Tài liệu chuyên đề hình học tọa độ Oxyz (dành cho học sinh Yếu – TB), tài liệu được biên soạn bởi thầy Đặng Việt Đông gồm 39 trang, tài liệu tóm gọn lý thuyết cơ bản, phương pháp giải toán và tuyển chọn một số bài tập trắc nghiệm phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz thuộc chương trình Hình học 12 chương 3, các bài tập ở mức độ nhận biết và thông hiểu, giúp học sinh có học lực yếu – trung bình lấy lại nền tảng kiến thức.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Hình học tọa độ Oxyz Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz BÀI 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ A – LÝ THUYẾT CHUNG 1.1 Khái niệm mở đầu Trong không gian cho ba trục Ox, Oy , Oz phân biệt vng góc đơi Gốc tọa độ O, truc hoành Ox, trục tung Oy , trục cao Oz , mặt tọa độ Oxy , Oyz , Ozx 1.2 Khái niệm hệ trục tọa độ Khi khơng gian có hệ tọa độ gọi khơng gian tọa độ Oxyz hay không gian Oxyz 2 i j k 1 2 a a Chú ý: i j ik jk 1.3 Tọa độ véc tơ u (x ; y; z ) u (x ; y ; z ) u xi y j zk 1.4 Tọa độ điểm M (x ; y; z ) OM xi y j zk 1.5 Cáccông thức tọađộ cần nhớ Cho u (a ;b; c), v (a ;b ;c ) a a ' u v b b ' c c ' u v a a ; b b ; c c ku (ka ; kb; kc) u v u v cos(u,v ) aa bb cc u.v aa bb cc cos(u,v) u v u v u u v AB 2 u a b2 c2 u.v x B x A; y B yA; z B z A AB AB x B xA y B yA z B zA 1.6 Chú ý Góc véc tơ u, v góc hình học (nhỏ) tia mang véc tơ có, giá trị 0; là: sin u, v cos2 u, v 1.7 Chia tỉ lệ đoạn thẳng M chia AB theo tỉ số k nghĩa MA kMB ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz x A kx B x M 1k y A kyB Công thức tọa độ M : yM 1k z z A kz B M 1k 1.8 Công thức trung điểm xA xB x M yA yB Nếu M trung điểm AB MA MB yM z z A z B M 1.9 Công thức trọng tâm tam giác x A x B xC xG y y yC B Nếu G trọng tâm ABC GA GB GC yG A z z zC z A B G 1.10 Công thức trọng tâm tứ diện Nếu G trọng tâm tứ diện ABCD x A x B xC x D xG y y yC yD B GA GB GC GD yG A z z zC z D z A B G 1.11 Tích có hướng véc tơ Cho véc tơ u (a;b;c ) v (a ;b ;c ) ta định nghĩa tích có hướng véc tơ véc tơ, kí hiệu u, v hay u v có toạ độ: b c c a a b u, v bc b c; ca ac ;ab ba ; ; b c c a a b 1.12 Tính chất tích có hướng véc tơ u , v vng góc với u v u , v u v sin u , v u , v u , v phương 1.13 Ứng dụng tích có hướng véc tơ Diện tích hình bình hành ABCD : S AB, AD ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Diện tích ABC : S AB, AC Ba véc tơ u, v, w đồng phẳng: u, v w Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành ABCD cạnh bên AA’ : V AB, AD AA Thể tích khối tứ diện S ABC : V AB, AC SA Phương pháp giải số toán thường gặp 2.1 Các phép toán toạ độ vectơ điểm Phương pháp giải Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm không gian Sử dụng phép tốn vectơ khơng gian 2.2 Xác định điểm khơng gian Chứng minh tính chất hình học Diện tích – Thể tích Phương pháp giải Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm không gian Sử dụng phép tốn vectơ khơng gian Cơng thức xác định toạ độ điểm đặc biệt Tính chất hình học điểm đặc biệt: A, B, C thẳng hàng AB, AC phương AB k AC AB, AC ABCD hình bình hành AB DC Cho ABC có chân E , F đường phân giác ngồi góc A AB AB ABC BC Ta có: EB EC , FB FC AC AC A, B, C , D không đồng phẳng AB, AC , AD không đồng phẳng AB , AC AD B – BÀI TẬP Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho u 3i j 2k Tìm tọa độ u A u 2;3; 2 B u 3;2; 2 C u 3; 2;2 D u 2;3;2 Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho a 1;2; 1 , b 3; 4;3 Tìm tọa độ x biết x b a A x 2;2; 4 B x 2; 2; 4 C x 2; 2; 4 D x 1;1;2 Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho vectơ a 1; 1; 2 , b 3;0; 1 c 2;5;1 Toạ độ vectơ u a b c là: A u 6; 6;0 B u 6;0; C u 0;6; D u 6;6;0 Câu 4: Trong không gian Oxyz cho hai véctơ u 1; 2;1 v 2;1;1 , góc hai vectơ cho 2 5 B C D 3 Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba vectơ a 1;1;0 , b 1;1;0 , c 1;1;1 Mệnh đề sai? A ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A b a Hình học tọa độ Oxyz C b c D a Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai véc tơ u 2;3; 1 v 5; 4; m Tìm m để u v B c A m B m C m D m 2 Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho vectơ a 1;1;0 ; b 1;1;0 Trong kết luận : I a b ; II b a ; III a b ; IV a b , có kết luận sai ? A B C D Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ O; i ; j ; k , cho hai vectơ a 2; 1;4 b i 3k Tính a.b A a.b B a.b 10 C a.b 11 D a.b 13 Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a 2; 4; b 1; 2; 3 Tích vơ hướng hai vectơ a b A 12 B 30 C D 22 Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u 1;1; , v 1;0;m Tìm m để góc hai vectơ u , v 45 A m B m C m D m Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3; 2;1 , B 1; 0; 5 Tìm tọa độ trung điểm đoạn AB A I (2; 2; 6) B I ( 1; 1; 1) C I (2; 1; 3) D I (1; 1; 3) Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;2;3 B 5; 2;0 Khi đó: A AB 61 B AB C AB D AB Câu 13: Cho ba điểm A 2; 1;5 , B 5; 5; M x; y;1 Với giá trị x, y ba điểm A,B,M thẳng hàng ? A x y B x 4 y 7 C x 4 y D x x Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;3 B 2;1; Tìm tọa độ điểm M thỏa MB 2MA 5 D M ; ; 2 2 Câu 15: Tìm tọa độ điểm M trục Ox cách hai điểm A 1;2; 1 điểm B 2;1; A M 4;3;1 B M 4;3; C M 1;3;5 ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 3 2 1 A M ; 0; B M ; 0; C M ; 0; D M ; 0; 2 2 3 3 Câu 16: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , điểm thuộc trục Oy cách hai điểm A(3; 4;1) B (1; 2;1) A M (0;5;0) B M (0; 5;0) C M (0; 4; 0) D M (5;0;0) Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vec tơ a 1; 2;0 b 2;3;1 Khẳng định sau sai? A b 14 B a.b 8 D a b 1;1; 1 C 2a 2; 4;0 Câu 18: Trong không gian Oxyz , điểm sau thuộc trục Oy ? A M 1; 0; 0 B M 0; 0; 3 C M 0; 2; D M 1; 0; Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho điểm A 1; 2;3 Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng Oyz điểm M Tọa độ điểm M A M 1; 2;0 B M 0; 2;3 C M 1;0;0 D M 1;0;3 Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OM 1;5;2 , ON 3;7; 4 Gọi P điểm đối xứng với M qua N Tìm tọa độ điểm P A P 2;6; 1 B P 5;9; 10 C P 7;9; 10 D P 5;9; 3 Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm K 2;4;6 , gọi K hình chiếu vng góc K lên Oz , trung điểm OK có tọa độ là: A 0;0;3 B 1;0;0 C 1;2;3 D 0;2;0 Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm sau thuộc mặt phẳng Oxy ? A N 1; 0; B P 0;1; C Q 0;0; D M 1; 2; Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 4 B 3;2;2 Toạ độ AB A 2;4; 2 B 4;0;6 C 4;0; 6 D 1; 2; 1 Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho vectơ a biểu diễn vectơ đơn vị a 2i k j Tọa độ vectơ a A 1; 3; B 1; 2; 3 C 2; 3;1 D 2;1; 3 Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A 1;2;4 , B 2;4; 1 Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác OAB A G 1;2;1 B G 2;1;1 C G 2;1;1 D G 6;3;3 Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 3;4;2 , B 1; 2;2 G 1;1;3 trọng tâm tam giác ABC Tọa độ điểm C ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A C 0;1;2 B C 0;0;2 C C 1;1;5 D C 1;3;2 Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2; 1 , B 2; 1; 3 , C 3; 5;1 Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành A D 2; 8; 3 B D 2; 2; C D 4; 8; 5 D D 4; 8; 3 Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1; 4; , B 4; 2; 3 , C 3;1;5 Tìm tọa độ đỉnh D hình bình hành ABCD A D 6; 10 B D 0;7;0 C D 6; 5;10 D G 2; 1;3 Câu 29: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A 4;1; Tọa độ điểm đối xứng với A qua mặt phẳng Oxz A A 4; 1;2 B A 4; 1; C A 4; 1; D A 4;1; Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3; 4; , B 1; 0;1 Tìm tọa độ điểm M thõa mãn MA MB B M 1; 2; C M 4; 4; 4 D M 2; 4; A M 4; 4; Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;3 B 5; 2; Khi đó: A AB B AB C AB 61 D AB Câu 32: Trong không gian Oxyz , cho a 3; 2;1 điểm A 4;6; 3 Tìm tọa độ điểm B thỏa mãn AB a A 7; 4;4 B 1; 8;2 C 7;4; 4 D 1;8; 2 Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 2;0;0 , B 0;2;0 , C 0;0;2 D 2;2;2 Gọi M , N trung điểm AB CD Tọa độ trung điểm I MN là: 1 C I ; ;1 D I 1;1;1 2 Câu 34: Trong không gian Oxyz cho điểm A 3; 4;0 ; B 0;2;4 ; C 4;2;1 Tọa độ diểm D A I 1; 1;2 B I 1;1;0 trục Ox cho AD BC là: A D 0;0;0 D 0;0; 6 B D 0;0; 3 D 0;0;3 C D 0;0;0 D 6;0;0 D D 0;0; 2 D 0;0;8 Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A 0; 2; 1 A 1; 1; Tọa độ điểm M thuộc đoạn AB cho MA 2MB 2 1 1 A M ; ; 1 B M ; ; C M 2; 0; D M 1; 3; 4 2 2 3 Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;2; 1 , B 2; 1;3 , C 4;7;5 Tọa độ chân đường phân giác góc B tam giác ABC A 2;11;1 11 B ; 2;1 3 11 C ; ; 3 3 ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay 11 D ; ;1 3 Trang Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 37: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a 0;3;1 , b 3;0; 1 Tính cos a, b 1 A cos a, b B cos a, b 10 10 1 C cos a, b D cos a, b 100 100 Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M 3; 2;3 , I 1;0;4 Tìm tọa độ điểm N cho I trung điểm đoạn MN 7 C N 2; 1; D N 1; 2;5 2 Câu 39: Trong không gian Oxyz cho điểm A 3; 4;3 Tổng khoảng cách từ A đến ba trục tọa độ A N 5; 4; B N 0;1;2 34 B 10 C 34 D 10 Câu 40: Cho vectơ u 1; 2;3 , v 1; 2; 3 Tính độ dài vectơ w u 2v A A w 85 B w 185 C w 26 D w 126 Câu 41: Trong không gian Oxyz , cho E 5; 2;3 , F điểm đối xứng với E qua trục Oy Độ dài EF A 34 B 13 C 29 D 14 Câu 42: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A 0; 0; 3 , B 0; 0; 1 , C 1; 0; 1 , D 0; 1; 1 Mệnh đề sai? A AB BD B AB BC C AB AC D AB CD Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho A 1;2;4 , B 1;1;4 , C 0;0;4 Tìm số đo góc ABC A 60 O B 135 C 120 O D 45O Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp ABCD ABCD Biết A 2;4;0 , B 4;0;0 , C 1;4; D 6;8;10 Tọa độ điểm B A B 8;4;10 B B 6;12;0 C B 10;8;6 D B 13;0;17 Câu 45: Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp ABCD ABCD có A 1;0;1 , B 2;1; , D 1; 1;1 , C 4;5; 5 Tính tọa độ đỉnh A hình hộp A A 3;4; B A 4;6; C A 2;0;2 D A 3;5; Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD ABC D có A 0;0;0 , B 3;0;0 , D 0;3;0 D 0;3; 3 Tọa độ trọng tâm tam giác A B C A 1;2; 1 B 2;1; 2 C 2;1; 1 ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D 1;1; 2 Trang Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 47: Trong không gian Oxyz , cho hai vector a a1 , a2 , a3 , b b1 , b2 , b3 khác Tích có hướng a b c Câu sau đúng? A c a1b3 a3b1 , a2b2 a1b2 , a3b2 a2b3 B c a3b1 a1b3 , a1b2 a2b1 , a2b3 a3b1 C c a2b3 a3b2 , a3b1 a1bb , a1b2 a2b1 D c a1b3 a2b1 , a2b3 a3b2 , a3b1 a1b3 Câu 48: Cho a 2 ;0; 1 , b 1; 3; Trong khẳng định sau khẳng định ? a, b 3; 3; a, B A C a, b 1; 1; D a, Câu 49: Cho a 1;0; 3 ; b 2;1;2 Khi a; b có giá trị A B C b 3; 3; b 1; 1; 74 ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D Trang Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A – LÝ THUYẾT CHUNG Phương trình mặt cầu 1.1 Phương trình tắc Phương trình mặt cầu S tâm I a ;b; c , bán kính R là: (S ) : (x a )2 (y b)2 (z c)2 R Phương trình gọi phương trình tắc mặt cầu Đặc biệt: Khi I O (C ) : x y z R 1.2 Phương trình tổng quát Phương trình : x y z 2ax 2by 2cz d với a b c d phương trình mặt cầu S có tâm I a ;b; c , bán kính R a b c d Một số toán liên quan 2.1 Dạng 1: S có tâm I a;b; c bán kính R S : (x a )2 (y b )2 (z c)2 R 2.2 Dạng 2: S có tâm I a;b; c qua điểm A bán kính R IA 2.3 Dạng 3: S nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: Tâm I trung điểm đoạn thẳng x xB y yB z zB AB : x I A ; yI A ; zI A 2 AB Bán kính R IA 2.4 Dạng 4: S qua bốn điểm A, B,C , D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện) Giả sử phương trình mặt cầu S có dạng: x y z 2ax 2by 2cz d * Thay toạ độ điểm A, B,C , D vào * , ta phương trình THAM KHẢO THÊM SAU KHI HỌC BÀI PT MẶT PHẲNG, PT ĐƯỜNG THẲNG 2.5 Dạng 5: S qua ba điểm A, B,C có tâm I nằm mặt phẳng P cho trước giải tương tự dạng Dạng 6: Viết phương trình mặt cầu S có tâm I a;b; c , tiếp xúc với mặt phẳng P cho trước bán kính mặt cầu R d I ; P 2.7 Dạng 7: Viết phương trình mặt cầu S có tâm I a;b; c , cắt mặt phẳng P cho trước theo giao tuyến đường tròn thoả điều kiện Đường tròn cho trước (bán kính diện tích chu vi) từ cơng thức diện tích đường trịn S r chu vi đường tròn P 2 r ta tìm bán kính đường trịn giao tuyến r Tính d d I , P Tính bán kính mặt cầu R d r ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz x y2 z 1 x2 y2 z qua điểm Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng d : sau đây? A B 2; 2;0 B C 3;0;3 C D 3;0;3 D A 2;2;0 Phương trình : Hướng dẫn giải Chọn C 32 0 nên đường thẳng d qua điểm D Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : x y 2z Q : x y 2z Ta có Phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O song song với hai mặt phẳng P , Q A x y z 12 2 B x y z x y z C 12 2 9 12 2 Hướng dẫn giải D x y z 12 9 Chọn C P có VTPT n 2;3;2 , Q có VTPT n 1; 3;2 Do đường thẳng qua gốc tọa độ O song song với hai mặt phẳng P , Q nên đường thẳng có VTCP u n, n 12; 2; 9 x y z 12 2 9 Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3;1; 5 , hai mặt phẳng P : x y z Q : x y z Viết phương trình đường thẳng qua A đồng thời song song với hai Vậy phương trình đường thẳng mặt phẳng P Q x3 x3 C : A : y 1 1 y 1 z5 3 z5 3 x3 x3 D : 2 Hướng dẫn giải B : y 1 z 1 3 y 1 z 1 Chọn A Vectơ pháp tuyến mặt phẳng P n1 1; 1;1 Vectơ pháp tuyến mặt phẳng Q n1 2;1;1 1 n1 n2 không phương 1 P Q cắt Mặt khác: A P , A Q Ta có: n1 , n2 2;1;3 Đường thẳng qua A 3;1; 5 nhận vectơ n 2; 1; 3 làm vectơ phương Phương trình tắc đường thẳng là: x y 1 z 1 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 53 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Câu 23: Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 2; 1 , đường thẳng d có phương trình x3 y 3 z mặt phẳng α có phương trình x y z Đường thẳng qua điểm A , cắt d song song với mặt phẳng α có phương trình x 1 y z 1 1 2 x 1 y z 1 C A x 1 x 1 D Hướng dẫn giải B y z 1 y z 1 2 1 Chọn D Gọi B t ; 3t; 2t giao điểm d Đường thẳng nhận AB t; 3t ; t 1 làm vec tơ phương Vì € α nên AB.nα Suy t 1 3t 2t 1 2t t 1 Suy B 2; 0; Vec tơ phương đường thẳng : AB 1; 2; 1 x 1 y z 1 2 1 Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z đường thẳng Phương trình đường thẳng : x 1 y z Đường thẳng nằm mặt phẳng P , đồng thời vng góc cắt 2 đường thẳng d có phương trình x 1 y 1 z 1 x 1 y z A B 3 2 2 x 1 y z x 1 y 1 z 1 C D 3 2 Hướng dẫn giải Chọn A Vectơ pháp tuyến P n 3; 2; 1 Vectơ phương d u 2; 2; 1 u , n 2; 3; vectơ phương Mặt khác, cắt d nên qua giao điểm M d mặt phẳng P d: Tọa độ giao điểm M d P nghiệm hệ phương trình sau: x 2t t 1 y 2t x 1 M 1; 1; 1 z t y 1 x y z z 1 Vậy phương trình đường thẳng x 1 y 1 z 1 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 54 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz x y z 1 x x 1 y z 2 : Phương trình đường thẳng song song với d : y 1 t cắt hai đường z t Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 : thẳng 1 ; x 2 A y 3 t z 3 t x B y 3 t z t x C y t z t x 2 D y 3 t z 3 t Hướng dẫn giải Chọn C Gọi đường thẳng cần tìm Gọi A 1 , B A 1 A 1 3a; a;1 2a B B 1 b;2b; 1 3b AB 3a b 2; a 2b 2; 2a 3b d có vectơ phương ad 0;1;1 / / d AB , ad phương 3a b 3a b 2 a có số k thỏa AB k ad a 2b k a 2b k b 2a 3b k 2a 3b k k 1 Ta có A 2;3;3 ; B 2; 2; qua điểm A 2;3;3 có vectơ phương AB 0; 1; 1 x Vậy phương trình y t z t Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 1; 0; đường thẳng d có phương trình: x 1 y z 1 Viết phương trình đường thẳng qua A , vng góc cắt d 1 x 1 y z x 1 y z A : B : 1 1 1 x 1 y z x 1 y z C : D : 3 1 1 Hướng dẫn giải Chọn A B Do cắt d nên tồn giao điểm chúng Gọi B d B d x t Phương trình tham số d : y t , t Do B d , suy z t 1 B t 1; t ; t 1 AB t ; t ; 2t Do A, B nên AB vectơ phương File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 55 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Theo đề bài, vng góc d nên AB u , u 1;1; ( u (1; 1; 2) vector phương x 1 y z d ) Suy AB.u Giải t AB 1;1; 1 Vậy : 1 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 56 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz BÀI 6: TỐN TỔNG HỢP VỀ PP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng : x y z điểm M 1; 2;13 Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng A d M , B d M , C d M , D d M , 3 Hướng dẫn giải Chọn C 2.1 2 13 Ta có d M , 1 Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z điểm A 1;3; 2 Khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng P A d B d C d 14 14 D d 14 Hướng dẫn giải Chọn B Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P là: d 1 2.3 2 12 2 2 Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng P : x y z Q : x y 2z Khoảng cách hai mặt phẳng cho A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Lấy A 1;1;3 P Do P song song với Q nên Ta có d P , Q d A, Q 2.1 2.3 12 22 2 Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng P : x y z ; Q : 5x y z Vị trí tương đối P & Q A Vuông góc C Song song B Trùng D Cắt khơng vng góc Hướng dẫn giải Chọn D n P 2; 3;1 ; n Q 5; 3; 2 n P k nQ k n P n Q Vậy vị trí tương đối P & Q cắt khơng vng góc Câu 5: Khoảng cách từ điểm M 2; 4;3 đến mặt phẳng P có phương trình x y z là: A B C D Đáp án khác Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 2;3 Hình chiếu vng góc M Oxz điểm sau File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 57 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A K 0; 2;3 B H 1; 2;0 Hình học tọa độ Oxyz C F 0; 2;0 Hướng dẫn giải D E 1; 0;3 Chọn D Hình chiếu vng góc M 1; 2;3 Oxz điểm E 1; 0;3 Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 2; 1;1 , tìm tọa độ M hình chiếu vng góc M mặt phẳng Oxy A M 2;1; 1 B M 0;0;1 C M 2; 1;0 D M 2;1;0 Hướng dẫn giải Chọn C Câu 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z điểm A( 1; 2; 2) Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng P A d B d C d D d Hướng dẫn giải Chọn A Ta có d A, P 2 1 Câu 9: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 3x y z điểm A 1; –2;3 Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng P A d B d C d 29 D d 29 Hướng dẫn giải Chọn D d A; P 3.1 2 2.3 29 32 42 22 Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2; 3;5 Tìm tọa độ A điểm đối xứng với A qua trục Oy A A 2; 3;5 B A 2; 3; 5 C A 2;3;5 D A 2; 3; 5 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi H hình chiếu vng góc A 2; 3;5 lên Oy Suy H 0; 3;0 Khi H trung điểm đoạn AA x A xH x A 2 y A y H y A 3 A 2; 3; 5 z z z 5 H A A Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 5; 7; 13 Gọi H hình chiếu vng góc M mặt phẳng Oyz Tọa độ điểm H là? A H 5; 0; 13 B H 0; 7; 13 C H 5; 7; Hướng dẫn giải D H 0; 7;13 Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 58 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Do H hình chiếu vng góc M mặt phẳng tọa độ Oyz nên H 0; 7; 13 Câu 12: Trong không gian Oxyz cho điểm A 1;2;1 , hình chiếu vng góc điểm A lên mặt phẳng tọa độ Oxy A P 0;2;1 B N 1;0;1 C Q 0; 2;0 D M 1;2;0 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi d đường thẳng qua điểm A vng góc với mặt phẳng Oxy x 1 Phương trình tham số đường thẳng d có dạng: y z 1 t Gọi A hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng Oxy Ta có A d Oxy x 1 x 1 y y Vậy tọa độ A nghiệm phương trình z 1 t z z t 1 Vậy hình chiếu vng góc A 1;2;1 lên mặt phẳng tọa độ Oxy M 1;2;0 Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z 19 điểm A 2;4;3 Gọi d khoảng cách từ A đến mặt phẳng P Khi d B A C Hướng dẫn giải D Chọn A 4 12 18 19 21 d 22 32 62 Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 0, 1,2 mặt phẳng có phương trình x y z Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng 21 A d B d 21 d C 21 D d 21 Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tính khoảng cách từ điểm M 1; 2; 3 đến mặt phẳng P : x y 2z A B 11 Hướng dẫn giải C D Chọn A Ta có d M , P 1 1 Câu 16: Trong khơng gian Oxyz , góc hai mặt phẳng P : 8x y z 11 ; Q : 2x y File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 59 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A Chọn C n P 8; 4; 8 ; n Q B Hình học tọa độ Oxyz Hướng dẫn giải C D 2; 2; n P n Q 12 2 Gọi góc hai mặt phẳng P & Q ta có cos 24 n P n Q Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng P : x y z 12 cắt trục Oy điểm có tọa độ A 0; 4; 0 B 0; 6; C 0; 3; 0 D 0; 4; 0 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi M Oy P M 0; b; 0 M P 3b 12 b Vậy M 0; 4; 0 Vậy Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hình chiếu vng góc M ' điềm M (1;1;2) Oy có tọa độ A ( 0;0;2 ) B ( 0;1;0 ) C ( 0;1;0 ) Hướng dẫn giải D (1;0;0 ) Chọn B Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hình chiếu điểm M 1; 3; 5 mặt phẳng Oyz có tọa độ A 0; 3; B 0; 3; 5 C 0; 3;5 D 1; 3;0 Hướng dẫn giải Chọn B x y 1 z Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : x 1 y z 1 d2 : Xét vị trí tương đối d1 d A d1 chéo d B d1 cắt d C d1 song song với d D d1 trùng d Hướng dẫn giải Chọn C d1 qua M 3;1; 2 có VTCP u1 2;1;3 d qua M 1; 5;1 có VTCP u2 4;2;6 Dễ thấy u1 phương với u M d nên suy d1 song song với d Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 1;2;1 , B 4;2; 2 , C 1; 1; 2 , D 5; 5; 2 Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ABC A d 3 B d C d Hướng dẫn giải D d Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 60 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Ta có AB 3;0; 3 , AC 0; 3; 3 n AB; AC 9; 9;9 Phương trình mặt phẳng ABC là: x y z d D; ABC 5 12 12 1 4 x Câu 22: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : y 1 z 1 1 x 1 y z Góc hai đường thẳng 1 1 A 45 B 60 C 30 D 90 Hướng dẫn giải Chọn D Đường thẳng d1 có véctơ phương u1 1; 1; 2 Đường thẳng d có véctơ phương u2 1;1;1 Gọi góc hai đường thẳng trên,ta có: 1. 1 1 2.1 d Khi cos cos u1; u2 ; d 90 2 2 2 1 1 d2 : Câu 23: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y z x y z Hỏi mặt phẳng sau, đâu mặt phẳng khơng có điểm chung với mặt cầu S ? A 3 : x y z C 1 : x y z 1 B : x y z 10 D : x y z Hướng dẫn giải Chọn D S có tâm I 1; 2;1 bán kính R Lần lượt tính khoảng cách từ I đến i i 1,2,3,4 so sánh với R Ta có i S khơng có điểm chung d I , i R 10 R Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z mặt cầu Ta có d I , S : x2 y z 6x y z Gọi I a, b, c tâm đường tròn giao tuyến mặt cầu S với mặt phẳng P Giá trị tổng S a b c A Chọn C B C 1 Hướng dẫn giải D 2 P có véc tơ pháp tuyến n 2; 2; 1 Mặt phẳng S : x2 y z 6x y z x 32 y 2 z 12 16 có Mặt cầu I 3; 2;1 bán kính R File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 61 tâm ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có d I , P 2.3 2 22 22 1 Hình học tọa độ Oxyz R nên mặt phẳng P cắt mặt cầu S I 3; 2;1 P có véc Gọi đường thẳng qua vng góc với mặt phẳng x 2t tơ phương u 2; 2; 1 , phương trình đường thẳng : y 2 2t z 1 t Gọi I tâm đường trịn giao tuyến I d P Thay phương trình đường thẳng vào phương trình mặt phẳng P ta được: 2t 2 2t 1 t t 1 Với t 1 I 1; 4;2 S a b c 1 Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng : x y 3z đường thẳng x 1 y 1 z Mệnh đề sau đúng? 1 1 A cắt khơng vng góc với B : C // D Hướng dẫn giải Chọn B Đường thẳng qua A 1; 1;3 có vectơ phương u 1; 1;1 Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n 1;2;3 Nhận thấy: u.n A nên Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;0;1 , B 1; 2; 3 Đường thẳng AB cắt mặt phẳng tọa độ Oyz điểm M xM ; yM ; zM Giá trị biểu thức T xM yM z M A B C Hướng dẫn giải D 4 Chọn A Đường thẳng AB có vectơ phương AB 2; 2; 4 x 2t Phương trình AB : y 2t z 4t Tọa độ giao điểm M xM ; yM ; zM đường thẳng AB mặt phẳng tọa độ Oyz thỏa hệ x 1 2t x y 2t y 1 z 4t z 1 x Vậy M 0;1; 1 , giá trị biểu thức T xM yM z M x 3 t Câu 27: Cho mặt phẳng ( P ) : x y z đường thẳng d : y 2t z File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 62 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A d cắt P B d // P C d P D d P Hướng dẫn giải Chọn C Mp P có VTPT n 2; 1; 3 , đường thẳng d qua điểm M 3; 2; 1 có VTCP a 1; 2;0 Ta xét: n.a điểm M P nên d (P) Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho A 1;3; , B 3;5; 12 Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz N Tính tỉ số A BN AN BN AN B BN 5 AN BN AN Hướng dẫn giải C D BN AN Chọn D x 1 t qua A 1;3; 2 Đường thẳng AB : AB : y t VTCP AB 2; 2; 10 1;1; 5 z 2 5t N AB Oyz N AB N 1 t;3 t; 5t , N Oyz t t 1 N 0; 2;3 BN AN Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng P : x y z AN 3, BN Q : x y z Khoảng cách hai mặt phẳng P A B Q là: Hướng dẫn giải C D Chọn C 3 Ta có: P // Q nên chọn điểm A 0; 0; P 2 2.0 Khi đó: d P ; Q d A; Q 12 22 2 Câu 30: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng P : x y z đường thẳng x 1 y z Gọi A giao điểm P ; M điểm thuộc đường thẳng cho AM 84 Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng P : A B C Hướng dẫn giải D 14 Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 63 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz u nP 21 Ta có: sin , P 14 14 u nP Gọi H hình chiếu điểm M lên mặt phẳng Khi ta có tam giác AMH tam giác MH MH vuông H nên sin , P sin MAH MA x 1 y 1 z 1 Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : x 1 y z d : Tính khoảng cách h hai đường thẳng d d 1 10 21 21 22 21 21 A h B h C h D h 21 21 21 21 Hướng dẫn giải Chọn D d có vectơ phương u 2;3; , qua M 1; 1;1 d có vectơ phương u 2;1;1 , qua M 1; 2;3 Ta có: u , u 1; 2; 4 , MM 2; 1; u, u MM 1.2 1 4 8 d , d chéo u, u MM 8 21 Khi đó: khoảng cách h hai đường thẳng d d là: h 21 21 u , u Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3; 1;1 , B 4;2; 3 Gọi A hình chiếu vng góc A mặt phẳng Oxy B hình chiếu vng góc B mặt phẳng Oyz Độ dài đoạn thẳng A AB B C Hướng dẫn giải D 3 Chọn D Do A hình chiếu vng góc A 3; 1;1 mặt phẳng Oxy nên A 3; 1;0 B 4;2; 3 Do B hình chiếu vng góc mặt phẳng Oyz nên B 0;2; 3 2 Ta có AB 3;3; 3 AB 3 32 3 3 Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng : x y z : x y mz Tìm m để song song với A m B m C m 2 D Không tồn m Hướng dẫn giải Chọn D Mặt phẳng có VTPT n1 1; 2; 1 Mặt phẳng có VTPT n2 2; 4; m Ta có // m 2 m 1 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 64 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng P : 2x y 3z Q : mx ny z Giá trị A m ; n 8 B m n m , n cho P song song với Q là: C m 4 ; n Hướng dẫn giải D m n 4 Chọn C m n 6 5 m 2 m 4 Do đó: n n 2 Câu 35: Trong không gian với hệ trục Oxyz , khoảng cách h từ điểm A 4;3; 2 đến trục Ox P song song với Q khi: B h A h 13 C h Hướng dẫn giải D h Chọn A Điểm H 4;0;0 hình chiếu A lên trục Ox nên h AH 13 1 Câu 36: Trong không gian Oxyz , cho điểm M ; ;0 mặt cầu S : x y z Đường 2 thẳng d thay đổi, qua điểm M , cắt mặt cầu S hai điểm A, B phân biệt Tính diện tích lớn S tam giác OAB A S B S 2 C S D S Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: Mặt cầu S có tâm O 0;0;0 bán kính R 2 2 1 3 Có OM nên M nằm mặt cầu 2 Khi diện tích AOB lớn OM ⊥ AB Khi AB R OM S AOB OM AB Cách 2: gọi H hình chiếu O xuống đường thẳng d, đặt OH x x 1 Khi AB R OH x S AOB OH AB x x Khảo sát hàm số f x x x 0;1 thu giá trị lớn hàm số Đạt x Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu S : x y z x y z đường x mt thẳng d : y m t với m tham số Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d z mt tiếp xúc với mặt cầu S File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 65 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A m 2 m 2 B m Hình học tọa độ Oxyz C m D m Hướng dẫn giải Chọn A S : x2 y2 z 2x y z x 12 y 12 z 12 Dựa vào phương trình tham số đường thẳng d ta thấy vectơ phương d u m; m ; m qua điểm O 0;0;0 Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu S d I ;d R với I 1;1;1 R tâm bán kính mặt cầu S Ta có OI , u m m;0; m m 2 OI , u m2 m m2 m m m2 3 R m 2m u m2 m4 m2 m 2m4 4m3 2m2 3m4 6m2 m4 4m3 4m2 m 2 Loại đáp án m m u 0;0;0 vectơ phương d Vậy m 2 Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , A 0; 1; B 1; 0; 2 hình chiếu vng góc x y 1 z P : x y z Tính S a b c 1 B C D Hướng dẫn giải điểm I (a; b; c) : A Chọn A x y 1 z a 4;1; 1 1 P : x y z n 2; 1; 2 Ta có : Gọi d đường thẳng qua B 1; 0; 2 vng góc với mp(P), phương trình tham số d là: x 2t y t z 2 t Vì B hình chiếu I (P) nên I d I 1 2t ; t; 2 2t AI 1 2t ;1 t ; 4 2t Vì A hình chiếu I nên AI a AI a 1 2t t 4 2t t 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 66 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Do I 1 2t ; t; 2 2t 1;1; a 1; b 1; c Vậy a b c x y 1 z điểm 2 1 I 2;1; 1 Mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng cắt trục Ox hai điểm A , B Tính độ dài đoạn AB A AB B AB 24 C AB D AB Hướng dẫn giải Chọn D x y 1 z : qua A 2;1;0 có véctơ phương n 2;2; 1 2 1 Mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng nên bán kính mặt cầu AI , n R d I, 2 n Câu 39: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 2 Phương trình mặt cầu S : x y 1 z 1 Mặt cầu S cắt trục Ox A 6;0;0 B 6;0;0 Suy độ dài đoạn AB Câu 40: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z , mặt cầu S tâm O tiếp xúc với mặt phẳng P H a; b; c Tổng a b c A B 1 C Hướng dẫn giải D Chọn B Tiếp điểm H a; b; c hình chiếu vng góc O lên mp P x t Đường thẳng qua O P có phương trình : y 2t z 2t x t y 2t t 1 H P , giải hệ phương trình x 1; y 2; z 2 z 2t x y z Vậy H 1; 2; nên a b c 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 67 ... Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hình học tọa độ Oxyz Phương trình mặt phẳng Oxy : z Kiểm tra tọa độ điểm ta thấy D Oxy Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho. .. Trang 17 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 12;8;6 Viết phương trình mặt phẳng qua hình chiếu... 1 z Trang 22 Hình học tọa độ Oxyz ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A x 11 y z B x – 11 y z – 45 C x 11 y z 45 D x – 11 y – z – x y 1 Câu 8: Trong