11a1 thpt tien lu Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức: * Phương pháp: Để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức chứa các toán tử chỉnh hợp ta cũng thường sử dụng công thức khai triển của nó Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: 2 1 2n n n n k n k n k A A k A + + + + + + = Giải: Ta có: 2 1 2 2 ( )! ( )! ( )! ( )! ( 2)! ( 1)! ( 2)! ( 1)! ( )! ( )! . ( )! ( 2)! 1 ( 1)! .( 1)! ( )! ! n n n k n k n n k n k n k n k n k A A n k n n k n k k n k k k n k k k n k k k k k k k n k k A k + + + + + + + + + + = + = + + − − + − − − − + + + = = = ÷ − − − − + = = Vậy ta được điều phải chứng minh. Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 2 2 1 . 2 n n n A P n P + + − = Giải: Ta có: 2 2 ( 2)! ( 2)! ! . . ! ( 2)! ( 2 2)! ! n n n n n A P n n n n + + + = = = + + − Khi đó 2 2 1 . ( 2)! 2 2 2 2 ( 1)! n n n A P n n n P n + + + − = − = + − = + Vậy 2 2 1 . 2 n n n A P n P + + − = Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 1 1 1 . k k k n n n A A k A − − − = + Giải: Ta có: 1 1 1 ( 1)! ( 1)! ( 1)! ( 1)! . . ( 1 )! ( 1 1)! ( 1)! ( )! ( 1)! ( 1)! ! 1 . ( 1)! ( 1)! ( )! k k n n k n n n n k n A k A k n k n k n k n k n k n n n A n k n k n k n k n k − − − − − − − + = + = + − − − − + − − − − − = + = = = ÷ − − − − − − − Giải phương trình, bất phưong trình. * Phương pháp: Để giải phương trình, bất phương trình chứa các toán tử chỉnh hợp, ta có thể chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Thực hiện việc đơn giản biểu thức để chuyển phương trình, bất phương trình về dạng đại số quen thuộc. Cách 2: Đánh giá vế thông qua các giá trị cận trên và cận dưới của nó. * Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tìm n nguyên dương thoả điều kiện: 3 5 4 2 1 2 ) 20 ) 18. ) 3 n n n n n a A n b A A c A A − = = − = Giải: a) Điều kiện 3,n n≥ ∈ ¥ . Ta có: 3 2 ! 20 20 ( 1)( 2) 20 ( 1)( 2) 20 ( 3) ( 3)! 6 3 18 0 3 n n A n n n n n n n n do n n n n n n = ⇔ = ⇔ − − = ⇔ − − = ≥ − = ⇔ − − = ⇔ = − Kết hợp điều kiện ta nhận n = 6 Vậy n = 6 thoả yêu cầu bài toán. b) Điều kiện 2 4 6n n n n − ≥ ≥ ⇔ ∈ ∈ ¥ ¥ Ta có: 5 4 2 2 ! ( 2)! ( 2)!( 1) ( 2)! 18. 18. 18. ( 5)! ( 6)! ( 6)!( 5) ( 6)! 9 ( 1) 18( 5) 19 90 0 10 n n n n n n n n A A n n n n n n n n n n n n − − − − − = ⇔ = ⇔ = − − − − − = ⇔ − = − ⇔ − + = ⇔ = Kết hợp điều kiện ta nhận cả hai nghiệm trên. Vậy 9n = hoặc 10n = thoả yêu cầu bài toán. c) Điều kiện 2,n n≥ ∈ ¥ Ta có: 2 1 2 ! ! ( 2)!( 1) ( 1)! 3 3 3 ( 2)! ( 1)! ( 2)! ( 1)! 1 ( 1) 3 2 3 0 3 n n n n n n n n n A A n n n n n n n n n n n − − − − = ⇔ − = ⇔ − = − − − − =− ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ = Kết hợp điều kiện ta nhận 3n = Vậy 3n = thoả yêu cầu bài toán Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 3 x x P A= Giải: Điều kiện: * 1 3x x ≤ ≤ ∈ ¥ Ta có: 3 3! 3 3. ! !(3 )! 2 (*) (3 )! x x P A x x x x = ⇔ = ⇔ − = − Với 1x = thì (*) 1!(3 1)! 2⇔ − = (đúng) Với 2x = thì (*) 2!(3 2)! 2⇔ − = (đúng) Với 3x = thì (*) 3!(3 3)! 2⇔ − = (sai) Kết luận: Nghiệm của phương trình là: 1x = hoặc 2x = Bai tap Bài 1 Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu và cỡ áo) ? Bài 2 Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn ? Bài 3 Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. a) Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn ? b) Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó một nam và một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn ? Bài 4 Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên a) Có 4 chữ số (không nhất thiết khác nhau) ? b) Có 4 chữ số khác nhau ? Bài 5 Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng đá có 5 đội bóng ? (Giả sử rằng không có hai đội nào có điểm trùng nhau). Bài 6 Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên về đích cùng một lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì và thứ ba ? Bài 7 Trong một Ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn 3 người vào ban thường vụ. a) Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ? b) Nếu cần chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ : Bí thư, Phó Bí Thư, Uỷ viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ? Bài 8 Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. a) Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra 4 người điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể? b) Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể? Bài 9 Một tổ có 8 em nam và 2 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham gia cuộc thi học sinh thanh lịch của trường. Yêu cầu trong các em được chọn phải có ít nhất một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Bài 10 Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia đồng diễn thể dục. Trong 5 em được chọn, yêu cầu không quá 1 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Bài 11 Từ 10 nam và 5 nữ người ta chọn ra một ban đại diện gồm 5 người trong đó có ít nhất hai nam và 2 nữ , hỏi có bao nhiêu cách chọn Nếu : a) Mọi người đều vui vẽ tham gia . b) Cậu Tánh và cô Nguyệt từ chối tham gia . Bài 12 một lớp học gồm 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ , chọn 6 học sinh để lập một đội tốp ca . Hỏi có bao nhiêu cách chọn a) Nếu ít nhất hai nữ . b) Nếu chọn tuỳ ý . Bài 13 Tìm hệ số của 101 99 x y trong khai triển 200 (2 3 )x y− . Bài 14 Tính hệ số của 5 8 x y trong khai triển 13 ( )x y+ . Bài 15 Tính hệ số của 7 x trong khai triển 11 (1 )x+ . Bài 16 Tính hệ số của 9 x trong khai triển 19 (2 )x− Bài 17 Khai triển 10 (3 1)x + cho tới 3 x Bài 18 Tìm hệ số của 7 x trong khai triển của 15 (3 2 )x− Bài 19 Tìm hệ số của 25 10 x y trong khai triển của 3 15 ( ) .x xy+ Bài 20 Khai triển 16 (3 1)x − Bài 21 Chứng minh: 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 ) 2 2 2 . 3 ) 3 3 3 . ( 1) 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a C C C C b C C C C − − − − + + + + = − + + + − = Bài 22 Tìm số nguyên dương n sao cho: 0 1 2 2 4 . 2 243 n n n n n n C C C C+ + + + = Bi 23 Tỡm h s ca x 3 trong nh thc sau : 6 3 2 1 x x + ữ , 9 2 1 x x + ữ , 9 2 3 1 x x + ữ Bi 24 Tỡm h s ca x 5 trong nh thc sau : 15 4 1 x x + ữ , 10 3 2 1 x x + ữ , 20 2 1 x x + ữ Bi 25 Tỡm h s ca x 3 trong nh thc sau : 15 2 2 x x + ữ , 8 3 2 x x + ữ Bi 26 Bit h s ca x 2 trong khai trin (1-3x) n l 90 . Tỡm n ? Bi 27 Tỡm h s khụng cha x trong khai trin 20 3 2 2 x x + ữ . Bi 28 Tỡm h s khng cha x trong khai trin : 12 3 3 x x + ữ . Bi 29 Tỡm s hng khụng cha x trong khai trin sau : 15 2 3 3 x x + ữ . Bi 30 Tỡm h s ca x 31 trong khai trin nh thc 40 2 1 x x + ữ . II. Khai triển với giả thiết có điều kiện . 1/ Biết khai triển n x x + 1 2 . Tổng các hệ số của số hạng thứ nhất, hai, ba là 46. Tìm số hạng không chứa x? 2/Cho biết tổng ba hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển = n x x 2 2 là 97. Tìm hạng tử của khai triển chứa x 4. 3/ Cho khai triển n n n nn n n n n CxCxCx 3 1 )1 .( 3 1 3 1 110 += . Biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triểnlà 5. Tìm số hạng chính giữa?? 4/ Cho khai triển nn n n n n x CxC x x ) 2 ( )() 2 ( 2 30 2 3 ++=+ . Biết tổng ba hệ số đầu là 33.Tìm hệ số của x 2 . 5/ Tìm số hạng chứa x 8 trong khai triển n x x + 5 3 1 . Biết rằng )3(7 3 1 4 += + + + nCC n n n n . 6/ Tìm hệ số của x 7 trong khai triển (2-3x) n trong đó n thoả mãn hệ thức sau 1024 . 12 12 3 12 1 12 =+++ + +++ n nnn CCC 7/ Giải phơng trình sau 12 20072 2 4 2 2 2 −=+++ n nnn CCC 8/ T×m hƯ sè cđa sè h¹ng chøa x 26 trong khai triĨn n x x − 7 4 1 biÕt n tho¶ m·n hƯ thøc 12 . 2012 12 3 12 2 12 1 12 −=++++ + ++++ n nnnn CCCC . 9/ T×m hƯ sè cđa sè h¹ng chøa x 10 khi khai triĨn (2+x) n biÕt 2048)1( 333 22110 =−+++− −− n n n n n n n n n CCCC 10/Cho 1 2 79 n n n n n n C C C − − + + = Trong khai triển nhò thức 28 3 15 n x x x − + ÷ hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x. 11/Tìm hệ số của số hạng chứa 26 x trong khai triển nhò thức Niutơn của 7 4 1 n x x + ÷ , biết rằng 1 2 20 2 1 2 1 2 1 . 2 1 + + + + + + = − n n n n C C C 12/.Tìm hệ số của 4 x trong khai triển biểu thức ( ) 2 1 3 n A x x= − − thành đa thức. Trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn: ( ) 2 2 2 2 2 2 3 4 1 2 . 3 n n C C C C A + + + + + = 13/ Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển nhò Niu tơn của (2+x) n biết: ( ) 0 1 1 2 2 3 3 3 3 3 3 . 1 2048 n n n n n n n n n n n C C C C C − − − − + − + + − = 14.Quy tắc tổng quát :Tổng các hệ số trong biểu diễn chính tắc của đa thức f(x) chính là f(1) Cho ( ) 100 1 2 100 0 1 2 100 2 .x a a x a x a x − = + + + + a)Tính 97 a b) 0 1 2 100 .S a a a a= + + + + c)M= 1 2 100 1. 2. . 100.a a a+ + + III. Chøng minh hc tÝnh tỉng biĨu thøc tỉ hỵp: 1/ Khai triĨn (3x-1) 16 . Tõ ®ã chøng minh 1616 16 1 16 150 16 16 2 33 =++− CCC 2/ Chøng minh: a. nn nnnn CCCC 2 . 210 =++++ b. n nnn n nnn CCCCCC 2 2 2 2 0 2 12 2 3 2 1 2 . +++=+++ − 3/ Chøng minh r»ng: nn n n nnn n CCCC 4 3 1 3 1 3 1 3 2 3 10 = ++++ 4/ TÝnh tỉng a. S= n nnn CCC 2 2 2 2 0 2 +++ b. S = 12 2 3 2 1 2 . − +++ n nnn CCC 5/ Chøng minh r»ng: a. 10022004 2004 2 2004 0 2004 2 =+++ CCC b. 2 13 2 .22 2004 2004 2004 20044 2004 42 2004 20 2004 + =+++ CCCC 6/Chứng minh rằng : 1 1000 1001 2001 2001 2001 2001 , 0 k 2000 k k C C C C + + ≤ + ∀ ≤ ≤ 7/Chứng minh rằng: ( ) 2 2 2 2 . , 0, n n n n k n k n C C C k n − + ≤ ∀ = 8/Chứng minh rằng : 1 0 1 1 1 2 1 . 2 1 1 n n n C C n n + − + + + = + + 9/Chứng minh rằng: ( ) 1 2 2 . 1 0 n n n n n C C nC− + + − = 10/k và n là hai số tự nhiên sao cho 4 k n≤ ≤ chứng minh rằng: 1 2 3 4 4 4 6 4 k k k k k k n n n n n n C C C C C C − − − − + + + + + = 11/ CMR: ( ) 0 2 1 3 2 2n 2n 2n 1 2n 2n 2n 2n 2n C 3 C 3 C . 3 C 2 2 1 − + + + + = + 12/ CMR: ( ) 0 2 2 4 2 2000 2000 2000 2001 2001 2001 2001 2001 3 3 . 3 2 2 1+ + + + = −C C C C 13/ Chứng minh rằng: 1 1 1 . k k k k k k k m k m C C C C + + + − + + + + = .Từ đó suy ra đẳng thức sau: 0 1 2 1 1 1 2 1 . m m k k k k m k m C C C C C − − + + + − + + + + + = CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM: Bài 1:Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thành lập được bao nhiêu số chẵn , mổi số gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi. KQ: 1260 Bài 2: Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ . Cần lấy một nhóm 5 người trong đó có 2 nữ . Hỏi có bao nhiêu cách chọn. KQ: 840 Bài 3: Cho hai đường thẳng song song (d 1 ) , (d 2 ) . Trên (d 1 ) lấy 17 điểm phân biệt , trên (d 2 ) lấy 20 điểm phân biệt . Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên (d 1 ) và (d 2 ) . KQ:5950 Bài 4: Từ một tập thể gồm 12 học sinh ưu tú , người ta cần cử một đoàn đi dự trại hè quốc tế trong đó có một trưởng đoàn , 1 phó đoàn và 3 đoàn viên . Hỏi có bao nhiêu cách cử ? KQ: 15840 Bài 5: Xét dãy gồm 7 chữ số , mổi chữ số được chọn từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 thoả mãn các điều kiện sau : - Chữ số vò trí số 3 là số chẵn - Chữ số cuối cùng không chia hết cho 5 - Các chữ số ở vò trí 4,5,6 đôi một khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách chọn . KQ:2.880.000 Bài 6: Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1,2,3,4,5 như sau: Trong mỗi số được viết có một chữ số xuất hiện hai lần còn các chữ số còn lại xuất hiện một lần . Hỏi có bao nhiêu số như vậy. KQ:1800 Bài 7: Cho tập hợp { } A 1,2,3,4,5,6,7,8= a) Có bao nhiêu tập hợp con X của tập A thoả điều kiện chứa một và không chứa 2 ? b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bởi 123? KQ: a) 64 b) 3348 Bài 8: Với 6 chữ số phân biệt 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt trong đó mỗi số điều phải có mặt số 6. KQ: 1630 Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi sao cho tất cả các chử số đều khác không và có mặt đồng thời các chữ số 2, 4, 5. KQ: 1800 Bài 10: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ 8 chữ số trên , trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần , các chữ số khác có mặt đúng 1 lần . KQ: 544.320 . 9 Một tổ có 8 em nam và 2 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham gia cuộc thi học sinh thanh lịch của trường. Yêu cầu trong các em được chọn phải. chọn phải có ít nhất một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? Bài 10 Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia