Cân bằng hệ số chứng minh bđt bằng phương pháp hàm số tạ ngọc thiện

Tạ Ngọc Thiện CÂN BẰNG HỆ SỐ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Tạ Ngọc Thiện Trường THPT Kinh Môn II huyện Kinh Môn- tỉnh Hải Dương Số ĐT: 0987733393 Bài toán tổng quát Cho số thực a1 , a2 , an  D thỏa mãn g (a1 )  g (a2 )   g (an )     n.g (  ) với số thực   D Chứng minh rằng: f (a1 )  f (a2 )   f (an )     n f (  ) Để giải toán ta cần biểu diễn f (ai ) qua g (ai ), i  1, 2, , n nên ta xét hàm số h(t )  f (t )   g (t ), t  D Số  xác định cho hàm số h(t ) đạt cực f '(  ) tiểu (hoặc cực đại) t0   h '(  )  suy    g '(  ) Ví dụ Cho a, b, c  a  b  c  Chứng minh a  b3  c  Nhận xét Từ giả thiết ta thấy đẳng thức xảy a  b  c  BĐT cần chứng minh có dạng f (a)  f (b)  f (c)  Trong f (t )  t , t   0;1 f '(1 3) g (t )  t ,      nên ta có lời giải sau g '(1 3) Lời giải: Xét hàm số y  t  t với t  (0;1) 1 Ta có y '   3t    t  3 Bảng biến thiên t 13 0 y’ ─ y +  27 Dựa vào bảng biến thiên ta có 2 với t  (0;1) y    t3  t    t3  t  27 27 27 Từ suy ra: ; a3  a  27 b3  b  ; 27 c3  c  27 với a, b, c  (0;1) Cộng vế theo vế bất đẳng thức lại với ta có  a  b3  c3   a  b  c   27 Dấu xảy a  b  c  Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ Cho a , b , c   a  b  c  Chứng minh a b c    a  b2  c  10 (Vơ địch Tốn Ba Lan 1996) Nhận xét  5 Từ giả thiết ta thấy a, b, c   ;  , đẳng thức xảy a  b  c  BĐT   cần chứng minh có dạng f (a )  f (b)  f ( c )  10  5 x , x   ;  g ( x )  x , a   f '(1 3)   18 nên Trong f ( x )    x 1 25 g '(1 3) ta có lời giải sau Lời giải: Xét hàm số: y  5 x 18 x  với x   ;    x  25 Ta có   x 1 x 18  y'     x  1 25  x    Bảng biến thiên 3 x y’ + 1 3 50 y  50 ─ 13 50 52 +  211 145 Dựa vào bảng biến thiên ta có  5 x 18 3 x 18   x với x   ;  y   x   x  25 50 x  25 50 50 Từ suy ra: a 18  a ; a  25 50 b 18  b ; 50 b  25 c 18  c c  25 50  5   với a, b, c   ;  Cộng vế theo vế bất đẳng thức lại với ta có c a b 18    a  b  c     50 10 a  b  c  25 Dấu xảy a  b  c  Vậy ta có điều phải chứng minh Nhận xét Qua ví dụ ta thấy bất đẳng thức cần chứng minh có biến có tính chất đối xứng nên dễ dàng nhận dấu xảy biến Nếu bất đẳng thức cần chứng minh không cịn tính chất đối xứng biến dấu xảy biến Khi bất đẳng thức cần chứng minh hay khó nhiều so với trường hợp dấu xảy biến Vậy bất đẳng thức dạng xảy dấu làm để tìm dấu xảy ? Để làm rõ vấn đề ta xét tốn tổng quát sau Bài toán tổng quát Cho số thực a, b, c  D thỏa mãn mg (a )  ng (b)  pg (c)     k với số thực a, b, c  D Chứng minh rằng: f (a)  f (b)  f (c)     k Để giải toán ta cần biểu diễn f (a ), f (b), f (c) qua mg (a ), ng (a ), pg (c) nên ta xét hàm số h(t )  f (t )   g (t ), t  D , b  m, n, p Số  xác định cho hàm số h(t ) đạt cực tiểu (hoặc cực đại) f '(t0 ) t0  a, b, c h '(t0 )  suy     g '(t0 ) Khi dấu bất đẳng thức xảy biến thỏa mãn hệ phương trình mg (a )  ng (b)  pg (c)  k  f '(b) f '(c)  f '(a )    mg '(a ) ng '(b) pg '(c)  Giải hệ phương trình ta tìm giá trị biến a, b, c từ ta biết đẳng thức xảy Ví dụ Cho a, b, c  a  4b  9c  Chứng minh a  b3  c3  1296 Nhận xét Từ giả thiết ta thấy a, b, c  0;1 BĐT cần chứng minh có dạng Cho số thực a, b, c  thỏa mãn g (a)  g (b)  g (c)  Chứng minh f (a )  f (b)  f (c)  1296 Trong f (t )  t , t   0;1 g (t )  t Khi dấu bất đẳng thức xảy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình   a  36   c  a b      3a 3b 3c  b      18  c   12  f '(t0 )  Ta có    Vậy ta có lời giải sau  g '(t0 ) 432 Lời giải: Xét hàm số: y  t3   t với t  (0;1) 432 Ta có y '   3t  Bảng biến thiên t  432  36  36 0 y’ 0t  ─ + 431 432 y  3 23328 Dựa vào bảng biến thiên ta có y 3 23328 với t  (0;1);   1;4;9 Từ suy ra: t   432 t 3 23328 t   432 t 3 23328 1 ; a 432 23328 ; b3  b 432 23328 27 c3  c 23328 432 a3  với a, b, c  (0;1) Cộng vế theo vế bất đẳng thức lại với ta có 36 a  b3  c    a  4b  9c   432 23328 1296 1 Dấu xảy a  , b  , c  Vậy ta có điều phải chứng minh 36 18 12 208 Ví dụ Cho a, b, c  a  b  c  Chứng minh 27 3a   3a   3a    208  Nhận xét Từ giả thiết ta thấy a, b, c  0; BĐT cần chứng minh có  27  208 Chứng dạng: Cho số thực a, b, c  thỏa mãn g (a )  g (b)  g (c)  27 minh rằng: f (a)  f (b)  f (c)   208  Trong f (t )  3t  2, t   0;  g (t )  t Khi dấu bất đẳng  27  thức xảy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình  208  a b   c  a   27   b2    1     2 25 3   3a   c   3b    3c    f '(t0 ) Ta có      Vậy ta có lời giải sau  g '(t0 ) Lời giải: Xét hàm số: y  f (t )  3t     208  t , t   0;   27  Ta có y'   Bảng biến thiên t  3t   + y  0t    2   y’   2  3  3  8b b b 208 27 ─ 226 52b  27 Dựa vào bảng biến thiên ta có 8    8    8   y  3t   t   3t   t  4    với t  (0; 112  4 );   1;1;  Từ suy ra:  9 3a   a  ; 3 3b   b  ; 56 3c   c  27  208  với a, b, c   0;   27  Cộng vế theo vế bất đẳng thức lại với ta có 1  137 7 3a   3a   3a    a  b  c   4  27  3a   3a   3a   25 Dấu xảy a  2, b  3, c  Vậy ta có điều phải chứng minh 3 Bài toán tổng quát Cho số thực a, b, c  D thỏa mãn g (a )  g (b)  g (c)     k với số thực a, b, c  D Chứng minh mf (a )  nf (b)  pf (c)     k Để giải toán ta cần biểu diễn mf (a), nf (b), pf (c) qua g (a ), g (a ), g (c) nên ta xét hàm số h(t )   f (t )   g (t ), t  D , b  m, n, p Số  xác định cho hàm số h(t ) đạt cực tiểu (hoặc cực đại) t0  a, b, c  f '(t0 ) Khi dấu bất đẳng thức xảy h '(t0 )  suy    g '(t0 ) biến thỏa mãn hệ phương trình  g (a )  g (b)  g (c)  k   mf '(a ) nf '(b) pf '(c)  g '(a )  g '(b)  g '(c)  Giải hệ phương trình ta tìm a, b, c từ ta biết đẳng thức xảy Ví dụ Cho a, b, c  a  b  c  Chứng minh a  4b3  9c  36 121 Nhận xét Từ giả thiết ta thấy a, b, c  0;1 BĐT cần chứng minh có dạng: Cho số thực a, b, c  thỏa mãn g (a )  g (b)  g (c)  Chứng minh 36 rằng: f (a)  f (b)  f (c)  121 Trong f (t )  t , t   0;1 g (t )  t Khi dấu bất đẳng thức xảy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình  a   11 c  a  b       3a 12b 27c  b     11  1   c  11  f '(t0 ) 108  Ta có    Vậy ta có lời giải sau g '(t0 ) 121 Lời giải: Xét hàm số: 108 t với t  (0;1) y  t3  121 Ta có 108 y '   3 t  0t  121 11  Bảng biến thiên t 11  ─ + y’ 431 y 432  432 1331  Dựa vào bảng biến thiên ta có 108 432 108 432 432 y  t3  t  t3  t 121 121 1331  1331  1331  với t  (0;1);   1;4;9 Từ suy ra: 432 108 ; a 121 1331 108 216 4b  b ; 121 1331 108 144 9c  c 121 1331 a3  với a, b, c  (0;1) Cộng vế theo vế bất đẳng thức lại với ta có : 108 792 36  a  4b3  9c  a  b  c  121 1331 121 Dấu xảy a  , b  , c  Vậy ta có điều phải chứng minh 11 11 11 Ví dụ Chứng minh với tam giác ABC ta có 10 sin A  sin B  sin C  (HSG Thái Nguyên 2012) Nhận xét Vì A, B, C góc tam giác nên ta có A  B  C  p A, B, C  0; p Do BĐT cần chứng minh có dạng: Cho số thực A, B, C  thỏa mãn g ( A)  g ( B )  g (C )   Chứng minh rằng: 10 Trong f (t )  sin t , t   0;  g (t )  t Khi dấu bất đẳng thức xảy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình   A  arccos   A  B  C      B  arccos  cos A  cos B  cos C   C    2arccos  f ( A)  f ( B)  f (C )  Ta có    Lời giải:  f '(t0 ) g '(t0 )  Vậy ta có lời giải sau Xét hàm số y   sin t  t với t  (0; ) Ta có y '    cost  Bảng biến thiên t 6   t  arccos 4 arccos y’ +  4   ─ 16  6  arccos 4 4 y b   Dựa vào bảng biến thiên ta có 16   16  6 6 6 y  arccos   sin t  t  arccos 4 4 4 với t  (0;  );   1;1; Từ suy ra:   10 6 A arccos  ; 4 4 6 10 ; sin B  B arccos  4 4 6 10  arccos sin C  C 4 4 sin A  với A, B, C  (0; ) Cộng vế theo vế bất đẳng thức lại với ta có 10 6 6 1 sin A  sin B  6sin C    A  B  C   arccos  arccos  arccos  4 4 4 4 10 6 10   A  B  C    A  B  C  4 4 10  sin A  sin B  sin C  Dấu xảy  sin A  sin B  6sin C  6 ; B  arccos ; C    2arccos 4 Vậy ta có điều phải chứng minh A  arccos Ví dụ Cho a, b, c  a  b  c  Chứng minh a b c    b  c c  a 4(a  b) Nhận xét Biến đổi BĐT cho dạng c a b     a  b 4(3  c) Từ giả thiết ta thấy a, b, c  0;3 BĐT cần chứng minh có dạng: Cho số thực a, b, c  thỏa mãn g (a)  g (b)  g (c)  Chứng minh rằng: f (a )  f (b)  f (c)  t , t   0;3 g (t )  t Khi dấu bất đẳng thức xảy Trong f (t )  3t a, b, c thỏa mãn hệ phương trình  a   a  b  c     3  b        a 2   b 2   c 2    c   f '(t0 ) 25 Ta có      Vậy ta có lời giải sau g '(t0 ) 48 Lời giải: Xét hàm số y  f (t )  t 3t  25 t , t   0;3 48 Ta có y'   Bảng biến thiên 15  12  3 25 0t     t  48 t 15  12   y’ ─ 0 +  y 40   16  25 16 Dựa vào bảng biến thiên ta có 40  16  25 t 25 40  16  25 t 25 40  16  25 y   t   t 16  t 48 16  t 48 16  1 với t  (0;3);   1;1;   4 Từ suy ra: a 25  a ;  a 48 16 b 25  b ;  b 48 16 c 25  a 16   c  48 với a, b, c  (0;3) Cộng vế theo vế bất đẳng thức lại với ta có: c a b 25 11     a  b  c    a  b 4(3  c) 48 16 c a b     b  c c  a 4(a  b) 3 Dấu xảy a  , b  , c  Vậy ta có điều phải chứng minh 5 Bài toán tổng quát Cho số thực a, b, c  D thỏa mãn mg (a )  ng (b)  pg (c)     k với số thực a, b, c  D Chứng minh m ' f (a)  n ' f (b)  p ' f (c)     k Để giải toán ta cần biểu diễn m ' f (a), n ' f (b), p ' f (c) qua mg (a ), ng (b), pg (c) nên ta xét hàm số h(t )   f (t )   g (t ), t  D , b  m ', n ', p ' ; g  m, n, p Số  xác định cho hàm số h(t ) đạt cực  f '(t0 ) tiểu (hoặc cực đại) t0  a, b, c h '(t0 )  suy     g '(t0 ) Khi dấu bất đẳng thức xảy biến thỏa mãn hệ phương trình mg (a )  ng (b)  pg (c)  k   m ' f '(a ) n ' f '(b) p ' f '(c)  mg '(a )  ng '(b)  pg '(c)  Giải hệ phương trình ta tìm giá trị biến a, b, c từ ta biết đẳng thức xảy Ví dụ Cho a, b, c  a  4b  9c  Chứng minh 100 a  25b  36c  5041 Nhận xét Từ giả thiết ta thấy a, b, c  0;1 BĐT cần chứng minh có dạng: Cho số thực a, b, c  thỏa mãn g (a)  g (b)  g (c)  Chứng minh rằng: 100 f (a)  25 f (b)  36 f (c)  5041 Trong f (t )  t , t   0;1 g (t )  t Khi dấu bất đẳng thức xảy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình 10  a  71  a  4b  9c    2  b   3a  75b 108c 71      c   71  300  f '(t0 )  Ta có    Vậy ta có lời giải sau  g '(t0 ) 5041 Lời giải: Xét hàm số 300 y  t3  t với t  (0;1) 5041 Ta có 300 10  y '   3 t  0t  5041 71  Bảng biến thiên t y’ y ─ 10  71  + 431 432 2000   357911  Dựa vào bảng biến thiên ta có 300 2000  300 2000  2000  3  t   t  y t t 357911  5041 357911  5041 357911  với t  (0;1);   1;25;36 ,   1;4;9 Từ suy ra: 300 2000 a3  a ; 357911 5041 1200 3200 25b3  a ; 5041 357911 2700 9000 36b3  a 5041 357911 với a, b, c  (0;1) Cộng vế theo vế bất đẳng thức lại với ta có 100 300 14200 a  25b3  36c    a  4b  9c   5041 357911 5041 100  a  25b3  36c3  5041 10 Dấu xảy a  , b  , c  Vậy ta có điều phải chứng minh 71 71 71 Ví dụ Cho a, b, c  2a  3b  4c  Chứng minh 2a   2b   2c   10 (HSG Ninh Thuận 2012) Nhận xét Từ giả thiết ta thấy a, b, c  0;1 BĐT cần chứng minh có dạng: Cho số thực a, b, c  thỏa mãn g (a)  3g (b)  g (c)  Chứng minh rằng: f (a )  f (b)  f (c)  10 Trong f (t )  2t  1, t   0;1 g (t )  t Khi dấu bất đẳng thức xảy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình  a    2a  3b  4c  1   b    2a   2b   2c    c    f '(t0 )  Vậy ta có lời giải sau Ta có     g '(t0 ) 11 Lời giải: Xét hàm số 3 t với t  (0;1) y   2t   11 Ta có  3 y'    0t  11 2t  Bảng biến thiên t 19 y’ + ─ 10 11 y 33 b   33   11 Dựa vào bảng biến thiên ta có 10 11 3 10 11 3 10 11 t   2t   t y   2t   33 33 33 11 11 với t  (0;1);   2;3;4 Từ suy ra: 20 11 2a   a ; 33 11 30 11 2b   b ; 33 11 12 40 11 2c   c 33 11 với a, b, c  (0;1) Cộng vế theo vế bất đẳng thức lại với ta có 90 11  11  10 2a   2b   2c    2a  3b  4c   33 11  2a   2b   2c   10 Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 10 Cho a, b, c  2a  b  c  Chứng minh 11 1 29 a  b  c     a b c Nhận xét Từ giả thiết ta thấy a, b, c  0;6 BĐT cần chứng minh có dạng: Cho số thực a, b, c  thỏa mãn g (a)  g (b)  g (c)  Chứng minh rằng: 29 f (a)  f (b)  f (c)  Trong f (t )   t  , t   0;6  g (t )  t Khi dấu bất đẳng thức t xảy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình  2a  b  c  a     b  1   a  11   11  c    b2 b2 f '(t0 ) Ta có      Vậy ta có lời giải sau g '(t0 ) Lời giải: Xét hàm số 3 y  f (t )   t   t , t   0;6  t Ta có 3 y'      0t  t 8  3 Bảng biến thiên t y’ y ─ 8  3  + 72   27  12 8  3 Dựa vào bảng biến thiên ta có 8  3 3 8  3 3 8  3 y  t   t   t   t  t t 2  11 11  với t  (0;6);   1; ;  ;   2;1;1  8 Từ suy ra: a   a  1; a 11 b   b  2; b 11 c  c2 c với a, b, c  (0;6) Cộng vế theo vế bất đẳng thức lại với ta có 1 29 11 a   b  c       2a  b  c    a b c 11 1 29  a  b  c     a b c Dấu xảy a  2, b  1, c  Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 11 Cho x, y, z  xyz  Chứng minh 2 2  1   P   x     20 y     z    15 x  y  z  y z  ta có m n y z y z y z   mn  x      x  xyz    xyz   3 mn x mn m n m n mn  Khi BĐT cần chứng minh có dạng: Nhận xét Giả sử dấu bất đẳng thức xảy x  Cho số thực x, y, z  thỏa mãn g ( x)  g ( y) g ( z)   Chứng minh m n mn rằng: f ( x)  f ( y )  f ( z )  15  Trong f (t )   t  , t   0;   g (t )  t Khi dấu bất đẳng thức t xảy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình y z   x   ; xyz  m  ;n 1   m n     1   m  20    m 1    x  2; y  ; z   x y2  y     f '(t0 )   Vậy ta có lời giải sau Ta có    g '(t0 ) Lời giải: Ta có xyz    xyz   33 x.8 y.z   x  y  z    x  y  z 2 Xét hàm số y  f (t )   t   t   t , t   0;   ;   1;20;1 ;   2;1;2 ;   1;8;1 Ta có   2  y'         t  2 t 2    Bảng biến thiên t 2 y’ ─ 2    +  y   2 Dựa vào bảng biến thiên ta có    y  4  2  t   t  4  2 t với t  (0; );   1;20;1 ;   2;1;2 ;   1;8;1 Từ suy ra: x   2; x 20 y   y  ; y z z  2 z x với x, y, z  Cộng vế theo vế bất đẳng thức lại với ta có 2 2  1   P   x     20 y     z     x  y  z   12  15 x  y  z  Dấu xảy x  2; y  ; z  Vậy ta có điều phải chứng minh Nhận xét Qua ví dụ nêu ta nhận thấy việc tìm giá trị biến để dấu bất đẳng thức xảy phương pháp hàm số đơn giản, dễ hiểu hiệu nhiều so với phương pháp biết Ngồi thơng qua phương pháp sáng tạo nhiều toán chứng minh bất đẳng thức cách thay đổi hệ số điều kiện bất đẳng thức thân bất đẳng thức có sẵn tốn chứng minh bất đẳng thức tạo khó hơn, hay nhiều bất đẳng thức ban đầu Bài tập luyện tập Bài Cho a, b, c  15a  5b  3c  Tìm giá trị lớn 1 P   a b c (Olympic 30-4 Cà Mau 2012) Bài Cho x, y, z số thỏa x  y  z  Chứng minh rằng:  4x   y   4z  Bài Cho a , b, c  R a  b  3c  10 Chứng minh a  b4  c   a  b3  c  Bài Cho a , b , c   a  b  c  Chứng minh 3a b 12 c    a2 1 b2  c2  Bài Cho a, b, c  a  2b  3c  15 Chứng minh a  b  c  ab  bc  ca Bài Cho a, b, c, d  a  b  2c  3d  Chứng minh 191 6 a  b  c  d   a  b  c  d  18 Bài Cho số thực dương a, b, c a  b  c  Chứng minh 1 16    a  b2  c 2 a b c Bài Cho x, y , z  x  y  z  Chứng minh x2  1 32 2 y    z   x2 y2 z2 Bài Cho a, b, c  a  2b  5c  11 Chứng minh 16    a  b  c  17 a b c Bài 10 Cho a, b, c  a  b  c  Chứng minh a b 2c 12    b2  c2 a2  c2 a  b2 Bài 11 Cho a, b, c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức a  3c 4b 8c P   a  2b  c a  b  2c a  b  3c (HSG Kiên Giang 2014) Bài 12 Cho ba số thực x, y , z  1;4  thỏa mãn x  y , x  z Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức x y z P   2x  3y y  z z  x (Đề thi Đại học Khối A 2011) Bài 13 Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  a  c  b Tìm giá trị lớn biểu thức P 2   a 1 b 1 c 1 (Đề thi HSG THPT toàn quốc bảng A 1999) Bài 14 Xét số thực dương a, b, c thỏa mãn 21ab  2bc  8ac  12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a, b, c     a b c (Đề thi chọn ĐTQG 2001) *** ... 4b  9c  Chứng minh a  b3  c3  1296 Nhận xét Từ giả thiết ta thấy a, b, c  0;1 BĐT cần chứng minh có dạng Cho số thực a, b, c  thỏa mãn g (a)  g (b)  g (c)  Chứng minh f (a )  f... có điều phải chứng minh 36 18 12 208 Ví dụ Cho a, b, c  a  b  c  Chứng minh 27 3a   3a   3a    208  Nhận xét Từ giả thiết ta thấy a, b, c  0; BĐT cần chứng minh có  27 ... b  c  Chứng minh a  4b3  9c  36 121 Nhận xét Từ giả thiết ta thấy a, b, c  0;1 BĐT cần chứng minh có dạng: Cho số thực a, b, c  thỏa mãn g (a )  g (b)  g (c)  Chứng minh 36 rằng: