8 Chủ đề Hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT

Mời các bạn cùng tham khảo 8 Chủ đề Hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT để hệ thống kiến thức cũng như nâng cao khả năng giải bài tập toán hình chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 sắp tới. Chúc các em thi tốt

Trang | Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Contents A HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG  HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG  Lý thuyết  Bài tập  TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN 13  Lý thuyết 13  Bài tập 14  MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG 19  Lý thuyết 19  Bài tập 19  GIẢI BÀI TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ 21  Lý thuyết 21  Bài tập 21  MỘT SỐ BÀI TẬP SƯU TẦM 24 B GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN 30  GÓC Ở TÂM 30  Lý thuyết 30  Bài tập 32  GÓC NỘI TIẾP - GÓC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG 34  Lý thuyết 34  Bài tập 36  GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG VÀ BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN 41  Lý thuyết 41  Bài tập 42  MỘT SỐ BÀI TẬP 43 DẠNG 1: GÓC NỘI TIẾP – GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG 43 Trang | Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 47 DẠNG 2: GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN TRONG VÀ BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRÒN 53 HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 55 C TỨ GIÁC NỘI TIẾP – CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG TRÒN 61  TỨ GIÁC NỘI TIẾP 61  Lý thuyết 61  Bài tập 63  CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM CÙNG THUỘC MỘT ĐƯỜNG TRÒN 70  Lý thuyết 70  Bài tập 70  BÀI TẬP THAM KHẢO (tự luyện) 73 Dạng 1: Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp nhìn cạnh góc 73 Dạng 2: Tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 74 Dạng 3: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện 76 Dạng 4: Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm 76 Dạng 5: Chứng minh điểm nằm đường tròn 77 D CÁC BÀI TỐN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 79  LÝ THUYẾT CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 81 A CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU 81 Phương pháp 1: Hai tam giác 81 Phương pháp 2: Sử dụng tính chất hình đặc biệt 84 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất đường đặc biệt, điểm đặc biệt 85 Phương pháp 4: Sử dụng tính chất liên quan đến đường tròn 86 Phương pháp 5: Sử dụng tỉ số, đoạn thẳng trung gian … 87 B CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ 88 Tính chất trung điểm đoạn thẳng 88 Đường trung bình 88 Định lý Talet: 89 Trang | Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Tính chất đường phân giác tam giác 90 Các trường hợp đồng dạng tam giác 91 Hệ thức lượng tam giác vuông 92 Tỉ số lượng giác góc nhọn 93  PHẦN BÀI TẬP 94 E CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY – THẲNG HÀNG 114 10 phương pháp chứng minh điểm thẳng hàng 115 Ví dụ minh họa 115 Dạng 1: chứng minh qua điểm xác định góc bẹt (tổng hai góc chung đỉnh 180 độ) 115 Dạng 2: Sử dụng tính chất đường chéo hình đặc biệt (vd: hình bình hành) 116 Dạng 3: Sử dụng tính chất tâm đường kính đường tròn 116 Dạng 4: Tiên đề Ơ-Clit: Qua điểm nằm đường thẳng ta vẽ đường thẳng song song với đường thẳng cho 117 Qua điểm nằm đường thẳng ta vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng cho 118 Một số tập 124 F CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY 136 Bài tập có giải 137 Một số tập tự rèn: 151 F CÁC BÀI TỐN CHỨNG MINH CỰC TRỊ HÌNH HỌC 152 A Phương pháp giải tốn cực trị hình học 153 Dạng chung tốn cực trị hình học: 153 Hướng giải tốn cực trị hình học: 153 Cách trình bày lời giải tốn cực trị hình học 153 B Các kiến thức thường dùng giải tốn cực trị hình học 154 Sử dụng quan hệ đường vng góc, đường xiên, hình chiếu 154 Sử dụng quan hệ đường thẳng đường gấp khúc 158 Trang | Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Sử dụng bất đẳng thức đường tròn 160 Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa bậc hai 161 Sử dụng bất đẳng thức Cô-si 163 Sử dụng tỉ số lượng giác 166 C Một số tốn ơn luyện có hướng dẫn 169 D Bài tập tự luyện 187 E Rèn luyện tổng hợp 192 H HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 202  HÌNH TRỤ 203  Lý thuyết 203  Bài tập 203  HÌNH NĨN 212  Lý thuyết 212  Bài tập 213  HÌNH CẦU 221  Lý thuyết 221  Bài tập 222  BÀI TẬP TỔNG HỢP 229 Tài liệu tổng hợp – sưu tầm từ nhiều nguồn Sử dụng dạy ôn 10 – Mức độ: KHÁ Chủ đề Trang | Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG A HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG  HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VNG  Lý thuyết Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Khi ta có hệ thức sau: AB  BH BC hay c  ac ' A AC  CH BC hay b  ab ' c HA = HB.HC hay h  c ' b ' b h AB AC  BC AH hay cb  ah 1 1 1 hay     2 h c b AH AB AC B c' b' H C a BC  AB2  AC (Định lí Pitago)  Bài tập Vận dụng hệ thức 1: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, BC = 20cm Biết tỉ số hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền : 16 Tính diện tích tam giác ABC Hướng dẫn giải Vẽ đường cao AH Ta có HB HB HC HB  HC 20      HC 16 16  16 25 Suy HB  9.20 16.20  7, (cm); HC   12,8 (cm) 25 25 Xét ABC vuông A, đường cao AH ta có: AB  BC.BH  20.7,  144  AB = 12 (cm); AC  BC.CH  20.12,8  256  AC = 16 (cm) 2 Vậy diện tích ABC S  ABAC  12.16  96 (cm2) Trang | Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Cách giải khác: Sau tính HB HC, ta tính AH theo công thức: AH  HB.HC (hệ thức 2) AH  7, 2.12,8  92,16  AH = 9,6 (cm) 2 Diện tích ABC S  BCAH   20.9,6  96 (cm2) Bài 2: Cho tam giác vng với cạnh góc vng có độ dài cm cm , kẻ đường cao ứng với cạnh huyền Hãy tính đường cao đoạn thẳng mà chia cạnh huyền Hướng dẫn giải Giả sử tam giác ABC có cạnh góc vng AB = 3cm, AC = 4cm, AH đường cao Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABC: BC  AB  AC  32   25  BC  cm A Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: BA2 32 BA  BH BC  BH   BH   BH  (cm) 5 BC 42 16 CA2 (cm) CA  CH CB  CH   CH   CH  5 CB B H C 16 12 AH  HB.HC  AH   AH  (cm) 5 (Có thể tính đường cao AH công thức Bài 3: 1   ) 2 AH AB AC Cho tam giác ABC cân A Các tia phân giác góc A góc B cắt O Biết OA  cm, OB = 2cm, tính độ dài AB Hướng dẫn giải Qua A vẽ đường thẳng vng góc với AB cắt tia BO D B   90    90 Ta có D AOD  B  B  nên  mà B AOD  D Do AOD cân A Suy AD  AO  (cm) Vẽ AH  OD HO = HD Trang | Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Ta đặt HO  HD  x BD  x  Xét ABD vuông A, đường cao AH, ta có AD  BD.HD Suy (2 3)2  x(2 x  2) Từ ta phương trình: x  x – 12   (x – 2)(x + 3) =  x = x = 3 Giá trị x = chọn, giá trị x = 3 bị loại Do BD     (cm) Suy AB   (2 3)2  24  (cm) Vận dụng hệ thức 2: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết diện tích tam giác ABH ACH 54cm2 96cm2 Tính độ dài BC Hướng dẫn giải Ta có S ABH  AHBH  54 Suy AH BH  108 SACH  (1) AH.CH  96 Suy AH CH  192 (2) Từ (1) (2) ta được: AH BH CH  108.192 Mặt khác AH  BH CH (hệ thức 2) Suy AH  124  AH = 12 (cm) Ta có S ABC  54  96  150 (cm2) mà S ABC  BCAH nên BCAH  150 Suy BC  150.2  25 (cm) 12 Bài 2:   900 Hai đường chéo vng góc với Cho hình thang ABCD, A  D O Biết OB = 5,4cm; OD = 15cm a) Tính diện tích hình thang; b) Qua O vẽ đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD BC M N Tính độ dài MN Trang | Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Hướng dẫn giải * Tìm cách giải Đã biết đường chéo BD nên cần tìm đường chéo AC tính diện tích hình thang Muốn phải tính OA OC * Trình bày lời giải a)  Xét ABD vuông A có AO  BD nên OA2  OB.OD (hệ thức 2) Do OA2  5, 4.15  81  OA = (cm)  Xét ACD vuông D có OD  AC nên OD  OA.OC (hệ thức 2)  OC  OD 152   25 (cm) OA Do AC  25   34 (cm); BD  5,  15  20, (cm) Diện tích hình thang ABCD là: S  b) Xét ADC có OM // CD nên ACBD 34.20,   346,8 (cm2) 2 OM AO  (hệ định lí Ta-lét) (1) CD AC Xét BDC có ON // CD nên ON BN  (hệ định lí Ta-lét) CD BC (2) Xét ABC có ON // AB nên AO BN  (định lí Ta-lét) AC BC (3) Từ (1), (2), (3) suy OM ON  CD CD Do OM = ON Xét AOD vuông O, OM  AD nên Do 1    OM  7, (cm) OM 15 Suy MN  7, 7.2  15, (cm) 1   (hệ thức 4) 2 OM OA OD Trang | Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Vận dụng hệ thức 4: Bài 1: Cho hình vuông ABCD cạnh Gọi M điểm nằm B C Tia AM cắt đường thẳng CD N Tính giá trị biểu thức P  1  AM AN Hướng dẫn giải * Tìm cách giải Biểu thức 1 1  gợi ý cho ta vận dụng hệ thức (4)   để giải Muốn 2 AM AN h b c phải tạo tam giác vng có cạnh góc vng AM, AN * Trình bày lời giải Qua A vẽ đường thẳng vng góc với AM cắt đường thẳng CD E  B   90 AD = AB;   )  (cùng phụ với DAM ADE ABM có D A1  A Do ADE  ABM  g c.g  Suy AE = AM Xét AEN vng A có AD  EN nên Mặt khác AE  AM ; AD  nên Bài 2: : AM  1   2 AE AN AD AN 1 Cho tam giác ABC cân A có đường cao AH BK Chứng minh 1   2 BK BC AH Hướng dẫn giải * Tìm cách giải: Để chứng minh đẳng thức người ta thường nghĩ đến hệ thức lượng tam giác vuông “ Hệ thức 1   ’’ Một thủ thuật để nhận tam h b c giác vng có đường cao ứng với cạnh huyền vẽ đường phụ để tạo tam giác vuông B có đường cao BK, cạnh góc vng BC Khi ta nghĩ đường phụ cần vẽ cạnh góc vng lại Trang 10 | Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT * Trình bày lời giải Qua B kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt tia đối tia AC D Vì  ABC cân A nên đường cao AH đồng thời đường trung tuyến  BH = HC Xét  BCD có BH = HC (c/m trên) ; AH // BD (  BC ) D  CA = AD (t/c đường trung bình tam giác ) A Nên AH đường trung bình  BCD  AH = AH  BD  BD = 2AH (1) K B H C   900 ; BK  CD ( K  CD ) Xét  BCD có DBC  1   (2) 2 BK BC BD Từ (1) (2)  1   (đpcm) 2 BK BC AH Vận dụng nhiều hệ thức Bài 1: Cho hình thang ABCD, Aˆ  Dˆ  90  hai đường chéo vng góc với O Cho biết AD = 12cm; CD = 16cm Tính độ dài OA, OB, OC, OD Hướng dẫn giải ADC vuông D, theo định lí Py-ta-go ta có: AC  AD  DC  12  16  400 Suy AC = 20 (cm) ADC vuông D, DO đường cao nên AD.DC  AC.DO (hệ thức 3) Suy OD  ADDC 12.16   9,6 (cm) AC 20 Trang 218 | Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Ta có CH = OO' = 24cm; O'H = OC = 10cm; BH = O'B – O'H = 7cm Suy BC  242   25(cm) Diện tích xung quanh xơ là: S xq   ( R1  R2 )l   17  10  25  675 (cm2) Diện tích đáy xô là: Sđáy   102  100 (cm2) Vậy diện tích tơn để làm xơ là: 675  100  775 (cm2) Bài 10: Một hình nón có diện tích đáy 144 cm2 diện tích tồn phần 588 cm2 Tính thể tích hình nón Hướng dẫn giải Gọi R bán kính đáy hình nón l đường sinh Ta có  R  144  R = 12(cm) Diện tích xung quanh hình nón là: S xq  588 –144  444 (cm2) Suy Rl = 444   444  37(cm)  12 Chiều cao hình nón là: SO  37  122  35(cm) 3 Thể tích hình nón là: V   R h   122.35  1680 (cm3) Bài 11: Một cốc hình nón đựng rượu đến chiều cao cốc Biết thể tích rượu cốc 2cm3 Tính thể tích cốc Hướng dẫn giải Phần rượu cốc có dạng hình nón Gọi r bán kính đáy phần rượu hình nón cốc Suy bán kính miệng cốc 3r (do định lí Ta-lét) Thể tích phần rượu cốc là: V1   r h FB: Toán Họa 0986 915 960 Trang 219 | Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT 3 Thể tích cốc là: V2   (3r)2  (3h)   27r h 1 V2  (3r) (3h)  .27r h 3 r h V1  Do Suy  V2 = 54 (cm3)   V2 V2 27  27r h 27 Vậy thể tích cốc 54cm3 Bài 12: Cắt hình nón cụt mặt phẳng chứa trục ta hình thang cân có góc đáy 45o độ dài đáy lớn gấp đôi độ dài đáy nhỏ Biết diện tích mặt cắt 27cm2 Tính thể tích hình nón cụt Hướng dẫn giải Gọi mặt cắt chứa trục hình thang cân ABCD Đặt O'B = a OC = 2a Vẽ BH  OC ta OH = O'B = a HC = a Tam giác HBC vuông cân nên BH = HC = a BC  a Diện tích hình thang cân ABCD là: S  ( AB  CD) BH (2a  4a)  a   3a 2 Theo đề ta có: 3a2 = 27  a = 3(cm) Thể tích hình nón cụt là: 1 7 V   h R12  R 22  R1R    a a  4a  2a   a   33  63 cm3 3 3  Bài 13:      Một đống cát hình nón có chu vi đáy 12,56m Người ta dùng xe cải tiến để chở đống cát 10 chuyến hết Biết chuyến chở 250dm3 Tính chiều cao đống cát (làm tròn đến dm) Hướng dẫn giải FB: Tốn Họa 0986 915 960 Trang 220 | Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Gọi R bán kính đáy đống cát h chiều cao đống cát Vì chu vi đáy đống cát 12,56m nên 2 R  12,56  R  12,56  2, 0(m) 2 Thể tích đống cát là: V = 25020 = 5000 (dm3) = (m3) Ta có V   R h  h  Bài 14: 3V 3.5   1, 2(m) R  Một chao đèn có dạng mặt xung quanh hình nón cụt Các bán kính đáy R1 = 5cm; R2 = 13cm Biết diện tích xung quanh chao đèn 306 cm2 Tính chiều cao chao đèn Hướng dẫn giải Gọi mặt cắt chứa trục chao đèn hình thang cân ABCD Chiều cao OO' = h đường sinh BC = l Vì diện tích xung quanh chao đèn 306 cm2 nên ta có  ( R1  R2 ).l  306     13 l  306  l = 17(cm) Trong mặt phẳng ABCD ta vẽ BH  CD Ta có BH = OO' = h; OH = O'B = R1, HC = R2 – R1 = 8cm Xét BHC vng C, ta có BH  BC2  HC2  17  82  15 (cm) Vậy chiều cao chao đèn 15cm Bài 15: Một hình nón có mặt cắt chứa trục tam giác Chứng minh diện tích xung quanh hai lần diện tích đáy Hướng dẫn giải Gọi bán kính đáy hình nón R đường sinh hình nón l Vì mặt cắt chứa trục tam giác ABC nên AB = BC = CA suy l  2R Ta có Sđáy   R (1) S xq   Rl   R.2 R  2 R (2) FB: Toán Họa 0986 915 960 Trang 221 | Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Từ (1) (2) suy S xq  Sđáy  HÌNH CẦU  Lý thuyết Hình cầu  Khi quay nửa hình tròn (O; R) vòng quanh đường kính AB cố định hình cầu tâm O, bán kính R  Nửa đường tròn quay tạo nên mặt cầu Cắt hình cầu  Khi cắt hình cầu mặt phẳng mặt cắt hình tròn;  Khi cắt mặt cầu bán kính R mặt phẳng ta đường tròn: - Có bán kính R (gọi đường kính lớn) mặt cắt qua tâm; - Có bán kính nhỏ R mặt cắt không qua tâm Diện tích mặt cầu S  4 R hay S   d (R bán kính; d đường kính mặt cầu) Thể tích hình cầu V   R3 FB: Toán Họa 0986 915 960 Trang 222 | Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT  Bài tập Bài Hai hình cầu có hiệu bán kính 3cm hiệu thể tích 1332 cm3 Tính hiệu diện tích hai mặt cầu Hướng dẫn giải * Tìm hướng giải Để tính hiệu diện tích hai mặt cầu ta cần biết bán kính hai mặt cầu * Trình bày lời giải Gọi bán kính hình cầu lớn R bán kính hình cầu nhỏ r Ta có R – r  hay R  r  4 Thể tích hình cầu lớn là: V1   R Thể tích hình cầu nhỏ là: V2   r Vì V1 – V2  1332 (cm3) nên  R  r  1332  R3  r  999   Do  r  3 – r  999  r  3r – 108  Giải r1  –12 (loại); r2  (chọn) Vậy bán kính hình cầu nhỏ 9cm Bán kính hình cầu lớn 12cm Diện tích mặt cầu lớn là: S1  4 R  4. 122  576 (cm2) Diện tích mặt cầu nhỏ là: S2  4 r  4. 92  324 (cm2) Hiệu diện tích hai mặt cầu là: S  S1 – S2  576 – 324  252 (cm2) Bài Một hình cầu nội tiếp hình nón bán kính đáy 6cm đường sinh 10cm Chứng minh diện tích đáy hình nón diện tích mặt cầu Hướng dẫn giải Vì hình cầu nội tiếp hình nón nên OH  BC, OD  AB Ta có AH  AB  BH  102   8(cm) Gọi bán kính đáy hình nón R, bán kính hình cầu r Ta có BH = BD = R = 6cm; OH = OD = r AD = AB – BD = 10 – = 4cm FB: Toán Họa 0986 915 960 Trang 223 | AOD ABH Do Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT  g g   OD AD  BH AH r r   r  3(cm)   r  3(cm) 8 Diện tích đáy hình nón là: S1   R   62  36 (cm2) Diện tích mặt cầu là: S2  4 r  4. 32  36 (cm2) Vậy diện tích đáy hình nón diện tích mặt cầu Bài Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn đường kính AD Gọi H giao điểm AD BC Quay hình vẽ vòng quanh đường kính AD cố định ta hai hình nón nội tiếp hình cầu Biết AH = 24cm; DH = 6cm, tính: a) Thể tích hình cầu tạo thành; b) Thể tích hình nón đỉnh A đáy hình tròn đường kính BC Hướng dẫn giải a) Tam giác ABC cân A, AD đường kính nên AD  BC Ta có  ABD  90 (vì AD đường kính) Xét ABD vng B ta có: BH  HA.HD  24.6  144 Suy BH = 12(cm) Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC R   24   :  15  cm  4 Thể tích hình cầu tạo thành là: V1   R   153  4500  cm3  3 b) Thể tích hình nón đỉnh A là: V2   r h   122.24  1152  cm3  Bài Cho hình cầu nội tiếp hình trụ Chứng minh rằng: a) Thể tích hình cầu thể tích hình trụ; b) Diện tích mặt cầu diện tích tồn phần hình trụ Hướng dẫn giải * Tìm hướng giải FB: Tốn Họa 0986 915 960 Trang 224 | Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Cần tìm mối quan hệ bán kính hình cầu với bán kính đáy hình trụ chiều cao hình trụ * Trình bày lời giải Gọi bán kính hình cầu R bán kính đáy hình trụ R chiều cao hình trụ 2R a) Thể tích hình cầu là: V1   R Thể tích hình trụ là: V2   R h  2 R3  R3 V1 Ta có   V2 2 R 3 b) Diện tích mặt cầu là: S1  4 R Diện tích hình trụ là: S2  2 R  h  R   2 R  R  R   6 R3 Ta có Bài S1 4 R 2   S2 6 R Cho đoạn thẳng AB = 24cm Lấy điểm C nằm A B Vẽ phía AB ba nửa đường tròn đường kính AB, AC BC Quay tồn hình vẽ vòng quanh đường kính AB cố định ta ba hình cầu Tìm thể tích lớn phần khơng gian giới hạn ba hình cầu Hướng dẫn giải * Tìm hướng giải Cần tìm mối quan hệ bán kính ba nửa hình tròn, từ tìm quan hệ thể tích ba hình cầu * Trình bày lời giải Đặt AC= 2x BC = 24 – 2x Bán kính nửa đường tròn đường kính AB 12cm Bán kính nửa đường tròn đường kính AC x Bán kính nửa đường tròn đường kính BC 12 – x Thể tích ba hình cầu đường kính AB, AC BC là: FB: Tốn Họa 0986 915 960 Trang 225 | Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT 4  123 ;  x3  (12  x)3 3 Thể tích phần khơng gian giới hạn ba hình cầu là: V  2304    x  (12  x)3   2304   x  1728  432x  36x  x  2304  48 x  12x  48     Vmax   x – 12 x  48    x –   12  x = Khi max V  1728 cm3 AC = 12cm hay C trung điểm AB Bài 6: Cắt hình cầu tâm O mặt phẳng ta hình tròn tâm K, đường kính AB Biết OK = 9cm diện tích hình tròn tâm K 16% diện tích mặt cầu Tính diện tích mặt cầu Hướng dẫn giải Xét AOB cân O có KA = KB nên OK  AB Gọi R bán kính hình cầu, r bán kính hình tròn (K) Xét KOA vng K ta có: r  R – OK  R – 81 Diện tích hình tròn (K) là: S1   r   ( R – 81) Diện tích mặt cầu là: S2  4 R Vì S1 =16%S2 nên   R  81  16 4 R 100 Thu gọn phương trình ta 36 R  8100 Suy R  225 Do diện tích mặt cầu S  4 R  900 (cm2) Bài 7: Người ta cắt địa cầu cũ mặt phẳng theo vĩ tuyến phần có dạng hình chảo, đường kính miệng chảo 24cm độ sâu chảo 8cm Tính diện tích bề mặt địa cầu Hướng dẫn giải Mặt cắt qua tâm hình tròn tâm O với AB đường kính miệng chảo Vẽ bán kính OC  AB K Ta có KA  KB  24 :  12 (cm) Gọi R bán kính địa cầu FB: Toán Họa 0986 915 960 Trang 226 | Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Xét KOA vng K ta có: OA2  OK  AK  R   R –   122  R  R – 16 R  64  144  16R = 208  R = 13 (cm) Diện tích bề mặt địa cầu là: S  4 R  4. 132  676 (cm2) Bài 8: Một hình cầu nội tiếp hình lập phương cạnh 12cm Tính thể tích phần khơng gian bên ngồi hình cầu bên hình lập phương Hướng dẫn giải Vì độ dài cạnh hình lập phương 12cm nên bán kính hình cầu nội tiếp 6cm Thể tích hình lập phương là: V1  123  1728 (cm3) Thể tích hình cầu là: V2   63  288 (cm3) Thể tích phần khơng gian bên ngồi hình cầu bên hình lập phương là: V  V1 – V2  1728  288  824 (cm3) Nhận xét: Ta có V1 288    V2 1728 Tổng quát, ta chứng minh hình cầu nội tiếp hình lập  phương tỉ số thể tích chúng Bài 9: Một hình cầu có bán kính bán kính đáy hình nón Biết đường sinh hình nón 12cm diện tích xung quanh hình nón diện tích mặt cầu Tính thể tích hình cầu Hướng dẫn giải Gọi bán kính hình cầu bán kính đáy hình nón R Diện tích xung quanh hình nón là:  Rl  12 R Diện tích mặt cầu là: 4 R FB: Tốn Họa 0986 915 960 Trang 227 | Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Vì diện tích xung quanh hình nón diện tích mặt cầu nên: 12 R  4 R  R = (cm) 4 Thể tích hình cầu là: V   R    33  36 (cm3) Bài 10: Một hình cầu nội tiếp hình trụ Biết diện tích tồn phần hình trụ 384 cm2 Tính thể tích hình cầu Hướng dẫn giải Gọi bán kính hình cầu R bán kính đáy hình trụ R chiều cao hình trụ 2R Vì diện tích tồn phần hình trụ 384 cm2 nên ta có: 2 R  R  R   384  6 R  384  R = (cm) 4 Thể tích hình cầu là: V   R   83  Bài 11: 2048 (cm3) Một thuyền thúng có dạng nửa hình cầu, có khối lượng 45kg, người chèo thuyền khối lượng 65kg Biết đường kính thuyền 1,2m thuyền có thêm 2,4 tạ cá, hỏi nước có ngập đến mép thuyền không? Biết khối lượng riêng nước kg/dm3 Hướng dẫn giải Bán kính thuyền thúng là: 1,2 : = 0,6 (m) = (dm) 4 Thể tích thuyền là: V    R     63  144 (dm3)  425dm3 Tổng Khối lượng thuyền, người cá : 45 + 65 + 240 = 350 (kg) Khối lượng riêng thuyền : 350 : 452 = 0,8 (kg/dm3) Khối lượng riêng nước : kg/dm3 Vậy khối lượng riêng thuyền nhỏ khối lượng riêng nước nên nước không ngập đến mép thuyền Nhận xét: Học sinh cần ghi nhớ công thức d  m ( m hối lượng riêng, m khối lượng, V V thể tích) FB: Tốn Họa 0986 915 960 Trang 228 | Bài 12: Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Cho hình cầu tâm O, bán kính OA  10 cm Cắt mặt cầu mặt phẳng vng góc với OA trung điểm M OA ta đường tròn Tính độ dài đường tròn Hướng dẫn giải Xét OBC có OB = OC OM  BC nên MB = MC Ta có: MC  OC  OM  (10 3)2  (5 3)2  225 Suy MC = 15(cm) Độ dài đường tròn (M) là: 2.15 = 30 (cm) Bài 13: Một bình thuỷ tinh hình trụ chứa nước Trong bình có vật rắn hình cầu ngập hồn tồn nước Khi người ta lấy vật rắn khỏi bình mực nước bình giảm 48,6mm Biết đường kính bên đáy bình 50mm, tính bán kính vật hình cầu Hướng dẫn giải Gọi r bán kính vật hình cầu Thể tích vật hình cầu là: V1   r Thể tích khối nước rút xuống là: V2   502.48,  121500 (mm3) Ta có phương trình:  r  121500  r  91125 Do r  91125  45 (mm) Bài 14: Vĩ độ Thanh Hố 20o Bắc Tính độ dài vĩ tuyến qua Thanh Hố biết bán kính Trái Đất 6370km Hướng dẫn giải Gọi R bán kính Trái Đất, gọi r bán kính r bán kính vĩ tuyến 20o qua Thanh Hố  Ta có HBO AOB  20 Xét HBO vng H có: r  HB  OB cos 20 o  Rcos 20 o Do độ dài vĩ tuyến 20o là: FB: Toán Họa 0986 915 960 Trang 229 | Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT 2 r  2 Rcos 20 o  2 6370.cos 20 o  37590 (km) Bài 15: Một hình cầu có số đo thể tích (tính m3) số đo diện tích mặt cầu (tính m2) Tính độ dài đường tròn lớn Hướng dẫn giải Gọi bán kính hình cầu R Vì số đo thể tích số đo diện tích mặt cầu nên ta có:  R  4 R  R = (m) Độ dài đường tròn lớn là: C  2 R  2  6 (m)  BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Tính diện tích tồn phần hình nón có chiều cao h = 16 cm bán kính đường tròn đáy r = 12cm Hướng dẫn giải Độ dài đường sinh hình nón: l  h  r  16  12  400  20(cm) Diện tích tồn phần hình nón: STp   rl   r   12.20   122  384 (cm2 )  = 900 ); AB = cm; AC = cm Quay tam giác vuông Bài 2: Cho tam giác vuông ABC ( A ABC vòng xung quanh cạnh AB cố định Tính thể tích hình nón tạo thành? Hướng dẫn giải Theo cơng thức tính thể tích hình nón V = FB: Toán Họa R h 0986 915 960 Trang 230 | Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Trong đó: R = (cm) ; h = (cm) Vậy: V   R h   32.4  12 (cm3) Bài 3: Một hình trụ tích 20dm3, chiều cao 5dm Tính diện tích xung quanh hình trụ Hướng dẫn giải Hình trụ tích V =20 dm3, chiều cao h= 5dm nên ta có: V= r2.h = 20 hay r2.5 = 20 => r2=4 => r = Do đó:Sxq= 2.rh=2.2.5=20 (dm2) Vậy diện tích xung quanh hình trụ 20 (dm2) Bài 4: Một hình trụ có chiều cao đường kính đáy, Nếu bán kính đáy cm Hỏi diện tích xung quanh hình trụ cm2 ? Hướng dẫn giải Ta có R = cm mà h = d = 12 cm Khi S xq  2 Rh  2 6.12  144 (cm ) Bài 5: Một hình trụ có diện tích xung quanh 40m2 chiều cao hình trụ 5m Thể tích hình trụ bao nhiêu? Hướng dẫn giải Bán kính hình trụ là: Ta có S xq  2 Rh  40  2 R.5  R   80 4 Thể tích hình trụ là: V   R h      (m3 )    Bài 6: Cho ΔABC vuông A Cạnh AB = cm; AC= cm Quay ΔABC vòng quanh cạnh AC Vẽ hình, tính diện tích xung quanh thể tích hình sinh ra? Hướng dẫn giải FB: Toán Họa 0986 915 960 Trang 231 | Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Vẽ hình: Hình sinh hình nón Tính BC = cm Tính S xq   rl   3.5  15  47,1 (cm ) Tính V   32.4  12  37,68 ( cm3 ) ) Bài 7: Tính diện tích tồn phần hình nón có chiều cao h = 16 cm bán kính đường tròn đáy r = 12cm ? Hướng dẫn giải Độ dài đường sinh hình nón: l  h  r  16  12  400  20(cm) Diện tích tồn phần hình nón:  STp   rl   r   12.20   122  384 cm  Bài 8: Cho hình nón có đỉnh S, đường kính 2R chiều cao SH = R Tích thể tích hình nón Hướng dẫn giải Theo đề chiều cao hình nón SH = R , đường kính 2R  bán kính đáy R Thể tích hình nón V=  r2  R h  =  R R = 3 Bài 9: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm, BC = 5cm Quay hình chữ nhật vòng quanh cạnh AB hình trụ Tính thể tích hình trụ Hướng dẫn giải Hình trụ nhận có bán kính đáy BC = 5(cm), chiều cao AB = (cm) Thể tích hình trụ : V   AB.BC  100 cm3 Bài 10: Một hình cầu tích 972 cm3 Tính diện diện tích mặt cầu đó? FB: Tốn Họa 0986 915 960 Trang 232 | Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT Hướng dẫn giải  R  972  R  9cm Diện tích mặt cầu là: S  4 R  324 cm2 Bán kính mặt cầu là: Chúc em học sinh ôn tập tốt! FB: Toán Họa 0986 915 960 ... KHÁ Chủ đề Trang | Chủ đề hình học ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG A HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG  HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG... trị hình học 154 Sử dụng quan hệ đường vng góc, đường xiên, hình chiếu 154 Sử dụng quan hệ đường thẳng đường gấp khúc 1 58 Trang | Chủ đề hình học ơn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT. .. 87 B CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ 88 Tính chất trung điểm đoạn thẳng 88 Đường trung bình 88 Định lý Talet: 89 Trang | Chủ đề hình học ôn thi tuyển