh thuộc  C  Đoạn thẳng AB có độ dài ? Câu 45 Cho hàm số y  3  Y   , Y  y  1; X  x   Trong tọa độ (tịnh tiến tọa độ x2 X không làm thay đổi độ dài vecto) I  0;0  Do  C  hyperbol thuộc góc 4, nên hai đỉnh A, B LG Ta thấy  C  : y   thuộc hai nhánh khác  C  mà phải thuộc nhánh đối xứng qua đường phân giác góc tọa độ thứ (trong hệ IXY ) Vậy A  X ; Y  B  Y ;  X  IA2  AB2  X  Y   X  Y   X  2Y  12  AB2  X  Y  12  AB  Nhận xét Tương tự 35 (thuộc mức vận dụng thấp), kiểm tra dáng diệu cùa hàm bậc bậc mức cao tính đối xứng đồ thị Học sinh khơng nắm kiến thức làm phương pháp tính tốn cồng kềnh Khi nắm chất đưa lời giải ngắn gọn Câu 46 Cho phương trình 5x  m  log5  x  m  , với m tham số Có giá trị nguyên m thuộc  20; 20  để phương trình có nghiệm ? x  u   m LG Đặt u  5x  m, ta hệ   u  x (do hàm 5x  m đơn điệu tăng) Vậy phương u  x   m trình cho tương đương với m  x  5x  f  x  Ta có f '( x)    ln 5 5x   x  log5 1/ ln 5 Từ dễ thấy f max  f  log5 1/ ln 5    1;0 ; ycbt  m  f max Vậy m  19; ; 1 Do có 19 giá trị m Nhận xét Đây dạng sử dụng tính đơn điệu hàm số kết hợp với tính tốn hàm logarit Nói chung kiểu quen thuộc Sau 47 dễ mức độ địi hỏi tư Câu 47 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S  có tâm I  2;1;  qua điểm A 1; 2; 1 Xét điểm B, C , D thuộc  S  cho AB, AC, AD đơi vng góc với Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn ? LG Đặt a  AB, b  AC, c  AD Khi AI  32  32  32  27 2 abc  a  b  c   AI  108;V   6 3/2 a  b  c   2R  2 2 3.63   36 3.6 Vậy Vmax  36 Nhận xét Đối với này, học sinh cần hình dung mặt cầu cho phải ngoại tiếp hình hộp chữ nhật dựng tia AB, AC, AD Việc tính tốn gần khơng có 2 Câu 48 Cho hàm số f  x  thỏa mãn f     ; f '  x   x  f  x  với x  Tính f 1  ? f' 1 1    f 1    LG Dễ thấy  x    x  C; C   f f f  2  1/ Nhận xét Đây nguyên hàm đơn giản, việc cho f ' f hai vế gần gợi ý ln hướng giải Có thể băn khoăn việc chia vế cho f có hợp lệ khơng Câu trả lời có Vì giả sử tồn x0 cho f  x0   Không tổng quát ta xem x0  số nhỏ có tính chất này, khoảng dạng  b; x0  , b  2, f  x    với số C Lấy x C  Đây điều vô lý Tất nhiên với câu hỏi trắc x0  C nghiệm học sinh khơng phải băn khoăn bước tìm hàm f  x    x C chắn phải hàm đầu cho giới hạn f  x  x  x0  Câu 49 Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d : x   3t; y   4t; z  1 Gọi  đường thẳng qua A 1;1;1 có vector phương u  1; 2;  Đường phân giác góc nhọn tạo d  có phương trình ? u  2 3  LG Ta có ud   ; ;0  Vì ud u  1  nên chọn u      ; ;  ; u  3 3 5   22 10  u pg  ud  u   ; ;   Vậy đường phân giác d ' : x  1  2t; y  10  11t; z   5t  15 15 15  Nhận xét Bài gây khó khăn cho thí sinh phải lựa chọn phân giác phân giác ngồi góc Cịn phương pháp chuẩn hóa vector để tìm vector phương đường phân giác quen thuộc Câu 50: Cho hai hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥) Hai hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) 𝑦 = 𝑔 (𝑥) có đồ thị hình vẽ bên, đường cong đậm đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑔 (𝑥) Hàm số ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 4) − 𝑔 2𝑥 − đồng biến khoảng ? LG Đây câu đề thi mà việc sử dụng phương pháp loại trừ đáp án tìm kết 3  nhanh Ta thấy f '  x    g '  x   Như đưa đến việc so sánh giá trị f ' 2  lần giá trị g ' Nếu để ý thấy số 10=5.2;8=4.2 Như nhiều khả để h nghịch biến miền giá trị bên f ' nằm 8, miền giá trị bên g ' nằm Từ luận xét điểm đặc biệt trục hồnh ta thấy h '  6  f ' 10   g ' 10,5   2.4  Vậy phương án A,C,D chứa khoảng xung quanh giá trị mà h nghịch biến Vậy đáp án B Thực tế khoảng này, giá trị bên f ' lớn 10, giá trị bên g ' nhỏ Nhận xét Đây phát biểu tưởng phức tạp lời giải đơn giản Hầu hết yếu tố cần thiết xoay quanh cột mốc trục hoành Hai giá trị 10 trục tung để đảm bào B phương án đúng, giá trị giúp loại phương án sau  ... phương trình đầu thông qua mối liên hệ (*) Ngược lại học sinh đặt z  x  yi khó khăn để làm Câu 39 Trong không gian Oxyz, cho  S  :  x  1   y  1   z  1  điểm A  2;3; 1 Xét 2 điểm... thuộc  C  Đoạn thẳng AB có độ dài ? Câu 45 Cho hàm số y  3  Y   , Y  y  1; X  x   Trong tọa độ (tịnh tiến tọa độ x2 X không làm thay đổi độ dài vecto) I  0;0  Do  C  hyperbol...   thuộc hai nhánh khác  C  mà phải thuộc nhánh đối xứng qua đường phân giác góc tọa độ thứ (trong hệ IXY ) Vậy A  X ; Y  B  Y ;  X  IA2  AB2  X  Y   X  Y   X  2Y  12  AB2