Tổng hợp các câu hỏi ôn tập HKII môn Toán lớp 11 (Có giải chi tiết)

http://www.baitap123.com/ Bài https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/ Tính giới hạn sau:  x  10 x   a) lim   x 3  x  5x    x  10 x   lim    lim x 3  x  x   x 3  1 1    x  3  x   3 x   3 3   lim  8 x   x  3 x    x  2 b) lim x   x  x  x   (2 x  1)   x  x  3    8x    lim  lim x   x  x   lim   x  x    x  x   x  x   x   x  x    8 x  lim 2 x  2  4  x x x Tính giới hạn sau:  Bài   x 5  x  3x   b) lim  x2  5x  x 3 x 3 x   x  3x  x  x  3x x  x = lim =0 (3  x)( x  2) x 3 x2  lim c) lim   x  5 x   x 5 4x   5  lim = lim = x 5 x   25 4 x   x 5 a) lim Bài  x3  x   x 5  1  )   1  x x x x x x  lim x  4 8 x(    5)  5 x x x x3 x(2   lim x   1 Tính giới hạn sau: a) lim x    x  x   x  lim x  x 1 x  x   3x  lim x  1 x  1 9  3 x x 1  x  2  x2  2x  4 x2  2x  x3   lim  4  lim b) lim x 2 x  x  x 2 x 2 x 1  x   x  1 Bài Tính giới hạn sau:  x  1  3x  x  3 3x3  x  x  3 x  x  1  lim  lim  a) lim x 1 x 1 x 1 3x  x  3x   3x  1 x  1 Đề cương ơn tập HKII Tốn 11 Page | http://www.baitap123.com/ https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/  x  3 x  1 x  2x  x   2x  lim  lim 2 x 3 x  3x  x  x  x   x x 3 x  x   x   x b) lim x 3  lim  x 1 x x   2x x 3 Bài       Tính giới hạn sau: a) lim  x  1 x    lim  x  1  x  3x   lim x   x   x   x2  x   x 4 b) lim x  2x  x2  2x  x 1  lim  lim  x 3 ( x  3)( x  x  3) x 3 x  x  x3 x2 x 3     x 1    1     x  2x 1  x  x x   x c) lim   lim     xlim x  x  x   x   3  4   x 2   2   x x  x x    d) lim x     x  3x  x  lim    x     2x    lim  x  x  x    x  3x 2 x   Bài 3 4   2 x   Tính giới hạn sau: 3 3x  x   lim a) lim x   x x   5 x  x  1 x  3 2x  x  4x2  x   lim  lim 2 x 1 x 1 x 1  x  1 x  x  x1  x  1 x  1 x  x  b) lim  lim x 1  4x   x  1  x  c) lim x 2 x3    x2  ( x  2)( x  2) x2  lim  lim 4 x  x  x  3x  ( x  2)( x  1) x 1 x  ( x  x  x  2)( x  x  x  2) x  x2  x  x  x2  x2  x   lim x2 x  x  x  x x  x  x  2 2 x(1  ) x(1  ) (1  ) x x x  lim  lim  lim  x  x  2 x 2 x | x |   x(1    ) (1    ) x x x x x x Tính giới hạn sau: x  Bài  d) lim ( x  x  x  2)  lim  lim  Đề cương ơn tập HKII Tốn 11 Page | http://www.baitap123.com/ a) lim x https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/ x  5x  x 1 x4  8x2  x3  x  x  (3 x  1)(2 x  x  1) 2x2  x   lim  lim  3 1 x  8x  x x  (3 x  1)(3 x  x  x  1) x 3x  x  3x  lim 3 b) lim x   Bài    x  3x   x   1 x  x   x   lim  x   x  3x   3x  2     3x   lim   1 x      x    3x  x x     3   x   lim  1  x      9  3  x x   Tính giới hạn sau: a) lim x  3x  ( x  1)( x  2) x 1  lim  lim  x  ( x  2)( x  2) x 2 x  x 4 b) lim  x 2 x   x  x  x  x  lim 2  lim x  Bài 1 1  1 x x Tính giới hạn sau: x  x2  x  x2  x x x x x 2 2x  lim x  x 1 1  x 1 x x  x3  a) lim  12 x  x  x  3x  3 x  x  x  Tính giới hạn sau: b) lim Bài 10  x  1 x    lim x   x  3x   lim x 1 x  x  x 1 x  x  x     x1 x  3x  a) lim b) lim x  Bài 11   x  x   x  lim x  4 x  x  x   3x  lim x  x  9  3 x x 4  Tính giới hạn sau: x  x  20 ( x  4)( x  5) x4 a) lim  lim  lim  x 5 x  x  x x  5x x( x  5)  ( lim b) lim x   x  lim x  x  x  x2   x   Đề cương ôn tập HKII Toán 11   x   x   ) Page | http://www.baitap123.com/ Bài 12 https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/ 5 x  c) lim x2 x   lim  5 x    4  x 2  x  8   xlim   2   x   x   x   5 x  Nên: lim   x2 x  3 x  d) lim x2 x   lim  3x     x 2  lim  x    Do  x 2  x  2  x   x   3 x  Vậy: lim   x2 x  Tính giới hạn sau:   1 1 x  1  1   1  1  x x x x x x x  x   x 1  lim   lim  1 x  x  1 1 2x 1   x2   2  x x   a) lim x   x  2 1 x2 2  lim   lim x2 x  2 x  x  10  x   x  5 x   x2  x  5 x   36 b) lim Bài 13     Tính giới hạn sau: x3  x  x2  x   lim  1 x 1 x  x  x 1 x2 a) lim  x  5   x  x  8 2x   2x2  x   lim b) lim x 1 x 1 x  3x   x  3x   x   x  x    lim x 1 Bài 14 x  17  x  2  2x   2x2  x     Tính giới hạn sau: a) lim  x  3 x   = lim x    x  x  12 = lim x 3  x   x   x 3 x  x 9 b) lim x 1 x 1 1  lim  lim  x  x  x  3x   x  1 x   x    x  2 x 1  c) lim  x 3 x2 x    x  x   x  lim Đề cương ôn tập HKII Toán 11 x  x 1 x  x 1  x     Page | http://www.baitap123.com/ Bài 15 https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/ Tính giới hạn sau: ( x  2)( x  2)  x2  x  4  lim a) lim  lim  2 x  ( x  2)(2 x  6) x  2 x  10 x  12 x2 x  2   b) lim x   x  x   lim x   (2 x   x  x  3)(2 x   x  x  3) x   x2  x  x   16 x  x  lim  lim  4 x   x   2x   4x  4x  2  4  x x x Tính giới hạn sau: 16  Bài 16   2x 1  x2     x x  2x 1 4x  x   lim  lim x  x  10   x  x  x  10   3x  x     x x    1  1 5 x2   4        x x x  x x x 8 x x   lim  lim  lim x  10 10 x   1 10  x  3 9   3x  x   x 3 9   x x x x x x x  x Tính giới hạn sau:  x   x    lim x    x2  2x  a) lim  lim x 2 x  x  x  x 2 x  x  x     x2 3x  x  19 x   3x  Bài 17 b) lim x    x  x   x   lim x  x2  x    x  2 x2  x    x  2 5x  x  lim  lim  x  x  1 x  x    x  2  1  1 x x x Bài 18 Tính giới hạn sau: 5 3x  x  10 x 2 x  x  18 a) lim b) lim x 2 x  1 x2  3x   x    lim 3x   11 x  x  10  lim x  x  x  18 x   x   ( x  2) x2 x  17 a) lim b) lim x 2 x  1 x2 1  lim  lim  x 2 x2  x   x   x2 x     Bài 19 Tính giới hạn sau: 2x  x  x  a) lim Đề cương ơn tập HKII Tốn 11 x3  x  x  x 1 x2 1 b) lim Page | http://www.baitap123.com/ https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/ 3  x2   2 2x  x x   lim   lim a) lim x  x  x  x   1 1 x 1   x  x  x  1  x  3x  1 x3  x  x  x  3x   lim  lim  1 x 1 x 1 x 1 x2 1 x 1  x  1 x  1 b) lim Bài 20 Tính giới hạn sau: a) lim x2 x  x  10 x  x2 b) lim x  x  x x3 2x   x    x  3x   x3  x  10 x   lim  lim  x  x    a) lim x2 x  x2 x2 x2 x  3x  x x  3x b) lim  lim  lim x 3 x 3 2x   x   x  x  x x 3   x    x  3x  x  x  3x  x Bài 21 Tính giới hạn sau:  a) lim 3x   x2  x  a) lim 3x   3x    lim  lim  x 1 ( x  x  2)( x   2) x 1 ( x  2)( x   2) x  x2 b) lim  x 1 x 1 x  b) lim x   x  x  x  lim x  Bài 22 Tính giới hạn sau: 2x2  5x  a) lim x  x  x    c) lim   x3  x  3x   x    x  3x  x x  3x  x  lim x  3  4 2 x  4x b) lim x  d) lim x 8  1  x  3 x  6x 1 x 1  x 8 2  2 x2  5x  x x   lim a) lim x  x  x  x  3  x x  3  x      x  x      x  x  lim    b) lim x  x  x  6x 1 1  x x    5 c) lim   x3  x  3x    lim x3         x  x    x  x x Đề cương ơn tập HKII Tốn 11 Page | http://www.baitap123.com/ https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/ x 1  1  lim  x 8 x 8 x 8 x 1  Bài 23 Tính giới hạn sau: d) lim  x  x2 a) lim x 1 x 1  x 1  x2 d) lim x  x x 3  c) lim 2x3  5x  x  b) lim x   x 1   x  2 x  1  lim  x   3  x  x2 a) lim  lim   x 1 x 1 x 1 x 1  x  1 b) lim x 3 x 1  x3 1  lim  lim  x 3 9 x 24   x   x  x   x3  x  3 x         c) lim  2 x  x  1  lim x  2      x  x  x x   1 1  d) lim   x  x  x  1  lim x  1       x  x  x x x   Bài 24 Tính giới hạn sau: x3  3x  x  x 1 x  3x  a) lim b) lim x2 4x 1  x2  c) lim x2 x2 2 3x   x3  3x  x  ( x  1)(2 x  x  3) 4x    lim  lim  2 x 1 x  x  2 x  3x  ( x  1)(2 x  1) x2  a) lim b) lim x2 c) lim x2 4x 1  4( x  2)  lim  lim x2 x2 x 4 ( x  2)( x  2) x   ( x  2)    x   3 ( x  2)  3x   3  x   3  x2 2  lim  lim 3x   3( x  2)  x    3 x   2 x2  x2 Bài 25 Tính giới hạn sau:  x  x2 x 1 x 1  x 1 x 3  x2 a) lim b) lim   x  1 x    x  x2  lim  lim   x    3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 a) lim  x 1 3 x 1  lim  lim  x 3 x 3 9 x   x   x   x  x3   x   x  12 b) lim     Bài 26 Tính giới hạn sau: Đề cương ơn tập HKII Toán 11 Page | http://www.baitap123.com/ https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/ 2n  3n  n  2n  3x   25  x a) lim b) lim x 5 1  n3     2  2n  3n  n n   lim n n 2  lim  a) lim 2 n  2n    1  n3     n n  n n  b) lim x 5 3x   25  x  lim x5   3x     lim  x  5  25  x   3x    x5   x  55  x   3x    3x    lim x 5    x   3x     80 Bài 27 Tính giới hạn sau: n  4n  a) A  lim 2n  5n  b) B  lim x2 x7 3 x2  4  n  4n  n n3  a) A  lim  lim 2 n  5n  2  n n b) B  lim x2 1 x7 3 x79 1  lim  lim  x2 x 4  x   x   x   x2  x   x   24     Bài 28 Tính giới hạn sau:  x2  x   a) lim   x   x 2   x2  b) lim x  3x  x  x4  x2 1  x2  x2  x     x   x  3  a) lim   x   lim  x      lim  x   2x  2   x 2  x 2  x 2 x  x      3  2 3x  x  x x  lim  b) lim x  2 x 1 x  x 1  x 1  1 x x Bài 29 Tính giới hạn sau: x  3x  x 1  x  x a) lim x 6 x x2  x  3x  b) lim  x  1 x  1  lim x    x  3x   lim x 1  x  x x 1  x  1  x   x 1  x  a) lim Đề cương ôn tập HKII Toán 11 Page | http://www.baitap123.com/ https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/  x   x  3 x 6 x x  x6  lim  lim 2 x2  x  3x  x2   x  3x   x   x x2  x    x  1 x   x b) lim   lim x2 x3       x  1 x   x   Bài 30 Tính giới hạn sau:  x  3 x  x   x  5 x  82 x  x 3 x3  54 a) lim b) lim  x  3  x3  27 x  x  3 x  82 x  9 x  27 x  x  80 a) lim  lim  lim  x 3 x 3 x 3 x3  54 x  x  18  x  3  x  x  18 3      1  x  3 x   lim  x  x b) lim  2 x  x  5  x  5  2  x  Bài 31 Tính giới hạn sau: a) lim x 1 x  x2   cos x  sin x x 0 sin x x 1 1 x 0  x  b) lim c) lim Bài 32 Tính giới hạn sau: x3  3x  x  x 2 x3  x    b) lim x   x  x  a) lim x   Bài 33 Tính giới hạn sau: x3  3x  a) lim x 1 x2 1 b) lim x2 x 1 4x 1 x2 c) lim  x  2sin x cos x  a)  x  1  x  x   x3  3x  lim  lim  x 1 x 1 x2 1  x  1 x  1 b) lim x  x  2 x 1 4x 1 x2  2x   x  1  lim  lim  x2 x2  x   x   x  x2  x   x   x  c) lim  2sin x  2sin x  2sin x  2sin x 1  lim  lim  lim  lim  2 2     cos x  x   cos x  1  x  1  2sin x   x   4sin x x   2sin x 6 6 x2  x     Bài 34 Tính giới hạn sau: a) lim x 3 x3  x  3x  x4  8x2  b) lim x  x2   4x2  3 x Bài 35 Tính giới hạn sau: Đề cương ơn tập HKII Toán 11 Page | http://www.baitap123.com/ a) lim x2 https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/ x  3x  x  x3  x  b) lim x  9x2  x  x2  x x 1  x  3  x  x  3 x3  x  3x  x2  2x  a) lim  lim  lim  x 3 x 3 x  x4  8x2     x  x  x   x 3 x  x  x    1  1   x            x2 x2  x2 x2  x2   4x2    b) lim  lim  lim  1 x  x  x  3 x 3  1 x   1 x x  Bài 36 Tính giới hạn sau:  x2  2x  x 3 x3  a) lim 3x3  x  x  121 x  b) lim 2x  1 x2 c) lim x2 d) lim x 3  3x x 3 sin x  sin x x 0 sin x e) lim  121  3x3  x  x  121  lim x3        a) xlim  x  x x x    x  1 x  3  lim x   4 x2  x   lim b) lim   x 3 x 3 x 3 x3 x3  c) lim x2   x  2 2x  1  lim  lim 1 x  x  x2 2x  1  x  2 2x      3x   x 3 x  sin x  sin x cos 3x sin x  lim  lim  cos 3x cos x   e) lim x 0 x 0 x 0 sin x sin x Bài 37 Tính giới hạn sau: d) lim a) lim x 5 x 5 x a) lim x 5 b) lim x 2 x 5  x x2    lim x 2 x2 Đề cương ôn tập HKII Toán 11 b) lim x 2  x2    x  2   x2   x2      lim x 2 x2   x2 x2   x  2  x2     lim x 2 x2 x2   Page | 10  http://www.baitap123.com/ Theo đề ta có: x0   y0  4 https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/ k  y (2)  3.22  6.2   1 / => Phương trình tiếp tuyến () : d : y   x  b Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm () tiếp tuyến với đồ thị (C ) song song với đường thẳng d k  4  3.x02  6.x0   4  x0   y0  1 Ta có hệ số góc tiếp tuyến là: Phương trình tiếp tuyến M (1; 1) là: y  4 x  3 Bài Cho hàm số y  x – x  có đồ thị  C  a/ Viết phương trình tiếp tuyến (C) tai điểm có hồnh độ x0  ; b/ Viết phương trình tiếp tuyến  C  , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d  : y  – x  Hướng dẫn a/ Viết phương trình tiếp tuyến  C  tai điểm có hồnh độ x0  ; pttt: y – yo  y’  xo   x  xo  xo   yo  y’  3x  x  y’  xo   y’    pttt là: y  x – b/ Viết phương trình tiếp tuyến  C  , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d  : y  – x  Gọi k  y’  xo  hệ số góc tiếp tuyến  d  : y   x  có hệ số góc kd  1 tt / /  d   k  kd  1 Ta có: y’  xo   1  xo   xo  Với xo  1, pttt : y   x  ( loại) 85 Với xo  , pttty   x  ( nhận ) 27 Bài a) Viết phương trình tiếp tuyến  C  : y  f ( x )  x  điểm thuộc  C  có hồnh độ b) Viết phương trình tiếp tuyến  C ’ : y  f ( x)  4 x biết tiếp tuyến song song với đường 2x  thẳng (d ) : x  y   Hướng dẫn a) Viết phương trình tiếp tuyến  C  : y  f ( x )  x  điểm thuộc  C  có hồnh độ x0   y0  1  f (3)  2x  Đề cương ơn tập HKII Tốn 11 f ( x)  Page | 21 http://www.baitap123.com/ https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/ 1 Phương trình tiếp tuyến M  3;3 là: y  f ( x0 )( x  x0 )  y0  ( x  3)   x  3 b) Viết phương trình tiếp tuyến  C ’ : y  f ( x)  4 x biết tiếp tuyến song song với 2x  đường thẳng (d ) : x  y   * (d ) : y  9 x  9 (2 x  1) * Tiếp điểm M o ( xo ; yo ) , tt / /  d  : * f '( x)  f '( xo )  9  9  9 (2 xo  1)  x   y0    x0  1 y0  5 Phương trình tiếp tuyến M  0;  là: y  9 x   ( d ) (loại) Phương trình tiếp tuyến M  1; 5 là: y  9 x  14 Bài a) Viết phương trình tiếp tuyến  C  : y  f ( x )  x  điểm thuộc (C) có hồnh độ b) Viết phương trình tiếp tuyến  C ’ : y  f ( x)  3 x biết tiếp tuyến song song 2x  với đường thẳng (d ) : x  y   Hướng dẫn a) Viết phương trình tiếp tuyến  C  : y  f ( x )  x  điểm thuộc  C  có hồnh độ x0   y0  f ( x)  2  f (2)  4x 1 2 Phương trình tiếp tuyến M  2;3 là: y  f ( x0 )( x  x0 )  y0  ( x  2)   x  3 b) Viết phương trình tiếp tuyến  C ’ : y  f ( x)  3 x biết tiếp tuyến song song với 2x  đường thẳng (d ) : x  y   * (d ) : y  7 x  * f '( x)  7 (2 x  1) * Tiếp điểm M o ( xo ; yo ) , tt / /  d  : f '( xo )  7  7  7 (2 xo  1)  x0   y0   x0  1 y0  4  Đề cương ơn tập HKII Tốn 11 Page | 22 http://www.baitap123.com/ https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/ Phương trình tiếp tuyến M  0;3 là: y  7 x   (d ) (loại) Phương trình tiếp tuyến M  1; 4  là: y  7 x  11 Bài Chứng minh phương trình: x5  3x4  5x   có nghiệm Hướng dẫn * Xét hàm số f  x   x  3x  x  liên tục R * f (0) f (1)   phương trình có nghiệm x1  (0;1) * Tương tự ta có f (1) f (2)  0, f (2) f (3)  phương trình có nghiệm x2  (1;2) x3  (2;3) Vậy phương trình có nghiệm Bài Chứng minh phương trình: x5  3x   có nghiệm Hướng dẫn * Xét hàm số f  x   x  3x  liên tục R * f (2) f (1)   phương trình có nghiệm x1  (0;1) * f (1) f (0)  0, f (0) f (2)  Bài Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong  C  : y  x 3 , biết tiếp tuyến cắt x 1 trục Ox A cắt trục Oy B cho OA  4OB Hướng dẫn Giả sử tiếp tuyến cắt Ox A  a;0  ; Oy B  0; b  ab  OA  4OB  a  b  a  4b  hệ số góc tiếp tuyến: k   Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm k  x0   y0      x0  1  16    x0  1  x0  5  y0  Phương trình tiếp tuyến: y  13 x ;y  x 4 4 k    phương trình vơ nghiệm 4  x0  1 Bài Cho hàm số y 2x có đồ thị  C  , viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  x điểm thuộc  C  có hồnh độ 1 Hướng dẫn + Với x0  1  y0  3 + Ta có: y '   x  2  y ' 1  Suy pttt cần tìm là: y  x  Bài Cho hàm số y  x  3x  có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  x  Đề cương ơn tập HKII Tốn 11 Page | 23 http://www.baitap123.com/ https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/ y  x  3x  2; y '  x  y '  x0    x0    x   y  Tiếp điểm M  3;2  PTTT y  3( x  3)   y  3x  Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  đường thẳng  d  : x  y   x2 biết tiếp tuyến vng góc với x 1 Hướng dẫn d  : y   x 3 Gọi tọa độ tiếp điểm M  x0 ; y0  Vì tiếp tuyến vng góc với  d  nên y'  x0   y'  Vậy  x  1  x0  1   x0    x0  3 1 phương trình tiếp tuyến y  x  4 19 Với x0  3  y0  phương trình tiếp tuyến y  x  4 Bài 10 Với x0   y0  1) Cho hàm số y  f ( x)  2x3  6x  (1) a) Tính f '( 5) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) điểm Mo(0; 1) 2) Cho hàm số f ( x)  2x3  2x  (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y  22x  2015 Hướng dẫn 1) f ( x)  2x3  6x   f ( x)  6x2  a) f (5)  144 b) Tại điểm M o  0;1 ta có: f (0)  6  PTTT: y  6x  2) Tiếp tuyến song song với d : y  22x  2011  Tiếp tuyến có hệ số góc k  22  x  2 Ta có f ( x0 )  22  6x02   22  x02     x0   Với x0  2  y0  9  PTTT : y  22x  35  Với x0   y0  15  PTTT : y  22x  29  x  x2 có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  x 1 điểm M có tung độ Bài 11 Cho hàm số y  Đề cương ơn tập HKII Tốn 11 Page | 24 http://www.baitap123.com/ https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/ Hướng dẫn Gọi tiếp điểm M  x0 ;  Ta có  y '  x0  x02  x   y0   M1(2;4)  x0   x0   y0   M2 (3;4) x  2x  (x  1)2 Pttt M1 : y   x  Pttt M2 : y  x 2 Bài 12 Cho hàm số: y  f  x    x  x   C  a) Viết phương trình tiếp tuyến  C  điểm có hồnh độ 1 b) Viết phương trình tiếp tuyến   : y   C  biết tiếp tuyến vng gócvới đường thẳng 4 x  Hướng dẫn y  f  x    x  x   f ( x )  y  3x  x a) PTTT xo  1 + Gọi M  1;5 trung điểm +  f ( xo )  f ( 1)  9 => PTTT M  1;5 y  f ( xo )( x  xo )  yo  9( x  1)   9 x  4 x 3 trung điểm b) Tiếp tuyến     : y  + Gọi N  xo ; yo  13  xo   yo   1 + Ycbt  f ( xo )    3xo  xo     a  x   y  35 o  o 13 + PTTT N1 ( ; ) 13 y  f ( xo )( x  xo )  yo  ( x  )   x  35 + PTTT N2 ( ; ) 35 y  f ( xo )( x  xo )  yo  ( x  )   x  Bài Cho hàm số y  sin x Chứng minh y  y tan x  y   Lời giải Ta có y '  2sin x cos x  sin x y  2cos x  2cos2 x  2sin x Đề cương ôn tập HKII Toán 11 Page | 25 http://www.baitap123.com/ https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/ y  y tan x  y    2sin x  2sin x cos x sin x  2cos2 x  2sin x   cos x  2sin x  cos x     (đúng) Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x3  x2 , biết hệ số góc tiếp tuyến k 4 Lời giải  x0   y0  Ta có: f ( x0 )   x0  x0      x0  2  y0    27 + Phương trình tiếp tuyến A 1;1 y  x   68  + Phương trình tiếp tuyến A   ;   y  x  27  27  Bài x2 có đồ thị  C  x 1 Cho hàm số y  a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  C  điểm có hồnh độ b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  C  biết tiếp tuyến   d  : y  3x  2015 Lời giải a) Ta có x0   y0  y' 3  x  1  y '    3 Phương trình tiếp tuyến là: y  3 x  10 10 b) Phương trình tiếp tuyến là: y   x  ; y   x  3 3 Bài Cho hàm số y =  3x 1 2x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho, biết tiếp tuyến   d  : y  5x  13 Lời giải Ta có y  5  x  1 Tiếp tuyến   d  : y  5x  5 13   5  x0  1   x0  1  25  x0   x0  3 Bài + Với x0   y0  1  pttt y   x  5 13 + Với x0  3  y0  2  pttt y   x  5 Cho hàm số: y  x  x   C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  a) Tại điểm có hồnh độ Đề cương ơn tập HKII Toán 11 Page | 26 http://www.baitap123.com/ https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/ b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  d  : y  3 x  Lời giải a) Ta có x0   y0  2 y  x  10 x  f '  x0   7 Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y  7 x  b) Gọi M  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm  Vì TT song song d  k  3 x   y0  16 Giải phương trình: 3x  10x  3   x   y  40  27 +) PTTT: d1 : y  3 x   16  3x          40 67 +) PTTT: d2 : y  3  x     3x   27 27  Bài Cho hàm số y  f  x   x  x   C    Viết phương trình tiếp tuyến  C  điểm có hồnh độ Lời giải Ta có x0   y0  4; y   x   f  x0   Phương trình tiếp tuyến cần tìm:  y  x  x3  x  3x   C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  d  : y  x  2015 Bài Cho hàm số y  Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm Lời giải y  x0   x0  x0  Vì tiếp tuyến  d  : y  x  2015 nên : y  x0    x0  x0    x0  x0    x0   y0  10  10  Phương trình tiếp tuyến của(C) M  1;;  là: y  x   3 Bài Cho hàm số: y  x  x  x   C  Viết phương trình tiếp tuyến với  C  biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  d  :6 x  y  2015  Lời giải y  x  x  x   y  3x  x  Ta có x  y  2015   y  x  2015 Vì tiếp tuyến song song với  d  nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 2 Gọi ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp điểm  x0   3x  x0    3x  x0      x0    Đề cương ơn tập HKII Tốn 11 2 Page | 27 http://www.baitap123.com/ https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/  Với x0   y0  2  Pttt cần tìm y  x   230 10 230   Với x0    y0    y  6x   Pttt cần tìm y   x     27 27  Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  : y  x  x  biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  d  : y  x  Lời giải 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 − 6𝑥 d   Tiếp tuyến f '  x0    3x02  x0   x0  1  x0  +) Với x0  1  y0  2  Pttt cần tìm: y  x  +) Với x0   y0   Pttt cần tìm: y  x  25 Bài 10 Cho hàm số: y  x3  3x  Giải bất phương trình : y  y  x  a) Lời giải y  3x  x; y  x  y  y  x   x  x  x   x   3x  x     22  22 x 3 b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có tung độ y0  Lời giải Phương trình tiếp tuyến có dạng: y  y   x0  x  x0   y0 x   tiếp điểm A  0;  , B  3;  y0   x03  3x0    x02  x0  3     x0  y  3x  x  y    0, y   3  Tiếp tuyến A : y  Tiếp tuyến B : y  x  25 Cho hàm số y  Bài 11 x4 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song x 1 song đường thẳng d : y  3x  10 Lời giải Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm  x0  1 y'  x  1  Hệ số góc tiếp tuyến M là: y '  x0  Đề cương ơn tập HKII Tốn 11 Page | 28 http://www.baitap123.com/ https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/ Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  3x  10 nên y '  x0     x0  1  x0  3   x0  * Với x0   y0   M  0;  Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M là: y  x  * Với x0   y0  2  M  2; 2  Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M là: y  x  2x 1 có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  , biết tiếp tuyến 2x 1 song song với đường thẳng  d  : y  x  Bài 12 Cho hàm số y  Lời giải Gọi tiếp điểm viết dạng phương trình tiếp tuyến y '  x0   1  y0  ; x0    y0  2 y  x ; y  x 2 x0  Bài 13 Cho hàm số y  2x  có đồ thị  C  x2 1) Viết phương trình tiếp tuyến với  C  điểm có hồnh độ 2) Viết phương trình tiếp tuyến với  C  biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y  x  Lời giải Tung độ y0 tiếp điểm là: y0  ; Hệ số góc tiếp tuyến là: k  y '( )  8 5  Phương trình tiếp tuyến: y  8  x    hay y  8 x  26 2  1) x0  2) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y  x  nên hệ số góc tiếp tuyến : k    x0  2    ( x0  2)2    , ( x0 hoành độ tiếp điểm) ( x0  2)  x0  1 Tại x0  , y0  tiếp tuyến: y   ( x  4)   y   x  2 Tại x0  , y0  tiếp tuyến: y   x  Ta có f   x0   k  Bài 14 Cho hàm số: y  2x 1 (C ) x 1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  biết hệ số góc tiếp tuyến Đề cương ơn tập HKII Tốn 11 Page | 29 http://www.baitap123.com/ https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/ Lời giải y 2x 1 ' , y  x 1  x  1 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y  y   x0  x  x0   y0 Với  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm Ta có: y '  x0     x0  1  x0    x0      x0  1     x0   1  x0  2 x0  0; y0  1  y  3x  x0  2; y0   y  x  11 Bài 2x 1  4x biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : y  x  10 Bài giải: 2 y  1  x  Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  Gọi k hệ số góc tiếp tuyến tam giác cần tìm Vì   d nên x  1  k  2 Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm Ta có y  x0   k  2 1  x0   2  1  x0   x0    16 x  x0     x0   x0   y0  1  M  0; 1 Vậy phương trình tiếp tuyến với  C  y  2 x1 x0  Bài 1   y0   M  ;0  Vậy phương trình tiếp tuyến với  C  y  2 x  2  3x  C  x2 a) Viết phương trình tiếp tuyến  C  điểm có hồnh độ 1 Cho hàm số y  b) Viết phương trình tiếp tuyến  C  , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  d  : x  y   TXĐ: D  y  \ 2 Bài giải: ( x  2)2 a/ Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm Ta có: x0  1  y0  4  M  1;  f '( 1)  Đề cương ôn tập HKII Toán 11 Page | 30 http://www.baitap123.com/ https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/ PTTT  C  M  1; 4  y  x  b/ Gọi N  x0 ; y0  tiếp điểm Tiếp tuyến song song với  d  : y   x0  1   x   f '( x0 )   ( x0  2) 7 7  x0  9 x  (nhận) 7 37 -Với x0  9  y0  Phương trình tiếp tuyến N2 (9;4) : y  x  (nhận) 7 2x  Gọi  C  đồ thị hàm số: y  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  biết tiếp 2x 1 tuyến song song với đường thẳng d : y  x  - Với x0   y0  Phương trình tiếp tuyến N1 (5; 2) : y  Bài Bài giải: Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  4 x  nên tiếp tuyến có hệ số góc 4 Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm  y( x0 )  4  x0  1  x 1  4    x0  Với x0   y0  3; x0   y0  1  tiếp điểm: M 1;3 , M  0; 1 phương trình tiếp tuyến M : y  4  x  1   y  4 x  phương trình tiếp tuyến M : y  4  x     y  4 x  Bài 2x  có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết x 1 a) Hoành độ tiếp điểm b) Hệ số góc tiếp tuyến 3 Bài giải: a) Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm Cho hàm số y  Theo đề ta có: x0  2; y0  4 ktt  y  x0   3x02  x0   1 Phương trình tiếp tuyến M  2; 1 là: y  1 x     y   x  b) Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm    tiếp tuyến với đồ thị  C  song song với đường thẳng d  Vì    / /  d   k  kd  4 k  y  x0   4  x02  x0   x0   y0  1 Phương trình tiếp tuyến M 1; 1 là: y  4  x  1   y  4 x  Bài Cho hàm số y  x3  x  có đồ thị  C  a/ Viết phương trình tiếp tuyến  C  tai điểm có hồnh độ x0  b/ Viết phương trình tiếp tuyến  C  , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  d  : y   x  Bài giải: a/ Viết phương trình tiếp tuyến  C  tai điểm có hoành độ x0  pttt: y  y0  y  x0   x  x0   x0   y0  y  x  x  y  x0   y    pttt là: y  x  Đề cương ôn tập HKII Toán 11 Page | 31 http://www.baitap123.com/ https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/ b/ Viết phương trình tiếp tuyến  C  , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  d  : y   x  Gọi k  y  x0  hệ số góc tiếp tuyến  d  : y   x  có hệ số góc tt / /  d  k  kd  1 Bài kd  1 Ta có: y  x0   1 x0  1, x0  Với x0  , pttt : y   x  ( loại) 85 Với x0  , pttt : y   x  ( nhận ) 27 a) Viết phương trình tiếp tuyến  C  : y  f ( x)  x  điểm thuộc  C  có hồnh độ b) Viết phương trình tiếp tuyến  C  : y  f ( x)  4 x biết tiếp tuyến song song 2x 1 với đường thẳng (d ) : x  y   Bài giải: a) Viết phương trình tiếp tuyến (C): y  f ( x)  x  điểm thuộc  C  có hoành độ x0   y0  f ( x)  1  f (3)  2x  1 Phương trình tiếp tuyến M  3;3 là: y  f ( x0 )( x  x0 )  y0  ( x  3)   x  3 b) Viết phương trình tiếp tuyến  C  : y  f ( x)  4 x biết tiếp tuyến song song với 2x 1 đường thẳng (d ) : x  y   * (d ) : y  9 x  * f ( x)  9 (2 x  1) * Tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) , tt / /  d  : f ( xo )  9   x0   y0  9  9   (2 xo  1)  x0  1 y0  5 Phương trình tiếp tuyến M  0;  là: y  9 x   (d ) (loại) Phương trình tiếp tuyến M  1; 5  là: y  9 x  14 Bài a) Viết phương trình tiếp tuyến  C  : y  f ( x)  x  điểm thuộc  C  có hồnh độ Đề cương ơn tập HKII Toán 11 Page | 32 http://www.baitap123.com/ https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/ b) Viết phương trình tiếp tuyến  C  : y  f ( x)  3 x biết tiếp tuyến song song 2x 1 với đường thẳng (d ) : x  y   Bài gải: a) Viết phương trình tiếp tuyến  C  : y  f ( x)  x  điểm thuộc  C  có hồnh độ x0   y0  f ( x)  2  f (2)  4x 1 2 Phương trình tiếp tuyến M  2;3 là: y  f ( x0 )( x  x0 )  y0  ( x  2)   x  3 b) Viết phương trình tiếp tuyến  C  : y  f ( x)  3 x biết tiếp tuyến song song 2x 1 với đường thẳng (d ) : x  y   * (d ) : y  7 x  * f ( x)  7 (2 x  1) * Tiếp điểm M o ( xo ; yo ) , tt / /  d  : f ( xo )  7   x0   y0  7     x  1 y  4 (2 xo  1)  Phương trình tiếp tuyến M  0;3 là: y  7 x   (d ) (loại) Phương trình tiếp tuyến M  1; 4  là: y  7 x  11 Bài Chứng minh phương trình: x5  3x  x   có nghiệm Bài giải: * Xét hàm số f  x   x  3x  x  liên tục R * f (0) f (1)   phương trình có nghiệm x1  (0;1) * f (1) f (2)  0, f (2) f (3)  … * Kết luận … Bài Chứng minh phương trình: x  x   có nghiệm Bài giải: * Xét hàm số f  x   x  3x  liên tục R * f (2) f (1)   phương trình có nghiệm x1  (0;1) * f (1) f (0)  0, f (0) f (2)  … * Kết luận … Bài 10 Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong  C  : y  x 3 , biết tiếp tuyến cắt trục Ox x 1 A cắt trục Oy B cho OA  4OB Đề cương ơn tập HKII Tốn 11 Page | 33 http://www.baitap123.com/ https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/ Bài giải: Giả sử tiếp tuyến cắt Ox A  a;0  ; Oy B  0; b , ab   OA  4OB  a  b  a  4b  hệ số góc tiếp tuyến: k   Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm *k   x0   y0  1  y  x0       x0  1  16   4  x0  1  x0  5  y0  Phương trình tiếp tuyến: y  13 x  hay y  x  4 4 1   Phương trình vơ nghiệm * k   Ta có: 4  x0  1 KL: Phương trình tiếp tuyến: y  Bài 11 13 x  y  x  4 4 2x 1 có đồ thị  C  , viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  điểm x2 thuộc  C  có hoành độ 1 Cho hàm số y  + Với x0  1 , suy y0  + Ta có: y   x  2 2  1  1   y  1  Bài giải:  3  1   5 Suy pttt cần tìm là: y  x  Bài 12 Cho hàm số y  x  3x  có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  x  Bài giải: y  x  3x  y  x  KTT   x0    x   y  Tiếp điểm M  3;  PTTT y  3( x  3)   y  3x  Bài 13 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x2 biết tiếp tuyến vng góc với đường x 1 thẳng (d): x  y   Bài giải: d  : y   x 3 Gọi tọa độ tiếp điểm M  x0 ; y0  Vì tiếp tuyến vng góc với  d  nên y  x0   Đề cương ơn tập HKII Tốn 11 3 mà y   x  1 Page | 34 http://www.baitap123.com/ Vậy https://www.facebook.com/groups/2001QUYETTAMDODAIHOC/  x0  1   x0    x0  3 Với x0   y0  1 phương trình tiếp tuyến y  x  4 Với x0  3  y0  19 phương trình tiếp tuyến y  x  4 Bài 14 Cho hàm số y  f ( x)  2x  6x  (1) a) Tính f ( 5) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) điểm M  0;1 Cho hàm số f ( x)  x3  x   C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  22 x  2015 Bài giải:  f ( x)  x  x   f ( x)  6x  a) f (5)  144 b) Tại điểm M  0;1 ta có: f (0)  6  PTTT: y  6x  Tiếp tuyến song song với d : y  22 x  2011  Tiếp tuyến có hệ số góc k  22  x0  2 Ta có f ( x0 )  22  x02   22  x02     x0   Với x0  2  y0  9  PTTT : y  22 x  35  Với x0   y0  15  PTTT : y  22 x  29 Bài 15 Cho hàm số y   x  x2 có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  điểm M có x 1 tung độ Bài giải: M1 (2; 4) M (3; 4) y  x2  x 1 ( x  1)2 Pttt M1 : y   x  Pttt M : y  x 2 Đề cương ơn tập HKII Tốn 11 Page | 35 ... giải x3 x3 1  lim  lim  ; a) lim x 3 x  x  x 3 ( x  1)( x  3) x 3 ( x  1) b) lim x 2 x2   x2   lim  lim ( x  2)  4 ; x 2 x  x 2 x2 Đề cương ôn tập HKII Toán 11. ..  x2  1  x  1 Lời giải  lim x1  x  1     x  2 x2  x   x3   x3   lim  lim x 2 x2  x    x  x2  x    x3  Đề cương ôn tập HKII Toán 11      Page | 16...   x2  x   x Lời giải ( x  2)(2 x  x  6) 4 x  x  x  12 2x2  x  a) lim = lim = lim x  x 2 x   ( x  2)( x  3) x  x6 x3 Đề cương ôn tập HKII Toán 11 Page | 22 http://www.baitap123.com/