Giáo trình thủy khí - Chương 8

-- Các qui luật cân bằng và chuyển động của chất lỏng. -- Lực tương tác giữa chất lỏng và các vật thể chuyển động trong môi trường chất lỏng hoặc các mặt tiếp xúc với chất lỏng (ví dụ: lự

Chơng 8 chuyển động thế phẳngMục đích: Nghiên cứu một số đặc trng động lực học của chuyển động thế phẳng của chất lỏng lý tởngPhơng pháp: Sử dụng lý thuyết hàm biến phức8.1- ứng dụng hàm biến phứcI. Thế phức:Dòng chất lỏng lý tởng chuyển động có thế khi thoả mãn điều kiện:0urot =Khi đó ta đa vào hàm thế vận tốc , trong đó các thành phần vận tốc đợc xác định:iui= (i=x,y,z) (1)Vectơ vận tốc:= graduTa giả thiết ; dtd; 22dtd là liên tục theo toạ độTa nhận thấy bất kỳ hàm + C nào cũng thoả mãn (1) : thế của trờng vận tốc chính xác đến hằng số.Đối với chuyển động thế dừng: =(x,y,z); khi =(x,y,z)=const ta đợc phơng trình mặt đẳng thế (mặt có thế bằng nhau)Lý thuyết giải tích vectơ cho thấy: vectơ grad vuông góc với mặt =const do đó trên mặt đẳng thế vecơ vận tốc tại mọi điểm sẽ vuông góc với nó.Xét chuyển động thế, phẳng, dừng, khi đó chất lỏng di chuyển trong mặt phẳng xOy, thế vận tốc đợc xác định nh sau:xux=; yuy=Phơng trình các đờng đẳng thế trong mặt phẳng xOy sẽ là: (x,y) = CGọi hàm (x,y) thoả mãn điều kiện: yux=; xuy=Biểu thức (x,y) = C là phơng trình đờng dòng1 Hàm thế và hàm dòng thoả mãn phơng trình Laplace; bởi vì:Từ điều kiện không xoáy: 0xuxuurotxyx==ta có0yx2222=+Từ phơng trình liên tục: 0yuxuyx=+ta có0yx2222=+Nh vậy hàm thế và hàm dòng là các hàm điều hoà (Laplace=0)Ta nhận thấy hàm thế và hàm dòng thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann (điều kiện trực giao giữa đờng dòng và đờng đẳng thế)0yyxx=+Trong lý thuyết hàm biến phức, nếu và là các hàm điều hoà và thoả mãn điều kiện Cauchy- Riemann thì hàm phức (x,y) + i(x,y) là hàm của 1 biến số phức zvới z= x+iy=r(cos+isin)=e.exp(i)Nh vậy tồn tại hàm phức W(z)= (x,y) + i(x,y) và còn gọi là thế phức.Hình 1II. Vận tốc phứcLý thuyết hàm biến phức cho: )iy(ddWdxdWdzdW==nghĩa là đạo hàm dzdWvà đạo hàm theo 2 phơng của trục thực và trục ảo bằng nhau, ta có thể chứng minh:2zxyi1 ( )uiuuyyidydWiiyddWuiuuxixdxdWyxyx==+====+=u=ux+iuy gọi là vận tốc phức; u= ux+iuy gọi là vận tốc liên hợp; mặt phẳng (ux,uy) gọi là mặt phẳng vận tốc.Kết luận: Để khảo sát chuyển động thế phẳng của chất lỏng lý tởng ta áp dụng lý thuyết hàm biến phức, mỗi thế phức tơng ứng với 1 chuyển động nào đấy của chất lỏng; ngợc lại, một chuyển động thế sẽ đợc biểu diễn bằng một thế phức nào đấy. Từ đấy ta có 2 loại bài toán:- Xác định chuyển động (trờng vận tốc) khi cho biết thế phức.- Xác định thế phức khi cho biết đờng biên của vật bị bao quanh và vận tốc ở vô cùng.8.2 Một số chuyển động đơn giản:I. Chuyển động phẳng:Thế phức( ) ( )iyxaazzW +== trong đó a là hằng số.Ta có 2 cas:a) a là số thực a1( ) ( )+=+== iiyxazazW11Do đó = a1x và = a1yĐờng đẳng thế: = a1x = Const là họ các đờng thẳng song song với trục y.Các đờng dòng: = a1y = Const là họ các đờng thẳng song song với trục y.Các thành phần vận tốc: 1xayxu === 0xyuy===Vậy ta có chuyển động thẳng theo phơng x (hình2a)3=constyx=constux=a1=constyx=constuHình 2b b) a là số ảo: a = ia1 (a1 là số thực); tơng tự nh trên, ta tìm đợc: Đờng đẳng thế: = - a1y = Const là họ các đờng thẳng song song với trục x.Các đờng dòng: = a1x = Const là họ các đờng thẳng song song với trục y.Các thành phần vận tốc: 0yxux===1yaxyu ===So với cas a thì các đờng dòng và các đờng đẳng thế đổi chỗ cho nhau; các hình chiếu vận tốc cũng đổi chỗ cho nhau.c) a là số phức: a = a1 + ia2 (a1; a2 là số thực dơng)Thế phức có dạng: ( ) ( )( ) ( ) ( )+=++=++== iyaxaiyaxaiyxiaaazzW122121Vậy ( ) ( )yaxayaxa1221+==Ta có ux = a1uy = - a2Đờng đẳng thế: = a1x - a2y = Const hay Cxaay21+=Các đờng dòng: = a2x + a1y = Const hay '12Cxaay +=Đây là phơng trình các đờng thẳng nghiêng vuông góc với nhau (hình 2b)II. Điểm nguồn và điểm hút:Thế phức: ( )+=++=+===iiarlnaelnarlna)reln(azlnazWiiHàm thế vận tốc: =alnr : =const r = const: đờng đẳng thế là họ các vòng tròn có tâm trùng với gốc toạ độHàm dòng: =a : =const = const: đờng dòng là họ đờng thẳng đi qua gốc toạ độ4Hình 2a Các thành phần vận tốc của chuyển động biểu diễn dới dạng toạ độ trụ:( )0r1urarlnarrur=====Nh vậy chỉ có thành phần vận tốc theo phơng bán kính, ur dơng khi có chiều hớng từ tâm ra ngoài tức là a dơng, khi đó ta có các đờng dòng đi từ tâm ra: điểm nguồn.Ngợc lại, ur âm (tức là a âm) khi có chiều hớng từ ngoài vào tâm, khi đó ta có các đờng dòng đi ngoài vào tâm : điểm hút. Tại tâm ta có r=0, khi đó ur có giá trị bằng , ta gọi đây là điểm đặt biệt.Lu lợng điểm nguồn hay điểm hút đợc xác định nh sau:a2drradruQ2020r===Nh vậy hằng số a của thế phức có thể biểu diễn qua Q: =2QaThế phức có dạng zln2QWz=III Chuyển động xoáy (xoáy thế vận tốc):Xét thế phức W=a lnz trong đó a là số ảo: a=ia1 (a1 là số thực)W=a lnz =ia1lnz=ia1ln(rei)=+iTrong trờng hợp này ta có:Hàm thế vận tốc: =-a1 : =const = const: đờng đẳng thế là họ đờng thẳng đi qua gốc toạ độ5=const=const Hàm dòng: = a1lnr: =const r = const: đờng dòng là họ các vòng tròn có tâm trùng với gốc toạ độ (chuyển động xoáy)Các thành phần vận tốc của chuyển động biểu diễn dới dạng toạ độ trụ:( )rar1u0arru11r=====ý nghĩa của a1: ta định nghĩa 1120sa2r2rard.udsu ====:lu số vận tốc (circular).Thay vào biểu thức của thế phức:zlni2zln2iWƯ==Vận tốc r2u=nghĩa là const2ru ==Một chuyển động nh thế ứng với dòng có lu số vận tốc quanh sợi xoáy. Trong chuyển động phẳng đây là dòng quanh 1 điểm xoáy nằm ở tâm toạ độ.IV Chuyển động lỡng cực:Khảo sát thé phức: z12mWz=Thay z=x+iy ta có ( )( )( )( )22zyxiyx2miyxiyxiyx2mW+=+=Suy ra 22yxx2m+=và 22yxy2m+=Phơng trình đờng đẳng thế: x2 + y2 = Cx: họ cácvòng tròn có tâm nằm trên trục x và đi qua gốc toạ độPhơng trình đờng dòng: x2 + y2 = Cy: họ cácvòng tròn có tâm nằm trên trục y và đi qua gốc toạ độChuyển động này là chuyển động lỡng cực, m gọi là moment của lỡng cực6=const=const 8.3- dòng bao quanh trụ tròn không có lu số vận tốc (=0)I. Thế phức: Xét thế phức tổng hợp của thế phức chuyển động thẳng song song với trục x và l-ỡng cực.( )z12mzVzW +=Ta xác định phần thực và phần ảo của W(z)( ) ( )( )( )( )( )( ) ( ))))) ))))) ))))) )))) ))++++=+++=+++=222222yxy2myViyxx2mxVyxiyx2miyxViyx12miyxVzWII. Đờng dòngPhơng trình đờng dòng:Cho C=0, ta có phơng trình đờng dòng không gồm 2 đờng:y = 0: trục hoành Ox=+V2myx22: vòng tròn có tâm là gốc toạ độ và =V2ma là bán kính. Thay đờng dòng không bằng thành rắn thì ta đợc dòng phẳng bao quanh trụ tròn với vận tốc ở vô cùng V vuông góc với trục hình trụ.7( )Cconstyyx12mV22==+ III. Phân bố vận tốc và áp suấtBiểu diễn thế vận tốc dới dạng toạ độ trụ:+=2r12mVcosrVới == Va2mV2ma2+=22ra1cosrVCác thành phần vận tốc có dạng:+====sinra1Vrucosra1Vru2222rTrên mặt trụ r = a: ur = 0; u = -2Vsin; nh vậy vận tốc trên mặt trụ là theo phơng tiếp tuyến với mặt trụ và biến đổi theo qui luật sin. Tại = 0 và (tại A và B) ta có uA = uB = 0; A và B gọi là 2 điểm tới hạn (điểm dừng)+ Xác định phân bố áp suất trên mặt trụ:Viết phơng trình Bernoulli cho đờng dòng không qua 2 mặt cắt: một ở vô cùng có V ; p ; một qua mặt trụ có u;p:( )+=+==+=+2222222sin412VpVu12VppsinV2uDo2up2VpHình chiếu của áp lực lên 1 phân tố diện tích ds.1=a.d.1 sẽ là:8 ( )0dacospXdacospdX0dsinsin412VadsinapYdasinpdYYdasinpdY202022202020========Nh vậy khi dòng thế của chất lỏng bao quanh trụ tròn sẽ không có 1 lực nào tác dụng lên trụ. (Nghịch lý Dalambert)Trong thực tế, khi dòng chất lỏng thực chảy bao quanh trụ tròn, phân bố áp suất sẽ không đối xứng qua trục y nữa nên xuất hiện lực cản theo phơng chuyển động: hình tròn có dạng khí động xấu.Gọi ==22psin41V21ppC: hệ số áp suấtKhảo sát Cp; ta nhận thấy nếu qui ớc góc tính từ điểm tới hạn A theo chiều kim đồng hồ thì :Tại A (=0) : Cp=12V21pp+=Tại = 90oCp= 3: lớn nhất. 2V213pp=Tại 2 đoạn 0 90o và 90o : phân bố áp suất là nh nhau.Trong thực nghiệm, do xuất hiện lực ma sát nhớt nên chất lỏng không thể chảy bao quanh hình trụ một cách dần đều không có điểm rời nh trong chất lỏng lý tởng: Dòng chất lỏng sau khi bị chia đôi tại A sẽ bao bề mặt hình trụ đến điểm S ( = 82o với dòng chảy tầng và = 120o với dòng chảy rối). sau đó dòng chảy tách khỏi mặt trụ, nhờng chỗ cho chất lỏng từ phía sau ùa tới.8.4- dòng bao quanh trụ tròn có lu số vận tốc (0)I. Thế phức:9 Xét thế phức tổng hợp của thế phức dòng bao quanh trụ tròn không có lu số vận tốc và chuyển động xoáy( )zlni2zazVzW2++=Ta xác định phần thực và phần ảo của W(z) để tìm thế vận tốc và hàm dòng:rln2sinrra1V2cosrra1V2222=++=Do đór2sinra1Vrucosrra1Vru2222r++====Trên mặt trụ r = a ta có: a2sinV2u0ur+==Ta tìm điểm tới hạn trên mặt trụ (điểm tại đó vận tốc bằng 0); tại đó u=0, do đó:==+=aV4sin0a2sinV2uTa có các trờng hợp sau:a) Khi =0: dòng bao quanh trụ tròn không có lu số vận tốc, vị trí 2 điểm tới hạn ứng với sin*=0 tơng ứng với *=0 và *=180o (điểm A và B)b)Khi 4V a: 2 điểm tới hạn nằm trên mặt trụ tại 2 vị trí đối xứng nhau qua trục y, trong khoảng 0 * c) Khi =4V a: hai điểm A, B trùng nhau trên trục y tại góc *=90od) Khi >4V a: A, B nằm trên trục y nhng một điểm ở ngoài trụ tròn còn điểm kia nằm trong trụ tròn.10 [...]... p sin d 2 2 V V Pt Berrnoulli p = p + 2 2 V Y= 2aV 2 sin 2 2 sin 2 d = V 0 Nh vậy vectơ chính của áp lực chỉ có một thành phần vuông góc với vận tốc ở vô cùng và có giá trị bằng -V (Định lý Giucốpxki về lực nâng) Điều này giải thích khi một vật hình trụ hay hình tròn quay trong chất lỏng thực chuyển động ta có thể xem nh dòng bao quanh nó có lu số vận tốc và do đó xuất hiện lực... hiện phép biến hình từ miền ngoài chu tuyến C của profil cánh sang miền ngoài chu vi vòng tròn C1 y L C a B V L C1 B1 1 x V1 Z Hàm biến đổi z=f() phải thoả mãn các điều kiện sau để có phép biến đổi 1-1 : + Các điểm ở xa vô cùng trong mp z sẽ chuyển sang các điểm ở xa vô cùng trong mp + Phơng vận tốc ở xa vô cùng trong 2 mp là không đổi Do dòng bao quanh hình trụ không song song với trục x nên lấy... z = x + iy = ( + i) + 2 2 2 2 2 + i + + 1 a 2 x = + 2 2 2 + 1 a 2 y = 2 2 2 + Xét các trờng hợp sau: 1) Vòng tròn trong mp có tâm trùng với gốc toạ độ và bán kính a Phơng trình vòng tròn là 2 + 2 = a 2 Thay biểu thức trên vào hàm biến đổi x,y ta có: x=, y=0 Vì trong mp thay đổi từ a đến +a nên pt x= xác định đoạn thẳng dài 2a 2) Vòng tròn có tâm khác a, tâm ở trên trục... 13 Z Kết luận: Khi cho biết các giá trị a, bán kính vòng biến hình R và tâm của nó thì có thể tìm đợc trong mp Z một profil cánh nào đó: profil Joukovski y R O a a Z 14 x II Giả thuyết Joukovski - Traplighin Từ công thức V a 2 W ( z ) = m V + + ln 2i ta thấy phụ thuộc vào giá trị sẽ có nhiều dạng dòng bao quanh profil cánh C, nghĩa là bài toán có vô số nghiệm Mỗi giá trị của ứng . toán :- Xác định chuyển động (trờng vận tốc) khi cho biết thế phức .- Xác định thế phức khi cho biết đờng biên của vật bị bao quanh và vận tốc ở vô cùng .8. 2. có ux = a1uy = - a2Đờng đẳng thế: = a1x - a2y = Const hay Cxaay21+=Các đờng dòng: = a2x + a1y = Const hay '12Cxaay +=Đây là phơng trình các đờng